Модели геометрии Лобачевского

Содержание

 

Введение 

Глава I. История создания геометрии Лобачевского

1.1 История создания геометрии Лобачевского

1.2  Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

1.3 Приложения геометрии Лобачевского

Глава II. Модели геометрии Лобачевского

2.1 Модель (интерпретация) Бельтрами

2.2 Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского

2.3 Модели Пуанкаре

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Открытие того, что  евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий естественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дарвина. Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.

Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется  необозримое множество таких  геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В настоящей  работе под термином «неевклидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойственная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геометрии постоянной кривизны, они являются в известном смысле наиболее совершенными. В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел. С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Целью данной работы является геометрия Лобачевского. В курсовой работе рассматриваются основные понятия  геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии и показываются различные приложения геометрии Лобачевского. Особое внимание уделяется моделям (интерпретациям) данной геометрии, подробно рассмотрены модели Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре.

Глава I. История создания геометрии Лобачевского

 

1.1 История  создания геометрии Лобачевского.

Пятый постулат Евклида

 

В развитии Геометрия  можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый — период зарождения геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.

 Третий период выделяют  с 1-й половины XVIIв Р.Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856г) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 г. до н. э.), но с заменой его пятого постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый пятый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой». [2]

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи (1802-1860г), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832 год) и выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855г), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и  широкое распространение геометрия  Лобачевского получила через 12 лет  после его смерти, когда стало  понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.

Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

Окончательно это стало  ясно, когда в 1868 году итальянский математик Эудженио Бельтрами (1835-1900г) в своём труде «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве R³ на псевдосферических поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии.

Далее немецкий математик Феликс Христиан Клейн (1849-1925г) опираясь на исследования Эудженио Бельтрами и французский математик

Анри Пуанкаре (1854-1912г) строго доказали непротиворечивость неевклидовой геометрии, построив соответствующие модели плоскости Лобачевского. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

Итогом такого неевклидового  подхода явилось создание Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом (1826-1866г) римановой геометрии, развившей математическое учение о пространстве, понятие дифференциала расстояния между элементами многообразия и учение о кривизне. Введение обобщённых римановых пространств, частными случаями которых являются пространства Евклида и Лобачевского и так называемой геометрии Римана, открыло новые пути в развитии геометрии и нашли применение в физике (теория относительности) и других разделах естествознания.

Геометрию Лобачевского называют также гиперболической на том основании, что для описания математических соотношений данной геометрии были использованы гиперболические функции

,

введенные в XVIII веке итальянским математиком Винценто Рикатти, где - число, введённое Джоном Непером (1550-1617).

Таким образом, геометрия Лобачевского изучает свойства «плоскости Лобачевского» (в планиметрии) и «пространства Лобачевского» (в стереометрии). Плоскость Лобачевского — это плоскость (множество точек), в которой определены прямые линии, а также движения фигур (вместе с тем — расстояния, углы и пр.), подчиняющиеся всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом определяется

 

пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла геометрии Лобачевского состояла в  нахождении моделей плоскости и  пространства Лобачевского, т. е. в нахождении таких объектов, в которых реализовались бы соответствующим образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии геометрии Лобачевского.[1]

 

1.2 Основные  понятия геометрии Лобачевского. Некоторые 

теоремы геометрии  Лобачевского

 

1. Основные понятия геометрии Лобачевского

В евклидовой геометрии  согласно пятому постулату на плоскости  через точку Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В называется параллелью к А'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающейся прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых PQ A'A и PB PQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А.

 

Непересекающиеся прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающиеся прямые от непересекающихся и сами являются тоже непересекающимися. Эти граничные  

прямые называются параллелями в точке Р к прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: T'Т параллельно А 'А в направлении A'A, a UU' параллельно А 'А в направлении А А'. Остальные непересекающиеся прямые называются расходящимися прямыми с А 'А.

Угол  , 0< < /2, параллель к точке Р образует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU' = , называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол = /2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каждого заданного , 0< < /2, существует определенное значение а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского:

П (a)=2arctg ( ),

где к — некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной к.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся  прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные  прямые. На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а||b и с||b в одном  
направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении — неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся  прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три  типа пучков прямых, каждый из которых  покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода — множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода — множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода — множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия, или орицикл, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,— концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния х между дугами:

 

s' / s=e

.

 

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория — база, остальные — эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории — предельные линии).

Вращение аналогов окружностей  вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере, или предельной поверхности.

На сфере геометрия  больших окружностей — обычная  сферическая геометрия; на поверхности  равных расстояний — геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности — евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами  дуг и хорд предельных линий и  евклидовы тригонометрические соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические формулы для прямолинейных треугольников. [5]

2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

 

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN+ В = d имеем:

 

А + В < d; (1)

 

поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

 

 

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной  из высот на два прямоугольных  треугольника. Сумма острых углов  этих прямоугольных треугольников  равна сумме углов данного  косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1), заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.

Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.

Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте  в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М, другая — в виде

евклидовой полуокружности q с центром на и, причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

 

 

Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.

. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).

Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

 

 

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим  соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВ С и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка C не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВСС В равна 4d, что невозможно в силу теоремы 2.

 

 

 

6) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и B C Так как C =  

C' и C' = С , то C= С , что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CC D.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку  сделанное допущение привело  к противоречию.

Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного  данному треугольнику, но не равного  ему. [9]

 

1.3 Приложения  геометрии Лобачевского

 

Н.И. Лобачевский уже в первой работе по геометрии Лобачевского показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.

Н. И. Лобачевский применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы  координат к другой в своем  пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А. Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.

Значение геометрии  Лобачевского для космологии было выявлено А. А. Фриманом. В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расширяется с течением времени. Это заключение впоследствии было подтверждено наблюдениями Э. Хаббла, обнаружившего разбегание удаленных туманностей. Метрика, найденная А.А.Фридманом, дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского.

Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкновений элементарных частиц и при разработке других вопросов ядерных исследований.

Зрительное (перцептивное) восприятие близких областей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.

Создание геометрии  Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особенное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вырабатывались в значительной степени благодаря появлению геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

 x + y + z = c t

при делении на t , даёт

 vx + vy + vz = c — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. [11]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II.   Модели геометрии Лобачевского

 

Перечислим наиболее известные классические изометричные (сохраняющие расстояние между точками) модели (интерпретации) плоскости Лобачевского, имеющую гауссову кривизну K = - 1:

• интерпретация Бельтрами в круге;
• интерпретация Бельтрами гиперболической геометрии на псевдосфере;
• евклидова модель Кэли-Клейна;
• проективная модель Кэли Клейна;
• интерпретация Пуанкаре на полуплоскости;
• интерпретация Пуанкаре внутри круга;
• интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде.

Рассмотрим некоторые  из них.

 

2.1 Модель (интерпретация) Бельтрами

 

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского проводится с помощью построения интерпретации (модели). Первой такой интерпретацией явилась интерпретация Бельтрами, где установлено, что в евклидовом пространстве внутренняя геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально совпадает с геометрией Лобачевского (роль прямых играют геодезические линии поверхности). Поверхность такого типа называется псевдосферой.

В 1868 году Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского реализуется  на псевдосфере.

Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической, т.к. гипербола обладает на проективной плоскости с фиксированной прямой d₀ двумя несобственными точками и двумя асимптотами (касательными к овальной кривой в несобственных точках).

Прямая в плоскости Лобачевского также обладает двумя несобственными точками, в которых она пересекается с абсолютом.

 

 

Одну из поверхностей, на которой выполняется геометрия  Лобачевского, можно получить вращением  трактрисы вокруг оси абсцисс. Это  так называемая псевдосфера - поверхность отрицательной кривизны в евклидовом пространстве, на которой локально реализуется геометрия плоскости Лобачевского (рис. 8).

Трактриса - это кривая, длина касательной к которой  постоянна (т.е. отрезок от точки  касания до оси абсцисс есть константа. (puс. 9)

 

 

Псевдосфера - поверхность вращения в виде двух сложенных.

Прямой линией считаем  гидезическую линию - т.е. линию кратчайшего  расстояния между точками. Бельтрами  показал, что на псевдосфере реализуется  часть площади Лобачевского. Псевдосфера - поверхность постоянной отрицательной кривизны (т.е. гиперболическая форма), т.к.  

сумма углов треугольника на ней меньше 2d. Сфера - поверхность  положительной постоянной кривизны (сумма углов треугольника больше 2d). Эллиптическое пространство - положительная кривизна. Евклидово пространство имеет нулевую кривизну.[7]

 

2.2 Модель Кэли  – Клейна плоскости Лобачевского

 

Модель Кэли – Клейна — первая модель всей плоскости Лобачевского. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии.

Чтобы перейти к построению одной из моделей геометрии Лобачевского покажем, как с помощью двойного отношения можно определить «расстояние» между точками а и b интервала (x,у). Положим

 

.

 

Легко проверить, что  такое определение имеет смысл, т. е.

 

 

В самом деле, х—а < 0, х—b < 0, у—а > 0, у—b > 0. Ясно также, что р(а,а) = 0 и р{а,b) при и при . Кроме того. р(а,b) = р(b,а,. так как

.

Отметим, что ln[a,b,x,y] = - ln[a,b,x,y], поэтому нет необходимости различать точки х и у, т. е. задавать ориентацию интервала (х,у). Из тождества

 

следует, что ± р(а,b) ± р(b,с) ± р(с,а) = 0. Более тщательная проверка показывает, что если точка с лежит между а и b, то р(а, с) + р(с,b) = р(а,b).

Расстояние р(а,b) не изменяется при проективных преобразованиях прямой, сохраняющих интервал (х, у).

Определим модель Клейна плоскости Лобачевского. Точками модели Клейна являются внутренние точки некоторого круга. Расстояние между точками а и b определяется как р(а,b) для интервала (х,у), где х и у точки пересечения прямой ab с граничной окружностью данного круга. Если точки расположены в таком порядке, как на рис. 10, то ln[a,b,x,y] > 0. т. е. р(а,b) = ln[a,b,x,y] .