Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Моделирование случайных процессов на ЭВМ

Основные данные о работе

Версия шаблона	2.1
Филиал	Троицкий
Вид работы	Курсовая работа
Название дисциплины	Информационные технологии
Тема	Моделирование случайных процессов на ЭВМ
Фамилия студента
Имя студента
Отчество студента
№ контракта	04400100609001

Содержание

Введение			3
1	Общие понятия в технологии моделирования		5
	1.1	Основные сведения о компьютерном моделировании	5
	1.2	Области применения компьютерного моделирования	9
	1.3	Случайные числа. Получение случайных чисел с заданным законом распределения	11
2	Моделирование простейших случайных воздействий		14
	2.1	Тестирование генератора случайных чисел (ГСЧ)	14
	2.2	Моделирование случайных событий	15
3	Моделирование случайных векторов и процессов		18
	3.1	Моделирование в рамках многомерных распределений	18
	3.2	Моделирование случайных векторов	19
Заключение			23
Глоссарий			25
Список использованных источников			26
Приложение А			27
Приложение Б			28
Приложение В			29

Введение

Компьютерное моделирование с использованием ЭВМ - вербальное, информационное, математическое - в наши дни стало одной из информационных технологий, в познавательном плане исключительно мощной. Изучение компьютерного моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными.

Математическое моделировани в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

В данной курсовой работе показаны некоторые типичные задачи компьютерного математического моделирования. Их решение способствует выработке тех навыков, которые необходимы специалисту в области информатики.

Метод математического моделирования является с давних времен одним из фундаментальных методов познания, а появление и развитие ЭВМ дало новый толчок его совершенствованию. Чтобы получить полноценное научное мировоззрение, развить свои творческие способности, студенты должны овладеть основами компьютерного математического моделирования, уметь применять полученные знания в учебной и профессиональной деятельности.

Таким образом, актуальность исследования очевидна.

Основной целью исследования является разработка и теоретическое обоснование содержания и методики применения на практике компьютерного математического моделирования.

Объектом исследования является процесс изучения приемов и способов компьютерного математического моделирования для использования в практической деятельности.

Предмет исследования составляют принципы, методы и способы компьютерного математического моделирования.

Задачи исследования:

• анализ понятий, связанных с компьютерным математическим моделированием;

• изучение и использование математических методов и приемов для решения прикладных задач с использованием компьютерной техники ;

• разработка методики проведения исследования объектов (процессов) с построением математической модели и дальнейшим компьютерным экспериментом;

Для решения сформулированных задач применялись такие методы исследования как изучение и анализ методической и специальной литературы по теме исследования курсовой работы.

Основная часть

1 Общие понятия в технологии моделирования

1.1. Основные сведения о компьютерном моделировании

Компьютерное моделирование осуществляется с помощью математических моделей. Отметим, что, говоря о математических моделях, мы имеем в виду сугубо прикладной аспект. В современной математике есть достаточно формализованный подход к понятию «математическая модель». Внутри него вполне допустимо игнорировать вопрос о связи математики с реалиями физического мира. В этом подходе моделями являются, например, система целых чисел, система действительных чисел, евклидова геометрия, алгебраическая группа, топологическое пространство и т.д. К исследованию таких формальных моделей вполне можно подключить компьютеры, но все равно это останется «чистой» математикой. В данной главе термин «математическая модель» увязывается с некоторой предметной областью, сущностью окружающего мира.

Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики. Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия. Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В данной главе доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Это связано с тем, что моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий. Такой подход несколько сужает возможности метода в целом; его достоинство - некоторое снижение барьера необходимой математической подготовки (хотя, разумеется, и в численные методы при профессиональном занятии математическим моделированием приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование).

Наконец, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований;

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей процесса. Эту формулу (хорошо еще, если просто формулу!) нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций» . При этом компьютер - незаменимое техническое средство.

Модель – материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта.

Моделирование – представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

Математическое моделирование – метод исследования процессов и явлений на их математических моделях.

Цели, средства и этапы компьютерного моделирования

Компьютерное моделирование состоит из шести этапов.

Первый этап - определение целей моделирования и формирование целевой функции. Основные цели формулируются следующим образом:

1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Второй этап – составление списка переменных и ранжировка их по степени влияния на целевую функцию рассматриваемого объекта моделирования.

Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим первые (входные) величины через х₁, x₂, .... х_n; вторые (выходные) через y₁,y₂, … ,y_k. Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде:

у_j = F_j (x₁, х₂,....x_n) (j=1,2,..., k),

где F_j - те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты. Хотя запись F (x₁, x₂, ..., х_n) напоминает о функции, мы здесь используем ее в более широком смысле.

Входные параметры x_i могут быть известны «точно», т.е. поддаваться (по крайней мере, в принципе) измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детерминированными величинами.

Однако, в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс изменения системы (случайный процесс).

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин y_j. От того, насколько умело выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективное гь достижения цели.

Третий этап – составление математического описания рассматриваемого объекта исследования, Математическую модель составляют с помощью математического программирования либо используют методы и приемы математической статистики. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

Четвертый этап – подбор математического метода решения. Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. Успех этой работы зависит от того, насколько хорошо исследователь знает численные методы и ориентируется в них достаточно свободно.

Пятый этап - разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования.

Шестой этап – идентификация математической модели на ЭВМ, проведение серии испытаний, фиксация результатов. При проведении вычислительного эксперимента выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае соответствия модели реальному процессу составляется отчет о проделанной работе, нарабатываются рекомендации.

1.2 Области применения компьютерного моделирования

Физика

Физика – наука, в которой математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Наряду с традиционным делением физики на экспериментальную и теоретическую сегодня уверенно выделяется третий фундаментальный раздел – вычислительная физика (computational physics). Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограничены. Из многих конкретных причин выделим две наиболее часто встречающиеся: нелинейность многих физических процессов и необходимость исследования совместного движения многих тел, для которого приходится решать системы большого числа уравнений. Часто численное моделирование в физике называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много аналогий с лабораторным экспериментом.

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом, когда расчеты уже завершены, является осознание результатов, представление их в максимально наглядной и удобной для восприятия форме. Забить числами экран компьютера или получить распечатку тех же чисел не означает закончить моделирование (даже если числа эти верны). Тут на помощь приходит другая замечательная особенность компьютера, дополняющая способность к быстрому счету, – возможность визуализации абстракций. Представление результатов в виде графиков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов в силу особенностей человеческого восприятия обогащает исследователя качественной информацией.

Экология

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ.

Популяция – это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. Сообщество – это совокупность совместно сосуществующих популяций.

В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

- взаимодействие организма и окружающей среды;

- взаимодействие особей внутри популяции;

- взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).

В математической экологии при построении моделей используется опыт математического моделирования механических и физических систем с учетом разных специфических особенностей биологических систем, таких как:

- сложности внутреннего строения каждой особи;

- зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

- незамкнутости экологических систем;

- огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем и др.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой – возникли принципиально новые направления и, прежде всего, имитационное моделирование.

1.3. Случайные числа. Получение случайных чисел с заданным законом распределения

При компьютерном математическом моделировании случайных процессов нельзя обойтись без наборов, так называемых, случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. На самом деле эти числа генерирует компьютер по определенному алгоритму, т.е. они не являются вполне случайными хотя бы потому, что при повторном запуске программы с теми же параметрами последовательность повторится; такие числа называют «псевдослучайными».

Процедура моделирования предполагает следующее:

1.Выбирается случайное равномерно-распределенное число хk.

2.С помощью хк выбирается интервал (аk,аk+1)

3.Берется следующее равномерно-распределенное число xi+1 и масштабируется с целью приведения к интервалу (аk,аk+1), т.е xi+1 становится случайной величиной равномерно-распределенной в интервале (аk,аk+1). Тогда случайное число yi находится по формуле: yi=ak+xi+1*(аk+1-аk)

Рассмотрим процесс выборки интервала (аk,аk+1) с помощью xi: случайное число xi получается с помощью ПК в виде последовательности 0 и 1, если m –разрядность двоичного числа, то всего двоичных чисел будет равно 2m и каждому интервалу разумно поставить одно двоичное число.

Особенность приближенных методов: для реализации данного метода на ЭВМ требуется небольшое количество операций, причем число операций не зависит от точности уточнения значений, т.е. не зависит от числа интервалов. Она влияет только на размеры участка памяти, куда помещаются таблицы закодированных значений ак.

Различные типы датчиков случайных величин

Датчик СВ – это устройство, позволяющее по запросу получать реализацию a или несколько независимых реализаций a₁ ,… ,a_n базовой случайной величины α .

Существует три типа датчиков: 1) табличные; 2) физические; 3) программные. Рассмотрим каждый из этих типов датчиков.

Табличный датчик СВ – это таблица случайных чисел, представляющая собой экспериментально полученную выборку реализаций равномерно распределенной в [0,1) случайной величины. Но применение табличных датчиков при имитационном моделировании ограниченно из-за следующих недостатков:

1) нехватки табличных случайных чисел, т.к. для моделирования часто требуются миллионы случайных чисел;

2) большого расхода оперативной памяти ЭВМ для хранения таблицы.

Физический датчик СВ – это специальное радиоэлектронное устройство, являющееся приставкой к ЭВМ, выходной сигнал которого имитирует СВ. Он состоит из источника флуктуационного шума (например, «флуктуационно шумящей» радиолампы), значение которого в произвольный момент времени является случайной величиной η ≥ 0 с плотностью p ( y), η и нелинейного преобразователя = Δ Δ α {η} / , (4.8) где { } = − Δ[ / Δ] Δ η η n – дробная часть числа η относительно заданного Δ > 0 ([z] – целая часть числа z). Выбирая Δ достаточно малой величиной, удается получить БСВ α . Отметим недостатки физического датчика СВ:

1) невозможность повторения некоторой ранее полученной реализации a , т.к. P{α = a} = 0.

2) схемная нестабильность, приводящая к необходимости контроля работы датчика при очередном его использовании. В силу этих недостатков на современных компьютерах физические датчики практически не используются.

Программный датчик СВ – это программа, служащая для имитации на ЭВМ реализаций базовой СВ. Рассмотрим работу датчика случайных чисел, встроенного в ЭВМ. Большинство программ - генераторов случайных чисел выдают последовательность, в которой предыдущее число используется для нахождения последующего. Первое из них - начальное значение. Все генераторы случайных чисел дают последовательности, повторяющиеся после некоторого количества членов, называемого периодом, что связано с конечной длиной машинного слова. Самый простой и наиболее распространенный метод - линейный конгруэнтный метод, в котором очередное случайное число x_n определяется по формуле:

где a, с, m - натуральные числа, mod - так называемая, функция деления по модулю (остаток от деления одного числа на другое по модулю). Наибольший возможный период датчика равен т; однако, он зависит от а и с. Ясно, что чем больше период, тем лучше; однако реально наибольшее m ограничено разрядной сеткой ЭВМ. В любом случае используемая в конкретной задаче выборка случайных чисел должна быть короче периода, иначе задача будет решена неверно. Заметим, что обычно генераторы выдают отношение , которое всегда меньше 1, т.е. генерируют последовательность псевдослучайных чисел на отрезке [0,1].

2 Моделирование простейших случайных воздействий

2.1. Тестирование генератора случайных чисел (ГСЧ)

Качество ГСЧ в значительной мере влияет на результаты работы программ, использующих случайные числа. Поэтому все применяемые генераторы случайных чисел должны пройти перед моделированием системы предварительное тестирование, которое представляет собой комплекс проверок по различным стохастическим критериям, включая в качестве основных тесты на равномерность, стохастичность и независимость (рассматриваются только ГСЧ с равномерным распределением).

Проверка равномерности последовательностей псевдослучайных равномерно распределенных чисел {x_i} может быть выполнена по гистограмме с присваиванием косвенных признаков. Суть проверки по гистограмме сводится к следующему. Выдвигается гипотеза о равномерности распределения чисел (0, 1). Затем интервал (0, 1) разбивается на m равных частей, тогда при генерации последовательности {x_i} каждое из чисел x_i c вероятностью , , попадет в один из подынтервалов. Всего в каждый j-й подынтервал попадает N_i чисел последовательности {x_i}, , причём . Относительная частота попадания случайных чисел из последовательности {x_i} в каждый из подынтервалов будет равна N_j/N. Очевидно, что если числа x_i принадлежат псевдослучайной квазиравномерно распределенной последовательности, то при достаточно больших N экспериментальная гистограмма (ломаная линия на гистограмме – Приложение В):

а) приближается к теоретической прямой 1/m. Оценка степени приближения, т.е. равномерности последовательности {x_i}, может быть проведена с использованием критериев согласия.

Существуют и другие способы проверки равномерности распределения. Проверка стохастичности последовательности псевдослучайных чисел {x_i} наиболее часто проводится методами комбинаций и серий.

2.2. Моделирование случайных событий.

Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события.

Для моделирования случайного события А, вероятность которого = Р_с, достаточно сформировать одно число r, равномерно распределенного на интервале [0,1]. При попадании r в интервал [0,1] считаем, что событие А наступило, иначе – нет. Для моделирования полной группы N несовместимых соб А = {А₁, А₂,..., А_N} с вероятностями соответственно Р₁, Р₂, …, Р_N также достаточно одного значения r. Соб Аi считаем наступившим, если выполнилось условие. Если группа соб А не полна, то вводят фиктивное соб А_N+1 с вер-тью Р_N+1, т.е. дополняют выборку А. После этого генерируют число r и проверяют условие . При А = АN+1 считаем, что ни одно событий из исходной группы А не наступило.

Моделирование противоположных событий

Пусть имеются случайные числа ri т.е. возможные значения случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (0,1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р.

Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение ri случайной величины Х удовлетворяет неравенству ri ≤ p .

Противоположное событие A состоит в том, что ri›p. Тогда Р( A )=1–р. Процедура моделирования состоит в выборе значений ri и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А, иначе A .

Моделирование дискретной случайной величины.

Для того чтобы смоделировать (разыграть) дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения:

Х	х1	х2	…	хn
р	р1	р2	…	рn

надо: 1) разбить интервал (0,1) на n частичных интервалов:

Δ1 – (0;р1),

Δ2 – (р1;р1+р2),

…

Δn – (р1+ р2+…+ рn-1;1).

2) выбрать случайное число rj.

Если случайное число rj попало в частичный интервал Δi, то разыгрываемая величина приняла возможное значение xi.

Моделирование полной группы событий.

Пусть A1, А2, ..., Аn, – полная группа событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., рn соответственно.

Моделирование полной группы несовместных событий можно свести к разыгрыванию дискретной случайной величины Х со следующим законом распределения:

Х	1	2	…	n
р	р1	р2	…	рn

Правило: для того чтобы смоделировать испытание, в каждом из которых наступает одно из событий A1, А2, ..., Аn полной группы событий, наступающих с вероятностями p1, p2, ..., рn соответственно, достаточно разыграть дискретную случайную величину с данным законом распределения. Если в испытании величина Х приняла возможное значение xi, то наступило событие Ai.

Моделирование независимых событий.

Пусть независимые события А и В наступают с вероятностями pA и pB. Возможными исходами совместных испытаний будут события:

В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:

1) последовательную проверку условия (1);

2) определение одного из исходов по жребию с соответствующими вероятностями.

Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия. Во втором варианте необходимо одно число xi,, но сравнений может потребоваться больше.

Моделирование зависимых событий.

Пусть события А и В являются зависимыми. События наступают с вероятностями pA и pB. Р(В/А) – условная вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.

Из последовательности случайных чисел {xi} извлекается число хт, удовлетворяющее хт < рА. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности чисел {xi} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1 ≤ P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ или А B . Если условие хт < рА не выполняется, то наступило событие А . Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность:

Выберем из совокупности {xi} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1 ≤ P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испытания АВ или АВ .

Моделирование событий происходит по правилу: если случайное число меньше вероятности события, то событие наступило; если случайное число больше или равно вероятности, то событие не наступило.

3 Моделирование случайных векторов и процессов

3.1.Моделирование в рамках многомерных распределений

Задачи моделирования на ЭВМ случайных векторов и случайных процессов, заданных на конечном интервале (0,Т), в принципе не отличаются, так как дискретные реализации случайных процессов, ограниченных во времени, можно рассматривать как выборочные значения N-мерных случайных векторов, где N=T/Δt.

Известны два основных метода моделирования на ЭВМ случайных векторов с заданным многомерным распределением:

Моделирование случайных процессов на ЭВМ 📙 Курсовая → 🆔 132529