Мультипликативные индексные модели полного безальтернативного разложения результативного показателя

1 Сущность индексного  метода анализа в статистических  исследованиях

 

Индексный метод принадлежит  к числу важнейших методов  статистического исследования экономических  явлений. Он широко используется при  изучении динамики и пространственном сопоставлении экономических явлений.

Латинское слово «индекс» означает указатель, показатель. Экономические индексы – это относительные величины, которые характеризуют изменение экономических явлений во времени, в пространстве или по сравнению с любым эталоном (плановыми и нормативными данными, показателями лучших предприятий и т.д.)(2,с.6).

Индекс представляется коэффициентом  (или в процентах) и показывает, во сколько раз (значение коэффициента) или на сколько единиц (числитель минус знаменатель индекса) изменился рассматриваемый показатель.

Индекс как относительная  величина имеет четыре важнейших отличия:

1. Индекс позволяет дать оценку динамики как простых, так и очень сложных социально-экономических явлений. Можно характеризовать изменение во времени самых различных показателей: ВВП, реальных располагаемых денежных доходов, численности работающих, уровня безработицы, себестоимости, производительности труда и т.п.
2. На основании индексов анализируется влияние отдельных факторов на изменение того или иного сложного социально-экономического явления (например, влияние изменения уровня цен и изменения количества проданных товаров на объём товарооборота). Используя взаимосвязь индексов, можно установить в какой мере выпуск продукции возрос за счет увеличения численности работников и в какой мере – за счет повышения производительности труда (5, с.144). 
3. Методология расчетов индексов различна в зависимости от особенностей изучаемой совокупности, имеющихся данных, целей исследования(4, с.330).
4. Индексы могут быть динамическими, территориальными, планового задания, выполнения плана и т.д.

Динамические  индексы – наиболее распространённый вид индексов, позволяющий оценить изменение социально-экономических явлений во времени.

Динамические индексы  классифицируются по содержанию, обобщению  и расчету.

По виду изучаемых величин  индексы разделяются на результативные и факторные, а последние делятся  на индексы количественных (объемных) и качественных показателей.

Индексы количественных показателей – индексы физического объёма промышленной и сельскохозяйственной продукции, физического объёма розничного товарооборота и др.

Индексы качественных показателей – индексы курса валют, цен, себестоимости, производительности труда, заработной платы, урожайности и др. Индексируемые показатели этих индексов характеризуют уровень явления в расчете на ту или иную единицу совокупности. Как правило, они являются либо средними, либо относительными величинами.

Разделение индексов на индексы  количественных и качественных показателей важно для методологии их расчета.

По признаку обобщения производится классификация индексов на индивидуальные и общие. Индивидуальный индекс – это относительная величина, выражающая результат сравнения непосредственно соизмеримых явлений. Общий индекс – относительная величина, выражающая результат сравнения непосредственно несоизмеримых составляющих его явлений.

Индивидуальные индексы  принято обозначать i,а общие индексы I.

 Индивидуальные индексы физического объема рассчитываются по формуле:

                               ,                                                                    (1.1)

где:

 - обозначение индивидуального индекса  физического объема;

q₀ – физический объем продукции в базисном периоде;

q₁ – физический объем продукции в текущем (отчетном) периоде;

Индивидуальный индекс цен  вычисляется по формуле:

                                       ,                                                            (1.2)

где i_p – обозначение индивидуального индекса цен;

р₀ – цена единицы изделия в базисном периоде;

р₁ - цена единицы изделия в отчетном периоде.

Общие индексы характеризуют  изменение совокупности социально-экономических явлений в целом. Индексная система признаков включает в себя как признак, изменение которого непосредственно изучается, так и другие признаки во взаимосвязи с которым находится интересующий нас признак. При этом в индексном отношении признак, изменение которого изучается, принимается за переменную (индексируемую) величину (т.е. в числителе и знаменателе она имеет разное числовое значение), а другие признаки по каждому элементу совокупности принимаются как условно-постоянные: в числителе и знаменателе они имеют одинаковые числовые значения.

Признаки, которые в индексном  отношении в числителе и знаменателе  берутся условно-постоянными, называются весами факторных индексов. Так, например, при расчете общего индекса цен  весами выступает количество единиц соответствующих видов изделий, а при расчете общего индекса физического объема продукции в качестве весов выступают постоянные уровни цен соответствующих видов продукции.

Совокупность элементов, по набору которых рассчитываются общие  индексы, называется индексным набором. Так при расчете общего индекса  цен в качестве индексного набора может выступать перечень видов  товаров; при расчете общего индекса  урожайности зерновых культур –  перечень (набор) видов зерновых культур  и т.д.

Основная идея расчета  общих индексов состоит в том, что они строятся по схеме взаимосвязи  признаков, последовательно элиминируя при этом влияние всех остальных  признаков, кроме исследуемого.

Общие индексы, уровни которых делятся на два сомножителя, один из которых объёмный, а другой качественный, называются агрегатными. Система агрегатных индексов должна удовлетворять ряду условий:

1. Связь между признаками-факторами и результативным признаком должна быть функциональной.
2. Взаимосвязь признаков должна отражать реальные экономические явления и процессы (6, с. 113).

Агрегатный индекс физического  объёма продукции (индекс с постоянными весами) в сопоставимых (базисных) ценах рассчитывается по следующей формуле:

                                      ,                                                           (1.3)

  где - количество одноимённых единиц продукции (объём продаж одноимённого товара) в отчетном периоде;

        - количество одноимённых единиц продукции (объём продаж одноимённого товара) в базисном периоде;

- цена одноимённой  единицы продукции в базисном  периоде;

      - стоимость выпуска разноимённой продукции отчетного периода в ценах базисного периода;

      - стоимость выпуска разноимённой продукции в базисном периоде. 

Агрегатный индекс цен (индекс с постоянными весами) рассчитывается по следующей формуле:

                                                                                     (1.4)

 

По методам расчета, кроме агрегатных, индексы могут быть средними и индексами средних величин(5, с.145).

 

 

 

 

 

2 Правила построения  многофакторных индексных моделей

 

 

Схемы построения общих индексов базируются на определенных типах моделей. Многофакторные индексные модели строятся для показателей, которые можно разделить более чем на 2 сомножителя (слагаемых). Они могут быть:

1.мультипликативными, когда произведение признаков-факторов представляет величину результативного признака; например, произведение цены на количество изделий даст величину стоимости продукции;

2.аддитивными, когда сумма отдельных элементов совокупности дает значение всего объема этой совокупности; допустим, сумма отдельных элементов затрат производство соответствует общей сумме затрат;

3.аддитивно-мультипликативными (смешанными); в этом случае отдельные блоки экономического явления представлены произведением факторов, а общий результат – суммой составных частей (блоков).

В статистических исследованиях  основным приемом изучения являются мультипликативные индексные модели. Связь между экономическими показателями находит отражение и во взаимосвязи характеризующих их индексов.

Индексная модель позволяет  определить влияние отдельных факторов на формирование уровня результативного  показателя, по двум известным значениям  индексов найти значение третьего –  неизвестное.

Многофакторные индексные  экономико-статистические модели служат важным аналитическим средством  проведения комплексных исследований экономических явлений и процессов. С их помощью решаются задачи по моделированию уровней экономических  явлений и факторному анализу  динамики. В качестве основополагающего  момента при построении многофакторных индексных моделей выступает  возможность представить определенный экономический результат в виде функциональной зависимости от некоторого числа признаков-факторов: у=f(x_j). (7, с.149)

Мультипликативные индексные экономико-статистические модели – это индексные модели, в которых результативный показатель представляется произведением некоторого числа факторов:

Мультипликативные индексные  модели отличают возможности: объединения в одной модели одновременно качественных и объемных показателей, последовательного агрегирования отдельных факторов в укрупненные комплексы, перехода к построению смешанных аддитивно-мультипликативных моделей. На основе мультипликативных многофакторных индексных моделей представляется возможным проанализировать наиболее сложные и многоуровневые связи факторных признаков(3).

При построении мультипликативных многофакторных индексных моделей возможны два исходных пункта последовательности взаимосвязи признаков-факторов: либо на первом месте в индексной модели стоит объемный, либо качественный признак-фактор. В зависимости от этого алгоритмы решения многофакторных индексных моделей имеют свои особенности. Индексные системы, в которых результативный показатель является объёмным, называются полными. Если же результативный показатель является качественным, индексная система называется неполной. В этом случае и все без исключения показатели-факторы будут также качественными. Но любая неполная модель может быть преобразована в полную добавлением к рассматриваемым качественным показателям-факторам ещё одного объёмного показателя-фактора. При этом бывший ранее результативным качественный показатель превращается в укрупнённый факторный, изменение которого наряду с изменением объёмного показателя-фактора обуславливает изменение объёмного результативного показателя (3).

Подавляющее большинство  рассматриваемых в литературе многофакторных мультипликативных моделей строится по единому принципу, а именно путём последовательного расчленения, детализации качественного фактора в исходной двухфакторной модели (3).

 В мультипликативных многофакторных моделях необходимо, чтобы место фактора в модели соответствовало экономической роли фактора в формировании уровня сложного явления. Так, если с ростом фактора должен увеличиваться результативный показатель, то в модели должен фигурировать сам этот фактор, а не его обратная величина, и наоборот, если увеличение фактора приводит к снижению уровня результативного показателя, то в модели должна быть учтена величина, обратная величине самого фактора (поскольку зависимость между факторным и результативным показателями в этом случае является обратно пропорциональной). Несоблюдение этого правила делает невозможной (несмотря на формальную корректность всех выкладок) экономическую интерпретацию результатов анализа, а сами результаты – противоречащими логике построения моделей (3).

Модель, имеющую в качестве результативного объёмный показатель (полную модель), всегда можно преобразовать в неполную, исключив из неё последний по порядку объёмный фактор. В этом случае, в качестве результативного будет выступать не объёмный, а качественный показатель. Такая модель, полученная «усечением» полной модели, сохранит все рассмотренные выше свойства попарных произведений факторов.

Применяются два метода разложения общего индекса на частные:

1. Метод обособленного (изолированного) изучения факторов.
2. Метод последовательно-цепной (взаимосвязанное изучение факторов).

Поскольку в действительности явления взаимосвязаны, то основной схемой следует считать последовательно-цепной анализ факторов, требующий правильного расположения факторов при построении модели результативного показателя.

На первом месте в модели ставится качественный фактор. Увеличение цепи факторов на один фактор каждый раз должно приводить к показателю, имеющему реальный экономический смысл.

При определении влияния  первого фактора все остальные  факторы сохраняются в  числителе  и знаменателе на уровне отчетного  периода.

При построении второго факторного индекса первый фактор сохраняется  на уровне базисного периода, третий и все последующие – на уровне отчетного периода.

При построении третьего факторного индекса первый и второй сохраняются  на уровне базисного периода, четвёртый  и все последующие – на уровне отчетного периода и т.д.

Если взаимосвязь результативного  показателя с факторами представлена в виде трехфакторной мультипликативной  модели вида

 

тогда последовательно-цепное разложение факторов будет иметь  вид:

            или

 

                              (2.1)

 

Мультипликативные индексные  модели могут применяться и для определения в абсолютном и относительном выражении изменения сложного явления за счет влияния отдельных факторов. Расчеты, связанные с определением в абсолютном (относительном) выражении изменения результативного показателя за счет отдельных факторов, называют разложением абсолютного (относительного) прироста (сокращения) по факторам.

Первоначально определяется общее  изменение результативного показателя:

                                                                                               (2.2)

Затем исчисляется влияние  на изменение результативного показателя факторов, включенных в модель:

абсолютный прирост результативного показателя за счет изменения фактора a представляется выражением:

                                                                                   (2.3)

абсолютный прирост результативного показателя за счет изменения фактора b:

                                                                                   (2.4)

абсолютный прирост результативного показателя за счет изменения фактора c:

                                                                                   (2.5)

Разложение общего темпа прироста результативного показателя в разрезе влияния трёх изучаемых факторов представляется следующим образом:

                                       (2.6)

Определяется удельный вес прироста, полученного за счет изменения каждого фактора в общем приросте результативного показателя:

                      (2.7)

Далее проводится проверка расчетов: сумма изменений результативного  показателя под влиянием отдельных  факторов равна общему изменению  результативного показателя. Полученные результаты анализируются.

Также можно осуществить  решение этой же индексной модели по упрощённому алгоритму, используя значения индексов по каждому признаку-фактору.

Тогда показатель абсолютного  прироста результативного показателя будет выглядеть следующим образом:

 

в том числе:

                                                                                (2.8)

                                                                          (2.9)

                                                                     (2.10)

Значение темпов прироста в этой системе решения индексной  модели определяется по схеме:

                                                                                           (2.11)

в том числе:

                                                                                        (2.12)

                                                                                 (2.13)

                                                                              (2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Индексный метод  анализа демографических показателей  населения в 1995, 2000, 2007–2008 гг.

 

Динамика браков является важным объектом для изучения, характеризующим создание населением семей.

Сведения о браках получаются на основании ежегодной статистической разработки данных, содержащихся в  актовых записях о заключении брака.

Таблица 1 . Численность населения и число браков Республики Беларусь за 1995, 2000, 2007-2008 гг.

                                   (на начало года)

 

Год	1995	2000	2007	2008
Население, тыс. чел.	10297,2	10019,5	9714,5	9689,8
в том числе:
Население в возрасте от 15 до 49 лет, тыс. чел.	7200	5249,3	5242,7	5195,8
Число браков (тыс.)	77	62,5	90,4	77,2

 

На основании приведенных  данных была составлена следующая мультипликативная  модель:

 

где: Б – число браков;

        S – численность населения;

        - численность населения в возрасте от 15 до 49 лет.

Численность населения обозначим a, долю населения от 15 до 49 лет в общей численности населения - b, коэффициент брачности – c.

Тогда мультипликативная индексная модель будет выглядеть следующим образом:

                                            

 

 

Таблица 3.

Показатель	Обозначение	Период		Индекс (I),  в %	Абсолютное значение прироста, убытка(-)
		Базисный	Отчетный
		1995	2008
А	1	2	3	4	5
Число браков  (тыс.), Б	Б= a	77,0	77,2	1,0026	0,2
Численность населения (тыс. чел.), S		10297,2	9689.8	0,941	-607,4
Доля населения в возрасте от 15 до 49 лет в общей численности населения,		0,498	0,536	1,0763	0,038
Коэффициент брачности,		0,01505	0,0149	0,9868	-0,00015

Примечание: Источник: собственные разработки на основе таблиц 1,2.

 

Таким образом, за последние 13 лет число заключённых браков увеличилось на 200 случаев.

Незначительное увеличение числа заключённых браков было связано  с изменением величин факторов, включенных в модель.

Снизилась численность населения, что уменьшило число браков на 4,4 тысячи:

 

В то же время растёт доля населения, которая наиболее часто  заключает браки, т.е. в возрасте от 15 до 49 лет, что увеличивает число  заключенных браков:

 

В это же время снижается уровень  числа браков у населения по сравнению  с 1995 годом:

 

Представим разложение общего темпа прироста числа браков в разрезе влияния трёх изучаемых факторов:

 

 

0,26% =  -5,71%+7,31%-1,34%.

Определим удельный вес прироста, полученного за счет изменения каждого  фактора в общем приросте числа браков:

 

 

 

Комбинаторный алгоритм:

Абсолютных приростов числа браков:

 

в том числе:

 

 

 

Значение темпов прироста в этой системе решения индексной  модели определяется по схеме:

 

в том числе:

 

 

 

Вывод: изменение числа браков к 2008 году в сравнении с 1995 годом (показатель увеличился) произошло под влиянием всех трёх факторов.  Однако большее влияние оказал фактор b, т.е. доля населения от 15 до 49 лет в общей численности населения. Он увеличил число браков в абсолютном выражении на 5630, а в относительном выражении на 7,31%. Остальные факторы, наоборот, способствовали снижению величины показателя.

 

Таблица 4.

Показатель	Обозначение	Период		Индекс, I	Абсолютное значение прироста, убытка(-)
		Базисный	Отчетный
		2000	2008
А	1	2	3	4	5
Число браков (тысяч)	=a	62,5	77,2	1,2352	14,7
Численность населения (тысяч человек)		10019,5	9689.8	0,9664	-330,7
Доля населения в возрасте от 15 до 49 лет в общей численности населения		0,524	0,536	1,0215	0,012
Коэффициент брачности		0,012	0,0149	1,25	0,003

Примечание: Источник: собственные разработки на основе таблиц 1,2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий абсолютный прирост числа  браков составляет:

 

в том числе:

абсолютный прирост числа браков за счет изменения численности населения  представляется выражением:

 

абсолютный прирост числа браков за счет изменения доли населения  в возрасте от 15 до 49 лет в общей  численности населения:

 

абсолютный прирост числа браков за счет изменения коэффициента брачности:

 

Представим разложение общего темпа прироста числа браков в разрезе влияния трёх изучаемых факторов:

 

 

23,52% = -3,36 %+2,08%+24,8%.

Определим удельный вес прироста, полученного за счет изменения каждого  фактора в общем приросте числа браков:

 

 

 

Комбинаторный алгоритм:

в том числе:

 

 

 

Значение темпов прироста в этой системе решения индексной  модели определяется по схеме:

 

в том числе:

 

 

 

Вывод: число браков с 2000 по 2008 год значительно возросло, в абсолютном выражении на 14700, а в относительном на 23,52%. Больше всего на это повлиял 3-й фактор, т.е. коэффициент брачности. Численность населения и возрастной состав существенно не изменились (численность населения немного снизилась, а доля населения в возрасте от 15 до 49 лет увеличилась).

 

 

Таблица 5.

Показатель	Обозначение	Период		Индекс, I	Абсолютное значение прироста, убытка(-)
		Базисный	Отчетный
		2007	2008
А	1	2	3	4	5
Число браков (тысяч)	=a	90,4	77,2	0,854	-13,2
Численность населения (тысяч человек)		9714,5	9689.8	0,9975	-24,7
А	1	2	3	4	5
Доля населения в возрасте от 15 до 49 лет в общей численности населения		0,556	0,536	0,964	-0,02
Коэффициент брачности		0,0169	0,0149	0,8881	-0,0019