Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Некоторые специальные виды линейных операторов

Содержание

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1. Алгебра и группы………………………………………………………..4

§1. Определение группы………………………………………………………….4

§2. Полукольца, кольца…………………………………………………………...5

§3. Понятие векторного пространства…………………………………………...6

§4. Понятие евклидового и унитарного пространства……………………….....7

§5. Понятие алгебры………………………………………………………………8

Глава 2. Общая теория линейных операторов…………………………………10

§1. Определение линейного оператора…………………………………………10

§2. Действия с линейными операторами……………………………………….12

§3. Матрица линейного оператора……………………………………………...15

§4. Обратный оператор………………………………………………………….18

§5. Сопряженный линейный оператор………………………………………....19

§6 Собственный вектор и собственное значение линейного оператора……..21

Глава 3. Некоторые специальные виды линейных операторов………………22

§1. Нормальные операторы……………………………………………………..22

§2. Унитарные и ортогональные операторы…………………………………...23

§3. Симметрические операторы………………………………………………...25

Приложение (задачи)…………………………………………………………….27

Заключение……………………………………………………………………….33

Список литературы………………………………………………………………34

Введение

Немаловажную роль в математике играют такие понятия, как линейная алгебра, группы, подгруппы, кольца и поля. Большое значение имеют различные алгебры и группы матриц, которые находят свое применение во многих математических дисциплинах, таких как алгебра, теория чисел, геометрия и т.д.

В данной работе рассмотрены различные виды линейных операторов, такие как, обратимые, симметрические, кососимметрические, нормальные, унитарные и ортогональные.

Курсовая работа включает в себя 3 главы. В первую главу входят понятия об основных алгебраических структурах, определения которых необходимы нам для изучения линейных операторов различных видов. Во второй главе рассматривается общая теория линейных операторов, раскрываются понятия собственного вектора и собственного значения линейного оператора, а также рассмотрен вид сопряженного линейного оператора. Третья глава является основной в этой работе, так как в ней содержится материал о специальных видах линейных операторов. В первом параграфе рассматриваются нормальные операторы, во втором – унитарные и ортогональные, третьем – симметрические, четвертом – кососимметрические, и в пятом – проекторы.

Глава 1. Алгебра и группы.

§1 Определение группы.

Определение. Алгебру Аó<А; •> называют полугруппой, если операция • на А бинарна и ассоциативна. Другими словами, если:

1) а•b = с;

2)) (а•b)•с = а•(b•с).

Полугруппу А = <A;•> называют коммутативной, если операция • коммутативна, и конечной, если множество А конечно. Полугруппу <А;•> называют полугруппой с сокращением, если

Таким образом, полугруппа <A; +> — полугруппа с сокращением, если

Теорема. В любой полугруппе Аó<А;+> с сокращением имеется не более чем один элемент такой, что

* + * = *.

Доказательство. Предположим, что для элементов * и

полугруппы А

*+* = *^.

Тогда

(* + *) + = * + ( + ).

Отсюда следует, что

* = .

Определение. Полугруппу Аó<А; •> называют группой, если

^ .

Определение. Пусть Аó<A;•> — полугруппа и — подмножество A; тогда систему ó<;•> называют подполугруппой (соответственно подгруппой)полугруппы А, если система — полугруппа (соответственно группа). Другими словами, если подмножество множества А образует полугруппу (группу) относительно той же операции, которая рассматривается в A, то систему А' называют подполугруппой (подгруппой) полугруппы А.

§2 Полукольца и кольца.

Определение. Алгебру Аó<A; +, •> называют полукольцом, если <A;+> — коммутативная полугруппа с сокращением, <A; •> —полугруппа и операции + и • связаны законом дистрибутивности.

Другими словами, система Аó<A; +, •> — полукольцо, если отношения + и • — бинарные операции на А, удовлетворяющие следующим условиям:

(a+b)+c = a(b+c);
a+b = b+a;
(a+x = b+x ⇒a=b) ^ (x+a = x+b ⇒ a = b);
(a•b)•c = a•(b•c);
((a+b)•c = ac+bc) ^ (c•(a+b) = ca+cb).

Полукольцо <A; +, •> называют коммутативным, если операция • коммутативна, — конечным, если множество A конечно.

Элемент 0 полукольца Аó<A; +, •> называют нулем полукольца А, если а+0 = 0+а = а.

Элемент e полукольца Аó<A; +, •> называют единицей полукольца А, если и а•e = e•а = а.

Таким образом, нуль полукольца — нейтральный элемент сложения, а единица — нейтральный элемент умножения.

Определение. Полукольцо Аó<A; +, •> называют кольцом, если .

Другими словами, полукольцо А — кольцо, если, его аддитивная полугруппа — группа.

[Нечаев В.И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. институтов. –М.: Просвещение, 1975 г., 189 с.]

§3 Понятие векторного пространства.

Определение. Векторным пространством над полем К называют аддитивную группу Е, для которой определено отображение (х, λ)λх произведения ЕК в Е, удовлетворяющее следующим условиям:

(λμ)x = λ(μx) для всех λ, μК и хЕ;

1х = х для всех хЕ;

λ(х+у) = λх+λу для всех λ, μК и х, уЕ;

(λ+μ)х = λх+μх для всех λ, μК и хЕ.

Элементы векторного пространства над К называются его точками или векторами, а элементы поля К — скалярами. Отображение Е в Е, при котором все векторы хЕ умножаются на один и тот же скаляр λ, называется гомотетией с коэффициентом гомотетии.

Отметим некоторые простые свойства векторных пространств, непосредственно вытекающие из условий 1—4 определения векторного пространства.

1° λ(х-у) = λх-λу для всех векторов х, у и скаляров λ.

Действительно, в силу условия 3, λх = λ((х-у)+у) = λ(х-у)+λу.

2° (λ-μ)х = λх-μх для всех векторов х и скаляров λ, μ.

Из 1° следует, в частности,

3° λ0 = 0 для всех скаляров λ.

В самом деле, λ0 = λ(х-х).

Аналогично из 2° следует

4° 0х = 0 для всех векторов х.

Имеет место и свойство, обратное свойствам 3°-4°:

5° Если λх = 0, то λ = 0 или х = 0.

Действительно, при λ в силу условий 2 и 1 и свойства 3° имеем: х = 1х = ()х = = = 0.

6° (-1)х = -х для всех векторов х.

В самом деле, в силу условий 2 и 4 и свойства 4°

х+(-1)х = 1х+(-1)х = (1+(-1))х = 0х = 0.

7° nx = x+…+x для всех векторов х и натуральных чисел n.

[Райков Д.А. Векторные пространства. –М.: Государственное издательство физико-математической литературы., 1962. -211с.]

§4 Понятие евклидового и унитарного пространства.

Определение. Линейное пространство V называют евклидовым пространством, если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, уV поставлено в соответствие действительное число (x, у), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:

а) (x, у) = (у, x);

б) (x + у, z) = (x, z) +(у, z);

в) (λх, у) = λ(x, у), λR;

г) (x, x)0, причем (x, х) = 0 лишь в случае, когда х = 0.

Скалярное произведение часто обозначают так же, как и произведение чисел, т.е. вместо (x, у) пишут ху. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом (по аналогии с квадратом числа).

[Канатников А.Н. Линейная алгебра. –М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -335с.]

Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре векторов х, у из U поставлено в соответствие комплексное число (х,у), называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие аксиомы:

(х, у) =,
(λx, y) = λ(x, y),
(x+y, z) = (x, z)+(y, z),
(x, x)0 при x0; (0,0) = 0

для произвольных векторов х, у, z из U и произвольного комплексного числа λ.

Черта в первой аксиоме означает комплексное сопряжение. Это единственное отличие от аксиом евклидова пространства. Так, например, если в евклидовом пространстве имеет место равенство (х, λу) = λ(х, у), то в унитарном пространстве (х, λу) =(х, у).

[Воеводин В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.]

§5 Понятие алгебры.

Определение. Алгеброй называется упорядоченная пара A = (А, Ω), где A—непустое множество и Ω—множество операций на A.

Таким образом, алгебра A определяется двумя множествами:

a) непустым множеством A, обозначаемым также через |A|; это множество называется основным множеством алгебры A, а его элементы — элементами алгебры A;

b) множеством операций Ω, определенных на A и называемых главными операциями алгебры A.

Если (A, Ω) — алгебра, то говорят также, что множество A есть алгебра относительно операций Ω.

Наиболее частым является случай, когда множество Ω конечно, т. е. Ω = {, ..., }. В этом случае вместо записи

A = <A, {, ..., }>

обычно употребляется запись

A = <A, , ..., >.

Алгебра матриц. Пусть F — поле скаляров.

Определение. Алгебра <V, +, {}, •> называется линейной алгеброй, если бинарные операции +, • и унарные операции удовлетворяют следующим требованиям:

1) алгебра <V, +, {}> есть векторное пространство над полем F;

2) выполняются условия билинейности, т. е.

(a+b)c = ac+bc, c(a+b) = ca+cb, (ab) = (a) = a(b)

для любых a, b, сV и любого λF.

Пример: Пусть — множество всех nm-матриц над полем. Алгебра

<, +, {}, •>,

где — унарная операция умножения на скаляр λ, является линейной алгеброй над полем F ранга . Она называется полной матричной алгеброй над полем F. Ее ранг равен .

Алгебра операторов. Множество L(V) всех линейных операторов на векторном пространстве V само является векторным пространством размерности dimL(V) = .

Линейный оператор A на V полностью определяется своим действием на элементы хV. Вспоминая принципы композиции отображений, мы полагаем, что (А+В)х = Aх+Вх, (λA)х = λ(Aх), (AВ)х = A(Вх) (таким образом, композиция А◦В обозначается просто "приписыванием" А к В). Из этого определения непосредственно вытекают соотношения

α(А + В) = αА + αВ,

(α + β)А = αА + βА, (1’)

(αβ)А = α(Аβ),

1•А = А;

А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность),

A(B + C)=AB + AC, (1’’)

(A + В)С = AС + ВС (дистрибутивность);

λ(АВ) = (λА)В =A(λB). (1’’’)

Мы видим, что множество линейных операторов L(V) является одновременно векторным пространством над полем R (первые четыре соотношения (1’)) и ассоциативным кольцом (следующие три соотношения (1’’)); последнее соотношение (1’’’) смешанного типа устанавливает дополнительную закономерность между умножением на скаляры и композицией операторов.

Определение. Кольцо К, являющееся одновременно векторным пространством над полем R таким, что λ(аb) = (λа)b = а(λb) для всех λR, а, bК, называется алгеброй над R. Размерность Кb как векторного пространства называется размерностью алгебры К над R. Всякое векторное подпространство LК, замкнутое относительно операции умножения в К (L•LL), называется подалгеброй алгебры К.

Говоря об алгебрах, имеют в виду преимущественно ассоциативные алгебры (ab)c = а(bс) с единицей 1: 1•х = х, хК. Именно такой является алгебра L(V) линейных операторов на V.

[Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. –М.: Физико-математическая литература, 2000. -367с.]

Глава 2. Общая теория линейных операторов.

§1 Линейные операторы.

Определение. Всякая функция, действующая из пространства в , называется оператором.

Определение. Оператор(преобразование) А: называется линейным, если выполнены следующие условия:

1) для любых двух векторов и из ;

2) для любого вектора из и произвольного числа αR.

Линейный оператор А:, который осуществляет отображение линейного пространства V в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства V и говорят, что линейный оператор А действует в линейном пространстве V.

Условия 1), 2) определения 2 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так: для любых х и и любых действительных α и µ

(*)

Из определения линейного оператора вытекает, что для любого линейного оператора А: образом А0 нулевого вектора в является нулевой вектор 0' в : А(0) = 0'.

Действительно,

А0 = А(0*0) = 0(А0) = 0'.

Отметим, что для того, чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия 1), 2) определения линейного оператора или комбинированное условие (*). Нарушение любого из этих условий означает, что отображение не является линейным. Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное). [Канатников А.Н. Линейная алгебра. -М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. -128с.]

Определение. Поставим в соответствие каждому вектору х этот же вектор х. Мы получим линейный оператор Е, действующий из V в V. Этот оператор называется тождественным или единичным оператором. По определению

x = Ex.

Определение. Пусть имеется некоторый линейный оператор А, действующий из пространства в пространство . Построим новый оператор В согласно предписанию Вх = -Ах. Полученный оператор В также является линейным оператором, действующим из в Он называется оператором, противоположным оператору А.

Определение. Зафиксируем, произвольное число α и каждому вектору хV поставим в соответствие вектор αхХ. Построенный таким способом оператор будет линейным оператором. Он называется скалярным оператором. При а = 0 мы получаем нулевой оператор, при а = 1 - тождественный.

Примеры:

Пусть F – векторное пространство. Функция I: FF такая что является линейным оператором.

Действительно, и (*) выполнено.

В пространстве свободных векторов на плоскости поворот вектора на заданный угол φ против часовой стрелки представляет собой отображение в себя, являющееся линейным оператором. Линейность отображения вытекает из геометрических соображений. Во-первых, сумма свободных векторов может вычисляться по правилу параллелограмма, но тогда сумма двух векторов как диагональ параллелограмма при повороте векторов на угол φ также повернется на этот же угол. Во-вторых, умножение свободного вектора на число означает изменение его длины и, возможно, изменение его направления на противоположное. Можно сначала умножить вектор на число, а потом повернуть на угол φ, а можно выполнить эти две операции в обратном порядке, т.е. повернуть вектор, а затем умножить его на число. Результат в обоих случаях будет один и тот же.
Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы длиной n, и квадратную матрицу А порядка n. Отображение А:, которое столбцу х ставит в соответствие столбец Ах (Ах = Ах), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц: где α, μ, x, y .

Имеет место одна характеристическая особенность линейного оператора

для любых векторов и чисел .

[Воеводин В.В. Линейная алгебра. –М.: Наука, 1980. -400с.]

§2 Действия с линейными операторами.

Предполагается, что все рассматриваемые операторы действуют в некотором фиксированном линейном пространстве V над полем P.

Определение. Суммой линейных операторов А, В называется оператор А+В действующий в пространстве V по правилу (А+В)х = Ах+Вх для любого хV.

Покажем что оператор А+В является линейным.

Действительно, x, yV, α, βP

(A+B)(αx+βy) = A(αx+βy)+B(αx+βy) = αAx+βAy+αBx+βBy = α(Ax+Bx)+β(Ay+By) = α((A+B)x)+β((A+B)y).

Определение. Произведением линейного оператора А на число λР называется оператор λА, действующий в пространстве V по правилу (λА)х=λ(Ах) для любого хV. [Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. –М.: Вузовская книга, 2005. -211с.]

Произведение линейного оператора на число является линейным оператором. Это вытекает из соотношений

(λА)(x+y) = λА(x+y) = λАx+ λАy = (λА)x+(λА)y,

(λА)(μx) = λ(А(μx)) = λ(μAx) = (λμ)(Ax) = μ(λA)x,

выполняющихся при любых x,yV и μР.

[Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. –М.: Финансы и статистика, 2003. -576с.]

Определение. Оператор –А = (-1)А называется противоположным оператору А.

Очевидно, что А+(-А)=0.

Отметим следующие свойства операций сложения линейных операторов и умножения линейного оператора на число:

Для любых линейных операторов А, В выполняется равенство А+В = В+А.

Доказательство. Пусть хV, тогда (А+В)х = Ах+Вх = Вх+Ах = (В+А)х.

В силу произвольности элемента х, А+В = В+А.

Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (А+В)+С = А+(В+С).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((А+В)+С)х = (А+В)х+Сх = Ах+Вх+Сх = Ах+(В+С)х = (А+(В+С))х.

В силу произвольности элемента х, (А+В)+С = А+(В+С).

Для любого линейного оператора А выполняется равенство

А+0 = А.

Для любого линейного оператора А существует такой линейный оператор В, что А+В = 0;
Для любого линейного оператора А и любых α, βР выполняется равенство (α+β)А = αА+βА.

Доказательство. Пусть хV, тогда ((α+β)А)х = (α+β)(Ах) = α(Ах)+β(Ах) = (αА)х+(βА)х = (αА+βА)х.

В силу произвольности элемента х, (α+β)А = αА+βА.

Для любых операторов А, В и любого αР выполняется равенство α(А+В) = αА+αВ;

Доказательство. Пусть хV, тогда (α(А+В))х = α((А+В)х) = α(Ах+Вх) = α(Ах)+ α(Вх) = (αА)х+(αВ)х = (αА+αВ)х.

В силу произвольности элемента х, α(А+В) = αА+αВ

Для любого линейного оператора А и любых α, βР выполняется равенство (αβ)А = α(βА);
Для любого линейного оператора А выполняется равенство 1•А = А.

Эти свойства вытекают из соответствующих аксиом линейного пространства.

Из свойств 1-8 следует, что множество всех линейных операторов, действующих в фиксированном линейном пространстве V, само образует линейное пространство.

Определение. Произведение оператора А на оператор В называется оператор АВ, действующий в пространстве V по правилу (АВ)х = А(Вх) для любого хV.

Другими словами, произведение операторов АВ определяется как композиция отображений.

Покажем, что произведение линейных операторов также является линейным оператором. Пусть α, βP, x, yV, тогда

(АВ)(αх+βу) = А(В(αх+βу)) = А(αВх+βВу) = αА(Вх)+βА(Ву) = α((АВ)х)+β((АВ)у).

Отметим следующие свойства операции произведения линейных операторов.

Для любых линейных операторов А, В, С выполняется равенство (АВ)С = А(ВС).

Доказательство. Пусть хV, тогда ((АВ)С)х = (АВ)(Сх) = А(В(Сх)) = А((ВС)х) = А(ВС)х.

В силу произвольности элемента х, (АВ)С = А(ВС).

Некоторые специальные виды линейных операторов 📙 Курсовая → 🆔 141795