Обзор инженерных методов расчета дебитов горизонтальных и вертикальных скважин

 

1. Краткий обзор инженерных методов расчета дебитов

 горизонтальных скважин.

 

При решении практических задач  проектирования и анализа разработки нефтяных месторождений одной из основных формул для оценки дебитов скважин является известная формула Дюпюи. Поэтому естественным образом возникает вопрос получения аналога формулы Дюпюи и для притока жидкости в горизонтальную скважину.

Рассмотрим задачу о квазистационарном  течении жидкости в пористой среде. Одиночная горизонтальная скважина длиной L дренирует область, ограниченную контуром питания с радиусом R_к. Толщина пласта - h, абсолютная проницаемость - K, динамическая вязкость жидкости - m, давление на контуре питания - p_к, давление на забое скважины - p_с, приведенный радиус скважины - r_с. Требуется определить дебит скважины.

Наиболее простое решение было предложено Ю.Т.Борисовым и В.П.Табаковым [1], [2].

Дебит горизонтальной скважины выражается формулой

    (1.1)

Первое слагаемое в знаменателе  отражает внешнее фильтрационное сопротивление, вторе слагаемое - внутреннее сопротивление скважины.

Внешне фильтрационное сопротивление  по форме совпадает с сопротивлением вертикальной скважины, отличаясь лишь тем, что вместо радиуса скважины r_с используется радиус r_экв = L / 4. Внутреннее сопротивление горизонтальной скважины принимается по методу эквивалентных фильтрационных сопротивлений Ю.П. Борисова [3] равным внутреннему сопротивлению батареи вертикальных скважин шириной L, расстояние между скважинами 2×d = h.

Формула (1.1) имеет тот недостаток, что вне зависимости от длины горизонтальной скважины контур питания предполагается радиальным. Точность данной формулы должна убывать с ростом отношения L/R_к.

 

 Для горизонтальной скважины контур нефтеносности должен иметь  эллипсообразный, а не круговой характер. С учетом этого Giger F. [4] представил формулу притока в горизонтальную скважину в виде

    (1.2)

где R_к - большая полуось эллипса, являющегося контуром питания.

Joshi S. [5] в развитие формулы (1.2) получил выражение

    (1.3)

где           (1.4)

есть большая полуось эллипса, равновеликого по площади кругу  с радиусом дренирования R_к. Есть некоторое различие в определении внутреннего сопротивления горизонтальной скважины в формулах (1.3) и (1.1) - (1.2). В формуле (1.3) внутреннее сопротивление несколько выше, чем в формулах (1.1) и (1.2). По методу эквивалентных фильтрационных сопротивлений более правильно отражают внутреннее сопротивление формулы (1.1) и (1.2).

Еще одна формула предложена в работе Renard G., Dupuy J. [6].

    (1.5)

где x = 2a / L и a вычисляются по формуле (1.4).

Формула (1.5) по внешнему фильтрационному  сопротивлению совпадает с формулой (1.3), а по внутреннему сопротивлению - с формулами (1.1) и (1.2).

Формулы (1.1) - (1.5) соответствуют случаю изотропного по проницаемости пласта.

С учетом анизотропии по проницаемости Joshi [5] предложена формула

 

    (1.6)

где   - коэффициент анизотропии;

K_г - проницаемость пласта в горизонтально направлении;

K_в - проницаемость по вертикали.

Формула Renard, Dupuy [6] для анизотропного пласта

    (1.7)

где 

Эта формула отличается от (1.6) расчетом внутреннего сопротивления скважины.

В работе Economides M. [7] дана поправка к формуле (1.6)

   (1.8)

Показано [8], что для больших значений коэффициента анизотропии формулы (1.7) и (1.8) являются более точными в сравнении с (1.6).

Для формул (1.2) - (1.8) имеют место некоторые ограничения.

В случае анизотропных пластов формулы пригодны при  выполнении ограничений

L > h,        (1.9)

Для анизотропных пластов, помимо указанных, должно выполняться условие

L > b × h      (1.10)

Формулы (1.1) - (1.8) относятся к расчетам дебита, когда горизонтальная скважина находится в центре пласта относительно кровли и подошвы. Для случая асимметричного расположения скважины относительно кровли и подошвы пласта Joshi [5]

предложена формула

   (1.11)

 

где d - расстояние по вертикали от центра пласта до горизонтальной скважины. При d = 0 формула (1.11) переходит в (1.6).

Опираясь на точное решение П.Я. Полубариновой-Кочиной [9], Меркуловым В.П. [10] получена приближенная формула

  (1.12)

где    ;   ;  

;  ;  .

 

Среди полуэмпирических формул, использующих принцип добавочного фильтрационного сопротивления, отметим формулу Евченко В.С. [11]

     (1.13)

где   

при     ; 

 

Отличительная особенность формул (1.11) - (1.13) в том, что они учитывают асимметричность скважины относительно толщины пласта.

 

2. Сопоставительный  анализ формул притока

 в горизонтальные скважины

 

На предварительном  этапе проектирования, технико-экономического обоснования целесообразности бурения горизонтальных скважин во многих случаях достаточно воспользоваться приближенными расчетами по приведенным выше формулам.

Однако, ввиду  множества формул, возникает задача их сопоставления с целью выявления  диапазона применимости в практических расчетах.

С этой целью  составлена программа расчетов на ПЭВМ по каждой из представленных формул. Сопоставление ведется в относительных величинах q_г/q_в, где q_г - дебит горизонтальной скважины, q_в - дебит вертикальной скважины, определяемый по формуле Дюпюи

    (1.14)

Сопоставление расчетов по формулам для изотропного прласта можно сделать по таблице 1.

Поскольку при  взятии отношения дебитов многие параметры взаимно сокращаются, основными параметрами, определяющими величину отношения дебитов q_г/q_в остаются толщина пласта h, длина горизонтальной скважины L, радиус контура питания R_к. В таблице отражены результаты расчетов для h = 5м, h = 10м, h = 50м.  По  радиусу контура питания рассматривались варианты R_к = 100; 200; 500; 1000 метров.

Варианты по длине горизонтальной скважины L отвечают ограничениям (1.9).

Анализ таблицы  показывает, что наиболее близкие  результаты получаются по формулам Борисова-Табакова (1.1) и Renard, Dupuy (1.5). Расхождение результатов по этим формулам имеет место только для случаев L>R_k. Этого следовало ожидать, поскольку погрешность формулы (1.1), как было указано выше, возрастает с ростом отношения L/R_k.

Формула Joshi (1.3) дает несколько заниженные показатели, поскольку в ней внутреннее фильтрационное сопротивление горизонтальной скважины завышено, а формула Giger (1.2), наоборот, дает завышенные значения отношения q_г/q_в, поскольку в этой формуле занижается внешнее фильтрационное сопротивление для горизонтальной скважины.

 

 
 
 Сравнительно неплохо согласуются и результаты расчетов по формуле Меркулова (1.12). Для этой формулы отношение дебитов q_г/q_в постоянно выше, чем по формуле (1.5).

И совсем не согласующиеся  результаты получаются по формуле Евченко (1.13). Они сильно занижаются по сравнению  с другими формулами. Возможно, причиной является ошибка в формуле, допущенная в первоисточнике [11].

 В работе [7] для исходных данных h = 272 фута, L = 774 фута, R_к = 645фута, r_c=0,33 фута приводится значение отношения q_г/q_в, полученное в результате численного моделирования. Используя данное решение в качестве эталонного, была проверена точность инженерных формул (1.1) - (1.5), (1.12), (1.13).

Результаты представлены в таблице 2. По эталонному решению  значение отношения дебитов q_г/q_в при указанных исходных параметрах составляет 2,51. Наименьшее отклонение от эталонного значения достигается при вычислении дебита горизонтальной скважины по формуле Renard, Dupuy (1.5), наибольшее - по формуле Евченко (1.13). Промежуточное положение занимают формулы (1.1), (1.13), (1.2) и (1.3).

Таким образом, на основании данных таблиц 1 и 2 можно  сделать вывод, что наиболее точной инженерной формулой расчета дебита горизонтальной скважины является (1.5). Можно рекомендовать также формулу (1.1), дающую близкие результаты к (1.5).

 

 

3. Исследование  влияния на дебит горизонтальной  скважины параметров пластовой  системы и длины ствола.

 

Влияние на дебит  горизонтальной скважины таких параметров как толщина пласта h, длина ствола L, радиус контура питания R_к можно проанализировать на основании таблицы 1. Из таблицы 1 однозначно следует, что при прочих равных параметрах с ростом толщины пласта преимущество горизонтальной скважины перед вертикальной по дебиту падает. Для пластов большой толщины (50 и более метров) вертикальная скважина по дебиту может оказаться эффективней горизонтальной.

 

 
 Влияние длины горизонтального  ствола однозначно - чем больше длина  ствола, тем больше дебит горизонтальной скважины. Однако зависимость дебита от длины L отнюдь не линейна.

К примеру, при  толщине пласта h =10 м и радиусе контура питания R_к = 500 м дебит горизонтальной скважины длиной L = 50 м превышает дебит вертикальной скважины в 2 раза, а при длине L = 500 м - в 5,9 раз. Таким образом, увеличение длины горизонтальной скважины в 10 раз приводит к увеличению дебита всего лишь в 2,95 раза. Это обстоятельство должно учитываться при технико-экономическом обосновании длины горизонтальной скважины в каждом конкретном случае проектирования.

Рассмотрим влияние  на эффективность горизонтальной скважины коэффициента анизотропии пласта по проницаемости .

Для анизотропного  пласта по особому считается не только дебит горизонтальной скважины, но и вертикальной.

Вместо формулы  Дюпюи для вертикальной скважины будем иметь

 

,    (1.15)

где           (1.16)

- эквивалентный радиус скважины.

Расчеты отношения дебитов q_г/q_в для анизотропных пластов представлены в таблице 3.

Толщина пласта принята равной h =10 м, радиус контура питания R_к = 500 м, длина скважины L = 300 м.

Расчеты выполнены для отношения  проницаемостей K_г/K_в = 10;5;2;1;0,5;0,2;0,1.

Для расчета дебита горизонтальной скважины использовались формулы (1.6), (1.7), (1.8) и (1.13).

 

 
 Поскольку формула Renard, Dupuy (1.7) является наиболее точной из них, достаточно проследить за изменением отношения q_г/q_в в зависимости от значения K_г/K_в на основе этой формулы.

Для изотропного пласта (K_г/K_в =1) отношение дебитов равно q_г/q_в = 4,28.

Для анизотропного пласта для случаев K_г/K_в > 1 отношение дебитов q_г/q_в возрастает, а при K_г/K_в < 1 - убывает.

Так, например, для отношения K_г/K_в = 10 отношение дебитов равно 11,84 , для случая K_г/K_в = 0,1 составляет 1,38.

Анализ показывает, что столь  резкое влияние анизотропии на отношение  дебитов горизонтальной и вертикальной скважин обусловлено в большей мере сильной зависимостью дебита вертикальной скважины от показателя анизотропии по формуле (1.15). Дебит же горизонтальной скважны по формуле (1.7) зависит от анизотропии не так существенно.

Для сравнения в таблице 3 представлены отношения дебитов q_г/q_в для тех же значений коэффициента анизотропии при расчетах дебита горизонтальной скважины с учетом влияния анизотропии, а дебита вертикальной скважины по формуле (1.14) - без учета анизотропии. Сопоставление показывает, насколько можно исказить результаты, если при расчете дебита вертикальной скважины анизотропию не учитывать.

Из данных таблицы 3 следует основной вывод - эффективность горизонтальной скважины по отношению к вертикальной в анизотропном пласте выше, чем  в изотропном при K_г/K_в>1 и ниже при K_г/K_в < 1. Поэтому учет влияния анизотропии является обязательным при технико-экономическом обосновании варианта разработки.

Были выполнены расчеты и  по оценке влияния асимметричности  расположения горизонтальной скважины относительно кровли и подошвы пласта.

Наибольший дебит по формулам (1.11), (1.12) и (1.13) имеет горизонтальная скважина, расположенная в центре пласта относительно кровли и подошвы. Со смещением скважины в сторону кровли или подошвы дебит горизонтальной скважины снижается. Наименьший дебит будет иметь скважина, примыкающая к кровле или подошве. К сожалению, формулы не учитывают гравитационных эффектов и дают одинаковый результат для скважин, примыкающих как к кровле, так и подошве пласта.

 

4. создание инженерной методики расчета

 нестационарного  притока в горизонтальную скважину

 

Одним из основных недостатков инженерных формул притока жидкости в горизонтальную скважину является то, что они отражают лишь стационарный потенциальный дебит скважины. Указанное обстоятельство не позволяет непосредственно применять их к решению промысловых задач, связанных с оценкой динамики дебитов в процессе разработки.

В данном разделе нами предлагается приближенная методика расчета динамики дебита горизонтальной скважины на основе формул притока для стационарного течения. Основная идея состоит в следующем.

1. Предполагаем, что за каждый фиксированный отрезок времени Dt имеет место стационарный режим притока при фиксированном перепаде давления Dp = p_к - p_с = const.
2. По истечении времени Dt происходит скачок изменения давления, который определяется на основе уравнения материального баланса для упругого режима разработки пласта.
3. Скачок перепада давления определяет дебит скважины на очередном отрезке времени Dt. Затем повторяется расчет перепада давления и так далее.

Излагаемый ниже алгоритм решения  одинаково применим как к вертикальным., так и к горизонтальным скважинам.

Пусть в области, ограниченной контуром питания радиуса R_к, пущена в эксплуатацию вертикальная или горизонтальная скважина с постоянным забойным давлением p_с.

Если на контуре питания поддерживать постоянное давление p_к = const., инженерные формулы дают стационарный приток жидкости в скважину q = const.

Для расчета нестационарного притока  будем использовать переменное давление p_к(t), в качестве которого принимается среднее значение пластового давления в области фильтрации.

Пусть в начальный момент времени t = 0 среднее давление в пласте равнялось p(0) = const.

 

1) Расчет дебита  на любом отрезке времени осуществляется по формулам:

для вертикальной скважины

    (4.1)

для горизонтальной скважины

   (4.2)

Для первого отрезка времени, когда t = Dt, в качестве p_к(t) принимается начальное давление p(0).

2) В конце рассматриваемого отрезка времени из уравнения объемного баланса при упругом режиме определяем новое значение среднего давления в пласте

    (4.3)

где

q(t) - дебит вертикальной или горизонтальной скважины, определяемый по формуле (4.1) или (4.2);

- объем пласта;

- коэффициент упругоемкости  пласта;

p_к(t) - среднее давление в пласте на предшествующем шаге времени;

p_к(t + Dt) - давление в пласте для расчета дебита на очередном шаге времени;

q_к(t) - объемная скорость вторгаемой через контур питания жидкости.

При q_к(t) = 0 имеем замкнутую залежь. В этом случае падение давления в пласте полностью определяется значением коэффициента упругоемкости.

При 0 < q_к(t) < q(t) вторжение меньше отбора и среднее пластовое давление будет падать. При q_к(t) > q(t) вторжение (закачка) превышает отбор и среднее давление в пласте будет расти.

Учет притока жидкости в область  через контур питания можно задать фиктивной суммарной закачкой жидкости в пласт через фиктивные нагнетательные скважины, расположенные на контуре питания.

При реализации алгоритма рассматривались  следующие законы вторжения жидкости:

1) q_k(t) = 0 - замкнутая залежь;

 

2) q_k(t) = a×q(t), где a = 0,1; 0,2;.....0,9.

В данном варианте вторжение (закачка) ниже отбора, т.е. отбор не компенсируется закачкой.

В качестве q(t) принимается либо дебит горизонтальной скважины, либо вертикальной.

Результаты расчета падения  дебита вертикальной скважины по жидкости при различных значениях компенсации отбора закачкой представлены на рис.1 и в таблице 4.

Рассматривались варианты, когда коэффициент  компенсации a = 0; 0,1; 0,3; 0,6;  0,9.

При отсутствии компенсации (a = 0) дебит скважины, как и следовало ожидать, падает очень быстро, срок разработки, определяемый предельным уровнем рентабельного дебита, будет недолгим.

С ростом значения a падение дебита замедляется, срок рентабельной эксплуатации скважины растет.

Аналогичные результаты по горизонтальной скважине при тех же значениях  параметров пластовой системы представлены на рис. 2 и в таблице 5.

Характер зависимости падения  дебита при различных значениях  коэффициента a остается таким же, как и для вертикальной скважины.

Имеется однако существенная особенность. Если сравнивать поведение падения  дебита при фиксированных значениях a = const, то сразу бросается в глаза разница в интенсивности падения дебита для горизонтальной и вертикальной скважин. Горизонтальная скважина, имея высокий начальный дебит, истощает пласт более быстро и более резко теряет свой дебит. Рентабельный срок разработки для горизонтальной скважины намного меньше.

Все это иллюстрирует то, что замена вертикальной скважины горизонтальной приводит к интенсификации разработки рассматриваемого участка залежи.

Представленная методика расчета  динамики дебитов расширяет круг решаемых с применением инженерных формул задач проектирования и анализа.

Методика может быть уточнена с  учетом поправки, предложенной Э.Б. Чекалюком [3].

 

 
 
В упругом пласте в окрестности  скважины в начальный момент времени  образуется локальная депрессионная воронка, которая постепенно расширяется до контура питания. С учетом этого на первой стадии расчет дебита скважины предлагается вести по формулам:

для вертикальной скважины

,    (4.4)

где p_k = const. - давление в невозмущенной области,

,     (4.5)

где  - коэффициент пьезопроводности.

Если [К] - мкм², [m] - мПа×с, [b^*] - , то получим

  ^в

для горизонтальной скважины

,   (4.6)

где в выражении для (х) нужно  заменить R_k на текущий радиус R(t) по формуле (4.5).

Первый этап расчетов заканчивается  при выполнении условия R(t) ³ R_k, т.е. когда возмущение давления от скважины достигает контура питания.

Чем больше коэффициент  пьезопроводности c, тем быстрее распространение давления и короче продолжительность этапа.

На втором этапе  расчеты выполняются при условии R_k = const. с применением формул (4.1) - (4.3).

На рисунке 3 представлены результаты расчетов с поправкой Чекалюка.

Рис. 3а отражает скорость распространения депрессионной  воронки. В рассмотренном примере радиус депрессионной воронки достигает границы области R_k = 500 м за 730 суток.

На рис.3б сопоставляется характер падения давления в пласте с учетом и без учета поправки Чекалюка, а на рис. 3с представлено поведение дебитов. По методике  
 
 
Чекалюка в начальные моменты времени дебит скважины существенно выше, что и обусловливает более интенсивное падение давления.

Динамика дебита горизонтальной скважины при различных значениях компенсации отбора закачкой в области фильтрации представлена на рис. 4.

При q_k = 0 компенсации отбора нет, имеем самое интенсивное падение дебита.

Рассмотрены также  варианты компенсации

  (a = 0,6; 0,8; 0,9)

Естественно, поскольку дебит горизонтальной скважины больше дебита вертикальной (q_г> q_в), компенсации и для этих случаев падение давления и дебита скважины медленнее.

Те же результаты, что и на рис. 4, но только в цифровом выражении представлены в таблице 6.

В целом, по данному разделу следует  вывод, что представленная приближенная методика позволяет вести расчеты  дебитов горизонтальных и вертикальных скважин в динамике.

 

 

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИТОКОВ

В ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ СКВАЖИНЫ

ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

 

5.1. Вывод инженерных  формул притока при неизотермической  фильтрации

 

Для неизотермического  вытеснения, судя по литературным источникам, простых инженерных формул не найдено. Оно и понятно, поскольку для задач неизотермической и многофазной фильтрации невозможно представить решения в аналитическом виде, даже в упрощенной постановке. В общем случае для решения указанных задач необходимо использовать численные методы.

Тем не менее, в определенных случаях для неизотермической фильтрации может быть получено обобщение инженерных формул притока жидкости в горизонтальную скважину.

 

Рассмотрим сначала  нагнетание теплоносителя в вертикальную скважину. Допустим, что в результате нагнетания теплоносителя в пласте условно можно выделить две зоны - прогретая до температуры T_н = const. зона радиуса R_ф и непрогретая зона с начальной пластовой температурой T₀ = const, R_ф £ r £ R_к (см. рис. 5).

Положение радиуса фронта температуры R_ф определяется из уравнения теплового баланса, т. е. R_ф можно считать заданной величиной.

Считая сопротивление  вертикальной скважины как суперпозицию фильтрационных сопротивлений прогретой и холодной зон, получаем для дебита выражение

,    (5.1)

где  m (Т) - вязкость жидкости (нефти) при соответствующей температуре.

Для горизонтальной скважины получить аналог формулы (5.1) гораздо сложнее, так как в этом случае не только контур нефтеносности, но и фронт тепла имеет форму эллипса с полуосями а (большая полуось) и b (малая полуось). Вывод формулы для дебита основывается на использовании теории конформных отображений [12]. При конформном отображении функция Жуковского [12] переводит эллиптическую зону прогретой части пласта в окрестности горизонтальной скважины в круговую полосу. В новой плоскости характер прогретой зоны аналогичен случаю вертикальной скважины, и для дебита записывается аналог формулы (5.1)

,      (5.2)

где        ,               (5.3)

 

,         (5.4)

 .       (5.5)

Подставив (5.3) - (5.5) в (5.2) и учитывая внутреннее  сопротивление горизонтальной скважины, приходим к окончательному выражению

.            (5.6)

В формуле (5.6)

,                                    (5.7)

.              (5.8)

Формула (5.8) получена из условия равенства  объемов, занимаемых теплоносителем в пласте в случаях вертикальной и горизонтальной скважин. Это условие сводится к равенству

,

откуда  , что и дает (5.8).

При T_н = Т₀ выражение (5.6) переходит в формулу Renard, Dupuy или Joshi.

Аналогично, при  том же условии формула (5.1) для дебита вертикальной скважины переходит в обычную формулу Дюпюи.

Рассмотрим случай, когда для вертикальной и горизонтальной скважин одинаковы относительные объемы закачки теплоносителя на 1 метр длины вскрытого ствола. Тогда суммарные объемы вводимого в пласт тепла не совпадают. В этом случае при расчете дебита горизонтальной скважины в формуле (5.8) вместо R_ф следует использовать . В остальном порядок расчетов сохраняется.

 

Таким образом, если распределение температуры в пласте в какой-то момент времени можно представить в виде скачка, разделяющего пласт на две зоны, то приближенную оценку дебита горизонтальной скважины представляет формула (5.6).

Пусть в более  общем случае известна динамика температуры в пласте (сплошная линия на рис. 6). Всегда возможно перейти к кусочно-непрерывному распределению температуры и использовать аналог формулы (5.6).

Дебит вертикальной скважины будет  оцениваться по формуле

                              ,                                               (5.9) где R₀ = r_с, Т_к = Т₀, R_к - радиус контура питания.

Формула для дебита горизонтальной скважины приобретает  вид

                             ,                     (5.10) где      , i = 1, 2, ..., к.

 

5.2. Исследование влияния неизотермичности на дебиты

вертикальной и горизонтальной скважин

 

Отношение продуктивностей горизонтальной и вертикальной скважин в условиях неизотермической фильтрации сравнивалось с аналогичным отношением продук- 
тивностей при изотермическом вытеснении. Закачка теплоносителя в пласт в случаях горизонтальной и вертикальной скважин принималась одинаковой.

Рассматривался пример со следующими исходными данными:

толщина пласта h = 20 м;

радиус контура R_к = 400 м;

радиус скважины r_с = 0,1 м;

начальная пластовая температура    T₀ = 20° C;

температура прогретой части пласта T_н = 200° C;