Осесимметричная затопленная струя

Содержание

Условные обозначения, применяемые при расчете струи………..3

  1. Основные понятия в теории струйных течений………………..4
  2. Профили скорости в затопленной струе………………………..7
  3. Расширение турбулентной затопленной струи…………………9
  4. Линии равных значений скорости в затопленной струе……...10
  5. Изменение скорости вдоль оси затопленной струи…………..13
  6. Перенос тепла в затопленной струе…………………………….14
  7. Диффузия примесей в затопленной струе……………………..17
  8. Теория "пути смешения" Прандтля…………………………….19
  9. Общие зависимости, характеризующие осесимметричную

затопленную струю………………………………………….......21

  1. Пример расчета затопленной струи несжимаемой жидкости..23

Список литературы…………………………………………………40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Перечень условных обозначений

 

 –  радиус выходного  сечения сопла  или начального  сечения струи, м;

 –  радиус переходного  сечения струи, м;

 –  глубина полюса  струи, м;

, – продольная (от полюса вдоль оси струи) и поперечная координаты, м;

 –  местоположение переходного  сечения струи  (длина начального  участка струи), м;

 –  начальная скорость  в струе (скорость  истечения из сопла), м/с;

 –  скорость на оси  струи, м/с;

– средняя  арифметическая скорость, м/с;

 –  среднерасходная скорость, м/с;

 –  избыточная температура  в начальном сечении  струи, К;

 –  избыточная температура  на оси струи, К;

 – расход в сечении струи  в долях от его величины  в начальном сечении;

 – безразмерный запас энергии  в сечении струи;

 – безразмерная энергия  ядра постоянной массы струи;

 –  энтальпия в начальном сечении струи, Дж/кг;

 – энтальпия ядра постоянной массы струи, Дж/кг;

– избыточная средняя концентрация примеси в сечении  струи, кг/моль;

 –  избыточная средняя  концентрация примеси  в начальном сечении, кг/моль;

 –  избыточная средняя  концентрация примеси  на оси струи, кг/моль;

 – эмпирическая константа, характеризующая структуру струи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Задание

 

Произвести  расчет осесимметричной затопленной  струи с начальными параметрами:

 

 

  1. Краткие теоретические сведения
    1. Основные понятия в теории струйных течений

 

           Струйные течения используются в инженерной практике. Часто встречаются так называемые затопленные струи, когда вещество струи и вещество, заполняющее окружающее пространство, находятся в одинаковом фазовом состоянии, например, струя воздуха распространяется в неподвижном окружающем ее воздухе или в газе иного состава.

В случае, когда вещество струи и вещество окружающего пространства находятся в разных фазовых состояниях, естественной границей струи является граница раздела фаз. Здесь пригодным оказывается определение понятия струи, которое дается в теории струй идеальной жидкости: струи - это такие течения, которые частично ограничены твердыми стенками, а частично, так называемыми, свободными поверхностями тока, на которых давление постоянно. Подразумевается, что струя истекает в покоящуюся среду.

Данное  определение, как правило, непригодно для затопленных струй. В последнем  случае, более подходящим и общим, является следующее определение: струей называется поток вещества, перемещающийся по инерции в почти постоянном направлении на расстояние многих своих поперечных размеров.

Еще в XIX веке для расчета струй начали применять теорию потенциальных  течений идеальной (невязкой) жидкости. Этот подход сохранил свое значение и  успешно используется, когда граница  струи является границей раздела фаз. Схема такого течения показана на рис. 3.1а). Влево от точки В расположена твердая стенка, отделяющая движущую жидкость от покоящейся, вправо от точки В начинается граница струи (линия тока ), являющаяся поверхностью раздела фаз, свободной поверхностью тока и одновременно поверхностью тангенциального разрыва скоростей. В покоящейся жидкости давление постоянно, соответственно на свободной линии тока оно тоже постоянно.

 

Рис. 3.1. Схемы струйных течений

) Схема течения струи идеальной жидкости

б ) Схема течения струи вязкой жидкости

Из постоянства  интеграла Бернулли в потенциальном  потоке, следует постоянство скорости на свободной поверхности тока. В реальном струйном течении граница струи имеет более сложную структуру.

Реальные  жидкости и газы обладают вязкостью, поэтому по обе стороны раздела  фаз образуются вязкие струйные пограничные слои, в пределах, толщины которых происходит сравнительно плавное изменение скорости сред окружающего пространства и струи. Схема такого течения представлена на рис. 3.1б). На границе раздела фаз скорости по обе стороны от границы одинаковы вследствие условия прилипания. В непосредственной близости от кромки толщины пограничных слоев и невелики по сравнению с поперечным размером струи, и модель потенциального течения будет приемлемой. На большом удалении от кромки толщины пограничных слоев становятся соизмеримы с поперечным размером струи и в этом случае необходимо учитывать вязкие свойства среды.


Рис. 3.2. Схема струи с разделением на участки

 

Наиболее  простой случай струйного пограничного слоя имеет место при истечении жидкости с равномерным начальным полем скорости в среду, движущуюся с постоянной скоростью , так как при этом в начальном сечении струи толщина пограничного слоя равна нулю. Утолщение струйного пограничного слоя, состоящего из увлеченных частиц окружающей среды и заторможенных частиц самой струи, приводит с одной стороны к увеличению поперечного сечения, а с другой стороны к постепенному уменьшению потенциального ядра струи - области, лежащей между внутренними границами пограничного слоя. Схема струи с разделением на участки, предложенная Г. Н. Абрамовичем, изображена на рис. 3.2. Она остается одинаковой при ламинарном и турбулентном режимах течения.

Согласно  схеме струи (рис. 3.2), начальный участок струи состоит из ядра струи - 1 с постоянным значением продольной скорости и пограничным слоем 2, в котором продольная составляющая скорости меняется от значения в ядре струи до значения на внешней границе струи. Вниз по потоку пограничные слои утолщаются и в некотором сечении смыкаются. Здесь заканчивается начальный участок струи.

За начальным  участком следует небольшой протяженности  переходный участок 3, на котором происходит сравнительно быстрая перестройка потока и приобретение им свойств характерных для основного участка струи 4, который распространяется от границы переходного участка до бесконечности.

Как показывают многочисленные опыты, одним из основных свойств такой струи является постоянство статического давления во всей области течения (в некоторых случаях, например, при взаимодействии струи с каким-либо препятствием условие постоянства давления может нарушиться), вследствие чего скорость в потенциальном ядре струи остается постоянной. Размывание струи за пределами начального участка выражается не только в ее утолщении, но также и в изменении скорости вдоль ее оси.

На некотором  расстоянии от конца начального участка  струйное течение приобретает такой  же вид, как если бы течение жидкости происходило из источника бесконечно малой толщины (в осесимметричном случае источником служит точка, в плоскопараллельном случае — прямая линия, перпендикулярная плоскости растекания струи); этот участок струи называется основным. Между основным и начальным участком струи заключен переходный участок. Часто пользуются упрощенной схемой струи и полагают длину переходного участка равной нулю; в этом случае сечение, в котором сопрягаются основной и начальный участки, называют переходным сечением струи. Если в расчетах переходный участок учитывают, то переходное сечение считают совпадающим с началом основного участка.

Наиболее  изученным видом турбулентной струи  является затопленная струя, распространяющая в покоящейся среде. В дальнейшем рассмотрим этот вид струи.

 

    1. Профили скорости в затопленной струе

 

Характерной особенностью турбулентной струи, как  показывает теория и многочисленные опыты, является малость поперечных составляющих скорости в любом сечении  струи по сравнению с продольной скоростью. Следовательно, если ось совместить с осью симметрии потока, то составляющая скорости по оси окажутся настолько малыми, что в инженерных приложениях теории струи ими можно пренебречь.

На рис. 3.3 приведены кривые распределения составляющих скорости по оси в различных сечениях основного участка воздушной струи круглого сечения, вытекающей в неподвижный воздух (опыты Трюпеля). Начальная скорость струи равняется . Радиус начального сечения струи составляет . Определение профилей скорости производилось последовательно на следующих расстояниях от сопла: . Опыты Трюпеля, также как и исследования других ученых, свидетельствуют о непрерывной деформации скоростного профиля струи. Чем дальше от начала струи выбрано сечение, тем "ниже" и "шире" профиль скорости. К этому выводу мы приходим при построении скоростных профилей в физических координатах

 

 

Рис. 3.3. Распределение продольной скорости в различных сечениях

основного участка струи

 

 

 

    1. Линии равных значений скорости в затопленной струе

 

Пусть со стенки АО (рис. 3.4) сбегает со скоростью беспредельная в направлении оси у плоскопараллельная невозмущенная струя, и, начиная от точки О, смешивается с окружающей неподвижной жидкостью.

Рис. 3.4. Беспредельная в направлении y плоскопараллельная струя

 

Установленный выше закон прямолинейного возрастания  толщины пограничного слоя в сочетании с универсальностью скоростных профилей приводит к тому, что вдоль любого луча , проведенного из начала координат (последнее совмещается с точкой , где толщина пограничного слоя равна нулю), скорость остается постоянной. Исходя из этого вытекает равенство скоростей в сходственных точках потока, то есть при

имеет место

.

Откуда получаем, что на луче

                                                                          

выполняется условие .             

Таким образом, в турбулентном пограничном слое плоскопараллельного затопленного потока лучи, сходящиеся в точке, где толщина пограничного слоя равна , представляют собой изотахи (линии равных значений скорости). Данный результат относится не только к плоскопараллельному потоку, но в равной мере и к пограничному слою в начальном участке струи круглого сечения, поскольку опыты показывают, что и в этом случае поля скорости универсальны. Началом координат для изотах пограничного слоя в начальном участке струи служит выходная кромка сопла (при равномерном поле скорости в начальном сечении струи).

Следует отметить, что в начальном участке  струи изотахи, построенные для  физических и для безразмерных скоростей, совпадают, так как в ядре скорость по длине не меняется.

Форма изотах в основном участке затопленной  струи зависит от способа определения  безразмерной скорости. Для безразмерной скорости, полученной путем деления местной скорости на скорость истечения из сопла также как и для физической скорости изотахи основного участка образуют факел, изображенный на рис. 3.5.

 

 

Рис. 3.5. Изотахи безразмерной скорости

 

 

Для безразмерной скорости, вычисленной посредством  деления местной скорости на величину осевой скорости в соответствующем поперечном сечении изотахи основного участка представляют собой прямые линии, сходящиеся в полюсе струи (рис. 3.6).

 

Рис. 3.6. Изотахи безразмерной скорости

 

Данный  результат вытекает из того, что  указанная безразмерная скорость зависит  только от относительного положения  точки в поперечном сечении струи

.            

Вследствие  линейности закона утолщения струи вышеприведенная зависимость может быть приведена к виду:

,

чем и доказывается то, что изотахи для безразмерной скорости являются лучами, которые пересекаются в полюсе струи. Прямолинейность изотах для безразмерной скорости имеет место, как для осесимметричной, так и плоскопараллельной струи.

 

    1. Изменение скорости вдоль оси затопленной струи

 

Статическое давление в струе, как показывают опыты, практически неизменно и равно давлению в окружающем пространстве. Благодаря этому полный импульс секундной массы воздуха во всех сечениях струи должен оставаться одним и тем же:

                                                    ,   

где - масса, протекающая в единицу времени через элемент поперечного сечения струи; - плотность воздуха; - площадь элемента сечения струи.

 

 

Для струи круглого сечения условие  постоянства импульса можно записать следующим образом:

                                              ,            (1)

где - скорость в центре данного сечения струи; - расстояние от данного сечения до полюса струи; - текущий радиус; r - радиус внешней границы рассматриваемого сечения струи.

Вследствие  универсальности скоростных профилей безразмерная скорость в выбранной точке зависит только от безразмерной координаты луча , проведенного из полюса струи через эту точку:

.

Отсюда

.

В результате из равенства (1), получаем, что скорость в центре сечения осесимметричной затопленной струи обратно пропорциональна расстоянию от полюса:

                                                     .                                    (2)

Для плоскопараллельной затопленной струи постоянство  импульса приводит к соотношению:

,                    (3)

где b - полутолщина сечения струи. Вследствие универсальности профилей скорости

.

Поэтому закон падения скорости вдоль  оси плоскопараллельной струи имеет  следующий вид:                        

                                                             .                (4)

Константы пропорциональности в выражениях (2) и (4) определяются значениями интегралов из выражений (1) и (3), для вычисления которых нужно располагать законами распределения скорости в поперечных сечениях струй. В силу универсальности профилей скорости для этого достаточно определить распределение скоростей экспериментальным путем хотя бы в одном сечении основного участка струи. Недостатком выражений (2) и (4) является то, что расстояния отсчитываются от полюса струи, а не от ее начального сечения. Зависимости (2) и (4) хорошо согласуются с опытными данными.

 

    1. Перенос тепла в затопленной струе

 

В инженерной практике часто приходится иметь  дело с затопленной струей, температура  в которой отличается от окружающей температуры.

Решение задачи о переносе тепла из покоящегося  воздуха в струю (и обратно) возможно лишь, после того как станут, известны законы изменения температуры вдоль струи и в ее поперечных сечениях.

Введем  в рассмотрение избыточные температуры:

а) разность между температурой в  данной точке струи и в окружающем пространстве:

,

б) разность между температурой на оси струи и в окружающем пространстве:

,

в) разность между температурой в начальном  сечении струи (в устье насадка) и в окружающем пространстве:

.

Характер распределения избыточных значений температуры в затопленной  струе, как показывают опыты, аналогичен характеру распределения скорости.

На рисунке 3.7 нанесены безразмерные избыточные значения температуры в координатах  , полученные С.Б. Старком в различных поперечных сечениях основного участка осесимметричной воздушной струи, вытекающей в неподвижный воздух. В опытах Старка использовалось сопло диаметром , скорость истечения струи составляла и начальная избыточная температура в струе

Помимо значений температуры на рис. 3.7 нанесены, снятые в тех же сечениях скоростные поля. Очевидным является, что экспериментальные кривые безразмерной скорости и избыточной безразмерной температуры, полученные в одном и том же поперечном сечении затопленной струи, не совпадают.

Рис. 3.7. Профили безразмерной температуры и
скорости в сечении струи

 

Закон распределения  температуры вдоль оси основного  участка струи можно установить тем же методом, что и закон скоростей, с той лишь разницей, что вместо постоянства импульса надо использовать постоянство энтальпии струи. Постоянство энтальпии свободной струи, подсчитанной по избыточным значениям температуры, выражается следующим соотношением:

                                            .             (5)

Для струи круглого сечения получим:

                                             .               (6)

Отметим, что в различных поперечных сечениях струи, линии безразмерных изотерм, аналогично изотахам, являются прямолинейными лучами, пересекающимися в полюсе струи:

                                                     ,              (7) 

где - расстояние от полюса струи до рассматриваемого сечения; - расстояние до выбранной точки от центра сечения, где температура - .

 

Из условия (7) вытекает, что интеграл в соотношении (6) является постоянной величиной. Отсюда, учитывая зависимость (2), получим закон падения избыточной температуры вдоль оси струи круглого сечения:

                                                      .               (8)

Зависимость (8) совпадает с опытными данными. 

Докажем теорему о связи между средними температурами и средними скоростями. Из постоянства импульса в струе следует, что произведение секундной массы, протекающей через произвольное сечение струи, на некоторую среднюю скорость является постоянной величиной:

                                      , то есть .           (9)

В свою очередь, постоянство энтальпии указывает на то, что произведение массового расхода на среднюю избыточную температуру также не изменяется с переходом от сечения к сечения:

                                             , то есть .          (10)

Сравнивая между собой условия (9) и (10), обнаруживаем, что падение средней температуры вдоль свободной струи подчиняется тому же закону, что и падение средней скорости:

                                                  .            (11)            

Необходимо отметить, что условие (11), характеризующее соотношение средних величин, выполняется, несмотря на то, что температурные и скоростные профили в затопленной струе не подобны. Равенство (11) справедливо только для среднеквадратичной скорости, то есть в том случае, когда последняя получена путем осреднения по расходу:

; 
.

 

    1. Диффузия примесей в затопленной струе

 

Диффузия всякого рода примесей, находящихся иногда в струе во взвешенном состоянии, имеет много общего с распространением тепла.

На рис. 3.8 приведены профили безразмерной весовой концентрации углекислого газа, полученные Г.Н. Абрамовичем при экспериментальном исследовании основного участка плоскопараллельной струи углекислого газа, вытекающей в неподвижный чистый воздух:

,

где - весовая концентрация, то есть отношение весового содержания углекислого газа к весовому содержанию воздуха в единице объема в произвольной точке поперечного сечения струи; - весовая концентрация на оси струи; - расстояние от оси струи до точки измерения; - расстояние от оси струи до точки, в которой избыточная скорость вдвое меньше чем на оси.

Рис. 3.8. Профили безразмерной температуры, скорости и
весовой концентрации СО2 в сечении струи
 

 

 

В тех  случая, когда примесь имеется  и в окружающей среде, целесообразно  ввести в рассмотрение понятие избыточной концентрации - , означающую разность между местной концентрацией примеси в струе и концентрацией той же примеси вне струи. Очевидно, что избыточное содержание примеси, равно как и избыточное значение энтальпии, одинаково в различных поперечных сечениях струи:

 

Условия постоянства избыточного  содержания примеси, а также афинность полей концентрации в поперечных сечениях дают возможность найти закон изменения концентрации примеси по оси струи.

В основном участке осесимметричной струи при условии сохранения избыточного содержания примеси, имеем:

 

где - избыточная концентрация примеси струи. Ввиду универсальности законов распределения скорости и концентрации в поперечных сечениях струи интеграл, стоящий в левой части равенства (12) есть величина постоянная, поэтому с учетом (2) получаем:

 

то есть избыточная концентрация примеси на оси основного участка затопленной струи круглого сечения обратно пропорциональна расстоянию от полюса струи.

В случае плоской  струи постоянство избыточного  содержания примеси выражается равенства:

                                              .           (14)

Следовательно, аналогично предыдущим случаям можно  написать, что избыточная концентрация примеси по оси основного участка плоскопараллельной затопленной струи изменяется обратно пропорционально корню квадратному из рассеяния до полюса струи:

                                                       .                      (15)

 

 

 

 

Исходя  из того же условия сохранения избыточного  содержания примеси, получается, что  безразмерное значение средней по расходу  концентрации примеси равно безразмерному значению средней по расходу скорости, которая в свою очередь, как показано в предыдущем пункте, равно безразмерному значению средней избыточной температуры:

 

где - разность между средним по расходу значением концентрации в данном сечении струи и концентрацией той же примеси в окружающей среде .

Итак, поля безразмерных значений избыточной концентрации примеси  и избыточной температуры совпадают  между собой; это объясняется  тем, что механизм переноса тепла и примесей в турбулентном потоке один и тот же.

 

    1. Теория "пути смешения" Прандтля

 

В 1925 году Л. Прандтль предложил простую и наглядную модель переноса субстанции между слоями осредненного турбулентного движения. Модель Прандтля заключается в допущении о том, что вихревая масса во все время перемещения из начального слоя в конечный, сохраняет свое отличие в импульсе и только в момент смешения сразу теряет свою индивидуальность, вызвав тем самым в этом конечном слое возмущение в осредненной скорости. Это возмущение принимается пропорциональным расстоянию между начальным и конечным слоями и величине разности между осредненными скоростями в этих слоях . По мысли Прандтля, данное возмущение в осредненной скорости слоя является причиной возникновения в нем пульсационной скорости с проекциями и :

                                                       ~ ;  ~ .         (17)

Эта центральная  формула теории Прандтля приводит к  выражению касательной, составляющей напряжения в случае рассматриваемого простейшего прямолинейного сдвигового движения:

.

Если  условится понимать под  напряжение трения, приложенное к верхней границе слоя со стороны области больших скоростей ( >0) и, кроме того, ввести осредненную длину , то предыдущее выражение для примет окончательный вид:

.              (18)

Единственную  остающуюся здесь неопределенной величину l Прандтль назвал путем смешения. Чтобы не делать оговорки о знаке , Прандтль предложил предать формуле (30) вид:

                                                        .           (19)

Сущность теории свободной турбулентности Прандтля состоит в следующем. Ввиду отсутствия (для случая струи) стенок, вблизи которых путь смешения обычно уменьшается, предполагается, что в поперечном направлении путь смешения не изменяется:

                                                            .                      (20)

Итак, если струя распространяется в направлении  оси , то имеется зависимость: , что при подстановки в (19) дает:

                                                        ,                    (21)

где - единственная эмпирическая постоянная теории свободной турбулентности Прандтля. Используя выражение (21), можно получить уравнение двухмерного движения из теории свободной турбулентности Прандтля:

                                                  .          (22)

Осесимметричная затопленная струя 📙 Курсовая → 🆔 159221

Осесимметричная затопленная струя 📙 Курсовая → 🆔 159221

Осесимметричная затопленная струя