Основные понятия сферической геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный  гуманитарный университет»

 

 

 

Институт Математики Физики и Информационных Технологий

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

 

«Основные понятия сферической  геометрии»

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

студентка  3 курса 232 группы

Орехова М.П.

 

Проверил:

к.ф.-м.н., доцент

Тимошенко Т.А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск 2011

Содержание:

 

Введение…………………………………………………………………………2

Историческая  справка…………………………………………………………..3

ГЛАВА 1. Шар  и сфера…………………………………………………………7

1. Сфера, большая и малая окружности…………………………….7
2. Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере………9
3. Полюс и поляра…………………………………………………...11
4. Понятие движения………………………………………………..11
5. Угол на сфере……………………………………………………..13
6. Многоугольники на сфере……………………………………….16
7. Предмет сферической геометрии………………………………..19
8. Принцип двойственности………………………………………...19

ГЛАВА 2. Элементы сферической геометрии………………………………..21

              2.1 Полярные треугольники…………………………………………..21

              2.2 Равенство сферических треугольников………………………….23

              2.3 Равнобедренные сферические треугольники……………………25

              2.4 Площадь сферического треугольника…………………………...26

ГЛАВА 3. Тригонометрия  …………………………………………………….29

              3.1 Сферическая теорема косинусов…………………………………29

              3.2 Сферическая теорема синусов……………………………………33

              3.3 Формула пяти элементов…………………………………….........34

              3.4 Двойственная теорема косинусов………………………………...36

ГЛАВА 4. Применение сферической геометрии на практике……………….37

              4.1 Решение задач……………………………………………………...37

Заключение………………………………………………………………………41

Литература……………………………………………………………………….42

 

 

 

 

Введение

Еще древние  греки считали окружность (круг) и сферу (шар) идеальными формами. Подтверждение  этому можно наблюдать в природе: многие плоды и ягоды имеют  форму шара или близкую к ней, например арбуз, апельсин, смородина. Шаровидная форма используется в технике, например, в подшипниках. Во многих играх снаряд имеет форму шара: мяч в футболе, волейболе, гольфе, шар в  бильярде и др. Хорошо всем знакомый ёлочный  шарик — на самом деле сфера, так  как сделан из очень тонкого стекла и внутри пустой.

Форму шара имеет наша планета и  большинство космических тел. А  так как планеты, Солнце, Луна и  звёзды движутся по воображаемой «небесной  сфере», то естественно, для изучения их движения потребовалось знание геометрии  сферы.

При решении задач практического  характера и, в первую очередь, задач  астрономии возникла сферическая геометрия. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориентировались по звёздам.

Сведения о сфере были необходимы и при решении сугубо земных задач  — вычислении географических координат, для составления географических карт, для нахождения курса корабля.

В настоящее время, существуют различные  науки, в основе которых лежит  сферическая геометрия.

Например, математическая картография изучает способы отображения поверхности Земли на плоскости. Поскольку поверхность Земли (приблизительно сферическая) имеет конечную кривизну, её нельзя отобразить на плоскость с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей поверхностей. Можно сохранить только некоторые из этих соотношений. Важное понятие в математической картографии — картографическая проекция, то есть функция, задающая отображение географических координат точек на поверхности Земли на декартовы координаты на плоскости. Область картографии — составление и оформление карт.

Объектом исследования в моей курсовой является неевклидовая геометрия.

Целью является рассмотреть основные фигуры сферической геометрии и  их применение к решению задач.

Основными задачами является:

1. Изучить теоретические вопросы сферической геометрии;
2. Рассмотреть решение задач.

 

Историческая справка

Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова  геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения  геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур  и вместимости сосудов и амбаров  различной формы, т.е. объёмов различных  тел. Основным стимулом для возникновения  сферики было изучение звёздного  неба.

Наблюдение небесных светил производилось  ещё в Древнем Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления календаря. Вклад вавилонян в  развитии астрономии был более значителен: наблюдения затмений и звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. Древние греки познакомились  с вавилонской астрономией, по крайней  мере, в IV в. до н. э., когда первоначальные названия планет были заменены названиями планет по вавилонскому образцу, латинскими переводами которых являются общепринятые нами названия. Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции, как вавилонских астрономов, так и греческих геометров.

СферикаАвтолика. Первым античным математическим сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э. Предметом исследования этой книги является небесная сфера, рассматриваемая, однако, в весьма абстрактном виде. Книга Автолика состоит из 12 предложений. Определения относятся к равномерному движению. В предложении 1 доказывается, что если сфера равномерно движется вокруг оси, то все её точки, не лежащие на оси, описывают параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов перпендикулярны оси сферы. Под кругами здесь понимаются плоские фигуры, ограниченные окружностями, а под выражением «точка описывает круг» понимается то, что точка пробегает окружность круга.

Доказательства большинства предложений  этого трактата основаны на применении движения: предполагается, что утверждение  предложения неверно, производится поворот сферы и обнаруживается, что предложение противоречит тому, что получилось в результате поворота сферы.

Сферика Феодосия. Первое дошедшее до нас систематическое изложение сферической геометрии содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I вв. до н. э. «Сферика» Феодосия состоит из трёх книг, в первой из которых шесть определений и 23 предложения, во второй – одно определение и 23 предложения, в третьей – 14 предложений.

Определение Феодосия: «Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая, что все прямые, падающие на неё из одной точки внутри фигуры, равны между собой».

Большинство предложений «Сферики»  Феодосия – стереометрические теоремы  и задачи на построение. Когда Феодосий говорит о пересечении кругов на сфере под некоторым углом  или о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под данным углом или параллельность их плоскостей; когда он говорит о рассечении кругами на сфере друг друга пополам, он имеет в виду рассечение пополам плоских фигур.

Наряду со стереометрическими предложениями, сформулированные в терминах геометрии  на поверхности сферы. Например, предложения 20-21 из I книги – задача о построении большого круга на сфере, проходящего  через две точки ее поверхности, и задача о построении полюса данного  круга на сфере.

СферикаМенелая.Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О сфере» Менелая, жившего в конце I в. н. э. Сочинение Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках, лучшими из которых являются обработки Абу Насра ибн Ирака и Насир ад-Дина ат-Туси. «СферикаМенелая состоит из трёх книг, содержащих соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении к книге I Менелай даёт определение сферического треугольника («трёхсторонней фигуры»), т.е. части поверхности, ограниченной тремя дугами больших кругов, меньшими полукругами, и углов сферического треугольника. Если большинство предложений «Сферики» Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой по аналогии с планиметрией Евклида. Например, предложение 1 книги I – задача о проведении дуги большого круга под данным углом к данной дуге большого круга; предложения 2 и 3 книги I – теорема о равенстве углов при основании равнобедренного сферического треугольника и обратная ей. Из предложений, не совпадающих с предложениями планиметрии, отметим предложения 10 и 11, из которых вытекает, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов.

Теоремы Менелая: Особую роль в истории  сферической геометрии и тригонометрии  сыграло предложение 1 книги III сочинения  Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический  случай теоремы, называемой в настоящее  время «теоремой Менелая» или  «теоремой о полномчетырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем  на поверхности сферы дуги больших  кругов так, чтобы проведённые к  двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг  меньше полуокружности; то же будем  предполагать и для всех таких  построений. Я утверждаю, что отношение  прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения  прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»

Фламандский математик Альберт Жирар (1595-1632) первым выразил площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки, в статье «О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников,  открытой вновь», опубликованной в виде приложения к «Новому открытию вы алгебре».

Основные теоремы  сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоремой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема синусов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математиками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-диномат - Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

 

 

 

ГЛАВА 1. Шар и сфера

1. Сфера, большая и малая окружности

Сферой называется геометрическое место точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром.

Отрезок, соединяющий  центр сферы с какой-либо его  точкой, называется

радиусом сферы.

Отрезок, соединяющий две точки  сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что диаметр равен удвоенному радиусу. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью.

Пусть S-некоторая сфера с центром O радиуса R. Возьмём плоскость a, удалённую от точки O на расстояние, меньшее R. Тогда пересечения плоскости a и сферы S есть окружность. Радиус r этой окружности является катетом прямоугольного треугольника (рис.1), гипотенуза которого – радиус R, а второй катет – перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на плоскость. Поэтому в силу теоремы Пифагора r =

Рис. 1

Эта формула показывает, что величина r принимает максимальное значение r=R при h=0, то есть является диаметральной  плоскостью. В этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности играют роль прямых на плоскости. При h>0 мы имеем r<R, окружность на сфере называется в этом случае малой окружностью.

Так как через всякие три точки  пространства, не лежащие на одной  прямой, проходит единственная плоскость, то через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная диаметральная  плоскость. Поэтому через всякие две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными, проходит единственная большая окружность (рис.2). Этот факт вполне аналогичен тому, что на плоскости через всякие две точки проходит единственная прямая. Через две диаметрально противоположные точки сферы, напротив, можно провести бесконечное множество больших окружностей (рис.3). Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис.4). Здесь мы наблюдаем отличие сферической геометрии от плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Рис. 2                                               Рис. 3

Так как плоскость делит пространство на две области, то большая окружность делит сферу на две области (рис.2); эти области называются полусферами, а сама окружность – краем этих полусфер. Далее, так как две пересекающееся плоскости делят пространство на четыре области, то две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4). Наконец, так как три плоскости, пересекающиеся в одной точке, делят пространство на восемь областей, то три большие окружности, не пересекающиеся в одной точке, делят сферу на восемь областей (на рис.5) изображены восемь областей ABC, ABC¢, AB¢C, A¢BC, AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C, A¢B¢C¢, на которые делят сферу большие окружности AB, AC и BC, причём точки A¢,B¢,C¢ диаметрально противоположны точкам A,B,C и, следовательно, области ABC и A¢B¢C¢, ABC¢ и A¢B¢C, AB¢C и A¢BC¢, A¢BC и AB¢C¢ попарно диаметрально противоположны).

Рис. 4                                                 Рис. 5

Если первые два из этих свойств  аналогичны свойствам прямых на плоскости, которая делится на две области  прямой и на четыре области двумя  пересекающимися прямыми, то третье из указанных свойств не вполне аналогично соответствующему свойству прямых на плоскости, так как три попарно  пересекающиеся прямые, не проходящие все три через одну точку, делят  плоскость не на восемь, а на семь частей (рис.6).

Рис. 6

 

 

1.2 Сферический отрезок,  соединяющий две точки на сфере

Если две  точки сферы А и В не являются диаметрально противоположными, то существует единственная плоскость, проходящая через  центр сферы и эти две точки. Линия пересечения этой плоскости  со сферой есть большая окружность, а меньшую из двух дуг этой окружности, соединяющий точки    А и  В, является единственным сферическим  отрезком, соединяющим точки А  и В.

Если  точки А и В диаметрально противоположны на сфере, существует бесконечное число  больших окружностей, проходящих через  эти две точки, причем эти две  точки делят каждую такую большую  окружность на две полуокружности, которые являются сферическими отрезками, соединяющими точки А и В (см. рис).

Рис.7

Сферический отрезок обладает замечательным  минимальным свойством (как и  отрезок на плоскости).

Теорема(минимальное свойство сферического отрезка):

Сферический отрезок, соединяющий  две точки на сфере, короче любой  другой линии на сфере, соединяющий  эти две точки (рис.8).

 

Рис.8

 

 

 

3. Полюс и поляра

Всякой  большой окружности соответствует  две диаметрально противоположные  точки сферы, высекаемые из нее диаметром, перпендикулярным к плоскости большой  окружности. Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли, являются ее географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность , для которой точки А и В   являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряженной с каждым из ее полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряженными, если радиусы OP и OQ перпендикулярны (О- центр сферы) (рис.9). Понятно, что все точки поляры удаленны от своего полюса на расстояние, равное (или квадранту).

 

Рис. 9

 

1.4 Понятие движения

Движением сферы называется такое преобразование сферы, при котором сохраняется расстояния между точками. Иными словами, преобразование j сферы является движением, если для любых точек А,В сферы расстояние между точками j(А) и j(В) равно расстоянию между точками А и В. Так как две точки А и В в том и только том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2R (где R – радиус сферы), то из определения движения непосредственно следует, что при любом движении сферы диаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что движение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.

  Рис. 10                         Рис. 11

В качестве примера движения сферы  укажем поворот сферывокруг некоторого ее диаметра СС' на угол a, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол a (рис.10). Другим примером движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости p, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость p перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис.11). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии.

 

1.5 Угол на сфере

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 12 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Рис. 12

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А  угла на сфере и пересекающую стороны  этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны  лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 12). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ÐВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны  одному и тому же углу ВОС, то эти  углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.13, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 13, б).

а)                                                                    б)

Рис. 13

Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.14), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.

Рис. 14

Так как при отражении от диаметральной  плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие  окружности, проходящие через эти  полюсы, при указанном отражении  переходят в себя (рис.15). Поэтому  углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

Рис. 15

Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей  точку, полярно сопряжённую точке  пересечения, мы получим такую точку, что проведённый в нее радиус сферы перпендикулярен диаметральной  плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.16), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

Рис. 16                                                   Рис. 17        

Отсюда следует, что большая  окружность, являющаяся полярой точки  пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна обеим большим  окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.17). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

 

1.6 Многоугольники на сфере

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу  на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая  область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника (рис 18,19).

 Рис. 18                                              Рис. 19

Сферический двуугольник — фигура, образованная двумя полуокружностями больших кругов сферы, исходящими из диаметрально противоположных точек (рис.20).

В отличие  от плоскости, где треугольник является многоугольником с наименьшим числом сторон, на сфере имеются многоугольники с числом сторон меньше трех- двуугольники. Двуугольником является часть сферы, ограниченная двумя половинами больших  окружностей с общими концами; эти  общие концы, называемые вершинами двуугольника, являются диаметрально противоположными точками сферы.

Рис. 20

Сферический треугольник (рис.21).  Среди всех сферических  многоугольников наибольший интерес  представляет сферический треугольник. Три больших окружности, пересекаясь  попарно в двух точках, образуют на сфере восемь сферических треугольника. Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных, поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.

Рис. 21

Многие  свойства сферического треугольника (а  оно одновременно являются и свойствами трехгранных углов) почти полностью  повторяют свойства обычного треугольника, среди них- неравенство треугольника или, например, три признака равенства  треугольника. Все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми  на сфере. Так, множество точек, равноудаленных от концов отрезка,  будет и на сфере перпендикулярной  к нему прямой, проходящий  через его  середину, откуда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные  общие точки являющиеся полюсами его единственной описанной окружности. В стереометрии это означает, что  около любого трехгранного угла можно  описать конус. Легко перенести  на сферу и теорему о том, что  биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности. Теоремы о пересечение высот  и медиан также остаются верными.

Сумма углов  всякого сферического треугольника всегда больше 180 . Разность (измеряется в радианах) – величина положительная и называется сферическим избытком данного сферического треугольника.

 

1.7 Предмет сферической геометрии

Сферическая геометрия изучает те свойства фигур  на сфере, которые сохраняются при  любых движениях сферы. Фигуры на сфере, которые могут быть переведены одна в другую некоторым движением  сферы, называются равными фигурами, геометрические свойства равных фигур одинаковы.

а)                                                  б)

Рис. 22

Иногда  предмет сферической геометрии  определяется иначе. Именно вместо движений, определённых выше рассматриваются  только повороты сферы и изучаются те свойства фигур, которые сохраняются при поворотах. Фигуры, переходящие друг в друга при некотором повороте, называют в этом случае равными. Фигуры же, которые переходят друг в друга при движении, но не могут быть совмещены поворотом, равными не считают; такие фигуры называют симметричными. Так, на рис. 22,а изображены равные фигуры, а на рис.22,.б – симметричные фигуры.