Основные свойства непрерывных функций. Теорема Больцано-Коши и Вайерштрасса о непрерывной на отрезке функции. Непрерывность в экономике

Курсовая работа

 

по дисциплине

«Математический анализ»

Направление подготовки:

080100.62   «ЭКОНОМИКА»

Профили: «Экономика  предприятий и организаций  (таможня)»

«Мировая  экономика»

 

По  теме

  «Основные свойства непрерывных  функций.

Теорема Больцано-Коши и Вайерштрасса о непрерывной на отрезке функции.

Непрерывность в экономике.»

 

 

 

 

Квалификация выпускника:            «бакалавр »

Группы Э111Б.

 

Титова Михаила Александровича

 

 

 

 

 

 

Москва

2011

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

1-Непрерывность функции ,основные свойства непрерывной функции.

     А) Определение непрерывности функции

Б) Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц

В) Основные свойства непрерывной функции

Г) Точки разрыва

Д) Примеры

Е) Непрерывность по отдельным переменным.

 

2 - Теорема Больцано-Коши и Вайерштрасса о непрерывной на отрезке функции.

 

А) Формулировка   

      Б) Следствие

3- Непрерывность в экономике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Начинать мы будем с  раскрытия того, что такое Непрерывная  функция , как и где используется теоремы Больцано - Коши и Вайерштрасса . Как развивается Непрерывная функция в экономике .

 

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая у которой малые изменения аргумента приводят к малымизменениям значения отображения. График непрерывной функции может быть начерчен «не отрывая карандаш от бумаги».

 

 

 

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

 

Теоре́ма Вейерштра́сса в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

 

Так как в математической экономике функции описывают ту или иную структуру и взаимосвязь между экономическими величинами, то любые их формальные (теоретические) свойства являются отражением или следствием фактов, имеющих место в реальной экономике. Поэтому мы напомним те свойства функций , которые допускают содержательную экономическую интерпретацию.

 

Экономический смысл непрерывной функции заключается  в том, что при малом изменении  значений факторов зависящий от них  показатель изменяется незначительно. В качестве примера непрерывных  функций в условиях стабильной экономики  можно привести спрос и предложение  на рынке товаров (как функций  от цен товаров), прибыль предприятия (как функции от объемов выпуска  и затрат), рентабельность производственных фондов (как функция от прибыли, стоимости  основных фондов и оборотных средств) и так далее. Напротив, зависимость курса валют или ценных бумаг от политических или социальных факторов нельзя назвать непрерывной.

Хотя  непрерывность экономических величин  и является желательным свойством (с точки зрения предсказуемости, описуемости, управляемости), но в экономике имеют место и "сугубо" разрывные функции. Такова, например, величина денежного потока, как функция от времени: на одном отрезке времени - это положительная величина (приток денег), на следующем отрезке времени - отрицательная (отток денег).

 

 

 

Непрерывность в функции.

 

Определение непрерывности  функции

Функция  , будет называться непрерывной в точке  , если выполняется одно из этих условий:

1)  ;     (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений  , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ кf(x₀);

3)   или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4)   такое, что

 то же самое,

f: ]x₀ - δ, x₀ + δ[ → ]f(x₀) - ε, f(x₀) + ε[.

Из определения непрерывности  функции f в точке x₀ следует, что

Если ф-я f непрерывна в любой точке интервала [a, b], то функция f называется непрерывной на этом интервале.

 

Функция f: ]a, x₀] → R (f: [x₀, b[ → R) называется непрерывной в точке x₀ слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий:

1)   такое, что неравенство (1) выполняется, как только x₀ - δ < x ≤ x₀ (x₀ ≤ x < x₀+ δ);

2) для произвольной последовательности (x_n) значений  , сходящейся к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции f сходится к f(x₀);

3)   или, короче, если f(x₀ - 0) = f(x₀) (f(x₀ + 0) = f(x₀));

4)   такое, что

Функция f: X → R непрерывна во внутренней точке   тогда и только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.

Теорема 1. Если функция  , непрерывна в точке  , а функция f:X → R непрерывна в точке  , где x₀ = g(t₀), то композиция    f ◦ g: T → R непрерывна в точке t₀.

Теорема 2. Пусть функции f: X → R и g: X → R,  , непрерывны в точке  . Тогда функции

f + g,   fg   и   f/g (g(x₀) ≠ 0),

непрерывны в точке x₀.

Все элементарные функции непрерывны в области существования.

Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц

Вектор-функция  , f(x) = (f₁(x), ..., f_n(x)), x ϵ X, называется непрерывной в точке x₀ ϵX, если

Функциональная матрица  , где A(x) = (a_ij(x)),  , называется непрерывной в точке x₀ ϵ X, если

Вектор-функция f непрерывна в точке x₀ ϵ X тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывна каждая из функций  .

Функциональная матрица   непрерывна в точке x₀ ϵ X тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все элементы матрицы  .

 

Основные свойства непрерывных функций

Локальные

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .
• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .
• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .
• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция   непрерывна в точке  .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции  , непрерывной на отрезке  , является отрезок   где минимум и максимум берутся по отрезку  .
• Если функция   непрерывна на отрезке   и   то существует точка   в которой  .
• Если функция   непрерывна на отрезке   и число   удовлетворяет неравенству   или неравенству   то существует точка   в которой  .
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке   непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами   и  .
• Если функции   и   непрерывны на отрезке  , причем   и   то существует точка   в которой   Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Точки разрыва

 

 

Если попытаться построить  отрицание свойства непрерывности  функции в точке (предельной для  области определения), то получится  следующее: Существует такая окрестность  значения функции в рассматриваемой  точке, что сколь близко мы не подходили  бы к данной точке, всегда можно будет  найти точку, значение в которой  окажется за пределами заданной окрестности.

В этом случае говорят, что  функция f терпит разрыв в точке a.

Возможны два варианта:

• либо предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

тогда точка a называется точкой устранимого разрыва функции f (в комплексном анализе —устранимая особая точка). Положив   можно добиться непрерывности функции в этой точке. Такое изменение значения функции в точке, превращающее функцию в непрерывную в этой точке, называется доопределением по непрерывности.

• либо предела функции в данной точке не существует и тогда. В этом случае для числовой функции, заданной на вещественной прямой (или её подмножестве), возможно существование односторонних пределов. Отсюда возникает классификация точек (неустранимого) разрыва:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция   задаваемая формулой

непрерывна в любой точке   Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в  каждой точке  .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой  точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

 

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая  функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

 

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной  всюду в множестве иррациональных чисел ( ), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого   существует δ > 0 такое, что | f(x₁) − f(x₂) | < ε для любых двух точек x₁ и x₂ таких, что | x₁ − x₂ | < δ.

Каждая равномерно непрерывная  на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

 

 

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) > f(a) − ε для всякого  ;
• функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) <f(a) + ε для всякого  .

 

 

 

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;
• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно  допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;
• если  , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность

 

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство :  ( )

Непрерывность почти всюду

 

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество  точек разрыва функции не более  чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману)

 

Непрерывность по отдельным переменным.

 

Зафиксируем переменную  , полагая  , а переменной   придадим произвольное приращение  . Функция   получит приращение

,

которое называется частным приращением функции в точке  , соответствующим приращению   аргумента  . Заметим, что   является функцией одной переменной  . Аналогично,

.         

Определение. Функция   называется непрерывной в точке   по переменной   (по переменной  ), если

 ( ).         

В отличие от непрерывности по отдельным  переменным обычную непрерывность  функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.         

Теорема 3. Если функция   определена в некоторой окрестности точки   и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.         

Обратное утверждение неверно.         

Пример. Докажем, что функция

непрерывна в точке   по каждой переменной   и  , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

 Рассмотрим частное приращение функции   в точке  , соответствующее приращению   аргумента  :

.

Очевидно, что  , а это означает, что   непрерывна в точке   по переменной  .         

Аналогично можно доказать непрерывность   в точке   по переменной  .         

Покажем, что предел   не существует. Пусть точка   стремиться к точке  по прямой  , проходящей через точку  . Тогда получим

.         

Таким образом, приближаясь к точке   по различным прямым, соответствующим разным значениям  , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке   не существует, а значит, функция   не является непрерывной в этой точке.

 

 

Теорема Больцано — Коши

была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого   существует   такое, что f(c) = C.

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть   и f(a)f(b) < 0. Тогда   такое, что f(c) = 0.
• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

 

Теоре́ма Вейерштра́сса  

в математическом анализе и общей топологии гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своей верхней и нижней грани.

Формулировка

 

 

Пусть дана непрерывная числовая функция, определённая на отрезке, то есть   и  . Пусть

— точные верхняя и нижняя грани множества значений функции f соответственно. Тогда эти значения конечны ( ) и достигаются (существуют   такие, что  ).

 

Обобщения

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция   полунепрерывна сверху. Тогда

 и 

• Пусть функция   полунепрерывна снизу. Тогда

 и 

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство   и компактное подмножество  . Пусть дана непрерывная функция  . Тогда

и

 

 

Экономический смысл непрерывной

Экономический смысл непрерывной функции заключается  в том, что при малом изменении  значений факторов зависящий от них  показатель изменяется незначительно. В качестве примера непрерывных  функций в условиях стабильной экономики  можно привести спрос и предложение  на рынке товаров (как функций  от цен товаров), прибыль предприятия (как функции от объемов выпуска  и затрат), рентабельность производственных фондов (как функция от прибыли, стоимости  основных фондов и оборотных средств) и так далее. Напротив, зависимость  курса валют или ценных бумаг  от политических или социальных факторов нельзя назвать непрерывной.

Хотя  непрерывность экономических величин  и является желательным свойством (с точки зрения предсказуемости, описуемости, управляемости), но в экономике имеют место и "сугубо" разрывные функции. Такова, например, величина денежного потока, как функция от времени: на одном отрезке времени - это положительная величина (приток денег), на следующем отрезке времени - отрицательная (отток денег).

 

Заключение

 

Непрерывная функция вообще говоря, — синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее, чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.

 

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I — М.: Физматлит, 1984.
• Практикум по высшей математики для экономистов ,под редакцией 
  Н.Ш.Кремера. 2004.
• Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
• Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.