Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Основные свойства модуля

5. ,

10.

Алгоритм решения уравнения вида можно оформить в виде следующей таблицы

Значение а	Уравнение	Решение уравнения
a<0	│f(x)│= a	Уравнение не имеет корней
a=0	│f(x)│= 0	f(x)=0
a>0	│f(x)│= a	f(x)=a или f(x)=-a

Пример 1.

Решение : 2х-3=5 или 2х-3=-5

х=4 х=-1

Ответ: -1; 4.

Пример 2.

Решение: х²- х = 6 или х² – х = -6

х² – х – 6 = 0 х² – х + 6 = 0

х₁=-2; х₂=3 корней нет

Ответ: -2;3.

Пример 3.

Решение: х² + х + 1 = 0

корней нет, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

Решение: корней нет, так как -2<0.

Ответ: корней нет.

Пример 5. | x²– 4х |= 4

x²– 4х = 4 или x²– 4х = – 4

x²– 4х – 4=0; x²– 4х + 4=0

х_1,2 =2 ± 2 ; х_3,4 = 2

Ответ: 2 ± 2 ; 2.

Упражнения для самостоятельной работы:

1. |5 x+1 |=4 | x²– 4 |= 5 | x– |=

2. | x– 5 |=4 | x²– 2х |= 3 | 3– 4х |= 3

3. |2х–5 |= 3 | x²– 2х |= 1 | x²– х–1 |= 1

4. | 3– 4х |= 1 | x²– 3х |= 2 | x²–х–5 |=1

5. | 5– 4х |= 3 | x²+ 3х |= 2 | x²–5х+6|=2

Алгоритм решения уравнения

1 способ. По определению модуля действительного числа уравнение равносильно совокупности

2 способ. Уравнение равносильно смешанной системе

Пример 6.

Решение:

Ответ: -1.

Пример 7.

Решение:

Ответ: -3; 1; 3.

Пример 8.

Решение:

Ответ: -3;3.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). |х+2 |= 6– 2х 11).|2х²– 1|= х ²– 2х + 3

2).|3х– 7|=2х + 1 12).|5– х²|= х²– 7

3).|х– 1|=х + 8 13).|х²+3х|=1 – х

4).|х+3 |=3(4– х) 14).|х²+3х– 4|= х ²– 7х – 2

5).|х²–3х|=4 – х 15).|х²+3х+2|= (5х +16)

6). |х²+3х– 10|=3х– 1 16). |х²– 4|=х + 2

7). |х²–4х– 12|=6– х 17). |х²–х + 3|= – х – 1

8). |х²–4х+ 3|=2х–2 18). |х²+2х–5| =(х–1)

9). |х²–7х+ 12|= х²+8х– 3 19). |3х+3 |= 4– 4х²

10).|х– 1|= 3х² 20). |х| = 1– х² – 3х

Алгоритм решения уравнения .

1 способ. Уравнение вида равносильно совокупности систем

2 способ. Воспользуемся четностью функции . Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = -а -тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.

Пример 1.

Решение:

Ответ: -2;2.

Пример 2.

Решение:

Ответ: -2;2.

Пример 3.

Решение: Ответ: корней нет.

Алгоритм решения уравнения .

Уравнение данного вида равносильно совокупности

Далее надо рассмотреть схемы решений следующих уравнений и неравенств:

1 способ 2 способ

Второй способ хорош тем, что не надо сравнивать f(x) с нулём

Например,

(3)

Пример 1

Решение:

Ответ:

Пример 2.

Решение:

Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). | х² +6х + 8 |= | 7х –6| 7). | 2х–1|=| х +3|

2). | 3х² –5х – 2 |= | х²+6х –16| 8). |х–2 |=| 3х+9|

3). | 2х² –1|=| х²– 2х – 3| 9). |х–2 |=| 3 –3х|

4). | 2х –3|=| х+7| 10). |х – х²–1|= | 2х –3 + х²|

5). | х +7|= |х–2 | 11). | х²+4 х + 3 |= | х+1|

6). | х² –1|= | х+5| 12). |х–2 |=3| 3 – х|

Алгоритм решения уравнения

Уравнение данного вида равносильно системе

Пример

Решение:

Ответ: 2.

Способ подстановки ( замены переменной ).

х² –6|х| + 5 = 0. по свойству х² =|х|² имеем:

|х|²–6| х| + 5 = 0. Применим подстановку | х| = t ≥ 0, Тогда получим уравнение t ² – 6t + 5 = 0, t₁ = 1, t₂= 5.

1. | х|=1, х_1,2 = ± 1;

2. | х|=5, х_3,4 = ± 5

Ответ: –5; – 1; 1; 5.

Примеры:

а). х² –6|х| + 8= 0.

| х|²–6|х| + 8 = 0.

| х| = у ≥ 0, у ² – 6у + 8 = 0, у₁ = 4, у₂= 2;

| х|=4, х_1,2 = ± 4;
| х|=2 х_3,4 = ± 2.

Ответ: – 4; –2; 2; 4.

а). х² +|х| – 2= 0.

|х|² +|х| – 2= 0

|х| = у ≥ 0, у² +у – 2= 0, у₁= – 2, у₂ = 1;

| х|= –2, корней нет
| х|=2 х_1,2 = ± 1.

Ответ: ± 1.

Упражнения для самостоятельной работы:

1). х² –2|х| – 3= 0 9). х²–3| х| = 0

2). х² –|х| – 2= 0 10). х²–| х| + 2= 0

3). х² +5|х| + 4= 0 11). х²–2| х| + 3= 0

4). х² –6|х| + 5= 0 12). х²–7| х| + 12= 0

5). х² –5|х| + 6= 0 13). х²–2| х| – 35 = 0

6). х² +|х| + 2= 0 14). х²–| х| – 6 = 0

7). х² –4|х| + 5= 0 15). х²–2| х| – 4 = 0

8). х² –3|х| + 2= 0 16). Х²+7| х| +12= 0

Алгоритм решения уравнения

Для решения уравнения выполним следующую последовательность шагов:

найдем нули всех подмодульных выражений;
отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;
на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражения и раскроем модули по определению;
составим и решим совокупность смешанных систем.

Пример 7.

Решение: 1)

	х<-1	-1≤х<3	х≥3
х-3	-	-	+
х+1	-	+	+

Ответ: -1.

Метод интервалов ( для решения всех типов уравнений с модулями).

Метод интервалов - это универсальный метод решения уравнений всех видов с модулями.

Метод интервалов состоит в том, что область определения уравнения разбивается на промежутки, в каждом из которых все подмодульные выражения сохраняют знак. Для этого достаточно найти корни подмодульных выражений и расположить их в порядке возрастания. Концы полученных промежутков можно относить к любому из смежных промежутков. Раскрыть модули ( входящие в уравнение) на каждом промежутке. Для этого необходимо число из данного промежутка подставить вместо переменной в подмодульное выражение. Определив знак подмодульного выражения, освободиться от модуля. Решить уравнение на каждом промежутке своё и найденные решения объединить в ответе.

Примеры:

а). | х–1 |+| х +2|= 1.

Найдем корни подмодульных выражений

х – 1 =0, х = 1;

х +2 = 0 , х= – 2.

. . х

–2 1

Решим уравнения на промежутках.

Ι. (–∞;–2): –х+1–х–2 = 1; –2х – 1 = 1; –2х =2; х = – 1;

– 1(–∞;–2); корней нет

ΙΙ. [–2; 1] ; –х + 1+х + 2 = 1; 0х = –2, решений нет.

ΙΙΙ. ( 1; + ∞ ); х – 1 + х + 2 = 1; 2х + 1 = 1; 2х = 0; х = 0; 0 ( 1; + ∞ ); корней нет.

Ответ: корней нет.

б). |2 х + 1 |+ |5 –3 х |+1– 4х= 0 .

2х + 1 = 0; 2х= – 1; х = – .

5 – 3х = 0; – 3х= – 5; х = =

. . х

–

Ι. (–∞;–): –2х–1+ 5 –3х+ 1 –4 = 0; –9х +5 = 0; х =;

(–∞;–); корней нет.

ΙΙ. [– ; ] ; 2х + 1 + 5 – 3х + 1– 4х = 0 ; –5х = –7, х =, х = [– ; ]; - корень уравнения.

ΙΙΙ. (; + ∞ ) ; 2х + 1 – 5+ 3х + 1– 4х = 0; х – 3 = 0, х = 3(; + ∞ ); х = 3- корень уравнения.

Ответ: ; 3.

в). | х – 1 |+ |х –2 | = 1

х – 1 = 0, х = 1.

х –2 = 0, х = 2.

. . х

1 2

Ι. (–∞;1) : – х + 1 –х + 2 – 1; –2х + 3 = 1; – 2х = – 2;

х = 1 (–∞;1), корней нет.

ΙΙ. [1; 2] ; х – 1 – х + 2 = 1; 0х + 1 = 1; 0х = 0, х – любое число х из промежутка [1; 2] .

ΙΙΙ. (2; + ∞ ); х – 1 + х – 2 = 1; 2х –3 = 1; 2х = 4; х = 2 (2; + ∞ ), корней нет.

Ответ: [1; 2]

Упражнения для самостоятельной работы

1). | х + 4 |– |х–3 |= 1 9). | 2 х + 6 |+|3х +7 |= х – 3

2). | х |+ |х–1|+ |х –2|= 6 10). | х–1 |+ | х –2|+ |х–3 |= 4

3). | х + 4 |+ |х–3 |= 7 11). |х–1|–| х|+ 3|х –1|–|х–2|=х+2

4). | х |+ |х–1|+ |х –2|= 2 12). | х + 2 |– | 5 – х |= –7

5). | х |– |х–2| = 2 13). |х–4|+ |х +4|= 9

6). |х–3|+|х +2|–|х–4|=3 14). | х |+ |х–1|+ |х –2|= 6

7). |5–х|+|х +2|=|3–х| 15). | х–1 |+ | х –2|= |х–3 |– 4

8). |х|–2|х+1|+3|х +2|= 0 16). х² – |х –2| – 10 = 0

Уравнения со «сложным» модулем.

К таким уравнениям относятся уравнения, в которых под знаком модуля находится функция, в записи которой один или несколько модулей, то есть «модули под модулем». Уравнения данного вида можно решать методом интервалов или применяя свойства модуля.

Примеры:

а). | 3 – | х | |=4

| 3 – | х | |=4

3 – | х| = 4 или 3 – | х|= – 4

– | х| = 1 – | х|= – 7

| х| = –1 | х|= 7

корней нет х = ±7

Ответ: ±7

б). |3 + | х + 1||= 5

5>0, |3 + | х + 1||= 5

3 + | х + 1|= 5 или 3 + | х + 1|= –5

| х + 1|=2 | х + 1|= –8

корней нет

х + 1 =2 х + 1 = –2

х₁ =1 х₂= –3

Ответ: 1;–3.

в). ||| х | –1|–1|=1.

||| х | –1|–1|=1

|| х | –1|–1=1 или || х | –1|–1= –1

|| х | –1|=0

| х | –1=2 | х |=1, х = ± 1

| х |= 3

| х |= ±3

Ответ: ±1; ±3

в). |х – |2 х + 3|| =3х– 1.

О.Д.З. 3х– 1≥ 0, 3х ≥ 1, х ≥ .

|х – |2 х + 3|| =3х– 1

х – |2 х + 3| =3х– 1 или х – |2 х + 3| =1– 3х

Решим методом интервалов каждое уравнение:

2 х + 3=0

2х = –3

х = –, х = –

. х

–

Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 = 3х–1, 0х = –4 - решений нет.

ΙΙ. [–;+ ∞): х – 2х –3=3х–1, –4х = 2, х = –, –[–;+ ∞). Решений нет.

2 х + 3=0

2х = –3

х = –, х = –

. х

–

Ι. (–∞;– ) : х + 2х + 3 =1–3х, 3х + 3х= 6х –2, х = –,

–(–∞;– ) – решений нет.

ΙΙ. [–;+ ∞): х – 2х –3= 1–3х, 2х = 4 , х=2[–;+ ∞).

х = 2 – корень уравнения.

Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы

|3 – | х – 2|| = 5 || х – 1|+2| = 1

|| х + 1|+2| = 1 |х| + | х + 1|| =0

|| х + 1|–4| = 2 |х–|2 х + 3||= 3х + 1

|| х |–2| = 4 | х– |4–х| = 4

|2 –|1–|х ||=1 ||| х |+ 1|+1| = 1

|| х – 1||+ х = 4 |2 – | 1 –|х| || = 1

| х² – 3|х|+2| = х² – 2х ||| х |–2|+ 1| = 2

| х² – 3|х|+1| = 1 ||| х |+2|– 1| = 3

Графический способ решения уравнения

Чтобы решить уравнение графически, построим в одной системе координат графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Затем определим абсциссы точек пересечения графиков – это и будут корни уравнения.

Пример 7. .

Решение: Рассмотрим функцию .

Построим график этой функции и график у=3.

Абсциссы точек пересечения х=1,5 и х=4,5.

Ответ: 1,5; 4,5.

Пример 8.

Решение: Рассмотрим функции . Построим их графики в одной системе координат.

Заметим, что при х≥1 график правой части уравнения совпадает с фрагментом графика левой части.

Абсциссы точек пересечения графиков х=-4 и х≥1.

Ответ: х=-4; х≥1.

Пример 9.

Решение: Построим графики функций

Первый график имеет нули функции в точка х=1 и х=3, точку пересечения с осью ординат (0;3). Второй график можно получить из графика функции сдвигом на 4 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Графики имеют единственную точку пересечения. Абсцисса этой точки равна 3.

Ответ: х=3.

Пример 10.

Решение: 1)

	х<-2	-2≤x<3	x≥3
x+2	-	+	+
x-3	-	-	+

Ответ: .

Обобщение знаний

Пример 1.

Решение:

Ответ:

Пример 2.

Решение: Найдем область допустимых значений уравнения:

В найденном ОДЗ преобразуем знаменатель левой части равенства:

Тогда уравнение примет вид:

Решим уравнение с модулем по алгоитму:

Ответ:

Пример 3.

Решение:

Ответ: .

Пример 4.

Решение:

Ответ:

Пример 5.

Решение:

Найдем ОДЗ:

В ОДЗ перобразуем выражение:

Ответ:

Решение уравнений с модулем и параметром.

Рассмотрим простейшие уравнения с модулем и параметром.

Пример 1.

Решение:

Пример 2. Для каждого значения параметра р определите число корней уравнения

Решение:

Пример 3. Решите уравнение для каждого значения параметра р:

Решение:

Распределение корней по числовой прямой в зависимости от параметра р, удобнее показать на числовой прямой.

Ответ:

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при котором графики функций и имеют одну общую точку.

Решение:

Выполним над первой функцией равносильные преобразования:

Задача сводится к нахождению значений параметра а, при которых совокупность имеет единственное решение. Первое уравнение ни при каких значениях а решения не имеет. Решим второе уравнение:

Ответ: -3 ≤ а < -1.

Пример 5. Сколько решений имеет уравнение при всех возможных значениях параметра а.

Решение: Решим уравнение графически. Для этого в одной системе координат построим график функции и рассмотрим все возможные случаи расположения прямой .

При а < -1 уравнение имеет один корень.

При а = -1 уравнение не имеет корней.

При а =0 уравнение имеет один корень.

При а > 1 уравнение имеет один корень.

При а =1 уравнение не имеет корней.

При 0< а < 1 уравнение не имеет корней.

При -1< a <0 уравнение имеет два корня.

Ответ: 1 корень: при а <-1; а = -1; а = 0; а > 1; 2 корня: при -1<a<0;

нет корней при 0<a<1; а = 1.

Контрольная работа.

I вариант	II вариант
1. Упростить выражения:

2. Решить уравнения:
1)	1)
2)	2)
3)	3)
4)	4)
5)	5)
3. Решить уравнения:
1)	1)
2)	2)
3)	3)

Ответы:

	I вариант	II вариант
1.	-1	-2
2. 1)	1	-0,25
2)	0; 4; -1+√2	-1; 1
3)	1,5	-0,5
4)	х≥1	х≥1
5)	-2; -1	-2-√2; -2+√2
3. 1)	π/2+πn; π/6+2πn; - π/6+2πn	π/2+πn; π+2πn; 5π/4+2πn; 3π/4+2πn
2)	1	2
3)	3	2/3

Построение графиков функции, содержащих модуль.

Пример 1. Построить график функции у = х² - 6х + 3. Найти нули функции.

Решение.

1. Направление “ветвей” параболы: если а = 1, а > 0, то “ветви” параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы: х= - b/2а = - (-6)/2=3, у(3) = 9 – 18 + 3 = - 6, А(3; -6).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Нули функции: у(х) = 0, х² - 6х + 3 = 0, D = 36 - 4·3 = 36 – 12 = 24, D>0,

x _1,2 = (6 ± )/2 = 3 ± ; В(3 - ;0), С(3 + ;0).

График на рис.1.

Рис.1.

Алгоритм построения графика квадратной функции.

1. Определить направление “ветвей” параболы.

2. Вычислить координаты вершины параболы.

3. Записать уравнение оси симметрии.

4. Вычислить несколько точек.

б) Рассмотрим построение графиков линейных функций, содержащих модуль:

1. у = |х|. График функции на рисунке 2.

Рис. 2.

2. у = |х| + 1. График функции на рисунке 3.

Рис.3.

3. у = |х + 1|.

1. График функции у = |х| + 1 получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {0;1}.

2. График функции у = |х + 1| получается из графика функции у = |х| параллельным переносом на вектор {-1;0}.

Операционно-исполнительная часть.

Этап исследовательской работы. Работа в группах.

Группа 1. Построить графики функций:

а) у = х² - 6|x| + 3,

б) у = |х² - 6х + 3|.

Решение.

а)

1. Построить график функции у = х²-6х+3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Оу.

График на рисунке 5.

Рис.5.

б) 1. Построить график функции у = х² - 6х + 3.

2. Отобразить его симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 6.

Рис. 6.

Вывод.

1. График функции у = f(|x|) получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Оу.

2. График функции у = |f(x)| получается из графика функции у = f(x), отображением относительно оси Ох.

Группа 2. Построить графики функций:

а) у = |x² - 6|x| + 3|;

б) y = |x² - 6x + 3| - 3.

Решение.

а)

1. График функции у = х² + 6x + 3 отображаем относительно оси Оу, получается график функции у = х² - 6|x| + 3.

2. Полученный график отображаем симметрично относительно оси Ох.

График функции на рисунке 7.

Рис.7.

Вывод.

График функции y = |f (|x|)| получается из графика функции у = f(х), последовательным отображением относительно осей координат.

б)

1. График функции у = х² - 6х + 3 отображаем относительно оси Ох.

2. Полученный график переносим на вектор {0;-3}.

График функции на рисунке 8.

Рис.8.

Вывод. График функции у = |f(x)| + a получается из графика функции у = |f(x)| параллельным переносом на вектор {0,a}.

Группа 3.Построить график функции:

а) у = |x|(х - 6) + 3; б) у = х|x - 6| + 3.

Решение.

а) у = |x| (x - 6) + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = -х² + 6x + 3 при х < 0 для точек у(0) = 3, у( - 1) = - 4.

График функции на рисунке 9.

Рис.9.

б) у = х |х - 6| + 3, имеем совокупность систем:

Строим график функции у = - х² + 6х + 3 при х 6.

1. Направление “ветвей” параболы: а = - 1, а < 0, “ветви” параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы: х = - b/2a = 3, у(3) =1 2, А(3;12).

3. Уравнение оси симметрии: х = 3.

4. Несколько точек: у(2) = 11, у(1) = 3; у(-1) = - 4.

Строим график функции у = х² - 6х + 3 при х = 7 у(7) = 10.

График на рис.10.

Рис.10.

Вывод. При решении данной группы уравнений необходимо рассматривать нули модулей, содержащихся в каждом из уравнений. Затем строить график функции на каждом из полученных промежутков.

(При построении графиков данных функций каждая группа исследовала влияние модуля на вид графика функции и сделала соответствующие заключения.)

Получили сводную таблицу для графиков функций, содержащих модуль.

Основные свойства модуля 📙 Курсовая → 🆔 161664