Основы теории надежности и диагностика основы работоспособности технических систем

Введение

 

Эффективность использования  и качество функционирования машин определяются уровнем их работоспособности и надежности. Общая продолжительность простоев машин и оборудования вследствие технического обслуживания и ремонта составляет значительную долю годового фонда рабочего времени. Потери, связанные с обеспечением работоспособности машин, за период эксплуатации в несколько раз превышают их начальную стоимость.

Обеспечение надежности машин  является сложной проблемой, для решения которой необходимо проведение комплекса конструкторских, технологических и организационных мероприятий на всех стадиях существования машин.

Недостаточная надежность машин  снижает их производительность из-за простоев в ремонте, увеличивает  материальные и трудовые затраты  на их содержание, а также капитальные  вложения в производственные фонды ремонтного производства и в промышленность, занятую выпуском запасных частей.

Основными задачами теории надежности являются изучение закономерностей  возникновения отказов и неисправностей объекта и на базе результатов исследований разработка мероприятий, направленных на обеспечение выполнения объектом заданных функций с наименьшими затратами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение периодичности профилактики

 

1. Расчет эмпирических характеристик распределения.

Исходные данные: выборка  наработок на отказ, км

67020	62700	62700	68100	64860	76740	82140	62740	56220	69180
57300	58380	42180	61620	62750	71370	61620	64860	50830	50700
71340	37860	54060	78950	72420	67040	74580	84300	94020	59460
36780	51910	63790	46780	85380	69180	55140	51900	72480	60590
65940	43540	63780	37870	55150	45700	43270	87540	48390	28700
91860	60560	56220	58420	44340	61650	45420	43260	44350	48660
38940	67060	78900	51900	72420	76740	55140	33550	50820	81060
50820	60540	78900	65940	58380	71340	55160	28140	57330	54060
48660	26580	36790	60540	57300	67020	40020	90780	86460	54080

 

Группируем исходные данные в порядке возрастания.

Исходные данные в порядке  возрастания.

26580	40020	46780	51900	56220	60540	62740	67020	72420	81060
28140	42180	48390	51910	56220	60540	62750	67040	72420	82140
28700	43260	48660	54060	57300	60560	63780	67060	72480	84300
33550	43270	48660	54060	57300	60590	63790	68100	74580	85380
36780	43540	50700	54080	57330	61620	64860	69180	76740	86460
36790	44340	50820	55140	58380	61620	64860	69180	76740	87540
37860	44350	50820	55140	58380	61650	65940	71340	78900	90780
37870	45420	50830	55150	58420	62700	65940	71340	78900	91860
38940	45700	51900	55160	59460	62700	67020	71370	78950	94020

 

Сгруппируем данные выборки  пробегов до отказа заданного агрегата по интервалам пробега, количество которых определяется по формуле (1).

r=1,15[0,42(N-1)²]^0,27 ,   (1)

r=1,15 [0,42(N-1)²]^0,27 = 1.15[0,42(90-1)²]^0,27 = 8,932

Округляем количество интервалов в большую сторону и принимаем равным девяти  (9).

Определим максимальное и  минимальное значение наработок  в выборке и  рассчитаем ширину интервала группировки по формуле    ∆l =     (2).

l_min = 26580 км - минимальное значение выборки;

 l_max= 94020 км - максимальное значение выборки.

Ширина интервала группирования  рассчитывается по следующей зависимости 

 ∆l = ,

                            ∆l = = = 7494 км

 

Определяем границы интервалов. Минимальное значение является началом  границы первого интервала  l₁ = 26580 км.

Началом границы второго  и окончание первого интервала  определяется следующим образом:

l₂ = l₁ + ∆l = 26580 + 7494 = 34074 км.

Границы последующих интервалов определяются аналогичным образом:

l₃ = l₂ + ∆l = 34074+7494= 41568

l₄ = l₃ + ∆l = 41568+7494= 49062

l₅ = l₄ + ∆l = 49062+7494= 56556

l₆ = l₅ + ∆l = 56556+7494 = 64050

l₇ = l₆ + ∆l = 64050+7494 = 71544

l₈ = l₇ + ∆l = 71544+7494= 79038

l₉ = l₈ + ∆l = 79038+7494 = 86532

l₁₀ = l₉ + ∆l =86532+7494= 94026

Десятый интервал заканчивается 94020 км.

Определяем количество данных (m_j), попавших в выбранные интервалы.

Таблица 9  - Распределение наработок по интервалам

1	2	3	4	5	6	7	8	9
26580	36780	42180	50700	57300	64860	72420	81060	87540
28140	36790	43260	50820	57300	64860	72420	82140	90780
28700	37860	43270	50820	57330	65940	72480	84300	91860
33550	37870	43540	50830	58380	65940	74580	85380	94020
	38940	44340	51900	58380	67020	76740	86460
	40020	44350	51900	58420	67020	76740
		45420	51910	59460	67040	78900
		45700	54060	60540	67060	78900
		46780	54060	60540	68100	78950
		48390	54080	60560	69180
		48660	55140	60590	69180
		48660	55140	61620	71340
			55150	61620	71340
			55160	61650	71370
			56220	62700
			56220	62700
				62740
				62750
				63780
				63790

 

Для облегчения расчета эмпирических характеристик закона распределения, расчет производится не для каждого  значения в выборке, а обобщенно, для всех значений, попавших в заданный интервал по середине интервала. Для этого необходимо вычислить середину каждого интервала группирования

                                 =                 

Рассчитаем значение эмпирической плотности распределения вероятностей отказов f_oj(l) для каждого интервала группирования по формуле 3.

f_oj =                                (3)

 

F_oj(l) =                                (4)

где m_j – количество данных, попавших в j-й интервал.

 

f_o1 = = = 5,93146E-06

f_o2 = = = 8,89719E-06

f_o3 = = = 1,77944E-05

f_o4 = = = 2,37258E-05

f_o5 = = = 2,96573E-05

f_o6 = = = 2,07601E-05

f_o7 = = = 1,33458E-05

f_o8 = = = 7,41433E-06

f_o9 = = = 5,93146E-06

 

Рассчитать значение эмпирической функции распределения вероятностей отказов F_oj(l) для каждого интервала группирования по формуле 4.

F_o1(l) = = = 0,04444 ,

F_o2(l) = = = 0,11111 ,

F_o3(l) = = = 0,24444,

F_o4(l) = = = 0,42222,

F_o5(l) = = = 0,64444,

F_o6(l) = = =0,80000 ,

F_o7(l) = = = 0,90000 ,

F_o8(l) = = = 0,95556 ,

F_o9(l) = = = 1,000.

Результаты расчетов сводим в таблицу.

Таблица 10  - Расчет эмпирических характеристик

Номер интервала j	Границы интервалов lj; lj+1	Середина интервала lj	mj	foj (l)	Foj (l)
1	26580 -34074	30327	4	5,93146E-06	0,04444
2	34074-41568	37812	6	8,89719E-06	0,11111
3	41568- 49062	45315	12	1,77944E-05	0,24444
4	49062- 56556	52809	16	2,37258E-05	0,42222
5	56556- 64050	60303	20	2,96573E-05	0,64444
6	64050- 71544	67797	14	2,07601E-05	0,8
7	71544- 79038	75291	9	1,33458E-05	0,9
8	79038-86532	82785	5	7,41433E-06	0,95556
9	86532-94020	90276	4	5,93146E-06	1

 

По результатам расчета  эмпирических характеристик из таблицы 10 строим гистограмму распределения  наработок на отказ m_j(l), функцию и плотность распределения вероятностей отказов f_oj(l) , F_oj(l).

 

m_j

км

 

График плотности распределения  вероятностей отказов f_oj(l).

f_oj (l)

 км

 

 

 

График функции распределения  вероятностей отказов F_oj(l).

F_oj (l)

 км

 

 

Используя данные из таблицы 10, вычислим оценку математического  ожидания выборки по формуле 5:

                               =  _jm_j                            (5)

 

= = 59386 км.

Определим оценку среднего квадратического отклонения по формуле 6.

                           =                                    ₍₆₎

Для первого интервала  группирования:

= (59386-30327)^{2   =} 37530021

Для последующих интервалов расчет производится аналогичным образом:

2)  (59386-37812)²  *  6/90 = 31029165

3)  (59386-45315)²  * 12/90 = 26399072

4)  (59386-52809)²   * 16/90 = 7690121

5)  (59386-60300)²  * 20/90 = 186864

6)  (59386-67797)²  * 14/90 = 11004765

7)  (59386-75291)²  * 9/90 = 25296903

8)  (59386-82785)²  * 9/90 = 30417400

9)  (59386-90272)²  * 9/90 = 42397555

=   _{=  14559} км.

Вычисляем оценку коэффициента вариации по формуле 7:

= = = 0,245

 

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДАННЫХ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Рассчитаем центрированные и нормированные отклонения середины интервалов по формуле 8:

 y₁= =      =   -1,9959;                        

y₂ = -1,4818;  y₃ = -0,9665;  y₄ = -0,4517; y₅ = 0,0630; y₆ = 0,5777;

y₇ = 1,0925;  y₈ = 1,6072;  y₉ = 2,1214; 

Определим табличную плотность  вероятностей нормированного распределения f₀(y_j), используя данные таблицы П1 приложения Б.

Для первого интервала  при y₁= -1,9959 значение f₀(y₁) = 0,05508.

Для следующих интервалов:

f₀(y₂) = 0,1334; f₀(y₃) = 0,2516; f₀(y₄) = 0,3605;  f₀(y₅) = 0,3982; f₀(y₆) = 0,3391; f₀(y₇) = 0,2203; f₀(y₈) = 0,1109; f₀(y₉) = 0,04217.

Рассчитаем значение теоретической  плотности распределения вероятностей отказов по формуле 9.            

          Для первого интервала  - f₁ = = = 3,78323E-06

f₂ =   = 0,1334/14559= 9,16272E-06

f₃ =   = 0,2516/14559 = 1,72814E-05

f₄ = = 0,3605/14559 = 2,47613E-05

f₅= = 0,3982/14559 = 2,73508E-05

f₆= = 0,3391/14559 = 2,32914E-05

f₇= = 0,2203/14559 = 1,51315E-05

f₈   = 0,1109/14559 = 7,61728E-06

f₉   = 0,04217/14559 = 2,89649E-06

 

Таблица 2- Расчет параметров нормального закона распределения

Номер интервала j	jmj	(j - )2	yj	foj(l)	fj (l)	Foj(l)	Fj (l)
1	121308	37530021	-1,9959	5,93146E-06	3,78323E-06	0,04444	0,023
2	226872	31029165	-1,4818	8,89719E-06	9,16272E-06	0,11111	0,069
3	543780	26399072	-0,9665	1,77944E-05	1,72814E-05	0,24444	0,169
4	844944	7690121	-0,4517	2,37258E-05	2,47613E-05	0,42222	0,323
5	1206060	186864	0,0630	2,96573E-05	2,73508E-05	0,64444	0,524
6	949158	11004765	0,5777	2,07601E-05	2,32914E-05	0,8	0,716
7	677619	25296903	1,0925	1,33458E-05	1,51315E-05	0,9	0,862
8	413925	30417400	1,6072	7,41433E-06	7,61728E-06	0,95556	0,945
9	361088	42397555	2,1214	5,93146E-06	2,89649E-06	1	0,983

 

Теоретическая величина распределения  отказов вычисляется с использованием табличных значений функции Лапласа Ф(у_j) по формуле

F_j(l) = 0,5+0,5 Ф(у_j) 

Ф(у_j) выбирается из таблицы П2 приложения Б. При этом  Ф(-у_j)=- Ф(у_j).  F₁(l)= 0,5+0,5 Ф(у₁)= 0,5+0,5 Ф(-1,9959) = 0,5+0,5(-0,95341) = 0,023.

F₂(l)= 0,069;  F₃(l)= 0,169;  F₄(l)=0,323; F₅(l)= 0,524; F₆(l)= 0,716; F₇(l)= 0,862;

F₈(l)= 0,945; F₉(l)= 0,983.

Для вычисления значения критерия согласия  χ² необходимо вычислить вероятность попадания данных в j-й интервал.

Р1 = 0,028; Р2=0,069;  Р3=0,130;  Р4=0,186; Р5=0,205; Р6=0,175; Р7=0,113; Р8=0,057; Р9=0,022.

Вычислим значение критерия согласия χ² по формуле 11:

χ²= .   (11)

Таблица 3 – Расчет критерия согласия  χ² Пирсона

Номер интервала j	fj (l)	Рj		mj- NPj	(mj- NPj)2	(mj- NPj)2
1	3,78323E-06	0,028	2,551635	1,448365	2,097761	0,822127
2	9,16272E-06	0,069	6,179886	-0,17989	0,032359	0,005236
3	1,72814E-05	0,130	11,65562	0,34382	0,118599	0,010175
4	2,47613E-05	0,186	16,70052	-0,70052	0,490724	0,029384
5	2,73508E-05	0,205	18,44701	1,552993	2,411788	0,130741
6	2,32914E-05	0,175	15,7091	-1,70914	2,921163	0,185953
7	1,51315E-05	0,113	10,20561	-120561	1,453506	0,142422
8	7,61728E-06	0,057	5,137552	-0,13755	0,018920	0,003683
9	2,89649E-06	0,022	1,953567	2,046433	4,187889	2,143714

 

χ² = 3,473

Найти табличное значение критерия (χ_*)² по таблице П3, предварительно задавшись уровнем доверительной вероятности:

y = Вер,

и рассчитать число степеней свободы К:

                    К=r-m-1 ,   (12)

Где m- число параметров теоретического распределения, для нормального закона m=2; r -  число элементов группирования.

К= 9-2-1 = 6.   (χ_*)² =3,07-3,83

Если вычисленное значение χ² будет меньше  (χ_*)² то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии эмпирического и теоретического закона не отвергается. В обратном случае необходимо рассмотреть возможность принадлежности данной выборки к другим законам распределения случайных величин.

Вероятность согласия составляет 0,8-0,7, что указывает на принадлежность распределения данных к нормальному  закону распределения.

 

 

4.3 Расчет периодичности  технического обслуживания 

Периодичность ТО может быть определена:  по допустимому уровню безотказной работы агрегата, узла или системы; технико–экономическим  методом;  экономико-вероятностным методом.

Метод определения периодичности  по допустимому уровню безотказности  предусматривает выбор такой  периодичности  l_ТО, при которой вероятность возникновения отказа или неисправности ранее установленной периодичности будет меньше обусловленного уровня.

При этом для агрегатов, узлов  и систем, обеспечивающих безопасность движения, допустимая вероятность безотказной  работы принимается R_д = 0,90–0,95, для прочих узлов и агрегатов R_д = 0,85–0,90.

Искомая периодичность l_ТО может быть получена по зависимости:

                                        l_ТО = ß_{1 ,} (13)

где ß₁ – коэффициент оптимальной периодичности,  учитывающий величину и характер вариации наработки на отказ, а также принятую допустимую вероятность безотказной работы.

Величина   ß₁ может быть определена  из таблицы П4 Приложения.

Для нашего случая ß₁ = 0,74.

Экономико–вероятностный метод  предусматривает проведение технического обслуживания с периодичностью l_ТО, при которой суммарные удельные затраты на проведение ТО и ТР будут минимальными. При этом удельные затраты определяются как отношение средневзвешенной по вероятности стоимости соответствующей операции к средневзвешенной наработке:

                                 C_Σ = C_ТО + C_ТР = + ,      (14)

где d- затраты на операции ТО;

с – затраты на операции ТР;

Р – вероятность безотказной работы при пробеге l_ТО.

Величина средневзвешенной  наработки l_СР может быть определена:

 

l_СР = l_ТО Р + φ(l)dl,

                                                    (15)

где  l_min – минимальная наработка на отказ по выборке;

φ(l) – дифференциальная функция распределения отказов.

Для  того, чтобы определить оптимальную периодичность обслуживания, необходимо, изменяя в достаточно широких пределах величину  l_ТО, произвести вычисления по формулам (14) и (15) до достижения минимального значения C_Σ.

Оптимальную периодичность  технического обслуживания можно определить, используя коэффициент оптимальной  периодичности:         

                                 l_ТО = ß_{2,                                                (16)}

       где            ß₂ =   ^ν .             

Величина ν представляет собой коэффициент вариации наработки на отказ (ν =0,245).

4.4 Расчет допустимого  значения диагностического параметра 

Назначение диагностических  нормативов можно производить на основе статистического анализа  распределения значений диагностических  параметров у группы подконтрольных автомобилей, находящихся в характерных  условиях эксплуатации.

Область допустимых в эксплуатации значений диагностического параметра можно ограничить некоторым предельным рассеиванием относительного номинального (наилучшего) значения параметра. Полученные таким образом пределы и будут являться нормативными значениями диагностических параметров.

При этом необходимо иметь в виду, что  предельное значение диагностического параметра для совокупности механизмов также имеет естественное рассеивание, и чем больше параметр отличается от своего номинального значения, тем вероятнее становится неисправное состояние. В силу этого на граничных областях рассеивания, аппроксимируемого теоретическим законом, одни и те же значения диагностического параметра могут соответствовать для различных механизмов как исправному, так и неисправному состоянию. Поэтому уровень вероятности, с которым ограничивают рассеивание при определении нормативного показателя, необходимо выбирать с учетом ошибок первого и второго рода, возможных при диагностировании.

Ошибка  первого рода (a) "ложная неисправность" состоит в признании механизма неисправным в тот момент, когда он является исправным; ошибка второго рода (b) "пропуск неисправности" – признание механизма исправным при его неисправном фактическом состоянии. Исходя из практического опыта, можно считать, что все значения диагностического параметра, находящиеся в пределах рассеивания А_0,85 (ограниченного уровнем вероятности Р=0,85), соответствуют исправному состоянию, ошибка второго рода при этом будет минимальна; значения параметра, выходящие за пределы рассеивания А_0,95 (ограниченного уровнем вероятности Р= 0,95), соответствуют неисправному состоянию и минимальному значению ошибки первого рода (рисунок 1). Значения параметра внутри диапазона А_0,85 – А_0,95 будет соответствовать как исправному, так и неисправному состоянию, при этом вероятности обоих состояний можно считать одинаковыми, т.е. a=b= 0,05.

Поскольку для наиболее ответственных механизмов ошибки второго рода при постановке диагноза должны быть минимальными, то нормативные значения должны ограничиваться более жестким, 85% – рассеиванием А_0,85, при котором будут иметь место досрочные ремонты и регулировки. Для остальных механизмов рядового использования технические воздействия желательно проводить при явно выраженной неисправности, поскольку стоимость устранения аварийных отказов сопоставима с затратами на профилактику. Поэтому ошибка первого рода при постановке диагноза должна быть минимальная, и нормативные значения необходимо ограничивать менее жестким, 95% рассеиванием А_0,95.  При таком подходе максимальная ошибка диагноза не превысит 5% и будет приводить к наилучшему для рассматриваемых условий исходу, удовлетворяя в целом требованиям эксплуатации.

f(S)           f₁(S)                       f₃(S)                                 f₂(S)

 А0,95     А0,95     А0,95   

 А0,85      А0,85     А0,85     

                           S_Д1          S_д3                                     S _д3          S _д2

Рисунок 1 – Определение  нормативного показателя по теоретическому закону распределения диагностического параметра для исправного состояния  механизма при различных видах  ограничений.

В зависимости от закономерностей  изменения диагностического параметра его рассеивание может быть ограничено с одной или с двух сторон. При одностороннем ограничении номинальным значением диагностического параметра S_н  является наилучшая его величина (наименьший расход топлива, вибрация, скорость изнашивания; наибольшая мощность, КПД и т.д.); она не должна исключаться из интервала. При двухстороннем ограничении номинальное значение S_н находится внутри интервала.

Исходя  из данных (таблица 4), характеризующих  закон распределения значений параметров, необходимо определить, исходя из физической природы параметра и вида гистограммы, вид его ограничения (снизу, сверху или двухсторонний) и принять  допустимый уровень вероятности  рассеивания (А_0,85 или А_0,95). Для диагностических параметров узлов, агрегатов и систем, влияющих на безопасность движения, принимают более жесткое 85%-ограничение (А_0,85), чем для менее ответственных, для которых принимают 95% - ограничение (А_0,95).

Рассчитать  допустимое значение диагностического параметра S_Д, исходя из следующего: