Величины, понятие, методика преподавания

Содержание

Введение. 

      Изучение  в курсе математики начальной  школы величин и их измерений  имеет большое значение в плане  развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

      По  традиционной программе в конце  третьего (четвёртого) класса дети должны: - знать таблицы единиц величин, принятые обозначения этих единиц и уметь  применять эти знания в практике измерения и при решении задач, - знать взаимосвязь между такими величинами, как цена, количество, стоимость товара; скорость, время, расстояние, - уметь применять эти знания к решению текстовых задач, - уметь вычислять периметр и площадь прямоугольника (квадрата).

      Однако, результат обучения показывает, что дети недостаточно усваивают материал, связанный с величинами: не различают величину и единицу величины, допускают ошибки при сравнении величин, выраженных в единицах двух наименований, плохо овладевают измерительными навыками. Это связано с организацией изучения данной темы. В учебниках по традиционной программе недостаточно заданий, направленных на: выяснение и уточнение имеющихся у школьников представлений об изучаемой величине, сравнение однородных величин, формирование измерительных умений и навыков, сложение и вычитание величин, выраженных в единицах разных наименований. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятие величины и её измерения  в начальном курсе  математики.

       Длина, площадь, масса, время, объём - величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

     ВЕЛИЧИНА - это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность заключается  в том, что это свойство можно  измерить, то есть назвать количество величины, которые    выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и дли на комнаты - это однородные величины. Величины - длина, площадь, масса и другие обладают рядом свойств.

     1)Любые две величины одного рода сравнимы: они либо равны, либо одна меньше (больше) другой. То есть, для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше», «больше» и для любых величин и справедливо одно и только одно из отношений: Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем любой катет данного треугольника; масса лимона меньше, чем масса   арбуза;   длины   противоположных   сторон прямоугольника равны.

      2)Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получится величина того же рода. Т.е. для любых двух величин а и b однозначно определяется величина a+b, её называют суммой величин а и b. Например, если a-длина отрезка AB, b - длина отрезка ВС (рис.1), то длина отрезка АС, есть сумма длин отрезков АВ и ВС;

. 3)Величину умножают на действительное число, получая в результате величину того же рода. Тогда для любой величины а и любого неотрицательного числа x существует единственная величина b= x  а,  величину b называют произведением величины а   на число x. Например,  если  a - длину отрезка АВ умножить на

x= 2, то получим длину нового отрезка АС .(Рис.2)

     4) Величины данного рода вычитают, определяя разность величин через  сумму:

разностью величин а и b называется такая величина с, что а=b+c. Например, если а -  длина отрезка АС, b -  длина отрезка AB, то длина отрезка ВС  есть разность длин отрезков и АС и АВ.

     5) Величины одного рода делят,  определяя частное через произведение  величины на число; частным величин а и b-называется такое неотрицательное действительное число х, что     а= х b. Чаще это число - называют отношением величин а и b и записывают в таком виде: a/b = х. Например, отношение длины отрезка АС к длине отрезка АВ равно 2.(Рис №2).

6) Отношение  «меньше» для однородных величин транзитивно: если А<В и В<С, то А<С. Так, если площадь треугольника F1 меньше площади треугольника F2 площадь треугольника F2 меньше площади треугольника F3, то площадь треугольника F1  меньше площади треугольника F3. Величины, как свойства объектов, обладают ещё одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину нужно измерить. Измерение - заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу.

       Величины, которые вполне определяются  одним численным значением, называются скалярными величинами. Такими, к примеру, являются длина, площадь, объём, масса и другие. Кроме скалярных величин, в математике рассматривают ещё векторные величины. Для определения векторной величины необходимо указать не только её численное значение, но и направление. Векторными величинами являются сила, ускорение, напряжённость электрического поля и другие.

       В начальной школе рассматриваются  только скалярные величины,  причём  такие,  численные  значения  которых положительны, то есть  положительные скалярные величины.

 Измерение  величин позволяет свести сравнение  их к сравнению   чисел 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Длина отрезка и её измерение.

Длиной  отрезка называется положительная  величина, определённая для каждого  отрезка так что:

     1/ равные отрезки имеют разные длины;

     2/ если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

       Рассмотрим процесс измерения  длин отрезков. Из множества отрезков  выбирают какой-нибудь отрезок  e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут:  а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n  раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n  раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а   есть бесконечная десятичная дробь.

     Итак, при выбранной единице,   длина  любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число  n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой  

     точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

     Площадь фигуры и её измерение.

      Понятие о площади фигуры имеет любой  человек: мы говорим о площади  комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

     Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F, (рис.4), составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек. Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

     I/ равные фигуры имеют равные  площади;

     2/ если фигура составлена из  конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур. Площадь фигуры F обозначать S(F). Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку e, то есть отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной e обозначают e . Например, если длина стороны единичного квадрата m, то его площадь m .

     Измерение площади состоит в сравнении  площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e. Результатом этого сравнения является такое число x, что S(F)=x e .Число x называют численным значением площади при выбранной единице площади. 

     Масса и её измерение.

     Масса - одна из основных физических величин. Понятие массы тела тесно связано  с понятием веса-силы, с которой тело притягивается Землёй. Поэтому вес тела зависит не только  от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5 % больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношение весов двух тел в любых условиях остаётся неизменным. При измерении веса тела путём сравнения его с весом другого выявляется новое свойство тел, которое называется массой. Представим, что на одну из чашек рычажных весов положили какое-нибудь тело, а на другую чашку положили  второе тело b. При этом возможны случаи:

     1) Вторая чашка весов опустилась, а первая поднялась так, что они оказались в результате на одном уровне. В этом случае говорят, что весы находятся в равновесии, а тела а и b имеют равные массы.

     2) Вторая чашка весов так и  осталась выше первой. В этом случае говорят, что масса тела а больше массы тела b.

     3) Вторая чашка опустилась, а первая поднялась и стоит выше второй. В этом случае говорят, что масса тела а меньше тела b.

     С математической точки зрения масса - это такая положительная величина, которая обладает свойствами:

     1) Масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;

     2) Масса складывается, когда тела  соединяются вместе: масса нескольких  тел, вместе взятых равна сумме  их масс. Если сравнить данное  определение с определениями  длины и площади, то увидим, что масса характеризуется теми  же свойствами, что длина и площадь, но задана на множестве физических тел.

     Измерение массы производится с помощью  весов. Происходит это следующим  образом. Выбирают тело e, масса которого принимается за единицу. Предполагается, что можно взять и доли этой массы. Например, если за единицу массы взят килограмм, то в процессе измерения можно использовать такую его долю, как грамм: 1г= 0,01кг.

     На  одну чашку весов кладут тело, массу  тела кого того измеряют, а на другую – тела, выбранные в качестве единицы массы, то есть гири. Этих гирь должно быть столько, чтобы они уравновесили  первую  чашку весов.   В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела при выбранной единице массы. Это значение  приближённое. Например, если масса тела равна 5 кг 350 г, то число 5350следует рассматривать как значение массы данного тела ( при единице массы – грамм). Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины, то есть сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс (при одной и той же единице массы).

Основная единица массы - килограмм. Из этой основной единицы образуются другие единицы массы: грамм, тонна и другие.

Промежутки  времени и их измерение.

     Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы. В обыденной жизни время - это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике время рассматривают как скалярную величину,

     потому   что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.

     Промежутки  времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход  затратит больше времени, чем велосипедист.

     Промежутки  времени можно складывать. Так, лекция в институте длится столько же времени, сколько два урока в школе.

     Промежутки  времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины, площади или массы. Для измерения длины    можно многократно использовать линейку, перемещая её с точки на точку. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда. Наряду с секундой используются  и другие единицы времени: минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век. Такие единицы, как год и сутки, были взяты из природы, а час, минута, секунда придуманы человеком.

     Год - это время обращения Земли  вокруг Солнца. Сутки - это время  обращения Земли вокруг своей  оси. Год состоит приблизительно из 365    суток. Но год жизни  людей складывается из целого числа суток. Поэтому вместо того, чтобы к каждому году прибавлять 6 часов, прибавляют целые сутки к каждому четвёртому году. Этот год состоит из 366 дней и называется високосным.

     В Древней Руси неделя называлась седмицей, а воскресенье - днём недельным  (когда нет дел) или просто неделей, т.е. днём отдыха. Названия следующих пяти дней недели указывают, сколько дней прошло после воскресенья. Понедельник - сразу после неделя, вторник - второй день, среда - середина, четвёртые и пятые сутки соответственно четверг и пятница, суббота - конец дел.

     Месяц не очень определённая единица времени, он может состоять из тридцати одного дня, из тридцати и двадцати восьми, двадцати девяти в високосные годы (дней). Но существует эта единица  времени с древних времён и связана с движением Луны вокруг Земли. Один оборот вокруг

     Земли Луна делает примерно за 29,5 суток, и  за год она совершает примерно 12 оборотов. Эти данные послужили  основой для создания  древних   календарей,   а   результатом   их многовекового усовершенствования является тот календарь, которым мы пользуемся и сейчас.

     Так как Луна совершает 12 оборотов вокруг Земли, люди стали считать полнее число оборотов  (то есть 22) за год, то есть год – 12 месяцев.

     Современное деление суток на 24 часа также восходит к глубокой древности, оно было введено в Древнем Египте. Минута и секунда появились в Древнем Вавилоне, а в том, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд, сказывается влияние    шестидесятеричной    системы    счисления,

изобретённой  вавилонскими учёными. 

     Объём и его измерение.

     Понятие объёма определяется так же, как  понятие площади. Но при рассмотрение понятия площадь, мы рассматривали  многоугольные фигуры, а при рассмотрении понятия объём мы будем рассматривать  многогранные Фигуры.

     Объёмом фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой Фигуры так, что:

     1/равные  фигуры имеют один и тот  же объём; 

     2/если фигура составлена из конечного числа фигур, то её объём равен сумме их объёмов.

     Условимся объём фигуры F обозначать V(F).

     Чтобы измерить объем фигуры, нужно иметь  единицу объёма. Как правило, за единицу  объёма принимают объём куба с  гранью, равной единичному отрезку e, то есть  отрезку, выбранному в качестве единицы длины.

     Если  измерение площади сводилось  к сравнению площади данной фигуры с площадью единичного квадрата e ,  то, аналогично, измерение объёма данной фигуры состоит в сравнении   его   с   объёмом   единичного   куба   е³ ( рис.б ). Результатом этого сравнения является такое число x, .что V(F)=х е.Число х называют численным значением объёма при выбранной единице объёма.

     Так. если единицей объёма является 1 см, то объём фигуры, приведённой на рисунке 7, равен 4 см. 
 

Современные подходы к изучению величин в начальном  курсе математики.

     В начальных классах рассматриваются такие величины, как: длина, площадь, масса, объём, время и другие. Учащиеся должны получить конкретные представления об   этих величинах, ознакомиться с единицами их измерения, овладеть умениями измерять величины, научиться выражать результаты измерений в различных единицах, выполнять различные действия над ними.

     Величины  рассматриваются в тесной связи  с изучением натуральных чисел  и дробей;  обучение измерении  связывается  с изучением  счёта;  измерительные  и графические  действия над величинами являются наглядными средствами и используются   при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение:   математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.

      Н. Б. Истомина, преподаватель математики и автор одной из альтернативных программ, выделила 8 этапов изучения величин:

     1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).        

     2-й  этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).

     3-й  этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

     4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.

     5-й  этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

     6-й  этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот. 

     7-й  этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

   8-й  этап: умножение и деление величин на число. 

     В программах развивающего обучения предусмотрено  рассмотрение основных величин, их свойств  и отношений между ними с тем, чтобы показать, что числа, их свойства и действия, производимые над ними, выступают в качестве частных случаев уже известных общих закономерностей величин. Структура данного курса математики определяется рассмотрением последовательности понятий: ВЕЛИЧИНА –> ЧИСЛО

     Рассмотрим  подробнее методику изучения длины, площади, массы, времени, объёма.

     Методика  изучения длины и  её измерения.

     В традиционной начальной школе изучение величин начинается с длины предметов. Первые представления о длине  как о свойстве предметов у  детей возникает задолго до школы. С первых дней обучения в школе ставится задача уточнить пространственные понятия детей. Важным шагом в формировании данного понятия является знакомство с прямей линией и отрезком как «носителем» линейной протяжённости, лишенным, по существу, других свойств.

     Сначала учащиеся сравнивают предметы по длине не измеряя их. Делают они это наложением (приложением) и визуально («на глаз»).Например, учащимся предлагается рассмотреть рисунки и ответить на вопросы: «Какой поезд длиннее, с зелёными вагонами или с красными вагонами? Какой поезд короче?»(М1М «1» стр.39, 1988г.)