Виды потенциалов и их свойства

Содержание

 

Введение 3

Глава 1. Виды потенциалов и их свойства 3

§1. Объемный потенциал……………………………………………………………………...3

§2. Плоская задача.Логарифмический потенциал.…………………………………….........4

§3. Несобственные интегралы…………………………………………………………….......5

§4. Первые производные объемного потенциала…………………………………………..10

§5. Вторые производные объемного потенциала…………………………………………..12

§6. Поверхностные потенциалы…………………………………………………………….14

§7. Разрыв потенциала двойного слоя…………………………………………………........16

§8. Свойства потенциала простого слоя……………………………………………………19

Глава 2. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач….......21

 

   §1. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач.........................21

 

Примеры………………………………………………………………………………………..23

 

Заключение…………………………………………………………………………………….25

 

Список используемой литературы………………………………………………………….26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Определение потенциала.

 

Функция представляющая потенциал поля единичной массы (заряда), помещенной в точке М0(ξ,η,ζ) является решением уравнения Лапласа, зависящим от параметров ξ,η,ζ. Интегралы от этой фунции по параметрам называются потенциалами и имеют существенное значение с точки зрения непосредственных приложений в физике, а также и с точки зрения развития методов решения краевых задач.

 

                                                           Глава 1. Виды потенциалов.

 

§1. Объемный потенциал.

 

  Пусть в некоторой точке М0(ξ,η,ζ) помещена масса m0. По закону всемирного тяготения на массу m, помещенную в точке М(х, у, z), действует сила притяжения

                                                                     

                                                       (1)

где — единичный вектор в направлении a γ — гравитационная постоянная. Выбирая систему единиц так, чтобы γ = 1 и полагая m = 1, получим:

Проекции этой силы на координатные оси будут:

 

                                                   

                                                (2)

где α,β,γ — углы, образованные вектором F с координатными осями.

Введем функцию и, называемую потенциалом силового поля и определяемую равенством

или                                           

 

В нашем случае

Потенциал поля п материальных точек вследствие суперпозиции

силовых полей будет выражаться формулой

Перейдем к случаю непрерывного распределения массы. Пусть дано тело Т с плотностью р(ξ,η,ζ). Определим потенциал этого тела в точке М(х, у, z). Для этого разобьем тело Т на достаточно мелкие части . Сделаем естественное предположе-

ние, что действие элемента эквивалентно действию его массы, сосредоточенной в некоторой «средней» точке объема ; тогда для компоненты силы, действующей на точку М, получим следующее выражение:

Интегрирование по всему объему Т дает компоненту полной силы притяжения точки М телом Т

                                                          

                                                   (3)

Потенциал в точке М будет определяться формулой

                                                           

                                                        (4)

Если точка М лежит вне тела, то в этом можно убедиться непосредственно дифференцированием под знаком интеграла.

Аналогично вычисляются и производные высших порядков Очевидно, что потенциал u(М) вне тела Т удовлетворяет уравнению Лапласа. В дальнейшем, не стремясь

к построению теории в наиболее общих условиях, мы будем пользоваться указанными выше свойствами потенциалов и сформулируем ряд теорем при условии, что р — ограниченная функция (подразумевая ее интегрируемость). Если точка М лежит внутри области Т, нельзя утверждать, что без дополнительного исследования, ко-

торое и будет дано ниже.

 

§2. Плоская задача.Логарифмический потенциал.

Рассмотрим распределение масс в пространстве, зависящее лишь от двух координат (х, у). В любой плоскости z = const потенциал, очевидно, принимает одно и то же значение, поэтому достаточно исследовать потенциал точки (х, у), лежащей в плоскости z = 0. Определим потенциал однородной бесконечной прямой L. Направим ось z вдоль этой прямой. Пусть погонная плотность (т. е. масса единицы длины) равна μ,. Сила притяжения элементом точки Р(х, 0) (рис.1)

                                                   

                                      (Рис. 1.)

 и ее составляющая по оси х равны, соответственно,

Отсюда

Если Р(х, у) —произвольная точка, то сила притяжения точки линией L будет, очевидно, направлена вдоль и равна по величине

где

Потенциал этой силы называется логарифмическим потенциалом и равен

                                                                 

                                                               (5)

в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.

Логарифмический потенциал является решением уравнения Лапласа с двумя независимы- ми переменными, обладающим круговой симметрией вокруг полюса в точке р = 0, в кото-

рой он обращается в бесконечность.

Таким образом потенциал однородной прямой дает плоское поле и выражается формулой (5). Представление потенциала в виде интеграла было получено нами лишь для ограничейных объемов. Отметим, что в отличие от объемного потенциала логарифми -ческий потенциал не обращается в нуль на бесконечности, а имеет там логарифмическую особенность.

Вычислим теперь компоненты силы притяжения точки Р (рис. 2)

                                             

                                            (Рис. 2.)

 

Если имеется несколько точек (бесконечных прямых -с рас- пределенной вдоль них массой), то в силу принципа суперпозиции силовых полей потенциалы точек (линий) будут складываться.

В случае области S с непрерывно-распределенной плотностью  μ(ξ,η) компоненты силы притяжения точки Р выразятся двойными интегралами:

                               

                                (6)

и потенциал будет равен

                                

                                   (7)

 

что нетрудно проверить дифференцированием для точек, лежащих вне S. Если же точка Р лежит в области S, то необходимо провести дополнительное исследование.

 

§3.Несобственные интегралы.

Потенциалы и компоненты силы притяжения представляются с помощью интегралов, у которых подынтегральные функции обращаются в бесконечность, если мы рассматриваем их значения в точках, находящихся в области, содержащей притягивающие массы.

Как известно, если подынтегральная функция обращается в некоторой точке области интегрирования в бесконечность, то интеграл нельзя определять как предел интегральной суммы. Действительно, в этом случае интегральная сумма не имеет предела, так как слагаемое, относящееся к элементарному объему, содержащему особую точку, может как угодно сильно менять величину суммы, в зависимости от выбора промежуточной точки. Интегралы от подобных функций определяются как интегралы несобственные.

Пусть в области Т задана функция F(x, у, z), обращающаяся в бесконечность в некоторой точке М0(х0, у0, z0). Рассмотрим определенный интеграл по области Т — Кε, где Кε — некоторая окрестность точки М0 диаметра, не превосходящего ε.

Если при произвольном стягивании области к точке М0 последовательность интегралов

имеет предел, не зависящий от выбора областей , то этот предел называется несобственным интегралом от функции F(x, у, z) по области Т и обозначается, как обычно,

Если существует хотя бы одна последовательность областей , такая, что при  существует предел , а для других последовательностей этот предел имеет другие значения, или даже вообще не существует, то предел называется условно сходящимся несобственным интегралом. Ясно, что при рассмотрении условно сходящегося несобственного интеграла нужно указывать ту последовательность областей , по которой определяется этот интеграл.

Мы ограничимся здесь рассмотрением того случая, когда подынтегральная функция имеет особенность в изолированной точке. Исследуем сходимость интегралов типа

                                                                 

                                                              (8)

где С и α > 0 — некоторые постоянные,

М0— точка области Т. Не ограничивая общности, можно считать, что Т есть шар радиуса R с центром в точке М0. Возьмем в качестве области шар радиуса ъп с центром в точке М0 и будем искать предел последовательности интегралов

Переход к пределу при еп, стремящемся к нулю, показывает, что при а < 3 предел существует, при а 3 предела не существует.

Покажем, что если функция F(x, у, z) неотрицательна и существует предел

где — шар радиуса εn с центром в точке М0, то существует предел интегралов и при любом выборе последовательности областей , стягивающихся к точке М, и значение этого предела не зависит от формы области . Любую область можно заключить между двумя сферами и , радиусы которых и стремятся к нулю

вместе с . В силу положительности подынтегральной функции

Отсюда видно, что

так как пределы крайних интегралов существуют и равны этому числу.

Таким образом, в случае трех независимых переменных несобственный интеграл

                                                               

                                                                  (8)

существует, если а < 3, и не существует, если а 3.

Для другого числа независимых переменных критическое значение α, определяющее границы сходимости интегралов типа (8), равно числу измерений; так, например, для двух независимых переменных интеграл

Остановимся на признаке сходимости несобственных интегралов. Докажем, что

для сходимости несобственного интеграла

                                                  

                                                        (9)

достаточно, чтобы существовала такая функция , для которой несобственный интеграл по области Т сходится, и чтобы имело место неравенство

                                                       

                                                   (10)

Рассмотрим некоторую последовательность областей , содержащих особую точку М0. В силу сходимости последовательности интегралов от функции для всякого ε > 0 существует такое , что

коль скоро . Так как F является мажорантной функцией для F(x, у, z), то можно написать:

                        

                         (10’)

если . Выполнение условия (10') в силу признака сходимости Коши является достаточным для сходимости последовательности

к некоторому пределу

Нетрудно видеть, что этот предел не будет зависеть от формы областей . Тем самым существование несобственного интеграла (9) доказано.

Если же для некоторой функции F(x, у, z) можно указать такую положительную функцию , что F(x, у, z) > , причем несобственный интеграл от по области Т расходится, то несобственный интеграл (9) будет, очевидно, расходиться.

Следствие: если для некоторой функции F(M, P), обращающейся в бесконечность при Р = М, имеет место неравенство

то несобственный интеграл по области T содержащей точку М,

сходится.

Из теории собственных интегралов, зависящих от параметров, известно, что непрерывность подынтегральной функции по параметрам и независимым переменным является достаточным условием непрерывности самого интеграла как функции параметров. Для несобственных интегралов непрерывность подынтегральной функции не имеет места и поэтому указанный выше критерий неприменим. Установим критерий непрерывности несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Будем рассматривать несобственные интегралы

                                               

                                                     (11)

где F(P, M)—функция, обращающаяся в бесконечность при совпадении аргументов и непрерывная по М, a f(P)—ограниченная функция.

Интеграл (11) называется равномерно сходящимся в точке М0, если для любого

ε > 0 можно указать такое δ(ε), что имеет место неравенство

для любой точки М, расстояние которой от М0 меньше δ(ε), и для любой области содержащей точку М0 и имеющей диаметр .

Докажем, что интеграл

равномерно сходящийся в точке М0, есть непрерывная функция в этой точке М0. Мы должны доказать, что для любого ε можно указать такое δ(ε), что

при

Выберем внутри области Т некоторую область , содержащую точку М0 (рис. 3.), и

разобьем интеграл на два слагаемых    

                                                                                                                  (Рис. 3.)

где интеграл V1 берется по области , V2 — по области . В дальнейшем

мы более точно определим размеры области . Рассмотрим неравенство

и покажем, что каждое из слагаемых, стоящих справа, может быть сделано меньше ε/З при достаточно малом . Выбирая область внутри сферы радиуса δ(ε/З), будем иметь:

Существование такого δ' вытекает из условия равномерной сходимости интеграла (11) в точке М0. Выбор области определяет область .

Так как точка М0 лежит вне области , то интеграл является непрерывной функцией в этой точке.

Отсюда следует существование такого δ"(ε/З), что

Полагая

получим:

что и означает непрерывность равномерно сходящегося интеграла. Отметим, что полученные результаты справедливы не только для интегралов по объему, но также и для интегралов по поверхностям и линиям. Это обстоятельство будет использовано нами в дальнейшем.

Рассмотрим потенциал

                                                      

                                                       (12)

и компоненты силы притяжения

                                           

                                          (13)

 

в точках, лежащих внутри притягивающего тела Т. Несобственные интегралы (12) и (13) являются сходящимися, если плотность р(М) ограничена |р(М)|<С Для потенциала V(M) это очевидно, так как

Для компонент силы притяжения это следует из неравенства

так как

Для иллюстрации понятия равномерной сходимости несобственных интегралов покажем, что интегралы (12) и (13) являются непрерывными функциями.

Для этого надо доказать, что интегралы (12) и (13) равномерно сходятся во всякой точке М0.

Вычислим модуль интеграла

где — шар радиуса δ с центром в точке М0, содержащий область Тδ. Однако

вычисление этого интеграла по области с центром в точке М0 — неудобно. Для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к сферической системе коор-

динат с центром в точке М. Очевидно, что

где — шар радиуса 2δ с центром в точке М. Если нам задано некоторое ε > 0, то выбирая

мы убедимся в равномерной сходимости интеграла V.

Повторяя аналогичное рассуждение для интеграла

получаем:

если

Таким образом, потенциал V и компоненты силы притяжения X, У, Z являются непрерывными функциями во всем пространстве.

 

§4.Первые производные объемного потенциала.

 

Функции, стоящие под знаком интегралов

являются производными по соответствующим переменным от функции, стоящей под знаком интегралов

Если для функции V законно дифференцирование под знаком интеграла, то

                                                    

                                          (14)

т. е. V является потенциалом поля, компоненты которого равны X. У, Z.

Если точка М лежит вне области Т, то функция

непрерывна по обоим аргументам М (х, у, z) и P(ξ,η,ζ). Следовательно, в этом случае дифференцирование под знаком интеграла V законно.

Производные более высокого порядка можно также енчислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла всюду вне тела Т. Отсюда в силу леммы главы следует, что потенциал вне притягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа

Докажем, что вычисление производных потенциала V можно производить путем дифференцирования под знаком интеграла и в том случае, когда точка М лежит внутри тела Т.

При доказательстве мы будем пользоваться только ограниченностью функции

р(х, у, z)(|p(x, у, z)|<zC), не предполагая ее непрерывности, откуда будет следовать, что функция V(x, у, z) дифференцируема и в точках границы, которые можно рассматривать как точки разрыва функции р(х, у, z), равной нулю вне тела.

Покажем, что для любого е можно найти такое δ(ε), что

если

Заключим точку М0 в достаточно малый шар , размеры которого мы уточним в дальнейшем, и разобьем V на два слагаемых

где V1 и V2 соответствуют интегрированию по объему и дополнительному объему Тогда

При любых фиксированных размерах области T1,

так как точка М0 лежит вне области Т2.

Полагая , оценим

и покажем, что каждое из слагаемых можно сделать меньше чем ε/3. В самом деле,

                  

                       (15)

так как Рассмотрим последнее слагаемое

где

Стороны треугольника равны Отсюда следует, что

Поэтому

так как для любых чисел а и b

При этом

где — шар радиуса с центром в точке .

При соответствующем выборе можно обеспечить неравенство

                                                  

                                                  (16)

Выбирая из условия (16), мы удовлетворим обоим неравенствам— (15) и (16). Фиксируем область , а тем самым и область . Равенство (14) в применении к выбранной области T2 означает, что для любого ε можно указать такое , что

коль скоро . Выбирая, наконец, , мы получим:

Тем самым доказано, что существует производная , равная

                                                                

                                                                    (17)

Формулы

не требуют специального доказательства.

Таким образом доказано, что дифференцирование под знаком интеграла законно и что компоненты силового поля X, У, Z являются компонентами grad V.

 

§5.Вторые производные объемного потенциала.

 

Несобственный интеграл

                             

                        (18)

не сходится абсолютно для внутренних точек Р тела Т. В этом случае мажоранта для подынтегральной функции имеет вид

Установим формулы, по которым вычисляются внутри Т вторые производные потенциала V в предположении непрерывности и непрерывной дифференцируемости плотности р(х, у, z) в окрестности исследуемых точек. В частности, исследование, проводимое ниже, не будет применимо к граничным точкам, где, как правило, имеет место разрыв плотности.

Представим потенциал V в виде суммы двух слагаемых

относящихся к областям и , где — шар радиуса δ с центром в рассматриваемой точке М0, внутри которого функция ρ дифференцируема.

Вторую производную от V2 можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла, так как точка М0 лежит вне области

Первая производная V1 no x равна

                               

                          (19)

так как

 

Преобразуем интеграл (19), пользуясь формулой Остроградского

где — поверхность сферы, ограничивающая объем , α — угол между внешней нормалью к поверхности и осью х. Первое слагаемое является дифференцируемой функцией в точке М0, так как М0 лежит вне . Второе слагаемое в окрестности точки М0 является также дифференцируемой функцией, так как функция ρ имеет производную в . Отсюда следует, что в точке М0 существует вторая производная функции . Перейдем

к ее вычислению:

Для второго слагаемого в точке М0 имеет место следующая оценка:

                       

                          (20)

Применяя к поверхностному интегралу теорему о среднем, получим:

Здесь р* — значение плотности в некоторой точке ,

и, кроме того,

Переход к пределу при дает:

                         

                              (21)

Равенство

верно при всяком и левая часть его не зависит от , поэтому

                 

                               (22)

Из существования второй производной доказанного выше, следует существование

                             

                                               (23)

Последний интеграл получен при специальном способе предельного перехода, когда стягиваемые к точке М0 области являются шарами, что и отмечается чертой над

интегралом в формуле (23). Изменение формы этих областей, вообще говоря, может менять значение предела; интеграл (23) следует рассматривать как условно сходящийся. Таким образом,

                           

                                                      (24)

Отсюда видно, что вычисление вторых производных потенциала при помощи формального дифференцирования под знаком интеграла привело бы нас к неверному результату.

Для производных и получаются аналогичные выражения. Подставляя значения всех трех производных в выражение для оператора Лапласа, найдем:

       

                             (25)

так как 1/R—.гармоническая функция.

Таким образом, объемный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

и уравнению Лапласа

Неоднородное уравнение

                                                         

                                                                        (25’)

при условии дифференцируемости f внутри некоторой области Т имеет частное решение

Отсюда следует, в частности, что решение краевой задачи для неоднородного уравнения (25') можно свести к решению аналогичной краевой задачи для уравнения Лапласа ,

если искомую функцию представить в виде суммы .

 

§6.Поверхностные потенциалы.

 

Как показывает основная формула Грина

любая гармоническая функция может быть представлена с помощью интегралов, являющихся поверхностными потенциалами.

Рассмотрим поле, создаваемое массами, распределенными на поверхности, и определим потенциал этого поля. Поверхностной плотностью в точке Р поверхности называют предел отношения массы, находящейся на некотором элементе поверхности , содержащем точку Р, к его площади при стягивании к точке Р. Потенциал этих масс представляется поверхностным интегралом

                                            

                                                      (26)

называемым потенциалом простого слоя.

Другим типом поверхностного потенциала является потенциал двойного слоя. Перейдем к его определению.

Рассмотрим диполь, образованный двумя массами и , расположенными в точках и на расстоянии (рис. 4).

                                          

                                      (Рис. 4.)

Произведение диполя. Потенциал диполя в некоторой точке М (х, у, z) равен

где и — расстоянияточки М от точек и

Если мало по сравнению с расстоянием до точки М , то, пользуясь теоремой о конечных приращениях, можно написать:

где производная берется по направлению от отталкивающей массы к притягивающей и R — расстояние от точки М (х, у, z) до некоторой средней точки отрезка

Вычислим производнпо направлению

где вектор направлен от диполя к фиксированной точке М, а φ есть угол между вектором и вектором . Таким образом, потенциал диполя равен

                                           

                                                                           (27)

где N- момент диполя.

Пусть на двух поверхностях и ' , находящихся друг от друга на малом расстоянии δ, распределены массы таким образом, что масса каждого элемента поверхности ' равна