Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Вычисление определённых интегралов

содержание

ВВЕДЕНИЕ

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого делать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других знакомых функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно с возрастанием роли различных математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

Объектом данной работы является метод прямоугольников.

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования.

Целью данной работы является изучение и исследование приближенного вычисления определённых интегралов с помощью формулы прямоугольников, а также автоматизация изучаемого метода на Turbo Pascal 7.0. Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

подобрать и изучить теоретический материал для приближенного вычисления определенного интеграла по формуле прямоугольников;
исследовать основные понятия метода прямоугольников;
рассмотреть экономическое применение метода прямоугольников;
автоматизировать метод прямоугольников для приближенного вычисления определённого интеграла в общем виде на языке Turbo Pascal;
сделать выводы по выполненной работе, протестировать программу, найти погрешности вычислений.

Актуальность метода обуславливается широким применением определённого интеграла в экономике, физике, технике и т.д.

1. понятие определенного интеграла

Поскольку предмет нашего исследования – приближенное вычисление определенного интеграла, выясним, в чем суть этого понятия, какие проблемы приводят к использованию интеграла.

Рассмотрим непрерывную функцию у = f(x), не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Ох, хотя и может касаться оси Ох в некоторых точках. Пусть а и b — такие числа, что функция определена при a≤ x ≤b.

Кривая у = f(x) и прямые х = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = f(x) от а до b, или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 1.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности. Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 1.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой х интервала [а, b]; он имеет высоту f(x) и бесконечно малую ширину

Рис.1.1. Криволинейная трапеция

dx; площадь его равна, следовательно, f(x)dx. Общая же площадь S есть сумма всех таких площадей [2].

Рис.1.2. Вычисление площади криволинейных трапеций

Напомним, Лейбниц писал S = ∫ f(x) dx. Символ ∫ означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы S (первой буква слова Summa). Позже ученик Лейбница Иоган Бернулли предложил отличать «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак ∫ именовать интегралом от латинского слова integralis (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения х:

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция f(x) неотрицательна на [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

На каждом отрезке разбиения выберем точку c_j и положим

Тогда произведение f (c_j) ∆x_j равно площади прямоугольника S_jсо сторонами f (c_j) и ∆x_j. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 1.2) [2]. Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма S_n стремится к площади криволинейной трапеции S.

Введем теперь точное определение.

Пусть на отрезке [а, b] задана функция у = f(x) (теперь уже необязательно неотрицательная). Разобьем отрезок [а, Ь] на n промежутков точками x₀, x₁ ..., x_n:

На каждом отрезке разбиения [x_{j -1}, x_j] выберем точку c_j и положим

Сумму вида

назовем интегральной суммой для функции у = f(x) на [а, b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка [а, b] точками x₀, x₁ ..., x_n, так и от выбора точек с_о, c₁, ..., с_n на каждом из промежутков разбиения [x_{j -1}, x_j], j = 1, 2, … , n.

Обозначим через max ∆x_j максимальную из длин отрезков [x_{j -1}, x_j], где j =1, 2, ... , n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы

при стремлении max ∆ x_jк нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек x₁, x₂, ... и c₁, c₂, … . Тогда этот предел называется определеным интегралом от функции у = f(x) на [а, b] и обозначается

а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], т. е.

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс» [2]. При этом число а называется нижним пределом, число b - его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтгральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [а, b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Верхний предел b может быть больше или меньше нижнего а.

В первом случае

Поэтому по определению полагают

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай а = b; интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении а и b.

Очевидно, если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если f(x) не ограничена на отрезке [а, b], то она не ограничена на некотором отрезке [x_{j -1}, x_j]. За счет выбора точки c_j интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы S_n существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю - в иррациональных. На любом отрезке [а, b] эта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем [3]. Действительно, если в каждом отрезке [x_{j -1}, x_j] выбрать рациональную точку с_j, то интегральная сумма

Если выбрать иррациональную точку с_j, то f(с_j) = 0 и

Таким образом, с одной стороны S_n = b - а, с другой стороны S_n = 0. Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой [4].

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то она интегрируема на любом отрезке [с, d], содержащимся в [а, b].
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Если функция f(x) имеет на отрезке [а, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на отрезке [а, b].

2. Численное интегрирование: метод прямоугольников

Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых и , где и - пределы интегрирования.

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом [1].

2.1. Квадратурные формулы.

Постановка задачи численного интегрирования.

Пусть требуется вычислить

(1)

Если - первообразная для , то . Часто получить выражение для первообразной не удается. Подынтегральная функция может быть задана в табличном виде. В этих случаях подынтегральную функцию заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях. Для аппроксимации подынтегральной функции часто используют интерполяцию. Во многих случаях формулы для приближенного вычисления интегралов (1) можно записать в виде

(2)

Формулы такого вида называются квадратурными.

- узлы квадратурной формулы.

- коэффициенты.

- погрешность (остаточный член ) квадратурной формулы [7].

Сумма в правой части формулы (2) называется квадратурной суммой.

Квадратурная формула называется интерполяционной, если

(3)

Важной характеристикой квадратурной формулы является ее алгебраическая степень точности.

Определение: целое неотрицательное число d называется алгебраической степенью точности квадратурной формулы, если эта формула точна для всех многочленов степени не выше d и не точна для x^d+1.

Теорема:

Для того чтобы квадратурная формула с n попарно различными узлами была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы d³n-1 [5].

2.2. Квадратурные формулы прямоугольников.

Построение.

Простейшая квадратурная формула получается при использовании интерполяционного многочлена нулевой степени.

Фиксируем и заменяем подинтегральную функцию интерполяционным многочленом нулевой степени, который совпадает со значением : . Тогда

(4)

Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс [6].

Частные случаи:

- формула левых прямоугольников

- формула правых прямоугольников

- формула средних прямоугольников.

Квадратурные формулы прямоугольников

Квадратурная формула левых прямоугольников:

Очевидно, что ее алгебраическая степень точности d=0 и формула является интерполяционной.

Квадратурная формула правых прямоугольников

Квадратурная формула средних прямоугольников

Алгебраическая степень точности d=1 и формула является интерполяционной [5].

Составные квадратурные формулы прямоугольников

Разбиваем промежуток интегрирования [a,b] на N равных частей, h=(b-a) N — длина частичного разбиения.

Обозначим , . Составные квадратурные формулы прямоугольников напишем в следующем виде:

(5)

где при g=a получаем формулу левых прямоугольников, при g=a+h/2 — средних прямоугольников, при g=a+h — правых прямоугольников.

Обратим внимание, что алгебраические степени точности формул остаются прежними и составные квадратурные формулы не являются интерполяционными[5].

Оценка погрешности.

Пусть существует , непрерывная на . По формуле Тейлора: . Интегрируя, получаем:

(6)

Обозначим .

Используем вариант теоремы о среднем, который имеет вид: если непрерывна и - интегрируема, то

где .

Пусть . Имеем .

(7)

Пусть . Имеем и оценка для будет того же вида (6).

Таким образом, (6) - оценка погрешности формул правых и левых прямоугольников.

Оценим погрешность для формулы средних прямоугольников.

Пусть существует . По формуле Тейлора имеем:

Интегрируя, получаем

Так как, , то

. Отсюда следует оценка

(8)

Для повышения точности квадратурных формул можно промежуток разбить точками , , на частичные промежутки, к каждому из которых применяется формула прямоугольников

, , (9)

Суммируя по , получаем обобщенную формулу прямоугольников.

(10)

при - формула левых прямоугольников,

при - формула правых прямоугольников,

при - формула средних прямоугольников.

Оценка остаточного члена для обобщенной формулы получается на основе оценок (6) или (7) соответственно.

При , :

(11)

При :

(12)

Из оценок (11) и (12) следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения (т.е. делая достаточно малым) можно получить результат с необходимой точностью [7].

3. АВТОМАТИЗАЦИЯ МЕТОДА

Автоматизация метода прямоугольников позволяет оптимизировать его использование на практике и упростить расчеты.

Программа на Pascal – это набор некоторых команд. Начинается программа с ключевого слова PROGRAM, после которого следует имя программы:

PROGRAM pryam;

Далее идёт раздел переменных VAR, в котором описываются переменные:

VAR

n, i: integer;

a, b, h, l, s, p, lpr, srpr, ppr, lpg, spg, ppg, x1, x2, x3: real;

где:

n – количество разбиений интервала;

a и b – нижний и верхний пределы интегрирования;

h – шаг;

l, s, p – переменные для вычисления суммы по формулам;

lpr, srpr, ppr – переменные результата вычислений без учета погрешности;

lpg, spg, ppg – погрешности или остаточные члены формул метода прямоугольников;

x1, x2, x3 – результативные переменные.

В этом разделе указывается имена переменных и имена типов данных.

После описания переменных вводятся функции. Объявление функции состоит из:

- ключевого слова function, имени функции, списка формальных параметров и типа возвращаемого значения;

- раздела объявления локальных переменных или констант, если он требуется;

- тела функции, заключенного в операторные скобки begin end.

В функции помещаются формулы, по которым будут вычисляться приближенное значение интеграла и вторая производная в точке, принадлежащей промежутку интегрирования:

function f(x: real): real;

begin

f:= Sqr(x)*sin(x);

end;

function f2(x: real): real;

begin

f2:= 2*sin(x)+4*cos(x)-Sqr(x)*sin(x);

end;

После всего этого переходим к основному телу программы. Код программы содержит различные команды. Самые распространенные:

Write (Writeln) – команда вывода текста на экран;

Read (Readln) – запрос данных.

Итак, запрашиваем пределы интегрирования и число разбиений:

BEGIN

Writeln (‘Введите пределы интегрирования a и b ‘);

Readln (a, b);

Writeln (‘Введите число разбиений n ‘);

Readln (n);

Далее производим вычисления по формуле (5):

h:=(b-a)/n;

Для расчета суммы требуется обнулить переменные, которые заданы для вычисления суммы в разделе переменных, и организовать цикл, который будет обеспечивать суммирование:

l:=0;

s:=0;

p:=0;

For i:=0 to n Do begin

l:=l+f(a+(i-1)*h);

lpr:=h*l;

s:=s+f((a+h)/2+(i-1)*h);

srpr:=h*s;

p:=p+f(a+h+(i-1)*h);

ppr:=h*p;

end;

После реализации цикла все расчеты по формуле (5) произведены.

Далее следует вычислить погрешности или остаточные члены по формулам (11) и (12):

lpg:=f2(8/10)*h*(b-a)/2;

ppg:=lpg;

spg:=f2(8/10)*Sqr(h)*(b-a)/24;

x1:=lpr+lpg;

x2:=srpr+spg:

x3:=ppr+ppg;

Вывод результатов на экран:

WriteLn(‘Левые ‘,’ Средние ’,’Правые’);

WriteLn(lpr:4:5,’ ‘,srpr:4:5,’ ‘,ppr:4:5);

WriteLn(‘Остаточные члены’);

WriteLn(lpg:4:5,’ ‘,spg:4:5,’ ‘,ppg:4:5);

WriteLn(‘Результат’);

WriteLn(x1:4:5,’ ‘,x2:4:5,’ ‘,x3:4:5);

ReadLn;

Конец программы фиксируется служебным словом END, после которого обязательно ставится точка:

END.

4. Применение метода в экономике

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю [2].

Определённый интеграл имеет широкое применение в экономической теории: вычисление потребительского излишка, восстановление экономических характеристик по их предельным значениям, нахождение дисконтированной стоимости денежного потока, расчет количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени, объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени и т.д.

4.1 Количество денег, поступивших в банк за определенный промежуток времени

Пусть u = f(t) описывает количество денег поступающих в сберегательный банк в каждый момент времени t. Требуется определить общее количество денег U, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Если f(t) = const, то количество денег U, поступившее в банк за промежуток времени [0, Т], находится по формуле U = f(с) ∙ (T - 0) = f(c)T, где с произвольное значение из отрезка [0, Т].

Если в каждый момент времени за промежуток времени [0, Т/2] в банк поступает f(c₁) денежных единиц, а в каждый момент времени в промежутке [Т/2, Т] - f(c₂) денежных единиц, то общее количество денег, поступившее за промежуток времени [0, Т], подсчитывается по формуле

U = f(c₁)T/2+ f(c₂)T/2.

Пусть f(t) - произвольная кусочно-непрерывная функция на отрезке [0, Т]. Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

0 = t₀<t₁<t₂<…<t_n-1<t_n = T.

Количество денег ∆U_i, поступивших в банк за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислено по формуле ∆U ≈ f(c_i)∆t_i, где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i) [1]. Тогда

При стремлении max ∆t_i к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

где U – количесво денег

f(t) – количество денег;

t – время .

т. е. если f(t) - количество денег, поступивших в банк в момент времени t, то есть общее количество денег, поступивших в банк за промежуток времени [0, Т].

Поскольку f(t)≥0, то общее количество денег, поступивших в Сбербанк за промежуток времени [0, Т] численно равно площади фигуры под графиком функции f(t) [2].

4.2 Объем продукции, произведенной за определенный промежуток времени.

Пусть, теперь, функция у = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции Q, произведенной за промежуток времени [0, Т].

Разобьем отрезок [0, Т] на промежутки времени точками:

Объем продукции ∆Qi произведенной за промежуток времени [t_i-1, t_i], приближенно может быть вычислен по формуле

Где (точность этого равенства тем выше, чем меньше ∆t_i. Тогда

При стремлении max ∆t_iк нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

(13)

где Q – обьем продукции

f(t) – производительност труда в момент времени t;

t – время.

Поскольку f(t)≥0, то объем продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т], численно равен площади фигуры под графиком функции f(t), описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т] [2].

Задача.

Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = -0,1t² + 0,8t + 10.

Решим методом прямоугольников.

h=1, a=0, b=8, n=8.

По формуле (5):

По формуле (13):

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы были решены следующие задачи:

рассмотрен метод прямоугольников для приближенного вычисления определённых интегралов;
проведена автоматизация метода;
исследовано применение метода в разделах экономической теории;

Список литературы:

Академик: словари и энциклопедии на Академике [электронный ресурс]. – Режим доступа: http://dic.academic.ru.
Ахтямов, А. М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 464 с. - ISBN 5-9221-0460-8.
Баврин, И. И. Высшая математика / И. И. Баврин. – М.: ACADEMA, 2003. – 611с.
Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в двух частях / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986.Часть 2 – 415 с.
Математико-механический факультет [электронный ресурс]/ Санкт-Петербургский государственный университет. – Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/user/pan/Page2-7.htm.
Методы компьютерных вычислений для физиков: методическое пособие [электронный ресурс]/ Петрозаводский государственный университет. – Режим доступа: http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_calc/index.shtml.
Численные методы с системой MathCAD: Учебно-методический комплекс для изучения алгоритмов решения математических задач с использованием системы MathCAD [электронный ресурс]/ Петрозаводский государственный университет. – Режим доступа: http://petrsu.karelia.ru/Chairs/IMO/Complex/part3/part36_a.htm.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

PROGRAM pryam;

VAR

n, i: integer;

a, b, h, l, s, p, lpr, srpr, ppr, lpg, spg, ppg, x1, x2, x3: real;

function f(x: real): real;

begin

f:= Sqr(x)*sin(x);

end;

function f2(x: real): real;

begin

f2:= 2*sin(x)+4*cos(x)-Sqr(x)*sin(x);

end;

BEGIN

Writeln (‘Введите пределы интегрирования a и b ‘);

Readln (a, b);

Writeln (‘Введите число разбиений n ‘);

Readln (n);

h:=(b-a)/n;

l:=0;

s:=0;

p:=0;

For i:=0 to n Do begin

l:=l+f(a+(i-1)*h);

lpr:=h*l;

s:=s+f((a+h)/2+(i-1)*h);

srpr:=h*s;

p:=p+f(a+h+(i-1)*h);

ppr:=h*p;

end;

lpg:=f2(8/10)*h*(b-a)/2;

ppg:=lpg;

spg:=f2(8/10)*Sqr(h)*(b-a)/24;

x1:=lpr+lpg;

x2:=srpr+spg:

x3:=ppr+ppg;

WriteLn(‘Левые ‘,’ Средние ’,’Правые’);

WriteLn(lpr:4:5,’ ‘,srpr:4:5,’ ‘,ppr:4:5);

WriteLn(‘Остаточные члены’);

WriteLn(lpg:4:5,’ ‘,spg:4:5,’ ‘,ppg:4:5);

WriteLn(‘Результат’);

WriteLn(x1:4:5,’ ‘,x2:4:5,’ ‘,x3:4:5);

ReadLn;

END.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

f(x)=x^2*sin(x)			f "(x)=2sin(x)+4xcos(x)-x^2sin(x)

a	b	h
0	1	0,2

i	x		a+(i-1)*h	(a+h)/2+(i-1)*h	a+h+(i-1)*h
0	0		-0,2	-0,1	0
1	0,2		0	0,1	0,2
2	0,4		0,2	0,3	0,4
3	0,6		0,4	0,5	0,6
4	0,8		0,6	0,7	0,8
5	1		0,8	0,9	1

f(a+(i-1)*h)		f((a+h)/2+(i-1)*h)		f(a+h+(i-1)*h)
-0,007946773		-0,000998334		0
0		0,000998334		0,007946773
0,007946773		0,026596819		0,062306935
0,062306935		0,119856385		0,20327129
0,20327129		0,315666667		0,459107898
0,459107898		0,634494797		0,841470985

СУМ(f(a+(i-1)*h))		СУМ(f((a+h)/2+(i-1)*h))		СУМ(f(a+h+(i-1)*h))
0,724686123		1,096614667		1,574103881

hСУМ(f(a+(i-1)h))		hСУМ(f((a+h)/2+(i-1)h))		hСУМ(f(a+h+(i-1)h))
0,144937225		0,219322933		0,314820776

f "(x)		МАКС(f "(x))=f "(0,8)=		3,205065754
0
1,173445151		Остаточные члены:
2,19022734		для левых	для средних	для правых
2,906819132		0,320506575	0,005341776	0,320506575
3,205065754
3,002680208

	Результат
	Левые	Правые	Средние
	0,4654438	0,22466471	0,635327352

Вычисление определённых интегралов 📙 Курсовая → 🆔 59118