Вырожденный электронный газ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО НАУКЕ И ОБРАЗОВАНИЮ

 РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

 
ГОУ ВПО ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 
Кафедра Физики металлов 
 
 
 
 
 

 
КУРСОВАЯ  РАБОТА

 
по  теоретической физике

 
“Вырожденный электронный газ” 

 
              Студент________________                                               Попов И. А.

 
              Группа                     ФМ-04  4 курс 

 
              Руководитель___________                                                Коробейников С. Н. 

 
Липецк 2007

 
Содержание

1. Введение
2. Обобществление электронов в кристалле. Понятие электронный газ
3. Элементы физической статистики. Вырожденный электронный газ в металле.
4. Вырождение электронного газа в звездах. Как устроены белые карлики
5. Приложение
6. Список литературы

  Введение

        Вырожденный газ очень интересное явление в физике. И для его описания необходимо применение элементов физической статистики. Любое твердое тело представляет собой систему или коллектив, состоящий из огромного числа микрочастиц. В таких системах проявляются специфические, так называемые статистические, закономерности, как раз и являющиеся предметом изучения статистической физики или физической статистики. Для металлов во всем диапазоне температур, в котором электронный газ в металле является вырожденным, его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле. Тепловому возбуждению подвергается лишь незначительная доля электронов, располагающихся у уровня Ферми. При  комнатной температуре эта доля составляет меньше 1% от общего числа электронов проводимости. Значит при любых температурах, при которых возможно существование конденсированного состояния металла, электронный газ в нем является всегда вырожденным.

        Вырожденный газ в астрофизике — газ, плотность которого столь велика, что из-за квантовых эффектов его свойства существенно отличаются от свойств идеального газа. В   квантовой   механике   существует   закон   (принцип   Паули» согласно которому в системе,  образованной частицами с полуцелым спином   (электронами,   протонами,   нейтронами   и   др.),  не может быть двух одинаковых частиц, находящихся в одном и том же квантовом  состоянии.   В   газе   (плазме)   очень  высокой  плотности это приводит к тому, что все состояния с малой энергией оказываются занятыми и частицы занимают в основном состояния с высокими энергиями,   значительно превышающими   энергию   их   теплового движения.  В результате средняя кинетическая энергия частицы и давление В. г. зависят не от температуры, а только от плотности. В космосе В. г. встречается в сверхплотных звёздах. В белых карликах вырожден электронный газ,  и его давление удерживает звезду от сжатия, независимо от температуры её недр.

Обобществление электронов  в кристалле

        В твердом теле расстояния  между  атомами  настолько малы, что каждый из них оказывается в достаточно сильном поле соседних атомов. Для того чтобы проследить, какое влияние оказывает это поле на  энергетические уровни, рассмотрим следующий идеализированный пример.

          Расположим N атомов натрия в   виде   пространственной  решетки, свойственной   кристаллу   натрия,   но  на  столь больших расстояниях друг от друга, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь. В этом случае энергетическое состояние электронов в каждом атоме можно считать таким же, как и в отдельно взятом изолированном атоме. На рис. 1, а показана энергетическая схема двух таких атомов. Каждый из них изображен в виде веретенообразной потенциальной ямы, внутри которой проведены уровни 1s, 2s, 2р ,3s, .... Уровни Is, 2s и 2р у натрия  укомплектованы  полностью; уровень 3s — наполовину; уровни же, расположенные выше 3s, свободны.

         Из рис. 1, а видно, что изолированные атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами толщиной r»а, где а — постоянная решетки. Высота U барьеров для электронов, находящихся на разных уровнях, различна. Она равна расстоянию от этих уровней до нулевого уровня 00. Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. Расчет показывает, что при r» 30 Å переход электрона 3s от атома к атому может осуществляться в среднем один раз за 10²⁰ лет.

        В верхней части рис. 1, а показана качественная картина распределения плотности вероятности р = 4πr²ψψ* обнаружения электронов на данном расстоянии от ядра. Максимумы этих кривых соответствуют примерно положению боровских орбит для этих электронов.

       Теперь подвергнем решетку медленному однородному сжатию, не нарушая ее симметрии. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растет и на расстояниях, равных параметру решетки а, достигает значения, характерного для кристалла. На рис. 1, б показана картина, соответствующая такому сближению. Из рис. 1, б видно, что потенциальные кривые, отделяющие соседние атомы (на рисунке  они   показаны   пунктиром),   частично  налагаются  друг на друга и дают результирующие кривые, проходящие ниже нулевого уровня 00 (на рисунке они показаны сплошными линиями).

  Таким образом, сближение атомов оказывает двоякое действие на потенциальный барьер: оно уменьшает его толщину до значения порядка а и понижает высоту. Для электронов уровня 1s высота барьера становится равной U'₁, для электронов 2s — U'₂, для электронов 2р — U'₃, Для электронов же 3 s высота барьера оказывается ниже первоначального положения уровня 3 s в атоме натрия. Поэтому валентные электроны этого уровня получают возможность практически беспрепятственно переходить от одного атома к другому. Об этом свидетельствует и характер электронных облаков валентных электронов,   показанных   на верхней части рисунка: они  перекрываются настолько сильно, что создают результирующее облако практически   равномерной плотности   (рис.  1,  б). Это соответствует   состоянию полного   их   обобществления в решетке.  Такие обобществленные электроны   называют обычно свободными, а их совокупность   —   электронным газом.

     Вследствие резкого уменьшения толщины и высоты потенциального барьера при сближении атомов свободу перемещения по кристаллу получают не только валентные электроны, но и электроны, расположенные на других уровнях

Рис.1

атомов. Перемещение происходит путем туннельного перехода их сквозь барьеры, отделяющие соседние атомы. Чем тоньше и ниже эти барьеры, тем полнее осуществляется обобществление электронов и тем они являются более свободными.

Невырожденные и вырожденные коллективы.

  Рассмотрим  вопрос о возможном влиянии специфики частиц на свойства коллектива, как целого.

Для проявления специфики необходимо, чтобы  микрочастицы «встречались» друг с  другом достаточно часто. Здесь под  «встречей» понимается попадание двух частиц в одно и то же состояние или по крайней мере, в достаточно близкие состояния.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная микрочастица. Мерой частоты «встреч» может служить отношение N/G. Микрочастицы будут встречаться редко, если выполняется следующее условие:

N/G «1.                  (1)

В этом случае число различных вакантных  состояний много больше числа  микрочастиц: G >> N. В таких условиях специфика фермионов и бозонов проявиться, очевидно, не может, поскольку в распоряжении каждой микрочастицы имеется множество различных свободных состояний и вопрос о заселении одного и того же состояния несколькими частицами практически не возникает. Поэтому свойства коллектива, как целого, не будут зависеть от специфики микрочастиц, из которых он состоит. Подобные коллективы называются невырожденными, а условие (1) называют условием невырожденности.

Если  же число состояний G оказывается одного порядка с числом частиц N, т. е.  если выполняется условие:

N/G »1                        (2)

то вопрос о том, как заселять состояния, поодиночке или коллективно    весьма актуальным. В этом случае специфика микрочастицы   проявляется в полной мере,    оказывая значительное влияние на свойства коллектива как целого.    Такие коллективы называются вырожденными

Таблица 1

    Вырожденные коллективы могут образовываться, очевидно, только из квантовомеханических объектов, так как только у таких объектов параметры состояния изменяются дискретно, вследствие чего число G возможных состояний может быть конечным. У классических же объектов,   у  которых  параметры состояния  меняются  непрерывно число состоянии G  всегда бесконечно большое, вследствие чего такие объекты могут образовывать только невырожденные коллективы.

Следует подчеркнуть, что между невырожденностью коллектива и классичностью частиц нет однозначного соответствия (табл. 1). Не вырожденные коллективы могут образовывать и квантовомеханические объекты,  если  выполняется  условие  (1).

Классическая   и  квантовые статистики.

   Физическая  статистика изучающая  свойства  невырожденных  коллективов,  называется классической статистикой.  Ее связывают с именами Максвелла и   Больцмана (статистика Максвелла—Больцмана).

Физическая  статистика, изучающая свойства вырожденных  коллективов, называется квантовой статистикой. Влияние специфики частиц на свойства вырожденного коллектива обусловливает существенное различие между вырожденным коллективом фермионов и вырожденным коллективом бозонов. В связи с этим различают две квантовые статистики.

Квантовую статистику фермионов связывают  с именами Э. Ферми и А. Дирака (отсюда, кстати говоря, и происходит термин «фермион»). Ее называют статистикой Ферми—Дирака.

Квантовую статистику бозонов связывают с  именами Бозе и A._;j Эйнштейна (отсюда термин «бозон»). Ее называют статистикой Бозе—Эйнштейна.

Функция   распределения

      Поставим вопрос: каким образом распределение частиц по тем или иным состояниям связано с состоянием коллектива,  как целого?                                                                            

Для того чтобы задать состояние коллектива, например газа частиц, надо указать  его термодинамические параметры. Чтобы задать состояние частиц, надо указать значение их координат и  составляющих импульсов или энергию частиц, которая определяется их координатами  и импульсами.                               

Связь между этими двумя типами величин  осуществляет статистическая функция распределения                         

Nµ,T(E)dE         (3)

выражающая  число частиц с энергией от Е до Е + dE в системе, состояние  которой описывается термодинамическими  параметрами µ и Т. Такую функцию называют полной статистической функцией распределения. Для упрощения записи значки термодинамических параметров у функции распределения обычно опускают.

Полную  функцию распределения можно  представить в виде произведения числа состояний g(E)dE, приходящихся на интервал энергий dE , на вероятность заполнения этих состояний частицами Обозначим последнюю через ƒ (Е).  Тогда:

N (E)dE = f(E)g(E)dE            (4)

Функцию ƒ (Е) называют просто функцией распределения. Как указано выше, она выражает вероятность заполнения частицами данных состояний. Если, например, на 100 близко расположенных состоянии приходится в среднем 10 частиц, то вероятность заполнения этих состояний ƒ (Е) = 0,1. Так как на каждое состояние приходится в среднем 0,1 частицы, то ƒ (Е) можно трактовать как среднее число частиц, находящихся в данном состоянии.

Таким образом, задача  об отыскании полной функции распределения частиц по состояниям сводится к отысканию функции g (E)dE, описывающей распределение состояний по энергиям, и функции ƒ (Е), определяющей вероятность заполнения этих состояний частицами. Определим сначала функцию g (E)dE.

Число состояний для микрочастиц

Понятие о фазовом пространстве микрочастицы и его квантовании

В классической механике состояние частицы определяется заданием трех координат (x, у, z) и трех составляющих импульса (р_х, р_y, p_z ). Представим себе шестимерное пространство с осями координат x, у, z ,р_х, р_y, p_z Состояние частицы в этом пространстве в каждый времени будет определяться точкой

(x, у, z ,р_х, р_y, p_z). Такое пространство называют фазовым, а точки

(х, у,  z, р_х, р_у, p_z), определяющие состояние частицы, называют фазовыми точками. Величина

DГ = DГvDГp = dx dy dz dp_x dp_y dp_z        (5)

называется  элементом объема фазового пространства. DГv = dxdydz представляет собой элемент объема пространства координат,

DГp = dp _х dp _y dp_г — элемент объема пространства импульсов.

Так как  у классической   частицы координаты и составляв импульса могут меняться непрерывно, то элементы DГv ,  DГp, а вместе с ними и элемент DГ могут быть сколь угодно малыми.

   Для системы невзаимодействующих частиц, не подверженной влиянию внешнего поля, потенциальная энергия частиц равна нулю. Такие частицы называются свободными. Для них удобно пользоваться не шестимерным фазовым пространством, а трехмерным пространством импульсов. В этом случае элемент DГv равен просто объему V, в котором движутся частицы, поскольку никаких других ограничений на их положение не налагается.

   Несколько иначе обстоит дело с делением фазового пространства на элементы объема в том случае, когда частицей       является электрон или

Рис. 1     

любой другой микрообъект, обладающий волновыми свойствами. Наличие у таких микрочастиц волновых свойств, исключает, согласно принципу неопределенностей, возможность различать два состояния (x, у, z, р_х, р_y, p_z ), и (x+dx, у +dy, z +dz, р_х + dp_x,

р_y + dp_y, р_z + dp_z),    если произведение

dx dy dz dp_x dp_y dp_z, окажется меньше h³. Так как это произведение выражает элемент объема шестимерного фазового пространства, то отсюда следует, что различным элементам объема шестимерного фазового пространства будут   отвечать   различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов            .                         объема не меньше h³ .

Поэтому в квантовой статистике за элементарную ячейку шестимерного фазового пространства принимается объем, равный

DГ = DГvDГp = h³ .      (6) 

Для свободных  микрочастиц, для которых DГv=V, элемент трехмерного пространства  импульсов  равен:

DГp = h³ /V      (7)

Каждому  такому элементу   соответствует   квантовое   состояние, отличимое от других состояний.

   Процесс деления фазового пространства  на  ячейки  конечной величины (h³ или h³ /V) называют квантованием фазовом пространства.

   Плотность состояний

     Подсчитаем число состояний, которым обладает микрочастица в интервале энергий от Е до Е + dE. Для этого проведем в пространстве импульсов две сферы радиусами p и p+dp (рис.1). Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объем, равный 4pp²dp. Число элементарных фазовых ячеек, заключенное в этом слое, равно

                                                                                 (8)

Так  как каждой  ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то   число  состояний,       приходящееся на интервал dp, заключенный между  p и p+dp, равно:

                                                                                             (9)

Для свободных  не взаимодействующих друг с другом частиц

  Находя отсюда p и p+dp и подставляя в получим

                                                                                                                  (10)

Это и  есть число состояний микрочастицы в интервале энергий dE, заключенном между Е и Е + dE. Поделив правую и левую части соотношения (11) на dE, получим плотность состояний g (E), выражающую число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал    энергий:

                                                                                                                     (11)

Рис.2

Из (11) видно, что с ростом Е плотность состояний увеличивается

пропорционально  ÖЕ (рис. 2). Кроме того, плотность состоянии зависит от массы частицы, увеличиваясь с ростом т.

В случае электронов каждой фазовой ячейке отвечает, строго говоря, не одно, а два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина. Они называются спиновыми состояниями. Поэтому для электронов число состояний (9) и (10) п плотность состояний (11) следует удвоить:

                                                                                               (12)

                                                                                               (13)

                                                                                               (14)

Критерий  невырожденности  идеального газа.

Интегрируя  по энергии в пределах or 0 до Е, получим число состояний микрочастицы заключенное и интервале энергий от 0 до Е

Полагая Е = 3kT/2, найдем

Подставив это в (1), получим выражение для критерия невырожденности:

                                                                                        (15)

n = N/V -  число частиц в единице объема.

Рассмотрим  какой-либо молекулярный газ, например азот при нормальных условиях. Для него п » 10²⁶ м ^-3, m = 4,5*10 ^-26 кг, kT = = 4*10^-21   Дж.   Подставив   это   в   левую часть   (15),     получим

что значительно  меньше единицы. Поэтому обычные  молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными и должны описываться классической статистикой Максвелла — Больцмана.