Задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг

ПРАВИТЕЛЬСТВО МОСКВЫ

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

      МОСКОВСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ДЕЛОВОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ

 
 

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра мировой экономики 
 
 
 

Маланин Антон Андреевич 
 

Курсовая  работа

по  дисциплине: «Прикладная  математика » 
 

«Задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг» 
 

Специальность: «Мировая экономика» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Научный руководитель: Пиндрикова Л. В.  
 
 
 
 

Москва 2011 год

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………......3

РАЗДЕЛ  I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ……………………...4

Глава 1. Принципы и этапы формирования…………………………………4

Глава 2. Алгоритм решения задачи на анализ портфеля ценных бумаг……………………...……………………………..........................................5

Глава 3. Оптимизация портфеля ценных бумаг по модели Шарпа. Алгоритм решения задачи оптимального портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа……………………………………………………………….10

РАЗДЕЛ  III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПОРТФЕЛЕ ЦЕННЫХ БУМАГ……………………………………………..12

Глава 1. Постановка задачи на анализ портфеля ценных

бумаг…………… ……………………………………………..............................12

Глава 2. Решение задачи на анализ портфеля ценных

бумаг ……….…………………………………………………………………….13

Глава 3. Постановка задачи об оптимизации портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа………………………………...……………………………..14

Глава 4. Решение задачи об оптимизации портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа……………………………………………………………….16

Заключение……………………………………………………………………...17

Список  использованной литературы………………………………………..18 
 
 
 
 
 

Введение 

     Портфель  ценных бумаг – это определенная совокупность любых ценных бумаг (акции всех видов, облигации и другие документы), которые принадлежат одному лицу (физическому либо юридическому). Как правило, однородный по содержанию портфель не обеспечивает стабильной доходности держателю портфеля. Вот почему более распространен диверсифицированный портфель, портфель с самыми разнообразными ценными бумагами.

     Оптимальный портфель ценных бумаг состоит из таких активов, которые характеризуются минимальным риском в сравнении с другими видами портфелей. Мера риска – это стандартное отклонение, которое характеризует вероятность отклонения уровня доходности от ожидаемого значения. Риск и ожидаемая доходность являются двумя обязательными условиями любого портфеля. Нынешние условия финансового рынка заставляют быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля.

     Актуальность данной темы обусловлена тем, что в настоящее время в России бурными темпами развивается рынок ценных бумаг. Появляются всё новые и новые фондовые рынки, на торги выставляются новые ценные бумаги, а объем операций с ними растет из года в год. Сфера торговли развивается и теперь инвесторам достаточно сложно составить оптимальный портфель ценных бумаг.

     Целью данной работы является овладение некоторыми практическими навыками при формировании оптимального портфеля ценных бумаг.  

 

РАЗДЕЛ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ 

Глава 1. Принципы и этапы  формирования  

     Основными принципами при формировании оптимального портфеля ценных бумаг являются:

• принцип диверсификации
• принцип достаточной ликвидности

     Диверсификация  вложений — основной принцип портфельного инвестирования. Он основан на том, чтобы не вкладывать все деньги в одни ценные бумаги, каким бы выгодным это вложение не казалось. Только такая

сдержанность  позволит избежать катастрофических ущербов  в случае ошибки. Диверсификация уменьшает риск за счет того, что возможные невысокие доходы по одним ценным бумагам будут компенсироваться высокими доходами по другим бумагам. Минимизация риска достигается за счет включения в портфель ценных бумаг широкого круга отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежать синхронности циклических колебаний их деловой активности. Оптимальная величина — от 8 до 20 различных видов ценных бумаг.

     Распыление  вложений происходит как между различными видами ценных бумаг, так и внутри них. Например, для государственных краткосрочных облигаций и казначейских обязательств речь идет о диверсификации между ценными бумагами различных серий, для корпоративных ценных бумаг — между акциями различных эмитентов.

     Достаточный объем средств в портфеле позволяет  сделать следующий шаг — проводить так называемые отраслевую и региональную диверсификации. Принцип отраслевой диверсификации состоит в том, чтобы не допускать перекосов портфеля в сторону бумаг предприятий одной отрасли. Дело в том, что катаклизм может постигнуть отрасль в целом. Например, падение цен на нефть на мировом рынке может привести к одновременному падению цен акций всех нефтеперерабатывающих предприятий, и то, что вложения будут распределены между различными предприятиями этой отрасли, не поможет. То же самое относится к предприятиям одного региона. Одновременное снижение цен акций может произойти вследствие политической нестабильности, забастовок, стихийных бедствий, введения в строй новых транспортных магистралей, минующих регион, и т.п.

     Принцип достаточной ликвидности состоит в том, чтобы поддерживать долю быстрореализуемых активов в портфеле не ниже уровня, достаточного для проведения неожиданно подворачивающихся высокодоходных сделок и удовлетворения потребностей клиентов в денежных средствах. Как правило, выгоднее держать определенную часть средств в более ликвидных (пусть даже менее доходных) ценных бумагах, зато иметь возможность быстро реагировать на изменения конъюнктуры рынка и отдельные выгодные предложения. Доходы по портфельным инвестициям представляют собой валовую прибыль по всей совокупности бумаг, включенных в тот или иной портфель с учетом риска. Возникает проблема количественного соответствия между прибылью и риском, которая должна решаться оперативно в целях постоянного совершенствования структуры уже сформированных портфелей и формирования новых.

     Этапы формирования оптимального портфеля ценных бумаг:

1. Необходимо выбрать оптимальный тип портфеля
2. Оценить приемлемое для себя сочетание риска и дохода портфеля и соответственно определить удельный вес портфеля ценных бумаг с различными уровнями риска и дохода
3. Определить первоначальный состав портфеля
4. Выбрать схему дальнейшего управления портфелем.

 

Глава 2. Алгоритм решения задачи на анализ портфеля ценных бумаг  

     Первый  шаг – нахождение ожидаемой доходности ценных бумаг.

     Пусть инвестор держит рыночный портфель. Поскольку рынок находится в состоянии равновесия, при добавлении в этот портфель малой доли новой ценной бумаги i ожидаемое соотношение между риском и доходностью должно соответствовать соотношению риска и доходности на рынке в настоящий момент. Необходимое условие для этого заключается в том, чтобы ожидаемая доходность была равна:

     ,

     где:

      — ожидаемая равновесная ставка доходности ценной бумаги

       — ставка доходности  по безрисковым  вложениям

       — ожидаемая среднерыночная  ставка доходности

      — коэффициент ≪бета≫ ценной бумаги (мера риска): 

     1. > 1. Это соответствует тому, что доходность фирмы i больше, чем средняя доходность рынка в целом, т. е. она как бы опережает рынок в целом и действует на нем весьма успешно. Фирмы со временем могут переходить из класса в класс. Данный уровень коэффициента не означает, что спросом пользуются лишь акции этой фирмы.

     2. 0 < < 1. По сравнению с безрисковым активом такие бумаги дают некоторую прибавку доходности, но она все же ниже, чем на рынке в целом.

     3. < 0.Доходность такой бумаги ниже безрисковой. Однако эти бумаги весьма полезны для диверсификации. На практике отрицательная означает, что у данной весьма эффективной компании дела идут хуже, чем у других. В случае, если ситуация изменяется, эта компания будет развиваться в другом направлении. Таким образом, на рынке она служит как бы противовесом, и ее очень полезно включать в портфель, имея ввиду длительную перспективу.

     Второй шаг – определение влияния инфляции на безрисковую доходность облигаций.

     Безрисковая доходность, измеряемая ставкой процента по государственным облигациям (векселям), является номинальной ставкой. Она состоит из двух элементов:

     1. Реальной, безинфляционной доходности,

     2. Инфляционной премии, IP, равной ожидаемому  темпу

     инфляции. 

     Реальная  процентная ставка по долгосрочным государственным облигациям меняется в определенных пределах (для РФ — 2—4%). Следовательно, без учета возможной инфляции долгосрочные облигации США имеют доходность, равную приблизительно 3%. Однако, если инфляция имеет место, то к реальной безрисковой процентной ставке должна бать добавлена премия для компенсации инвесторам потери покупательной способности, происходящей в результате инфляции. Следовательно, 9% -й уровень может быть представлен как 3%-й реальный безрисковый доход и 6%-ая инфляционная премия. Если ожидаемый темп инфляции вырос на 2%, то это приведет к росту до 11%.

     Третий  шаг – изменение -коэффициента.

     Любая фирма может изменять риск своих ценных бумаг, а, следовательно, и значение , варьируя структурой своих активов, а также используя внешние источники финансирования, -коэффициент компании может меняться и в результате воздействия таких рыночных факторов, как возросшая конкуренция в отрасли, истечение срока основных патентов и т.п. Когда происходят подобного рода изменения, меняется и требуемая доходность, что также влияет на цену акций фирмы. Для того чтобы оценить то, как повлияет изменение данного показателя, подставляем новый, измененный -коэффициент в формулу ожидаемой доходности.

     Четвертый шаг – оценка ценных бумаг.

     Оценка  инвестиций в облигации осуществляется по следующей схеме:

1. Одним из наиболее важных вопросов, решаемых инвестором при анализе облигации, является вопрос об оценке максимальной цены, по которой ее можно купить. Очевидно, что цена облигации для инвестора должна быть такой, чтобы обеспечить ему, по крайней мере, минимальный уровень доходности, приемлемый для него. Поэтому логично, что цена облигации рассчитывается и принимается в сделках на уровне дисконтированной суммы всех поступлений от нее в последующее время. Следовательно, цена облигации равна:

P = C + B,

     где:

     С — дисконтированная величина погасительного платежа

     В — дисконтированная сумма финансовой ренты, образованной периодическими выплатами  купонного дохода. 

2. Для оперативного прогнозирования цены облигации  в зависимости от изменений на рынке капитала используется показатель “продолжительность облигации”, который вычисляется по формуле:

 
 

     где:

     — сумма очередного платежа по облигации  в момент

     времени

     P - расчетная рыночная цена облигации;

     t — срок до погашения облигации.

     Таким образом, D — величина обратная эластичности цены по отношению к дисконтирующему фактору 1+i. Это, в свою очередь, означает, что имеет место равенство: 

     где:

     Р — начальная цена

     i — изменение дисконтирующего фактора

     Р — изменение рыночной цены

3. Доходность является важнейшей характеристикой облигации, характеризующей ее способность приносить владельцу доход. Различают:
• купонную доходность
• текущую доходность
• полную доходность облигации

     Купонная  доходность определяется по отношению  к номиналу облигации и показывает, какой процент дохода начисляется  ежегодно держателю облигации. Эта  ставка устанавливается условиями  выпуска. Текущая доходность отражает процент дохода, который ежегодно получает владелец облигации на инвестированный капитал. Она равна процентному соотношению между годовым купонным доходом от облигации и той ценой, по которой он ее купил. Полная доходность характеризует не только текущий доход по облигации, но и выигрыш (убыток), который получает инвестор, погашая облигацию по цене выше или ниже цены покупки.  

     Оценка  инвестиций в акции осуществляется на основе следующих основных параметров:

1. Цена акции:

 
 

где

d —  ежегодный дивиденд по акции

i —  ставка доходности по альтернативному  вложению с таким же уровнем  риска, как и риск вложения  в данные акции

2. Доходность:

 

     где:

     d - дивиденд текущего года

     Р — курс акции (текущий курс покупки)

3. Надежность акций. Для простых акций она определяется финансовым состоянием предприятия-эмитента. Для привилегированных она оценивается по двум основным коэффициентам:

• Дивидендное покрытие: 
  

     В мировой практике значение этого  коэффициента, равное 2—3, считается нормальным.

• Коэффициент покрытие активами предприятия:

 
 

Глава 3. Оптимизация портфеля ценных бумаг по модели Шарпа. Алгоритм решения задачи оптимального портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа 

     В 1963 г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины – независимую Х и зависимую Y

линейным  выражением типа Y = α + β Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью, а норму отдачи rm – рыночной нормой отдачи.

     Рассматривается задача оптимизации распределения  капитала между несколькими ценными  бумагами. Для каждого финансового  актива измеряется величина его доходности и показатель риска, а также оцениваются  коэффициенты корреляции доходностей  активов. Имеющийся в наличии  капитал распределяется в некоторых  процентных долях между этими  финансовыми активами, тем самым  создается конкретный “портфель”. Критерием эффективности портфеля служит показатель Шарпа – отношение доходности портфеля к его риску. Оптимальным является портфель с максимальным значением критерия Шарпа.

     Пусть имеется несколько финансовых активов A1 , A2 ,..., AN , для каждого из которых  известна средняя величина доходности S1 , S 2 ,..., S N и величина риска, измеряемая дисперсией доходности данного актива σ 1 , σ 2 ,..., σ N . Доходности активов в  общем случае коррелированы между собой, и попарные коэффициенты корреляции известны, , i, k = 1,2,..., N . Величины доходности и дисперсии измеряются в процентном выражении.

     Располагаемая сумма капитала Q (далее для краткости  предполагается Q = 1) распределяется между указанными финансовыми активами в процентных долях

. При заданном наборе  активов портфель полностью определяется вектором q = {} , т.е. тем, как распределен капитал между активами. Средняя доходность портфеля (вектора q) равна:

     S = S (q) =,

а его  риск (дисперсия доходности портфеля):

R = R(q) =

     Отношение 

называется  критерием Шарпа. Оптимальным будем считать портфель q с наибольшим значением SR(q). Таким образом, наилучшим считается портфель с высокой доходностью и малым риском. 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  III. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПОРТФЕЛЕ ЦЕННЫХ БУМАГ 

Глава 1. Постановка задачи на анализ портфеля ценных бумаг  

     Некий инвестор Иванов И. И. является держателем рыночного портфеля, состоящего из акций компании “А” и российских облигаций, 2 года (c февраля 2010-ого по январь 2011-ого).

     Необходимо:

• рассчитать ожидаемую доходность ценных бумаг
• определить изменение риска акций компании “А” с учетом изменения β-коэффициента на август 2010 года
• учесть влияние инфляции на значение безрисковой доходности облигации
• оценить акции компании “А” для того, чтобы Иванов И. И. мог принять правильное решение: продать или сохранить акции
• сделать вывод о портфеле ценных бумаг Иванова И. И.

     При этом известно, что:

Ставка  доходности по безрисковым вложениям  облигации равна 3% (1%-ый реальный безрисковый доход и 2%-ая инфляционная премия), ожидаемая среднерыночная ставка доходности облигации равна 3,5%, мера ее риска (β-коэффициент) равна 0,8. Акционерное общество “А” получило чистую прибыль в размере 50 млн. руб. за 2010 год и 53,5 млн. руб. за 2011 год. Аналитическое агентство “Б” по заказу АО “А” провело анализ её экономической деятельности и выявило, что общее экономическое и финансовое состояние предприятия является удовлетворительным и спрогнозировало, что прибыль будет расти, по крайней мере, еще два года. Ставка доходности по безрисковым вложениям акции компании “А” равна 7%, ожидаемая среднерыночная ставка доходности акции равна 9%, мера ее риска (β-коэффициент) равна 1,5. Темп инфляции в РФ с 2010 на 2011 год понизился на 2,8%. β-коэффициент в августе 2010 года для компании “А” понизился на 0.3. Ставка банковского процента составляет 12%, рыночная цена облигации – 1000 руб. Ставка процента за 2 года уменьшилась на 2%. Дивиденды по акции за 2010 год составили 150 руб., ставка доходности по альтернативному вложению с таким же уровнем риска, как и риск вложения в компанию “А” равна 8%. Курс покупки акции равен 175 руб.  

Глава 2. Решение задачи на анализ портфеля ценных бумаг 

1. Рассчитаем ожидаемую доходность облигации и акции компании “А” :

 

= 3,4% 

= 10%

2. Если учесть темп инфляции в РФ за 2011 год (-2,8%), то безрисковая доходность облигации в 2012 году увеличится с 3,4 до 5,8%.
3. Определим изменение риска акций компании “А” с учетом изменения β-коэффициента на 2012 год. Он увеличится с 1,5 до 1,9, следовательно:

 
 
 

           Таким образом, в связи с увеличением меры риска ожидаемая доходность также увеличится на 8%.

4. Определим изменение цены облигации в 2012 году, ожидаемое в связи с уменьшением ставки процента на 2%:

 

+35,7 (руб)

            Тем самым, с уменьшением ставки процента по облигации её цена                увеличится на 35,7 руб.

5. Определим цену акции:

 

           Определим текущую доходность  ценной бумаги: 

     Акции Иванова имеют высокую надежность, т. к. компания “А” находится в более чем удовлетворительном экономическом положении, что подкреплено отчетом о проведении анализа авторитетным аналитическим агентством “Б”.

     Вывод: проведя анализ портфеля ценных бумаг Иванова И. И., можно сказать, что он является оптимальным, т. к. в ближайшем будущем ожидается увеличение дохода по данным ценным бумагам. 

Глава 3. Постановка задачи об оптимизации портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа 

     Иванов  И. И. и Сергеев С. С. имеют портфели ценных бумаг с одинаковой структурой, но разными долями. Инвесторы владеют портфелем из обыкновенных акций, привилегированных акций и государственных облигаций. Необходимо сравнить портфели ценных бумаг по критерию Шарпа и сделать вывод о том, чей портфель является оптимальным. При этом известно следующие величины по ценным бумагам:

• для Иванова И. И.:

Средняя доходность обыкновенных акций компании “А” равна 0,54 (54%), привилегированных акций этой же компании – 0,3 (30%), облигаций – 0,16 (16%). Величина риска обыкновенных акций компании “А” равна 0,5 (50%), привилегированных акций этой же компании – 0,25 (25%), облигаций – 0,17 (17%). Попарные коэффициенты корреляции: Капитал между ценными бумагами распределен следующим образом:

• для Сергеева С. С.:

Средняя доходность обыкновенных акций компании “Б” равна 0,36 (36%), привилегированных акций этой же компании – 0,24 (24%), облигаций – 0,17 (17%). Величина риска обыкновенных акций компании “А” равна 0,44 (34%), привилегированных акций этой же компании – 0,19 (19%), облигаций – 0,17 (17%). Попарные коэффициенты корреляции: Капитал между ценными бумагами распределен так: . 

Глава 4. Решение задачи об оптимизации портфеля ценных бумаг по критерию Шарпа 

1. Найдем критерий Шарпа для портфеля Иванова. Для этого сначала найдем среднюю доходность:

 

          Далее вычислим риск (дисперсию  доходности портфеля): 

          Теперь посчитаем критерий Шарпа: 

2. Найдем  критерий Шарпа для портфеля Сергеева. Найдем среднюю доходность:

 

Посчитаем риск портфеля: 

            Далее высчитаем критерий Шарпа для портфеля ценных бумаг Сергеева: 

3. Наконец, сравним оба критерия и сделаем вывод. следовательно, портфель инвестора Сергеева С. С. является оптимальным.

 
 

Заключение 

     Помимо  рассмотренных моделей и методов анализа портфеля ценных бумаг с целью составления оптимального портфеля существует еще большое количество методик. Одной из основных теорий формирования оптимального портфеля является теория Марковица, которая не была рассмотрена в данной курсовой работе.

     В рыночных условиях довольно сложно составить  оптимальный портфель ценных бумаг, т. к. нужно учесть множество факторов и иметь достаточно информации для инвестирования с высокой доходностью и малым риском. Для того, чтобы составить такой набор ценных бумаг, необходимо использовать различные модели и корректировать их с учетом изменения условий на финансовом рынке. Необходимо также помнить, что обстоятельства, в которых находятся инвесторы, различны, поэтому портфели ценных бумаг должны составляться с учетом этих различий. В быстро меняющихся рыночных условиях математические модели являются важным подспорьем, с помощью которого можно оптимизировать портфель с ценными бумагами.

     Таким образом, внимание, которое уделяется портфельным инвестициям, вполне соответствует тем изменениям, которые произошли во второй половине двадцатого столетия в структуре экономики промышленно развитых стран. столетия в экономике промышленно развитых стран. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору «основных» финансовых инструментов (иностранная валюта, государственные облигации, акции и облигации корпораций) добавился постоянно расширяющийся список новых «производных» инструментов, таких как депозитарные расписки, фьючерсы, опционы, варианты, индексы, свопы. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и тонкие стратегии управления доходностью и риском финансовых сделок, отвечающие индивидуальным потребностям инвесторов, требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке.