Аналіз тенденції розвитку

ПЛАН

 

 

1. Виявлення тенденції  розвитку динамічного ряду.

2. Методи згладжування  динамічного ряду.

3. Аналітичне  вирівнювання динамічного ряду.

4. Методи вивчення  сезонних коливань.

 

 

Будь-який ряд динаміки теоретично може бути наведеним у вигляді таких складових частин:

• тренд – основна тенденція розвитку динамічного ряду (до збільшення або зменшення його рівнів);
• циклічні (періодичні) коливання, в тому числі й сезонні;
• випадкові коливання.

Тенденція (тренд) являє собою напрям розвитку певного соціально-економічного явища. В деяких випадках тенденцію можна встановити за значеннями рівнів ряду динаміки. Наприклад, якщо рівні постійно збільшуються, чи зменшуються. Основні тенденції – зростання чи зниження – можна поділити за їх характером. Характер основної тенденції має певне графічне зображення (див. мал. 1 – .3).

 

   у

   

 

 

 

 

 

 

 

       

 

t

Малюнок 1. Рівномірний характер основної тенденції:

                          рівномірне зростання;

                          рівномірне зниження.

Малюнок 2. Прискорений характер основної тенденції:

                              прискорене зростання;

                              прискорене зниження.

Малюнок 3. Уповільнений характер основної тенденції:

                              уповільнене зростання;

                              уповільнене зниження.

 

Характер основної тенденції можна також встановити за допомогою абсолютних ланцюгових приростів. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають додатні значення, динамічний ряд має тенденцію до зростання. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають від’ємні значення, динамічний ряд має тенденцію до зниження. Якщо абсолютні ланцюгові прирости мають однакові значення, то характер тенденції рівномірний (рівномірне зростання чи рівномірне зниження). Якщо кожен наступний ланцюговий приріст більше за попередній, то тенденція має прискорений характер. Якщо кожен наступний ланцюговий приріст менше за попередній, то тенденція має уповільнений характер.

2. Методи згладжування динамічного ряду

Під впливом випадкових факторів рівні динамічного ряду можуть відхилятися в той чи інший бік, тобто коливатися. В таких випадках наочно за величиною рівнів динамічного ряду не завжди можна побачити основну тенденцію розвитку явища, що описується цим динамічним рядом. Тоді для встановлення тенденції розвитку вдаються до згладжування динамічного ряду. Суть цього заходу полягає в тому, що інтервали часових періодів поєднуються, тобто створюються укрупнені інтервали, в яких рівні первинного ряду замінюються середніми величинами цих укрупнених інтервалів. Як правило, для створення укрупнених інтервалів поєднується непарна кількість інтервалів первинного ряду (3, 5 і т. д.).

До найбільш простих методів згладжування динамічних рядів відносяться методи ступінчатої середньої та плинної середньої. Метод ступінчатої середньої полягає в тому, що рівні первинного динамічного ряду поєднуються в збільшені інтервали і розраховуються середні в кожному зі створених інтервалів.

Наприклад, утворюється новий динамічний ряд, в якому окремі інтервали – це об’єднання трьох інтервалів первинного динамічного ряду. В такому разі середня кожного укрупненого інтервалу розраховується так:

 

1 = (у1 + у2 + у3) ׃ 3;

 

2 = (у4 + у5 + у6) ׃ 3;

 

3 = (у7 + у8 + у9) ׃ 3 і т. д.

 

Суть методу середньої плинної полягає в тому, що середні обчислюються також за збільшеними інтервалами, але на відміну від попереднього методу здійснюється послідовне пересування меж збільшених інтервалів на один первинний інтервал до кінця динамічного ряду. У такому разі середні інтервалів розраховуються за формулами:

 

1 = (у1 + у2 + у3) ׃ 3;

 

2 = (у2 + у3 + у4) ׃ 3;

 

3 = (у3 + у4 + у5) ׃ 3 і т. д.

 Якщо значення рівнів похідного (згладженого) динамічного ряду не  дають можливості встановити  чітку тенденцію, проводять нове  згладжування, при цьому беруть  ще більші інтервали. Слід зауважити, що для об’єднання беруться інтервали первинного динамічного ряду. Згладжування повторюють доти, доки не виявиться чітка тенденція, або коли не залишиться три укрупнених інтервали, оскільки подальше згладжування вже не має сенсу. Через дві точки завжди можна провести лінію, але при цьому можна отримати результат, протилежний реальному стану.

На основі проведеного згладжування можна сформулювати такі висновки:

• досліджуване явище має тенденцію до зростання;
• досліджуване явище має тенденцію до спадання;

• тенденцію розвитку досліджуваного явища встановити неможливо.

Під час згладжування слід пам’ятати про те, що укрупнення інтервалів відбувається на однаковій основі, тобто кожен укрупнений інтервал складається з однакової кількості інтервалів первинного динамічного ряду. Тому метод середньої ступінчатої можна застосовувати лише тоді, коли первинний динамічний ряд складається з кількості рівнів, що дозволяє отримувати рівні укрупнені інтервали. На відміну від нього, метод середньої плинної можна застосовувати для будь-якої довжини первинного динамічного ряду.

Згладжування динамічного ряду лише ілюструє тенденцію, але не дає можливості її кількісного вимірювання.

3. Аналітичне вирівнювання  динамічного ряду

Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію розвитку або її характер, то відповідь на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.

Метод аналітичного вирівнювання дає змогу не лише виявити тенденцію розвитку, а й кількісно виміряти її.

Слід зауважити, що в разі застосування обох методів (згладжування та аналітичного вирівнювання), деякі висновки можуть не співпадати. Наприклад, за результатами згладжування ряд уповільнено зростає, а за результатами аналітичного вирівнювання ряд зростає рівномірно. В такому разі перевагу слід надавати висновкам, одержаним за результатами аналітичного вирівнювання як більш точним, оскільки згладжування ряду неминуче веде до втрати певної частини інформації, чого позбавлений метод аналітичного вирівнювання.

Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.

Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:

• вибір виду функції f(t);
• обчислення параметрів функції f(t).

Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.

Кореляційне поле (див. мал.12.4) являє собою координатну площину tOy із зображеними на ній точками з координатами (ti, yi). Для кращого візуального сприйняття кореляційного поля іноді бажано в цій площині побудувати замкнену область, яка б охоплювала (містила в собі) всі або майже всі точки кореляційного поля (див. мал.5).

Часто, на жаль, вид кореляційного поля не дає можливості встановити хоча б наближено вид залежності, як наприклад, на мал. 12.6. В такому разі для досягнення мети провадиться перебір функцій і обирається та, яка є найбільш адекватною.

На практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст:

• лінійна – у = a + bt – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній абсолютний приріст);
• квадратична, або параболічна – y = a + bt + ct 2 – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середня початкова швидкість зростання, с – середній приріст швидкості зростання);
• показникові – y = a*b t – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній темп зростання).

Y

 

* * *   *   *

*    * *   *     *

  *  *   *    *

*  *  *   *  *

*   * *   *  *

    *   *   *   *

   **

* *

 

              t

 

 

   0          

 

Малюнок 4. Кореляційне поле

 

           Y

 

20

*

18   *   *

 

16    *

 *

14  *     *

*    *

12

 

10

            0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10    t 

 

Малюнок 5. Кореляційне поле функції Y = 15,3400 + 0,0206 t.

 

 

 

 

Y 

 

* *  *  * *

* *  *  * * * *  

*  *  * * *  *

*  * *  * *

*  * *  *   *

* *  *  * *

 

 

0           t

 

Малюнок 6. Кореляційне поле

 

Після вибору виду залежності її параметри обчислюються за методом найменших квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів трен-ду, щоб мінімізувати суму квадратів відхилень фактичних значень рівнів ряду від теоретичних рівнів, що розраховані за відповідних значень t.

Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є лінійна функція:

 

 

Параметри та згідно методу найменших квадратів знаходяться рішенням системи нормальних рівнянь:

 

,

 

де  y – фактичні рівні ряду;

      t – порядковий номер періоду або моменту часу;

Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Значення умовних періодів t залежать від того, парну чи непарну кількість рівнів має динамічний ряд.

Якщо число рівнів парне (наприклад, 6), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 1.

 

 

Таблиця 1

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для парної кількості рівнів динамічного ряду

 

Фактичний період	1	2	3	4	5	6
Умовний період	– 5	– 3	– 1	1	3	5

 

 

Якщо число рівнів непарне (наприклад, 7), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 2.

Оскільки мета введення умовного нуля – максимальне спрощення розрахунків, то відстані між сусідніми рівнями динамічного ряду з умовними періодами мають бути мінімальними, проте однаковими впродовж усього ряду. Таким чином, у разі парної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють двом; у разі непарної кількості рівнів динамічного ряду відстані між будь-якими двома рівнями з умовними періодами дорівнюють одиниці. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.

 

 

Таблиця 2

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

 

Фактичний період	1	2	3	4	5	6	7
Умовний період	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3

 

Незалежно від кількості рівнів у динамічному ряді з умовними періодами å t = 0, а тому система нормальних рівнянь для лінійної моделі тренду матиме такий вигляд:

 

.

 

Тоді параметри а0 та а1 для лінійної моделі тренду розраховуються за формулами:

 

а0 =(å у) ׃ n;

 

a1 = (å yt) ׃ å t 2.

 

Якщо у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень. Наприклад, логарифмуванням чи заміною невідомої величини.

Зробити прогноз явища у означає обчислити значення ознаки Y на той майбутній період часу t, який нас цікавить. Очевидно, що будь-який прогноз може бути тільки наближеним і може вважатись реальним тільки за умови збереження у майбутньому тенденції розвитку явища та її характеру. Зрозуміло також, що зі збільшенням віддаленості періоду, на який створюється прогноз, точність прогнозу зменшується, тобто прогноз стає менш надійним. Це пояснюється тим, що в майбутньому можливі певні зміни тенденції розвитку досліджуваного явища або її характеру.

Точковий прогноз здійснюється за допомогою екстраполяції трендової моделі, тобто прогнозоване значення явища обчислюється за встановленою формулою. При цьому слід мати на увазі той факт, що рівняння трендової кривої побудоване з використанням умовних періодів, а тому для визначення точкового прогнозу вводиться наступний період. Наприклад, якщо динамічний ряд містить шість періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного, сьомого періоду (див. табл. 1); якщо динамічний ряд містить сім періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного (умовного) четвертого періоду (див. табл. 2).

Інтервальний прогноз являє собою інтервал значень ознаки у, який із заданою ймовірністю покриває (або має покривати) справжнє значення:

 

,

 

де уt – точковий прогноз;

      – довірче число, яке обирається з таблиць розподілу Стьюдента (якщо кількість рівнів динамічного ряду менше 30) або з таблиць нормального розподілу (якщо кількість рівнів динамічного ряду більша за 30);

– залишкове середнє квадратичне відхилення.

Залишкове середнє квадратичне відхилення розраховується за формулою:

 

,

 

де Y – фактичні рівні досліджуваного динамічного ряду;

Yt – теоретичні значення трендової моделі у відповідні періоди;

n – кількість рівнів динамічного ряду;

m – число параметрів трендової моделі (для лінійної моделі m = 2).

 Такий інтервал називають  довірчим інтервалом, а відповідну  ймовірність – довірчою ймовірністю.

На відміну від точкового інтервальний прогноз може розроблятися лише на наступний період.

 

4. Методи вивчення сезонних  коливань

У процесі порівняння квартальних чи місячних даних багатьох соціально-економічних явищ часто виявляються періодичні коливання, що виникають під впливом змін пори року. Вони є результатом впливу кліматичних умов, загальних економічних факторів, а також багатьох і різноманітних факторів, які часто підлягають регулюванню.

У широкому розумінні до сезонних відносять всі явища, що виявляють в своєму розвитку чітко виражену закономірність змін, що пов’язані зі змінами пори року, тобто більш-менш сталих коливань рівнів, які повторюються щорічно.

 

У статистиці періодичні коливання, що мають певний та постійний період, рівний річному проміжку, носять назву сезонних коливань або сезонних хвиль, а динамічний ряд в цьому випадку називають сезонним рядом динаміки.

Сезонні коливання спостерігаються в різних галузях економіки: у процесі виробництва більшої частини сільськогосподарських продуктів, у будівництві, торгівлі (в тому числі і зовнішньоекономічній діяльності) тощо. Сезонні коливання, як правило, негативно впливають на результати виробничої діяльності, бо призводять до порушень ритмічності виробництва. Комплексне регулювання сезонних змін в окремих галузях економіки повинно ґрунтуватися на дослідженні сезонних коливань.

У статистиці існує низка методів вивчення та виміру сезонних коливань. Найпростіший полягає в побудові спеціальних показників, які називаються індексами сезонності . Сукупність цих показників відображає сезонну хвилю. Індексами сезонності є процентні відношення фактичних (емпіричних) внутрішньогрупових рівнів до теоретичних (розрахункових) рівнів, що беруться за базу порівняння.

Для того, щоб виявити стійку сезонну хвилю, на якій не відобра-жалися б випадкові умови одного року, індекси сезонності обчислюють за даними за кілька років, як правило, не менше трьох, що розподілені за місяцями. Якщо ряд динаміки не містить чітко вираженої тенденції роз-витку, то індекси сезонності розраховуються безпосередньо за емпірик-ними даними без їх попереднього вирівнювання.

Для кожного місяця розраховується середня величина рівня за кількістю обраних років за формулою:

 

,

 

де і – номер місяця (і = 1 12);

j – номер року;

m – кількість років.

Потім обчислюється середньомісячний рівень для усього ряду за формулою:

 

де і – номер місяця (і = 1 12);

j – номер року;

m – кількість років.

Після цього визначається показник сезонної хвилі – індекс сезонності як процентне відношення середніх для кожного місяця до загального середньомісячного рівня ряду у відсотках:

 

(%),

 

де - середня для кожного місяця за обраним числом років (щонайменше за три роки);

- середньомісячний рівень для усього ряду.

Для наочного уявлення сезонної хвилі обчислені індекси сезонності зображують графічно у вигляді ламаної лінії, яка називається хвилею сезонності.

Розглянемо розрахунок індексів сезонності на прикладі обсягів експорту певного виду товару, зареєстрованого на митниці (дані умовні). Вихідні та розрахункові дані наведені у таблиці 3. Середній індекс сезонності для 12 місяців має дорівнювати 100 %, тоді сума індексів має бути рівною 1200 %. В нашому прикладі ця величина становить 1200,4 %. Невелика похибка виникла за рахунок округлень. Чим точніше проводити розрахунки, тим меншою буде похибка.

 

Таблиця 3

Індекси сезонності експорту товару А (дані умовні)

 

Місяць	Експорт товару А, тис. грн.
	1993 рік	1994 рік	1995 рік	Середньо місячний
1	2	3	4	5	6
Січень	102,0	9,7	11,8	10,6	57,6
Лютий	15,2	16,1	14,4	15,2	82,5
Березень	17,3	14,8	15,6	15,9	86,3
Квітень	19,4	22,7	16,5	19,5	105,9
Травень	21,2	25,4	29,1	25,2	136,8
Червень	26,1	28,2	25,2	26,5	143,9

 

Закінчення таблиці 3

 

1	2	3	4	5	6
Липень	28,3	25,8	23,5	25,6	140,6
Серпень	21,4	23,3	23,6	22,8	123,8
Вересень	22,1	20,7	18,2	20,3	110,2
Жовтень	14,6	15,2	16,3	15,4	83,6
Листопад	9,5	8,6	13,3	10,5	57,0
Грудень	12,4	12,9	14,6	13,3	72,2
Разом	217,7	223,4	221,2	221,1	1200,4
У середньому	18,14	18,61	18,51	18,42	100

 

Аналіз даних таблиці 3 дозволяє зробити такі висновки:

1. експорт товару А характеризується чітко визначеною сезонністю;
2. експорт товару А за окремими місяцями року відхиляється від середньомісячної на 42 – 44 %;
3. найменший експорт товару А припадає на листопад (57 %);
4. найбільший експорт товару А припадає на липень (143,9 %).

Для наочного уявлення сезонної хвилі індекси сезонності зображують у вигляді графіка (малюнок 7).

Коли рівень виявляє тенденцію до збільшення або зменшення, то відхилення від постійного середнього рівня можуть спотворити сезонні коливання. У таких випадках фактичні дані порівнюються зі згладженими, тобто отриманими за допомогою аналітичного вирівнювання. Формула для розрахунку індексу сезонності в цьому випадку має вигляд:

 

,

 

де - розрахункові рівні;

- фактичні рівні;

n – число років.

 

 

 

 

 

 

 

 

Is
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Місяці

Малюнок 7. Сезонна хвиля експорту товару А