Эконометрика и эконометрическое моделирование

ФГБОУ ВПО

 

«ЧЕЧЕНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

 

 

 

 

 

Кафедра математических методов анализа экономики

 

 

 

 

Лекции по дисциплине

 

_{«ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»}

 

 

 

 

 

Составитель: старший

  преподаватель кафедры «ММАЭ» 

                                                                                              Товсултанов Абубакар Алхазурович                                                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Грозный 2013

 

Тема 1. Введение. Эконометрика и эконометрическое моделирование.

 

 

Вопросы

• Понятие эконометрики.
• Типы экономических данных, используемых в эконометрических исследованиях: пространственные данные и временные ряды
• Специфика экономических данных
• Классификация эконометрических моделей
• Основные этапы построения эконометрических моделей

 

 

  Термин «эконометрика»  появляется в литературе в  начале двадцатого века и означает  «эконометрические измерения».  Приведем  некоторые используемые в литературе определения  эконометрики.

  Эконометрия  (эконометрика), наука, изучающая конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических и статистических методов и моделей¹.

Наиболее часто используют определение эконометрики, которое  предложил известный российский ученый С.А. Айвазян.

Эконометрика – это  самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей,  предназначенная для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим закономерностям, обусловленным экономической теорией  взаимосвязей экономических явлений и процессов [7].

В мировой науке эконометрика занимает достойное место. Свидетельством этого является присуждение за наиболее выдающиеся разработки в этой области Нобелевских премий по экономике  Рагнару Фришу и Яну Тильбергену (1969), Лоуренсу Клейну (1980), Трюгве Хаавельмо (1989),  Роберту Лукасу (1995), Джеймсу Хекману и Даниелю Мак-Фаддену (2000) [8].

 

Типы экономических данных, используемых в эконометрических исследованиях.

Пространственные  данные – характеризуют ситуацию по конкретной переменной (или набору переменных), относящейся к пространственно разделенным сходным объектам в один и тот же момент времени. Таковы, например, данные по курсам покупки или продажи наличной валюты в конкретный день по разным обменным пунктам г. Москвы. Другим примером является, скажем, набор сведений (объем производства, количество работников, доход и др.) по разным фирмам в один и тот же момент времени или период.

Временные ряды отражают изменения (динамику) какой-либо переменой на промежутке времени. В качестве примеров временных рядов можно привести ежеквартальные данные по инфляции, данные по средней заработной плате, национальному доходу и денежной эмиссии за несколько и др.

●Специфика экономических данных.

В эконометрике решаются задачи описания данных, оценивания, проверки гипотез, восстановления зависимостей, классификации объектов и признаков, прогнозирования, принятия статистических решений и др.

При выборе  методов  анализа конкретных экономических  данных следует учитывать, что  экономические данные обладают рядом особенностей.

Многие экономические показатели неотрицательны. Значит, их надо описывать неотрицательными случайными величинами.

В экономике доля нечисловых данных существенно выше, чем в технике и, соответственно больше применений для статистики объектов нечисловой природы.

Количество изучаемых объектов в экономическом исследовании часто ограничено в принципе, поэтому обоснование вероятностных моделей в ряде случаев затруднено. 

Экономические процессы развиваются  во времени, поэтому большое место в эконометрике занимают вопросы анализа и прогнозирования временных рядов, в том числе многомерных. При этом следует отметить, что временные ряды качественно отличаются  от простых статистических выборок.  Эти особенности состоят в  следующем:

• последовательные по времени уровни временных рядов являются     взаимозависимыми, особенно это относится  к  близко  расположенным   наблюдениям;
• в зависимости от момента наблюдения уровни во временных рядах обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;
• с увеличением  количества уровней временного ряда точность  статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений,  а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться. [8].

 

 Переменные, участвующие в эконометрической модели любого типа, разделяются на следующие типы.

Результирующая (зависимая, эндогенная) переменная   Y

Она характеризует результат  или эффективность функционирования экономической системы. Значения ее формируются в процессе и внутри функционирования этой системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации, управлению и планированию.  В регрессионном анализе результирующая переменная играет роль функции, значение которой определяется значениями объясняющих переменных, выполняющих роль аргументов. По своей природе результирующая переменная всегда случайна (стохастична).

Объясняющие (экзогенные,  независимые) переменные  X

Это — переменные, которые  поддаются регистрации и описывают условия функционирования реальной экономической системы. Они в значительной мере определяют значения результирующих переменных. Обычно часть из них поддается регулированию и управлению. Значение этих переменных могут задаваться вне анализируемой системы. Поэтому их называют экзогенными. Еще их называют факторными признаками. В регрессионном анализе это аргументы результирующей функции Y. По своей природе они могут быть как случайными, так и неслучайными.

Любая эконометрическая модель предназначена для объяснения значений текущих эндогенных переменных (одной или нескольких) в зависимости от значений заранее определенных переменных.

Переменные, выступающие  в системе в роли факторов-аргументов, или объясняющих переменных называют предопределенными. Множество предопределенных переменных формируется из всех экзогенных переменных  и так называемых лаговых эндогенных переменных, т. е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы измеренными в прошлые моменты времени, а, следовательно, являются уже известными, заданными.

 

Тема 2.   Типы эконометрических моделей

 

Можно выделить три основных класса моделей, которые применяются для анализа и прогнозирования экономических систем

• модели временных рядов;
• регрессионные модели с одним уравнением;
• системы одновременных уравнений.

Модели временных  рядов

Модели временных рядов представляют собой модели зависимости результативного признака  от времени.

К ним относятся

• модели кривых роста (трендовые модели),
• адаптивные модели,
• модели авторегрессии и скользящего среднего.

С помощью таких моделей можно  решать задачи прогнозирования объема продаж, спроса на продукцию, краткосрочного прогноза процентных ставок и др.

Регрессионные модели с одним уравнением

В регрессионных  моделях зависимая (объясняемая) переменная Y  может быть представлена  в виде  функции     f (X₁,  X₂,  X₃,  … X_k), где -   независимые (объясняющие) переменные, или факторы; k – количество факторов. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, характеризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги.  В зависимости от вида  функции f ( ) модели делятся на линейные и нелинейные. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).

Примеры задач, решаемых  с помощью регрессионных моделей.

• Исследование зависимости заработной платы (Y) от возраста (X₁), уровня образования (X₂), пола (X₃), стажа работы (X₄)  ( ).
• Прогноз и планирование выпускаемой продукции по факторам производства (производственная функция  Кобба – Дугласа означает, что объем выпуска  продукции (Y), является функцией количества капитала   ( K )  и количества (L) труда).
• Прогноз объемов потребления продукции или услуг определенного вида (кривая Энгеля    ,   где Y -удельная величина спроса, Х - среднедушевой доход).

Системы эконометрических уравнений

Сложные социально-экономические явления иногда  невозможно адекватно описать с помощью только одного соотношения (уравнения). Модели с одним уравнением не отражают взаимосвязей между объясняющими переменными или их связей с другими переменными.  Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

Для  оценивания систем одновременных уравнений используются специальные методы.

 

Эконометрические методы используются в экономических и  технико-экономических исследованиях, работах по управлению (менеджменту).

 Каждой области  экономических исследований, связанной  с анализом эмпирических данных, как правило, соответствуют свои  эконометрические модели.

 

Тема 3.   Парная регрессия и корреляция².

Вопросы

• статистическая зависимость (независимость) случайных переменных. Ковариация.
• Анализ линейной статистической связи экономических данных, корреляция; вычисление коэффициентов корреляции.
• линейная модель парной регрессии.
• Оценка параметров модели с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
• Оценка существенности параметров линейной регрессии.
• Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии.

 

Материал данной темы  частично знаком студентам  и подробно изложен в учебном пособии [1] стр. 170 -176 и 190 - 207.

 

Рассматривая зависимости между  признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости: 1) функциональные и 2) корреляционные.

Функциональные связи характеризуются  полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Так, величина начисленной заработной платы при повременной оплате труда зависит от количества отработанных часов.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Основная задача корреляционного анализа заключается в выявлении взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Кроме того, с помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.

При проведении корреляционного анализа  вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n –наблюдений.

При изучении взаимосвязи между  двумя факторами их, как правило, обозначают X= и Y=

.

ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух  переменных.

Например, положительное значение ковариации доходности двух ценных бумаг показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

 

Ковариация между двумя переменными  рассчитывается следующим образом:

                      ,                             

 

 

где  - фактические значения случайных переменных x и y,

  .    

 

Ковариация зависит от единиц, в  которых измеряются переменные .

Поэтому для измерения силы связи  между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая  коэффициентом корреляции.

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Вычисление коэффициента парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции

Для двух переменных

коэффициент парной корреляции определяется следующим образом:

 

=       ,       (1)                         

 

где               - оценки дисперсий величин .

 

Дисперсия (оценка дисперсии)

 

                                                                           

характеризуют степень разброса значений   ( )  вокруг своего среднего    ( , соответственно), или вариабельность  (изменчивость) этих переменных на множестве наблюдений.

В общем случае для получения несмещенной оценки дисперсии сумму квадратов следует делить на число степеней свободы оценки (n−p), где n - объем выборки, p - число наложенных на выборку связей. В данном случае p = 1, т.к. выборка уже использовалась один раз для определения среднего X, поэтому число наложенных связей равно единице, а число степеней свободы оценки (т.е. число независимых элементов выборки) равно (n −1).

Более естественно  измерять степень разброса значений переменных в тех же единицах, в которых измеряется и сама переменная. Эту задачу решает показатель, называемый среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением, или  стандартной ошибкой  переменной Х (переменной Y), определяемый соотношением:

 

                                                                               

 

Слагаемые в числителе формулы (1) выражают взаимодействие двух переменных и определяют знак (положительной или отрицательной) корреляции. Если, например, между переменными существует сильная положительная взаимосвязь (увеличение одной переменной при увеличении второй), каждое слагаемое будет положительным числом. Аналогично, если между переменными существует сильная отрицательная взаимосвязь, все слагаемые в числителе будут отрицательными числами, что в результате дает отрицательное значение корреляции.

Знаменатель выражения для коэффициента корреляции просто нормирует числитель таким образом, что коэффициент корреляции оказывается легко интерпретируемым числом, не имеющим размерности,  в диапазоне от -1 до 1.

Числитель выражения для коэффициента корреляции, который трудно интерпретировать из-за необычных единиц измерения, называется ковариацией Х и Y. Несмотря на то, что иногда он используется как самостоятельная характеристика (например, в теории финансов для описания совместного изменения курсов акций на двух биржах), удобнее пользоваться коэффициентом корреляции. Корреляция и ковариация представляют, по сути, одну и ту же информацию, однако корреляция представляет эту информацию в более удобной форме.

Следует отметить, что  величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и еще одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициента корреляции.

Связано это с тем, что оценка степени тесноты связи  с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. Возникает вопрос, насколько правомерно наше заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой была произведена выборка?

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком, обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объемах выборочной совокупности.

В этой связи и возникает  необходимость оценки существенности линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Оценка  значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием  t - критерия Стьюдента. При этом фактическое (наблюдаемое) значение этого критерия определяется по формуле:

 

                                                                            

 

Вычисленное по этой формуле  значение     t_набл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n-2).

Если t_набл > t_кр, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю генерального коэффициента корреляции, отвергается). И таким образом делается вывод о том, что между исследуемыми переменными  есть тесная статистическая взаимосвязь.

Удобным графическим  средством анализа парных данных является  диаграмма рассеяния, которая представляет каждое наблюдение в пространстве двух измерений, соответствующих двум факторам.

Диаграмму рассеяния, на которой изображается совокупность значений двух признаков, называют еще корреляционным полем. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты X_i   и Y_i. По мере того, как возрастает сила линейной связи, точки на графике будут лежать более близко к прямой линии, а величина r будет ближе к 1.

 

Тема 5. Парная регрессия

Регрессионный анализ³ занимает ведущее место в математике статистических методах эконометрики. До регрессионного анализа следует проводить корреляционный анализ, в процессе которого оценивается степень тесноты статистической связи между исследуемыми переменными. От степени тесноты связи зависит прогностическая сила регрессионной модели.

Регрессионный анализ предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

В регрессионных  моделях зависимая (объясняемая) переменная Y  может быть представлена  в виде  функции     f ( ), где -   независимые (объясняющие) переменные, или факторы.

Связь между переменной Y и k независимыми факторами Х можно охарактеризовать функцией регрессии Y= f ( ),  которая показывает, каково будет в среднем значение переменной y_i, если переменные X_i примут конкретные значения.

Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.

 

Сформулируем регрессионную  задачу для случая одного факторного признака.

Пусть имеется набор  значений двух переменных: Y= - объясняемая переменная и X= -  объясняющая переменная,  каждая из которых содержит n наблюдений.

 Пусть между переменными X=   и Y= теоретически существует некоторая линейная зависимость

                                      .

              Данное уравнение будем называть  «истинным» уравнением регрессии.

 Однако в действительности  между X и Y наблюдается не столь жесткая связь. Отдельные наблюдения будут отклоняться от линейной зависимости в силу воздействия различных причин. Обычно зависимая переменная находится под влиянием целого ряда факторов, в том числе и не известных исследователю, а также случайных причин (возмущения и помехи); существенным источником отклонений в ряде случаев являются ошибки измерения. Отклонения от предполагаемой формы связи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильного выбора вида самого уравнения, описывающего эту зависимость. Учитывая возможные отклонения, линейное уравнение связи двух переменных (парную регрессию) представим в виде

                                 ,                                                          (2)

где - постоянная величина (или свободный член уравнения), - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной , при изменении значения на единицу. Если - переменные и положительно коррелированные, если < 0 – отрицательно коррелированны; - случайная переменная, или случайная составляющая, или остаток, или возмущение.  Она отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением Х – присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.

 Таким образом, в уравнении (2) значение каждого наблюдения представлено как сумма двух частей — систематической и случайной . В свою очередь систематическую часть можно представить в виде уравнения

                                                   

Можно сказать, что общим  моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части — объясненную и случайную.

                                                     .

Тема 6. Основные предпосылки метода наименьших квадратов.

 

Свойства коэффициентов  регрессии существенным образом зависят от свойств случайной составляющей. Для того чтобы регрессионный анализ, основанный на обычном методе наименьших квадратов, давал наилучшие из всех возможных результаты, должны выполняться следующие условия, известные  как условия Гаусса – Маркова.

· Первое условие.  Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю. Иногда случайная составляющая будет положительной, иногда отрицательной, но она не должна иметь систематического смещения ни в одном из двух возможных направлений.

                                                                                                 

Фактически  если уравнение регрессии включает постоянный член, то обычно это условие выполняется автоматически, так как роль константы состоит в определении любой систематической тенденции , которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в уравнение регрессии.

· Второе условие состоит в том, что модели (2) возмущение (или зависимая переменная ) есть величина случайная, а объясняющая переменная - величина неслучайная.

Если это  условие выполнено, то теоретическая  ковариация между независимой переменной и случайным членом равна нулю.

 

· Третье условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях. Например, если случайная составляющая велика и положительна в одном наблюдении, это не должно обусловливать систематическую тенденцию к тому, что она будет большой и положительной в следующем наблюдении. Случайные составляющие должны быть  независимы друг от друга.

В силу того, что  , данное условие можно записать следующим образом:

                                                                   

Возмущения  не коррелированны (условие независимости случайных составляющих в различных наблюдениях).

 

Это условие  означает, что отклонения регрессии (а значит, и сама зависимая переменная) не коррелируют. Условие некоррелируемости ограничительно, например, в случае временного ряда . Тогда третье условие означает отсутствие автокорреляции ряда .

· Четвертое условие означает,  что дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Иногда случайная составляющая будет больше, иногда меньше, однако не должно быть априорной причины для того, чтобы она порождала  большую ошибку в одних наблюдениях, чем в других.

Эта постоянная дисперсия  обычно обозначается , или часто в более краткой форме , а условие записывается следующим образом:

                                                                                        

    Величина  , конечно, неизвестна. Одна из задач регрессионного анализа состоит в оценке стандартного отклонения случайной составляющей.

Это условие  гомоскедастичности, или равноизменчивости случайной составляющей (возмущения).

    · Предположение о нормальности

Наряду с  условиями Гаусса— Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена. Дело в том, что если случайный член нормально распределен, то так же будут распределены и коэффициенты регрессии.

Тема 7. Свойства оценок МНК.

В тех случаях, когда предпосылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.