Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

Экономико-математическое моделирование в микроэкономике

04.09.2012

 

Общие сведения о моделировании  и экономико-математических моделях.

Моделирование основывается на существовании  аналогии (подобие, сходство) между  двумя объектами или явлениями, имеющими часто качественно различную  природу. Один из объектов рассматривается  как оригинал, а второй как его  модель (копия). При изучении методом  аналогии непосредственному исследованию всегда подвергается одна система, а  вывод делается для другой. Модель представляет собой отображение  каким-либо способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей реальных систем. А под моделированием понимается воспроизведение или  имитирование какой-либо существующей системы на специально построенном  аналоге или модели. Моделирование  используется как способ исследования, изучения сложных систем и явлений. Исследование системы на моделях  имеет ряд преимуществ перед  исследованиями их методом эксперимента:

Объект, явление или процесс  можно представить в чистом виде, не искаженном посторонними влияниями  и ненужными деталями.

С моделью возможен опыт там, где  он не возможен из-за недоступности  реального объекта или дороговизны.

Модель дает возможность многократного  повторения опыта до получения всесторонне  обоснованных выводов до познания сущности явления.

Моделирование позволяет экспериментировать с системой, меняя ее характеристики и исследуя поведение, что не всегда возможно при непосредственном изучении реальных систем, например, в экономике.

Изучение процесса на моделях обходятся  дешевле и требует значительно  меньших затрат времени.

 

В качестве модели могут использоваться различные подобия систем : физические, биологические, математические и т.д.

При исследовании больших экономических  систем часто используются геометрические модели, представляющие собой карты  размещения производства, путей сообщения  и т.д. Это наиболее простые способы  моделирования. Для более глубокого исследования и изучения систем используется математическое моделирование. Под ним понимается описание или представление наиболее важных причинных и функциональных взаимосвязей и зависимостей, существующих в реальной действительности в математической форме. Математическая модель имеет другую по сравнению с реальным объектом природу и представляет собой уравнение или систему уравнений и неравенств, описывающую взаимосвязи, происходящие в оригинале. Математическая  модель является абстракцией данной реальной действительности и выражает наиболее важные ее свойства. Математические модели, реализованные на компьютере за короткое время, выявляет поведение систем при разных условиях без малейшего вмешательства в ход реального процесса.

В экономике это универсальный  метод научного познания.

Практическими задачами математического  моделирования являются:

1.анализ экономических объектов

2.экономическое прогнозирование

3.предвидение развития хозяйственных  процессов и поведения отдельных  показателей

4.выработка управленческих решений  на всех уровнях управления.

В экономике для решения подобных задач  применяются разнообразные  математические модели.

Математическое моделирование  оформилось в самостоятельную теорию, которая ставит и решает вопросы  о том, каким образом и по каким  правилам необходимо конструировать модели, чтобы изучаемые процессы описывались  математическими зависимостями, тождественными закономерностям, присущим реальным объектам.

Экономико-математическая модель описывает  количественные взаимосвязи и взаимозависимости  экономических систем или процессов. Т.к. экономические системы характеризуются огромным кол-вом взаимосвязей, детальный учет которых привел бы к громоздким и к практически не используемым моделям или в системе моделей, то в практике моделирования используются ограничивающие и не ограничивающие условия. При этом важно включить в модель факторы, оказывающие основное влияние на объект, процесс и не менее важно исключить те из них, которые не оказывают на него существенного влияния. Экономико-математическая модель всегда является не точной копией, а некоторой абстракцией данной экономической системы.

На развитие экономико-математическое моделирование и создание соответствующих  математических методов построения моделей оказали серьезное влияние : математика, кибернетика и экономика. Значительная часть этих направлений  объединилась под названием «исследование  операций».

 

Исследование операций. Основные понятия.

Термин «исследование операций»  означает всестороннее изучение проблемы перед принятием решения. Появился термин в начале 2 мировой войны  и был связан с исследованиями в оборонной и военной областях в Англии, США, Канаде.

Исследование операций – это  математическая дисциплина, представляющая совокупность математических методов, занимающихся вопросами выбора на заданном множестве допустимых решений, того решения, которое по некоторым критериям  является оптимальным. Методы исследования операций начали успешно применяться  в самых различных сферах деятельности для решения задач прогнозирования, учета, финансовой деятельности, управления экономикой, сбыта и рекламой, управление трудовыми ресурсами, экономического анализа инвестиций, информационных систем для управления, выбора планирования и управления разработкой проекта, составление календарных планов производства, управление запасами, замены, ремонта и анализа надежности оборудования, планирование производства и т.д.

Таким образом, сфера микроэкономики прочно заняла свое место как сфера  приложения методов исследования операций. Исследование операций в зависимости  от конкретных задач и методов  их решения разделяется на ряд  самостоятельных научных направлений. Таких дисциплин как, математическое программирование, сетевое планирование, теория игр, теория графов и т.д.

 

Операция – всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению конкретной цели. Цель исследования операции – предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Всякий определенный выбор, параметр называется решением.

Оптимальным называется решение по тем или другим признакам предпочтительное перед другими.

Параметры, совокупность которых образует решение, называется элементами решения.

Множеством допустимых решений  называются заданные условия, которые  фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности –  эко количественная мера, позволяющая  сравнивать разные решения по эффективности. Все решения принимаются на основе информации, которой располагает  лицо, принимающее решении.(ЛПР). В  качестве ЛПР может выступать  как одно лицо, так и группа лиц, принимающих решение. Каждая задача должна отражать структуру и динами знаний ЛПР во множестве допустимых решений и о показателе коллективного  принятия решений.

По степени определенности информации задачи делят:

-задачи выбора в условиях  определенности 

-в условиях неопределенности

По структуре альтернатив выделяют задачи условного выбора и задачи выбора на конечном множестве альтернатив.

По степени информированности  ЛПР :

-новые

-повторяющиеся задачи

Существует большое число и  других критериев классификации.

Определение типа задачи помогает понять ее специфику и выбрать наиболее подходящие методы решения.

 

Особенности экономических наблюдений и измерений

Одной из главных проблем практического  применения математического моделирования  в экономике является наполнение разработанных моделей конкретной и качественной информацией. Точность и полнота первичной информации, реальные возможности ее сбора и обработки во многом определяют выбор типов прикладных моделей.

В экономике многие процессы являются массовыми. Они характеризуются  закономерностями, которые не обнаруживаются на основании одного или нескольких наблюдений. Моделирование в экономике  должно опираться на массовые наблюдений.

Вторая проблема – это динамичность экономических процессов, изменчивость их параметров и структурных отношений. Экономические процессы приходится постоянно держать под наблюдением, необходимо иметь устойчивый поток  новых данных. При построении экономических  моделей в экономике, часто требуется  корректировать исходную информацию с  учетом ее запаздывания.

Точность измерений в значительной степени предопределяет и точность конечных результатов количественного  анализа с помощью моделирования. Применение математического моделирования  выявило проблемы измерений и  количественных сопоставлений различных  аспектов и явлений социально-эк. развития, достоверности и полноты  получаемых данных, их защиты от намеренных и технических искажений.

В настоящее время наиболее актуальными  проблемами являются :

-построение обобщающих показателей  социально-экономического развития

-измерение эффектов обратных  связей, т.е. влияние хозяйственных  и социальных механизмов на  эффективность производства

Сложность экономических процессов  и явлений затрудняет не только построение математических моделей, но и проверку их адекватности, но и получаемую истину их адекватности.

Значительную роль в проверке моделей  принадлежит практическому анализу, в том числе средствами самого математического моделирования. Всесторонний анализ выявляемых расхождений между действительностью и моделью, сопоставление результатов по модели с результатами, полученными другими методами помогает выбрать пути коррекции моделей. Оценивая современное состояние, проблемы адекватности математических моделей в экономике, специалисты признают, что создание конструктивной комплексной методики, верефикации моделей, учитывающей как объективные особенности моделируемых объектов, так и особенности их познания, по-прежнему являются одной из наиболее актуальных задач экономико-математических исследований.

 

11.09.2012

 

Классификация математических моделей  в экономике

Общая классификация экономико-математических моделей включает более 10 основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификаций  моделей усложняется. На ряду с появлением новых типов моделей, особенно смешанных  типов и новых признаков их классификации осуществляется процесс  интеграции моделей разных типов  в более сложные модельные  конструкции. Например, по соотношению  экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут  разделяться на открытые и закрытые, полностью открытых моделей не существует. Модель должно содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных также встречаются редко. Их построение требует полного абстрагирования  от среды, т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих  внешние связи. Подавляющее большинство  экономико-математических моделей  занимает промежуточное положение, и они различаются по степени  открытости и закрытости. В качестве признаков в классификации могут выступать:

1.функциональность ( планирование, бух  учет, экономический анализ). 

2.способ описания (формальные, алгоритмические,  программные)

3.по размерности (макро модели, микро модели, локальные)

4.по цели применения (статистические, балансовые, оптимизационные)

5.по учету временного фактора  (статистические, динамические, экстраполяционные)

 

 

 

 

 

 

однокватариальные

 многокватариальные

 

 

 

Мат.модели

 

 

 

Детерминированные стохастические модели с элементами

            модели (модели стахост.программир, неопределенности

(линейные, нелинейные модели теории случайных (модели теории игр,

Динамические, графические) процессов, массового обслуж.) имитационные мод.)

 

Многокритериальные математические модели содержат 2 и более критерия. Это сложный класс задач.

В детерминированных моделях неизвестные  факторы не учитываются. К этим моделям  сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических  задач. По виду целевой функции и  ограничений модели делятся на указанные  выше виды.

В линейных моделях ЦФ и ограничения  линейны по управляемым переменным. Построения за счет линейных моделей  являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому  часто к ним стараются свести и другие задачи, либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные  методы решения.

В нелинейных моделях, либо в целевой  функции, либо в ограничениях присутствует нелинейность по управляемым переменным.

Динамическое программирование, подход в котором решения задачи осуществляется поэтапность  определением оптимального решения на каждом этапе.

Графические модели используются для  решения задач, в которых наиболее целесообразно использовать графическую  структуру решаемой задачи и соответствующий  подход (СПУ).

В стохастических моделях неизвестные  факторы – это случайные величины, для которых известны функции  распределения и различные статистические характеристики. Стахостическое программирование представляет собой совокупность методов  решения оптимизационных задач  вероятностного (стохастического) характера. Задача об оптимальном использовании  ресурсов, транспортная задача и другие становятся задачами стохастического  программирования, если параметры ЦФ, либо системы ограничений или  и те, и другие рассматривать как  случайные величины. В стохастической постановке эти задачи полнее отображают экономическую действительность. При  решении стохастических задач проще  всего найти среднее значение для всех случайных параметров и  свести такие задачи к обычным  детерминированным задачам математического  программирования. Но такой подход не всегда эффективен, т.к. при некоторых  реализациях случайных величин (параметров) можно придти к решению, далекому от оптимального или даже к отсутствию решения задачи. Другой подход состоит  в том, что на первом этапе устанавливается  предварительный оптимальный план на основе решения детерминированной  задачи, который и реализуется  на этом этапе. Далее на втором и  последующих этапах этот план корректируется в соответствии с реальными статистическими  характеристиками параметров.

Модели теории случайных процессов  предназначены для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной.

Модели теории массового обслуживания – изучают многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

К стохастическим моделям относят  также модели управления запасами, модели теории полезности, поиска и  принятия решений. Для моделирования  ситуаций, зависящих от факторов, для  которых не возможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенность. В моделях теории игр задача представляется в виде игры, в которой участвуют  несколько игроков, преследующих разные цели (организация предприятия в  условиях конкуренции).

В имитационных моделях реальный процесс  разворачивается в машинном времени  и прослеживаются результаты случайных  воздействий на него. Например, организация  производственного процесса.

 

Основные принципы и этапы экономико-математического  моделирования

1.Постановка экономической проблемы  и ее качественный анализ.

Главное четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения  и те вопросы, на которые требуется  получить ответы. Этот этап включает выделение  важнейших черт и свойств моделируемого  объекта, абстрагирования от второстепенных, изучение структуры объекта и  основных зависимостей, связывающих его элементы,  формулирование гипотез хотя бы предварительных, объясняющих поведение и развитие объекта.

2.Построение математической модели.

Это этап формализации экономической  модели, выражение ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений. Обычно сначала определяется основная конструкция (тип математической модели), а затем уточняются детали этой конструкции, т.е. конкретный перечень переменных и  параметров, форма связей. Таким  образом, построение модели подразделяется на несколько стадий. Неправильно  полагать, что чем больше факторов учитывает модель, тем она лучше  работает и дает лучшие результаты. Тоже можно сказать и о таких  характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейная, нелинейная), учет факторов случайностей и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования, поэтому необходимо сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом, т.к. при возрастании сложности  модели прирост затрат может превысить прирост эффекта. Для новой экономической задачи в начале можно попытаться применить уже известные модели. В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление 2 систем научных знаний (математических и экономических). Необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Но возможна и ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной математической структуре. Так потребности экономической науки и практики способствовали развитию математического программирования теории игр, вычислительной математики и т.д. Развитие экономической науки становится важным стимулом для создания новых разделов математики.

3.математический анализ модели.

Цель – выяснение общих свойств  модели. Применяются математические приемы исследования. Наиболее важный момент – доказательство существование  решений сформулированной модели (теорема  существования). Если математическая задача не имеет решения, то следует скорректировать  либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как: единственно ил решение, какие элементы могут входить в решение, каковы соотношения между ними, в каких  пределах и в зависимости от каких  исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменений.

Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим имеет  то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных  конкретных значениях внешних и  внутренних параметров модели.

Если модели сложных экономических  объектов практически не поддаются  аналитическому исследованию, не удается  выяснить общих свойств модели, а  упрощения приводят к недопустимым результатам, то переходят к численным  методам исследования.

4.подготовка исходной информации.

Моделирование предъявляет жесткие  требования к системе информации. Реальные возможности получения  информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание принципиальная возможность подготовки информации и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации. В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5.Численные решения

Включает разработку алгоритмов для  численного решения задачи, составления  программ и непосредственное проведение расчетов. Могут использоваться разработанные  программы, модули информационных систем. Трудности – это большая размерность  экономических задач, необходимость  обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер, удается проводить многочисленные эксперименты, изучая поведение модели при различных изменениях некоторых  условий. Исследование проводимое численными методами может существенно дополнить  результаты аналитического исследования. Класс экономических задачЮ которые  можно решать численными методами значительно  шире, чем класс задач доступных  аналитическому исследованию.

6.анализ численных результатов  и их применение

На этом этапе встает вопрос о  правильности и полноте результатов  моделирования, о степени практической применимости результатов. Мат методы проверки могут выявлять некорректное построение модели, сужая класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных  результатов, получаемых с помощью  модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и факторами также позволяет  обнаруживать недостатки постановки экономической  задачи, сконструированной мат.модели, ее информационного и математического обеспечения. В случае положительного анализа результатов экономическая задача является решенной и ее результаты используются в практике управления, прогнозирования и т.п.

 

24.10.12

Типовые задачи линейного программирования в микро экономике

Задача планирования производства.

Для изготовления различных видов  изделий используются  разные ресурсы. Общие запасы каждого ресурса, кол-ва ресурса каждого типа, затраченного на изготовление одного изделия каждого  вид и прибыль, получаемая от реализации одного изделия каждого вида  заданы. Необходимо составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную суммарную прибыль  от реализации изделий.

Построение математической модели.

Математическая модель строится поэтапно:

1.цель – максимизация прибыли.  Задача решается в общем виде, поэтому для определения параметров  вводятся условные обозначения:

n - число различных типов изделий

m – ресурсов

bi – запас ресурса i типа (i=1…m)

аij – кол-во ресурсов i типа для изготовления одного изделия j вида  (i=1…m; j =1 ….n)

Pj – прибыль от реализации одного изделия

Хj – число изделий j вида

Ограничение задачи – это ограничения  по ресурсам и условия не отрицательности  управляемых переменных. Таким образом, можно построить математическую модель.

Р=∑РjXjà max      (*)

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≤ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≤b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≤bm

Xj≥0, j=1….n

 

 

В зависимости от * или ** - это математическая модель поставленной задачи. В результате ее расчетов определяют оптимальный  план производства, т.е. кол-во изделий  каждого вида, которые надо изготовить так, чтобы при этом была максимальная прибыль (*) и не был превышен запас  ресурсов (**)

 

 

Задача 2.

Формирование минимальной потребительской  продовольственной корзины.

Задан ассортимент продуктов, имеющихся  в продаже. Каждый продукт содержит определенное кол-во разных питательных  веществ каждого вида. Необходимо определить требуемую потребительскую  продовольственную корзину, имеющую  минимальную стоимость.

Цель – минимизация стоимости потребительской корзины.

Параметры задачи:

n – число различных продуктов, имеющихся в продаже

m- число различных питательных веществ необход.человеку

aij –содержание i питательного вещества и j продукте.

bi –кол-во i питательного вещества, необходимого человеку

Сj – стоимость j продукта

Управляемая переменная Хj – это кол-во j продукта, входящего в потребительскую корзину J=1…n

Критерий оптимальности :

С=∑СjXjàmin (*)

 

Область допустимых решений определяется системой неравенств, содержащей условия  по необходимому уровню потребления  каждого питательного вещества во всех продуктах и условия не отрицательности  управляемых переменных.

 

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≥ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≥b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≥bm

Xj≥0, j=1….n

 

(*) и (**) – это линейная математическая  модель. После ее расчета определяется  состав минимальной по стоимости  продовольственной корзины.

 В группу аналогичных задач  попадают задачи о смесях при  минимизации стоимости единицы  веса., задачи о минимизации рациона  кормовых смесей. В задачах данного типа возможно включение дополнительного ограничения по сумме компонентов в единице выпускаемой продукции.

 

Задача 3.

Составление плана реализации товара.

Фирма реализует различные товары, используя при этом определенный набор средств: технических, людских, денежных. Общий запас средств, число  средств каждого вида, используемых при реализации единицы любого товара и прибыль от его продажи заданы. Надо сформировать план реализации товаров, приносящий фирме максимальную прибыль.

Цель – максимизация прибыль

Параметры:

N –число различных видов реализуемых товаров

m-число разных видов средств

bi-запас средств i вида

aij-число средств i вида, используемых для реализации единицы товара j вида

Рj – прибыль от реализации единицы товара j вида

Управляемая переменная Хj – кол-во реализуемого товара j вида

Критерий оптимальности (ЦФ) определяется :

 

 

 

Р=∑РjXjà max  (*)    (суммарная прибыль от реализации товара)

А11Х1+а12Х2+…+а1nХn ≤ b1      (**)

А21Х1+а22Х2+…+а2nХn≤b2

Аm1Х1+аm2X2+…+a2nXn≤bm

Xj≥0, j=1….n

 

В результате расчета математической модели (*) и (**) определяется кол-во реализуемых  товаров каждого вида, обеспечивающий фирме максимальную прибыль.

 

Задача 4.

Оптимальное распределение оборудования

Оборудование m различных видов нужно распределить между n рабочими участками. Производительность одной единицы оборудования i вида на j рабочем участке = Pij/ Потребность j участка в оборудовании составляет bj. Запас оборудования i вида = ai.

Найти распределение оборудования на рабочем участке, при которой  суммарная производительность является максимальной.

 

Данная задача относится к классу транспортных задач, при условии, что производительность линейно зависит от кол-ва используемого оборудования. Поставщиками в задаче являются различные виды оборудования, потребителями – рабочие участки. Предложение определяется запасом оборудовнаия каждого вида, Спрос – потребностью в нем на рабочем участке.

Через Хij обозначает число единиц оборудования i вида, выделенное на j рабочий участок.

 

Р=∑∑РijXijà max      (*)

 

∑Хij=ai , i=1…m

∑Хij=bj , j=1…n

∑ai=∑bj

Хij≥0

 

Построенная модель является сбалансированной, если потребность запаса оборудования в ней не равны , то осуществляется переход к сбалансированной модели с помощью преобразований.

 

 

В данной задаче могут быть дополнительные ограничения. Например, о невозможности  установки оборудования определенного  вида на том или ином рабочем участке. В этом случае соответствующие значения Хij должны быть добавлены в систему ограничений и быть = 0. Могут быть также ограничения по указанию конкретного кол-ва единиц оборудования на том или ином рабочем участке со знаками =,≥, ≤, значнеи которых указываются в исходных данных. В этом случает такие ограничения также добавляются в систему ограничений.