Формирование понятий на уроках математики в начальной школе
Министерство образования и нау
ГБОУ СПО (ССУЗ) Челябинский педагогический колледж №1
Р Е Ф Е Р А Т
Формирование понятий на уроках математики в начальной школе
Выполнил: Шайнуров Антон
студент 21 группы
специальность: 050146
Руководитель: Дрокина М.В.
Челябинск, 2013
Содержание
стр. | |
Введение |
3 |
Глава 1. Понятие как логическая категория. |
|
1.1. Математические понятия и их характеристики: |
5 |
1.1.1. содержание; |
7 |
1.1.2. объем; |
7 |
1.1.3. связи и отношения между понятиями. |
9 |
1.2. Определение понятий. |
14 |
1.3. Классификация понятий. |
16 |
1.4. Процесс формирования понятий на уроке математики в начальной школе. |
18 |
Заключение |
21 |
Список литературы |
22 |
Введение
Актуальность проблемы исследования. «Изучение математики связано с усвоением определённой системы понятий. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретённые знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий. Эти знания нужны учителю начальных потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребёнка в дальнейшем». [4, с. 319]
В последние
годы одним из основных образовательных
заданий начальной школы
«Понятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета начальной школы, в том числе - и математики. Понятийное мышление формируется в начальных классах и раскрывается, совершенствуется в течение всей жизни». [4, с. 321]
Разрабатывают способы формирования понятия, описывая его виды и операции с ними следующие авторы: Н.Я. Виленкин, Р.В. Канбекова, Н.Н. Лаврова, А.М. Пышкало, Л.П. Стойлова. Идеи развивающего обучения при изучении понятия и других тем нашли отражение в трудах Л.В. Занкова, Н.Б. Истоминой, Г.Г. Микулиной, Г.И. Минской, М.И. Моро и др. Однако не всегда понятие у учащихся сформировано на высоком уровне. Вследствие чего выпускники начальной школы могут испытывать затруднения в обучении. Поэтому проблема формирования понятий у младших школьников является актуальным во все времена. [4] Исходя из этого, мы определили тему исследования: «Формирование понятий на уроках математики в начальной школе».
При работе над темой были определены задачи исследования:
- изучить психолого-педагогическую, методическую, литературу по проблеме исследования;
- раскрыть многообразие видов и функций понятий, а также возможных отношений между ними;
- определить методические требования к формированию математических понятий;
- обобщить результаты исследования по теме «Формирование математических понятий на уроках математики в начальной школе» и определить перспективы дальнейшей работы по данной теме.
В ходе исследования нами были использованы следующие методы теоретического исследования:
- изучение и анализ литературы;
- классификация и систематизация материала;
- моделирование;
- обобщение.
Глава 1. Понятие как логическая категория.
1.1. Математические понятия и их характеристики.
«Что такое понятие? Вопрос кажется тривиальным, так как в повседневной жизни, в практической работе и в процессе обучения и детей, и студентов все мы оперируем тем или иным термином, не задумываясь над его содержанием, т. е. обозначаемым им понятием. Собеседования со студентами старших курсов педагогических институтов, с учителями школ, молодыми преподавателями вузов показали, что большинство из них не могут раскрыть содержания термина. И не удивительно, так как ни в средней школе, ни в высших учебных заведениях в каких-либо учебных курсах специально этот вопрос не рассматривается. Многие оперируют данным термином, полагая содержание его само собою разумеющимся. В действительности вопрос о сущности понятия очень сложный. Нет ещё единого мнения среди философов, психологов и логиков по вопросу о том, что же такое понятие.
Известно более 30 попыток дать определение понятия. Крупный венгерский логик Б. Фогарши в учебнике «Логика» приводит 34 определения понятия». [6, с. 9]
В. И. Ленин в «Философских тетрадях» определял понятие как «Высший продукт мозга, высшего продукта материи». Ф. Энгельс отмечал, что понятия – это «…результаты, в которых обобщаются данные опыта».
Ряд логиков
рассматривает понятия как
В «Логическом словаре-справочнике» Н. И. Кондаков даёт следующую характеристику понятия: «Высшая ступень мышления достигается в форме понятия, которое... есть целостная совокупность суждений, ядром которой являются суждения о существенных признаках, свойствах исследуемого объекта». При этом он ссылается
на следующее замечание В. И. Ленина в «Философских тетрадях»: «Образование (абстрактных) понятий и операции с ними уже включают в себя представление, убеждение, сознание закономерности объективной связи мира».
Между философами и логиками идёт спор, что первично: суждение или понятие? Что является более высокой формой мышления? Одни считают, что исходные понятия, а суждения являются более высокой формой мышления. Это обосновывается тем, что суждение состоит из понятий, выражается через связанные между собой понятия. Другие, наоборот, считают, что, так как само понятие образуется в результате суждений и умозаключений и само содержание понятий раскрывается с помощью суждений, то понятие – высшая форма мышления.
Обобщив все сказанное выше, можно так охарактеризовать понятие. Понятие – очень сложная логическая категория. Это результат некоторого этапа в развитии наших знаний о тех или иных объектах материального мира. Возникнув, понятие уже само становится объектом познания. [6]
«Вместе с тем понятие – это такая форма мышления, в которой выделены существенные свойства объектов, отделённые и абстрагированные от несущественных свойств. Понятийное мышление, т. е. мышление в понятиях, - высшая стадия развития интеллекта». [3, с. 32]
«Но понятие не просто форма отражения действительности. Оно является такой формой отражения, которая раскрывает сущность вещей, внутренние, коренные, определяющие свойства предметов, их внутреннюю, противоречивую природу. Поэтому понятие есть знание существенных свойств (сторон) предметов и явлений окружающей действительности, знание существенных связей и отношений между ними. В понятии раскрывается подлинная природа, особенность вещи (объекта), а не её внешнее сходство с другими вещами (объектами).
Как логическая категория понятие противоречиво. Оно есть единство противоположных моментов, единство общего и единичного, конкретного и абстрактного. Соответственно, процесс усвоения научных понятий также очень сложен и противоречив.
Основные характеристики понятия как логической категории: 1) содержание понятия, 2) объем понятия, 3) связи и отношения данного понятия с другими понятиями.
Учителю эти характеристики понятия нужно хорошо знать, чтобы судить, как оно усвоено, каким оно должно быть». [6, с. 12]
1.1.1. Содержание понятия.
«Под содержанием понятия понимают совокупность существенных свойств (сторон) класса предметов или явлений, отражаемых в сознании с помощью данного понятия». [6, с. 13]
«Всякий математический объект обладает определёнными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства. Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные.
Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона АD окажется расположенной по-другому (рис. 1.1). В
В С
А С
А D
Рис. 1
Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства». [5, с. 44-45]
«Существенные свойства являются общими для всех объектов данного класса; без них объект (предмет), как таковой, существовать не может, ибо они отражают сущность самого предмета, его внутреннюю природу». [6, с. 13]
«По содержанию понятия разделяются на простые и сложные. Например, «сложение», «вычитание», «множество». Это все простые понятия. Более сложными являются «число», «функция». Не случайно, формирование этих понятий происходит в школе на протяжении всего периода обучения математике и затем продолжается в вузе». [6, с. 13-14]
1.1.2. Объём понятия.
«Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объём понятия «квадрат».
Вообще объём понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином. «…»
Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».
Объём понятия – это
множество различных
Между объёмом понятия и его содержание существует взаимосвязь: если увеличивается объём понятия, то уменьшается его содержание и наоборот. Так, например, объём понятия «квадрат» является частью объёма понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.)». [5, с. 45]
«Однако одного только отражения предмета тем или иным понятием недостаточно. Предмет, который существует реально, и предмет как объект мысли не тождественны. Абстрактный предмет – это мыслительная конструкция, которая может точно отражать признаки, свойства предмета. В данном контексте можно определить объем понятия как совокупность абстрактных предметов, относящихся к нему.
Таким образом, реальный предмет – это объект материального мира, обладающий присущими только ему характерными признаками. Абстрактный предмет не имеет материального воплощения и характеризуется только информацией о своей принадлежности к какому-либо понятию.
Классификацию понятий по их объёму и содержанию можно представить в виде следующей схемы». [5, с. 47]
Схема 1.1. Классификация
понятий по объёму и содержанию.
1.1.3. Связи и отношения между понятиями.
«Все
предметы и явления окружающей действительности
связаны и взаимно
Как справедливо говорил К. Д. Ушинский: «Понятия не лежат в голове ученика мёртвыми вереницами, одно возле другого. Они многими сторонами соприкасаются друг с другом». [3, с. 42]
«Понятия взаимно связаны и взаимно обусловливают друг друга. Эта связь понятий подчёркивалась В. И. Лениным. «Каждое понятие находится в известном отношении, в известной связи со всеми остальными», – отмечал он в «Философских тетрадях». Отношения между понятиями есть, прежде всего, отношения их по таким характеристикам, как содержание понятий и их объем. С учётом этих характеристик и их взаимосвязи различают родовые и видовые понятия.
В каждом предмете имеются, с одной стороны, существенные признаки, общие для класса предметов, а с другой – специфические, характерные для отдельной группы предметов.
Понятия, отражающие существенные общие признаки класса предметов, называются родовыми или родами. Объем родового понятия включает объем нескольких понятий меньшей степени общности. Общий признак родового понятия называется родовым признаком. Родовой признак определяет существенно общее (тождественное) в содержании класса предметов, явлений действительности.
Понятия меньшей степени общности, отражающие свойства отдельных предметов (явлений), входящих в объем родового понятия, называются видовыми или видами. Содержание видовых понятий отражает специфические, характерные свойства групп предметов; оно выражается в так называемых видовых признаках. Признак, по которому один вид отличается от других видов одного и того же рода, называется признаком видового отличия. Объёмы видовых понятий полностью входят в объем родового понятия, являются его частью.
Видовые понятия, объем которых составляет часть родового понятия, называются подчинёнными. По отношению к родовому, подчиняющему понятию они находятся в подчинении, а по отношению друг к другу – в соподчинении. А сами видовые понятия, имеющие общий ближайший род, называют соподчинёнными.
При отношении подчинения понятия подчиняются друг другу, как по объёму, так и по содержанию. Подчинение по объёму рассмотрено выше. По содержанию это отношение устанавливается на основе общего родового признака, содержащегося в видовом понятии (как части его содержания). Определяющую роль играет связь по содержанию, потому что отношение по объёму устанавливается на основе родового признака, содержащегося во всех видовых понятиях, имеющих общий род. Но необходимо иметь в виду, что установление отношения между понятиями, как по объёму, так и по содержанию – единый неразделимый процесс.
Отношение подчинения – очень важный вид отношения между понятиями. Невозможно дать ни одного определения, не подчинив видовое понятие родовому». «…»
«При оперировании понятиями, находящимися в отношении подчинения, часто допускаются ошибки, являющиеся следствием неправильного подведения видового понятия под родовое или нахождения видовых понятий какого-либо родового понятия. Чтобы не допускать подобных ошибок, необходимо знать следующие правила:
1. Подчинённое понятие – это видовое понятие, а подчиняющее понятие – это родовое понятие.
2. То, что присуще подчиняющему понятию, то присуще и подчинённому понятию, но не все, что присуще подчинённому понятию, можно найти в подчиняющем понятии.
Например, все, что присуще понятию «дерево» (подчиняющее понятие), то свойственно и понятию «хвойное дерево» (подчинённое понятие). Однако не все, что присуще хвойным деревьям, будет присуще всем деревьям. То, что присуще хвойному дереву и что отличает этот вид деревьев от лиственных, не входит в содержание родового понятия «дерево» (это видовой признак)». [6, с. 14-19]
«Определённому родовому понятию, как правило, соответствуют не одно видовое понятие, а несколько. Так, понятию «лиственные деревья» соответствует – берёза, клён, дуб, ясень, осина и т. д.; понятию «планеты» – Земля, Марс, Юпитер и т. д.
Мыслительная операция, в результате которой раскрывается объем родового понятия, т. е. определяются его виды, называется в логике делением объёма понятия.
Понятие, объем которого делится, называется делимым, а понятия, получающиеся в результате деления, называются членами деления.
Деление объёма понятия производится не произвольно, а на основе какого-либо признака, присущего родовому и видовым понятиям. Признак, по которому производится деление объёма родового понятия на виды, называется основанием деления». [6, с. 20]
«Операцию деления понятий дети учатся выполнять начиная с I класса. Например, они делят такие понятия, как:
«Учебные вещи»: «книга», «тетрадь», «карандаш» и т. д.;
«Одежда»: «пальто», «костюм», «платье» и т. д.;
«Рыба»: «щука», «ёрш», «окунь» и т. д.;
«Дерево»: «берёза», «сосна», «ель» и т. д.;
Подобного рода логические операции производятся на каждом уроке уже в начальной школе. «…»
При осуществлении операции деления объёма понятия необходимо следовать определённым правилам:
1. Члены деления (видовые понятия) должны исключать друг друга, т. е. каждый предмет входит в объем только одного видового понятия.
2. При одном и том же делении нужно пользоваться одним основанием деления.
Любое понятие можно разделить по разным основаниям, но в каждом отдельном случае деления понятия должен выдерживаться один признак в качестве основания деления.
Примеры деления по разным признакам понятия «число»: 1) положительное и отрицательное; 2) целое и дробное; 3) простое и составное; 4) именованное и отвлечённое; 5) чётное и нечётное; 6) рациональное и иррациональное; 7) мнимое и действительное.
1. Члены деления (видовые понятия) должны быть ближайшими видовыми понятиями данного родового, иначе говоря, деление должно быть непрерывным, не перескакивать через виды, а переходить от рода к его ближайшим видам.
Неверно деление типа: «Животные – кошка, собака, верблюд, слон, бегемот и т. д.». Верно: «Животные – хищные и нехищные, дикие и домашние и т. д.».
Нарушение этого правила называется скачком в делении. «…»
2. Деление должно быть соразмерным, т. е. сумма объёмов видовых понятий должна равняться объёму делимого родового понятия». [6, с. 21-23]
«С точки зрения операции сравнения все понятия в логике делят на сравнимые и несравнимые.
Сравнимыми называются понятия, имеющие какой-либо общий признак. Общим у сравнимых понятий является родовое понятие (родовой признак), в объем которого они входят. Например, «атом» и «молекула», «чёрный» и «белый», «ель» и «берёза» имеют общий род: «структурные формы вещества», «цвет», «дерево».
Несравнимыми называются понятия, которые невозможно сравнить ни по объёму, ни по содержанию. Несравнимые понятия не имеют общего рода, и их содержание существенно различно. Например: «стол» и «верблюд», «соловей» и «карандаш». «…»
По характеру отношений сравнимые понятия делятся на две группы: совместимые и несовместимые.
Совместимыми называются понятия, имеющие общее ближайшее родовое понятие (родовой признак). Их видовые признаки совпадают частично или полностью. Отсюда следует, что объёмы совместимых понятий могут совпадать частично, например: «Планета» – «Земля» или полностью, например: «Столица России» – «Москва».
Совместимые понятия делятся на 3 вида: равнозначные, перекрещивающиеся, подчинённые».[6, с. 25]
«Равнозначные понятия (тождественные) – это совместимые понятия об одном и том же предмете (т. е. понятия, имеющие общий родовой признак) и отличающиеся по видовым признакам, характеризующим различные стороны данного предмета. «…»
Перекрещивающимися понятиями называются видовые понятия, имеющие общий род, а видовые признаки каждого из них отражают как специфические, так и частично общие стороны (свойства) предметов и явлений». [6, с. 27-28]
«Несовместимыми называются понятия, имеющие общее ближайшее родовое понятие (родовой признак) и исключающие друг друга видовые признаки, например: «смелый» – «несмелый», «белый» – «чёрный», «глубокий» – «мелкий». Объёмы совместимых понятий не содержат в себе общих элементов. В основе отношения несовместимых понятий лежит исключение их друг другом по объёму и по содержанию. Общим же для совместимых и несовместимых понятий является то, что они имеют общее ближайшее родовое понятие (являются сравнимыми).
К несовместимым относятся противные и противоречащие понятия. Несовместимыми могут быть и соподчинённые понятия.
Соподчинённые понятия отображают виды одного общего для них и подчиняющего их рода. Объёмы соподчинённых понятий составляют самостоятельные части объёма родового понятия. Отношение между видами, подчинёнными одному общему для них роду, называется отношением соподчинения». [6, с. 30]
«Противными называются несовместимые (соподчинённые) понятия, видовые признаки которых обусловливают наибольшее различие их в содержании и полное исключение их совпадения по объёму. Если при делении родового понятия на виды по определённому основанию располагать видовые понятия по степени различия их признаков, то образуется ряд соподчинённых понятий. При этом крайние в данном ряду понятия будут иметь наибольшие отличия между собой. Говорят, что эти два понятия находятся в отношении противности. «…»
Примеры: 1) белый, белёсый, светло-серый, серый, темно-серый, черноватый, чёрный.
Содержание обоих противных понятий носит вполне определённый, положительный, утвердительный характер, и эти понятия не могут существовать одно без другого. Так, без верха нет низа, без белого – чёрного и т. д. Слова, выражающие противные понятия, называются антонимами. «…»
Противоречащими понятиями называются два несовместимых соподчинённых понятия, сумма объёмов которых полностью исчерпывает объём общего родового понятия, а видовые признаки имеют противоположный характер (признаки одного понятия полностью отрицают другое, и наоборот), например: «белый»–«небелый», «высокий» – «невысокий». Эти понятия от противных отличаются тем, что сумма их объёмов равна объёму родового понятия». [6, с. 33-36]
«Все рассмотренные выше виды понятий по их отношениям можно представить схематично, как показано на схеме 1.2.». [6, с. 37]
Схема 1.2. Виды отношений между понятиями.
1.2. Определение понятий.
«Появление в математике новых понятий, а значит и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение» [5, с. 48]
«Определение – логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Способы определения различны: (схема 1.3.):
Схема 1.3. Определение понятий.
Явные определения имеют форму совпадения двух понятий. Например, периметр – это сумма сторон какой-нибудь геометрической фигуры.
Периметр Сумма
а = в, а есть в
а в
Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий.
В начальной школе в основном встречаются неявные определения: остенсивные и контекстуальные.
В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации. Например: 3 + х = 9
х – неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел 2, 3, 6, 7 надо поставить вместо x, чтобы равенство было верным? Это число – 6.
Остенсивные определения используются для введения терминов, путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения называют ещё определения путём показа. Например, таким способом определяются в начальной школе равенства и неравенства:
2 ∙ 7 > 2 ∙ 6 9 ∙ 3 = 27
78 – 9 < 78 6 ∙ 4 = 4 ∙ 6
37 + 6 > 37 17 – 5 = 8 + 4
Это неравенства Это равенства
Иногда встречаются определения сочетающие контекст и показ». [2, с. 50]
На следующих ступенях обучения, появляются явные определения, в которых, отождествляются два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое – определяющим. Через определяющее понятие раскрывается содержание определяемого понятия. Структуру таких определений можно представить рисунком: (рис. 1.2.)
+ Рис.1.2.
Определяющее понятие
Например: прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые: (рис 1.3.)
Рис.1.3.
= , +
[2]
Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил:
1. Определение должно быть соразмерным.
2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.
3. Определение должно быть ясным.
4. Одно и тоже понятие через род и видовое отличие можно определить по-разному.
Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.
Если же одному и тому же понятию даются два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включённых в одно определение, вытекают свойства, включённые в другое, и наоборот. [5]
- Формирование понятия имиджа
- Формирование понятия межкультурной компетентности и ее структура
- Формирование понятия технология, технологический процесс, производственный процесс, их определения и характеристики
- Формирование понятия «факторы размещения производительных сил»
- Формирование портфеля инвестиций
- Формирование портфеля инноваций
- Формирование портфеля инноваций продукта
- Формирование политической карты Азии
- Формирование политической карты стран Южной Азии и Индии, особенности региона
- Формирование политической культуры в России
- Формирование положительного имиджа полиции России
- Формирование положительного образа профессии сотрудника МЧС у населения посредством СМИ
- Формирование положительной мотивации у младших школьников
- Формирование положительной мотивации у младших школьников
