Формирование представления о математике как части человеческой культуры

СОДЕРЖАНИЕ

Введение:

1 Формирование представления  о математике как части человеческой  культуры.

2  Роль математики  в современном мире. Основные  этапы развития математики.

3 История науки о числе. 

4  Особенности математического  стиля мышления.

1. Формирование представления о математике как части человеческой культуры

Культура – это совокупность материальных, общественных и духовных ценностей, созданных и создаваемых  человечеством в процессе общественно-исторической практики. Культура это «вторая природа», её можно определить и как совокупность смыслов и ценностей, рожденных  творческой активностью человека. На сегодняшний день уже не осталось ни одной области человеческой деятельности, куда в той или иной степени  не проникла бы математика. Математика – «наука наук». Математика – удобный (если не сказать универсальный) инструмент описания мира. А прикладная математика, т.е. математика практическая, ориентированная на конкретные актуальные цели и нужды, является не только средством познания, но также и средством воздействия на окружающий мир. Главная миссия математики в том, чтобы решать. Если возникает проблема (не важно, в какой области) – математика ищет её решение: анализирует проблему и пытается предложить методы её устранения или смягчения. Если появляется какая-то необходимость, ставится какая-то задача (не важно, где: в экономике или в оборонной сфере, в социологии или в компьютерной графике, в медицине или в конструкторском деле, в международных переговорах или в освоении космоса) – то математика, опять же, берётся за решение данной задачи: как получить то, что требуется. И именно специалисты по математике, оказываются порой единственными, кому под силу ту или иную задачу решить. История знает немало примеров, когда решения задач биологических, астрономических, экономических, технических – находились именно математиками, а не биологами, астрономами, экономистами или технарями. Именно математический аппарат позволил совершить революционные открытия в физике. Именно развитая математическая теория обеспечила проектирование всех потрясающих творений современной техники. Государственные потребности в определенном уровне математической подготовки в общеобразовательной школе и социокультурные приоритеты школьного математического образования обычно декларируются в целях обучения математике. Цели всегда типичны и отражают преобладающие в обществе представления относительно «места и роли» математики в системе национальных образовательных ценностей, ее связей с другими направлениями интеллектуально и практической деятельности человека. Современный этап развития общества характеризуется резким ростом его информационной культуры, модернизацией общего образования, поэтому приоритет отдается вкладу математического образования в индивидуальное развитие личности. Развитие, прежде всего, в таких направлениях, как точность и ясность мысли, высокий уровень интеллекта, воля и целеустремленность в поисках и принятии решений, способность ориентироваться в новых ситуациях, стремление к применению полученных знаний, умение и желание постоянно учиться, творческая активность и самостоятельность, способность воспринимать красоту и гармонию мира. Главную цель математического образования – освоение учащимися системы математических знаний как неотъемлемой части человеческой культуры, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Мы, педагоги, в ответе за то, какой мир для себя сотворит ребенок. Одно из направлений педагогической деятельности по формированию представлений  о математике как части человеческой культуры – развитие творческих способностей учащихся, способных воспринимать красоту  и гармонию мира. Важна максимальная ориентация на творческое начало в  учебной деятельности учащихся, в  частности, на потребность и умение самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных задач. Важнейшим элементом в деятельности учителя является работа над содержанием, включающим глубокое продумывание учебного материала и выявление существенных связей не только внутри одной темы, раздела, но и по всему курсу школьного математического образования. Возникает потребность усиления гуманистической, общечеловеческой направленности математики, обеспечения активного творческого включения учащихся в процесс освоения математического материала. При этом предусматривается:

отбор и структурирование содержания учебного материала;

увеличение доли самостоятельной  работы учащегося;

формирование учебно-познавательной, общекультурной компетенции, овладение социальным опытом в процессе совершенствования преподавания предмета.

Творческие работы ребят, такие как: составление кроссвордов, описание портрета дроби, реклама алгебраических выражений, понятий, написание сочинений  по изучаемым темам — обеспечивают психологически комфортный режим умственной деятельности учащихся, раскрывают их творческие способности. Научить учиться, научить творческой деятельности возможно только через решение задач, требующих  от учеников исследовательской деятельности и творческого подхода. Поэтому  большую роль следует отводить выполнению детьми творческих работ и выступлению  с ними на конференциях и различных  конкурсах. Необходимо использовать все  возможности для того, чтобы показать детям значимость математики в развитии общечеловеческой культуры, поэзии, архитектуры, живописи, музыки, делать всё, чтобы  дети учились с интересом, чтобы  большинство из них испытали и  осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании  умственных способностей, в преодолении  трудностей изучения других предметов .

2  Роль математики  в современном мире. Основные  этапы развития математики.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

• зарождение математики,

• элементарная математика,

• математика переменных величин,

• современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К  этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание  математики, как самостоятельной  науки возникло впервые в Древней  Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых  простых запросов хозяйственной  жизни. Развивается арифметика –  наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как  буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в  стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге  Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически  изучать движение, процессы изменения  величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин  в аналитической геометрии и  создание дифференциального и интегрального  исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие  функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции  приводит к основным понятиям математического  анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и  появление гениальной идеи Р. Декарта  о методе координат. Создается аналитическая  геометрия, которая позволяет изучать  геометрические объекты методами алгебры  и анализа. С другой стороны метод  координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и  аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело  в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные  формы. Возникают новые теории. Новые  теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности  математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет  отнести ее к периоду современной  математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению  новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения  теории получаются, как логические следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения  необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок  следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в  естественнонаучных, инженерно-технических  и гуманитарных исследованиях. Причина  проникновения математики в различные  отрасли знаний заключается в  том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и  более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной  математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач  и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

3 История науки о числе. 

Сложность цивилизации, как  в зеркале отражается в сложности  используемых ею чисел. Две с половиной  тысячи лет назад вавилоняне довольствовались натуральными числами, подсчитывая  принадлежащие им несколько овец, сегодня экономисты пользуются метрической  алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий.

Числовые системы, применяемые  в математике, могут быть расчленены на пять главных ступеней:

1) множество целых положительных  чисел – натуральное множество  N;

2) относительные числа,  включающие положительные числа,  отрицательные числа и нуль;

Свойства ноля:

o нуль есть целое число.

o нуль не является натуральным числом.

o нуль ни отрицательное, ни положительное число

3) рациональные числа,  в которые входят целые числа  и дроби;

4) действительные числа,  включая иррациональные числа,  т.е. числа, которые можно представить  бесконечной непериодической десятичной  дробью, такие как p , е и т.д.

5) комплексные числа, вводящие  в рассмотрение мнимое число.

История развития числа от целого числа до иррационального знакома нам по школьному курсу.

С эпохи Возрождения математики стали использовать числа вида

z=x+iy для решения квадратных уравнений, дискриминант у которых отрицателен, где

i2 = -1, х и у вещественные  числа

Само число z=x+i y называется комплексным, а i – мнимой единицей. Нельзя назвать число i ни положительным, ни отрицательным.

“Мнимые числа поразительный  полет духа божьего…” писал Лейбниц  в 1702 году. Сегодня комплексные числа  прочно вошли в математический аппарат. Языком комплексных чисел написаны многие труды по математике, физике, технике.

Пример. Найти корни уравнения  .

1) Находим дискриминант  .

2) Находим корни уравнения  

Это уравнение имеет комплексные  корни, где i2 = -1.

Итак, число z=x+iy называется комплексным числом. x=Re(z) называется вещественной частной числа, y=Im(z) – называется мнимой частью числа, х и у – вещественные числа.

Например, 1) z=2+3i, Re(z)=2 – вещественная часть числа, Im(z)=3 мнимая часть числа.

2) z=-15+i, Re(z)=-15 – вещественная часть числа, Im(z)=1 – мнимая часть числа.

Свойства комплексных  чисел

1. Комплексное число равно  нулю тогда и только тогда,  когда равны нулю его вещественная  и мнимая части, т.е. z=0 <=> Re(z)=х=0, Im(z)=у=0.

(<=> – знак эквивалентности,  или можно заменить слова тогда  и только тогда, необходимо  и достаточно).

2. Если мнимая часть  числа Im(z)=у=0, то z=х есть вещественное число, т.е. вещественные числа являются частью комплексных чисел.

Например, z=5+i•0=5. Мнимая часть  числа 5 равна 0.

3. Два комплексных числа  равны тогда и только тогда,  когда соответственно равны их  вещественные и мнимые части.  Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2, z1=z2 если х1=х2 и y1=y2.

4. Множество комплексных  чисел – неупорядоченное множество,  т.е. из двух комплексных чисел  нельзя указать последующее и  предыдущее. Между двумя комплексными  числами нельзя поставить знаки  неравенства > или <.

Например, z =10+15i, z=2-100i. Нельзя сказать какое из двух чисел больше.

Определение. Числа z1=x+iy и z2=x-iy называются комплексно сопряженными.

Например, z1=-2+3i, z2=-2-3i

z1=1+i, z2=1-i

Действия над комплексными числами.

Если два комплексных  числа складывать, перемножать или  делить друг на друга, то мы получим  новое комплексное число.

4. Особенности  математического стиля мышления

Представляет интерес  характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы – стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование  логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для  безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих  логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда  мысль их создает и излагает принципиально  новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и  речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие  может иметь на развитие науки  именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли  является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее  ставится под законное подозрение и  автоматически вызывает критическую  настороженность.

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при  доказательстве какого-либо предложения  мы должны рассмотреть четыре возможных  случая, из которых каждый может  разбиваться на то или другое число  подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать  такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации  понятий и суждений, иногда (но гораздо  реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые  понятия, которые надлежит рассмотреть  в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению под случаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового под случая, ставится принятое для этого под случая обозначение (например II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего под случая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и под случаю. Само собою, разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет  строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и  полное уничтожение смысла данного  высказывания”.

Выделив основные черты математического  стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, – писал Кант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”.

Взаимодействие конкретного  и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых  понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.

Если говорить о современном  историческом этапе развития математического  познания, то он идет в русле дальнейшего  освоения философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории  возможного и случайного; топология  – категории отношения и непрерывности; теория катастроф – категорию  скачка; теория групп – категории  симметрии и гармонии и т.д.

В математическом мышлении выражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей. С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенных математических методов – аксиоматического, алгоритмического, конструктивного, теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщенным дедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математической мысли – в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций.

Принципиально новые возможности  мыслительной деятельности открылись  с изобретением ЭВМ, с созданием  машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов  природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык – это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая.

Язык современной вычислительной математики становится все более  универсальным, способным описывать  сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочется подчеркнуть, что каким бы совершенным ни был  математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным  “живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой  языка искусственного. В этом отношении  представляет интерес недавнее открытие ученых. Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно 2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным для компьютерной техники. Еще в 1610 г. итальянский миссионер-иезуит Людовико Бертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность его создателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, не существует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четких грамматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскому математику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерного перевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком” между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым, получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущности математического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержанием является понимание природы.