Игры с природой в условиях неопределенности

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение.

В реальных экономических условиях приходится решать отдельные задачи при ограниченности, неточности исходной информации о самом объекте и внешней среде, в которой он функционирует и развивается. При принятии управленческих решений о функционировании и развитии экономического объекта необходимо учитывать важную характеристику внешней среды - неопределенность.

Неопределенность – это отсутствие, неполнота, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении или неуверенность в достоверности информации.лении или неуверенность в достоверности информации. В условиях рыночной экономике существует множество источников возникновения неопределенности для различных экономических объектов.

Исходя из определения, основным источником возникновения неопределенности является:

1. неполнота, недостаточность информации об объекте, процессе, явлении, по отношению к которому принимается решение;
2. ограниченность человека в сборе и переработке информации;
3. постоянная изменчивость информации о многих объектах.

Информации, которую необходимо учесть при решении той или иной проблемы, может быть либо слишком мало, либо слишком много. В отдельных случаях она носит косвенный характер или ее поступление запаздывает во времени. Информация может быть искажена в силу случайных обстоятельств или сознательно. Другой источник возникновения неопределенности связан с наличием в социально-экономической, политической и духовной жизни элементов случайности и стихийности. Стихийность общественных процессов связана с наличием повседневных межличностных отношений, которые оказывают не всегда предсказуемое влияние на сферу распределения. В качестве других источников, воспроизводящих факторы неопределенности, выделяют наличие множества участников общественных отношений, взаимодействие которых носит неопределенный и неоднозначный характер. Они преследуют и реализуют не только общие, но и разные, а нередко и противоположные цели. При этом естественно, что те, с кем приходится вступать в хозяйственные отношения, стремятся, прежде всего, к своей выгоде, а выгода одних может стать ущербом для других. В этих условиях достижение предполагаемого результата неоднозначно и не может быть предсказано со стопроцентной точностью.

Неопределенность возникает из-за наличия в общественной жизни противоборствующих тенденций, противодействия социальной среды или объекта, столкновения противоречивых интересов. Данные противодействия возникают из-за различия целей и очень часто приводят к конфликтным ситуациям в экономике.

На процесс возникновения неопределенности оказывает влияние вероятностный характер научно-технического прогресса. Несмотря на то, что в настоящее время можно выделить наиболее приоритетные направления развития науки, однако, определить заранее, с наибольшей долей достоверности, конкретные последствия тех или иных научных открытий, технических изобретений не представляется возможным.

При решении задач в условиях неопределенности внешней среды наиболее часто возникают две ситуации. При первой ситуации сама система препятствует принятию решений, например, задача составления графика строительства жилого дома в зависимости от погодных условий. В этой задаче природа будет восприниматься как «доброжелательный» противник. В этом случае условия, в которых осуществляется действие, будь то погода, покупательский

спрос или другие внешние факторы, зависят не от сознательных действий игрока, а от объективной действительности. Такие задачи называются игры с природой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Игры с природой в условиях неопределенности.

Если распределение вероятностей будущих состояний природы неизвестно, вся информация о природе сводится к перечню ее возможных состояний. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа, например, покупательский спрос) действует случайно. Таким образом, в сложных структурах каждому допустимому варианту решений Xi вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние условия (состояния) Вj и результаты аij решений. Следующий пример иллюстрирует это положение.

Под результатом решения аij здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Xi и условиям Вj и характеризующую экономический эффект (прибыль), полезность или надёжность изделия. Семейство решений описывается некоторой матрицей n´m, которую называют матрицей решений (платёжная матрица).

Таблица. 1 Матрица решений (n´m)

Условия Варианты	B1	B2	B3		Bj		Bm
X1	a11	a12	a13		a1j		a1m
X2	a21	a22	a23		a2j		a2m
X3	a31	a32	a33		a3j		a3m
Xi	ai1	ai2	ai3		aij		aim
Xn	am1	am2	am3		anj		anm

Игрок старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими условиями он столкнётся, он вынужден принимать во внимание все оценки аij, соответствующие варианту Xi.

Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решений даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Xi могут соответствовать различные условия Вj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту Xi приписывается, таким образом, некоторый результат аir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы в дальнейшем будем обозначать тем же символом аir.

Рассмотрим некоторые оценочные функции, которые могут быть представлены на выбор игроку:

Оптимистическая позиция:

          (1)

Из матрицы результатов решений выбирается вариант (строка), содержащий в качестве возможного следствия наибольший из всех возможных результатов. Игрок делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай, и, исходя из этого, выбирает стратегию.

Позиция нейтралитета:

          (2)

Игрок исходит из того, что все встречающиеся отклонения результата решения от "среднего" случая допустимы, и выбирает оптимальный вариант.Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

 

Максиминный критерий Вальда.

Согласно этому критерию игра с природой ведётся как игра с разумным, причём агрессивным противником, делающим всё для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

α=           (3)

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда (максиминным критерием):

Правило выбора в соответствии критерием Вальда. Матрица решений (платёжная матрица) дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов аir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения аir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже ZMM. Это свойство заставляет считать максиминный критерий одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и неосознанно. Однако положение об отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем критерий Вальда на примере (см. таблицу 2).

Таблица 2. Пример вариантов решения без учёта риска

B     X	В1	В2	В3	аir
X1	1	10	1	1
X2	1.1	1.1	1.2	1.1	1.1

Выбирая вариант X2, предписываемый критерием Вальда, мы избегаем неудачного значения 1, реализующего в варианте X1 при внешнем состоянии B1, получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1.1, зато в состоянии В2 теряем выигрыш 10, получая всего только 1.1. Это пример показывает, что в многочисленных практических ситуациях пессимизм минимаксного критерия может оказаться невыгодным

Применение критерия Вальда бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

• о возможности появления внешних состояний Вj ничего не известно;
• приходится считаться с появлением различных внешних состояний Вj;
• решение реализуется лишь один раз;
• необходимо исключить какой бы то ни было риск, т.е. ни при каких условиях Вj не допускается получать результат, меньший, чем ZMM.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Представляется логичным, что при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации придерживаться некоторой промежуточной позиции, учитывающей возможность как наихудшего, так и наилучшего, благоприятного поведения природы. Такой компромиссный вариант и был предложен Гурвицем. Согласно этому подходу для каждого решения необходимо определить линейную комбинацию min и max выигрыша и взять ту стратегию, для которой эта величина окажется наибольшей, т.е. стараясь занять уравновешенную позицию, Гурвиц предложил критерий (HW), оценочная функция которого находится где-то между точками предельного оптимизма и крайнего пессимизма. Оценочная функция имеет две формы записи:

ZHW = ,       (5)

где g — “степень пессимизма” ("коэффициент пессимизма", весовой множитель), 0£ g £1.

Правило выбора согласно критерию Гурвица (HW – критерия) формулируется  следующим образом:

Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов каждой строки. Выбираются те варианты Xi, в строках которых стоят наибольшие элементы air этого столбца.

При g=1 критерий Гурвица (5) тождественен критерию Вальда, а при g =0 – в критерий крайнего оптимизма (критерий азартного игрока), рекомендующий выбрать ту стратегию, при которой самый большой выигрыш в строке максимален. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как и выбрать критерий. Вряд ли возможно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего весовой множитель g=0.5 без возражений принимается в качестве некоторой "средней" точки зрения.

На выбор значения степени пессимизма оказывает влияние мера ответственности: чем серьезнее последствия ошибочных решений, тем больше желание принимающего решение застраховаться, то есть степень пессимизма g ближе к единице.

Замечание. В литературе используется и такая форма критерия Гурвица:

ZHW = ,       (6)

где g - “степень оптимизма” ("коэффициент оптимизма ", весовой множитель), 0£g£1.

При g=0 критерий Гурвица (6) тождественен критерию Вальда, а при g=1 совпадает с максиминным решением.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• о вероятностях появления Вj ничего не известно;
• с появлением состояний Вj необходимо считаться;
• реализуется лишь малое количество решений;
• допускается некоторый риск.

Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

На практике, выбирая одно из возможных решений, часто останавливаются на том, осуществление которого приведет к наименее тяжелым последствиям, если выбор окажется ошибочным. Этот подход к выбору решения математически был сформулирован американским статистиком Сэвиджем (Savage) в 1954 году и получил название принципа Сэвиджа. Он особенно удобен для экономических задач и часто применяется для выбора решений в играх человека с природой.

По принципу Сэвиджа каждое решение характеризуется величиной дополнительных потерь, которые возникают при реализации этого решения, по сравнению с реализацией решения, правильного при данном состоянии природы. Естественно, что правильное решение не влечет за собой никаких дополнительных потерь, и их величина равна нулю.

При выборе решения, наилучшим образом соответствующего различным состояниям природы, следует принимать во внимание только эти дополнительные потери, которые по существу, будут являться следствием ошибок выбора.

Для решения задачи строится так называемая “матрица рисков”, элементы которой показывают, какой убыток понесет игрок (ЛПР) в результате выбора неоптимального варианта решения.

Риском игрока rij при выборе стратегии i в условиях (состояниях) природы j называется разность между максимальным выигрышем, который можно получить в этих условиях и выигрышем, который получит игрок в тех же условиях, применяя стратегию i.

Если бы игрок знал заранее будущее состояние природы j, он выбрал бы стратегию, которой соответствует максимальный элемент в данном столбце: , и тогда риск: .

Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать решение, обеспечивающее минимальное значение максимального риска:

ZS= .      (7)

Критерий Лапласа.

В ряде случаев представляется правдоподобным следующее рассуждение: поскольку неизвестны будущие состояния природы, постольку можно считать их равновероятными. Этот подход к решению используется в критерии “недостаточного основания” Лапласа.

Для решения задачи для каждого решения подсчитывается математическое ожидание выигрыша (вероятности состояний природы полагаются равными qj = 1/n, j = 1:n), и выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна.

ZL=

.

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

ZBL= .

Этот метод предполагает возможность использования какой-либо предварительной информации о состояниях природы. При этом предполагается как повторяемость состояний природы, так и повторяемость решений, и, прежде всего, наличие достаточно достоверных данных о прошлых состояниях природы. То есть, основываясь на предыдущих наблюдениях прогнозировать будущее состояние природы (статистический принцип).

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

• вероятности появления состояний Вj известны и не зависят от времени;
• решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
• для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск исключён.

Исходная позиция применяющего – критерий оптимистичнее, чем в случае критерия Вальда, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

Выбор критерия (как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной, чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы, применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

 

3. Практическая часть.

Выпуск продукции фирмы существенно зависит от скоропортящегося материала, например, молока или ягод, поставляемого партиями стоимостью 100ед. Если поставка не прибывает в срок, фирма теряет 400 ед. от недовыпуска продукции. Фирма может послать к поставщику свой транспорт (расходы 50 ед.), однако опыт показывает, что в половине случаев транспорт возвращается ни с чем. Можно увеличить вероятность получения материала до 80%, если предварительно послать своего  представителя, но расходы увеличатся еще на 50 ед. Существует возможность приобретать более дорогой (на 50%) материал-заменитель у другого, вполне надежного поставщика, однако, кроме расходов на транспорт (50 ед.) возможны дополнительные издержки хранения материала в размере 30 ед., если его  количество на складе превысит допустимую норму, равную одной партии.

Какой стратегии должен придерживаться завод в сложившейся ситуации?

Формализация. У природы два состояния: поставщик надежный и поставщик ненадежный. У фирмы - четыре стратегии: 1) не осуществлять никаких дополнительных действий, 2) послать к поставщику свой транспорт, 3) послать к поставщику представителя и транспорт, 4) купить и привезти материал-заменитель от другого поставщика.

Составим таблицу расчетов:

 

	Затраты и убытки фирмы-изготовителя
Ситуация	Стоимость материала	Недовыпуск продукции	Транспорт	Команди-ровочные расходы	Издержки хранения	Общая сумма
1 1	- 100	0	0	0	0	- 100
1 2	0	- 400	0	0	0	- 400
2 1	- 100	0	- 50	0	0	- 150
2 2	- 50	- 200	- 50	0	0	- 300
3 1	- 100	0	- 50	- 50	0	- 200
3 2	- 80	- 80	- 50	- 50	0	- 260
4 1	- 250	0	- 50	0	- 30	- 330
4 2	- 150	0	- 50	0	0	- 200

 

Решение. На основе полученных результатов вычислений можно составить платежную матрицу:

 

 

		min	max
- 100	- 400	- 400
- 150	- 300	- 300
- 200	- 260	- 260	- 260
- 330	- 200	- 330

 

Ответ. Нужно придерживаться третьей стратегии и затраты не превысят 260 ед., если послать к поставщику представителя и транспорт.

1. Рассмотренный способ поиска оптимального решения называется критерием Вальда (Максиминный критерий принятия решения). Выбирается решение, гарантирующее получение выигрыша не меньше, чем maxmin:

vW = maxi minj aij = -260 ед.

Применяя этот критерий мы представляем на месте природы активного и злонамеренного противника. Это пессимистичный подход.

2. Максимаксный критерий. Самый благоприятный случай:

vM = maximaxj aij = -100 ед.

Если фирма ничего не предпримет, то потратит не больше 100 единиц. Это критерий абсолютного оптимизма.

 

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.

Воспользуемся критерием пессимизма-оптимизма Гурвица.

ZHW = , 

	Степень оптимизма
Решение		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
А1	1 стратегия	-370	-340	-310	-280	-250	-220	-190*	-160*	-130*
А2	2 стратегия	-285	-270	-255	-240	-225*	-210*	-195	-180	-165
А3	3 стратегия	-254*	-248*	-242*	-236*	-230	-224	-218	-212	-206
А4	4 стратегия	-317	-304	-281	-278	-265	-252	-239	-226	-213

 

Величина ZHW для каждого значения γ отмечена. При    γ £ 4/9 критерий Гурвица рекомендует решение А3, при 4/9£ γ £2/3 - решение А2. В остальных случаях А1. А4 не выгодно во всех случаях.

 

Критерий Сэвиджа (критерий минимакса риска).

Теперь воспользуемся критерием Сэвиджа.

ZS= .

 В рассматриваемой задаче минимакс риска достигается сразу при двух стратегиях А2 и А3:

 

		max	min
0	200	200
50	100	100	100
100	60	100	100
230	0	130

 

Критерий Лапласа.

Решением игры по критерию Лапласа является вторая стратегия:

 

	max
-250
-225	-225
-230
-265

Гипотеза о равновероятности состояний природы является довольно искусственной, поэтому принципом Лапласа можно пользоваться лишь в ограниченных случаях. В более общем случае следует считать, что состояния природы не равновероятны и использовать для решения критерий Байеса-Лапласа.

Критерий Байеса-Лапласа.

Этот критерий отступает от условий полной неопределенности - он предполагает, что возможным состояниям природы можно приписать определенную вероятность их наступления и, определив математическое ожидание выигрыша для каждого решения, выбрать то, которое обеспечивает наибольшее значение выигрыша:

ZBL= .

 

Возвращаясь к нашей игре предположим, что руководители фирмы-потребителя, прежде чем принять решение, проанализировали, насколько точно поставщик ранее выполнял сроки поставок, и выяснили, что в 25 случаях из 100 сырье поступало с опозданием.

Исходя из этого, можно приписать вероятность наступления первого состояния природы вероятность yj = 0,75 = (1-0,25), второго - yj = 0,25. Тогда согласно критерию Байеса-Лапласа оптимальным является решение А1.

 

Стратегии	å aij qj
А1	- 175*
А2	-187,5
А3	- 215
А4	- 297,5

Перечисленные критерии не исчерпывают всего многообразия критериев выбора решения в условиях неопределенности, в частности, критериев выбора наилучших смешанных стратегий, однако и этого достаточно, чтобы проблема выбора решения стала неоднозначной:

 

Решение	Критерии
Стратегии	Вальда	maxmax	Гурвица	Сэвиджа	Лапласа	Байеса-Л
А1		*	*			*
А2			*	*	*
А3	*		*	*
А4

 

Из таблицы видно, что от выбранного критерия (а в конечном счете - от допущений) зависит и выбор оптимального решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Выводы.

Выбор критерия ( как и выбор принципа оптимальности) является наиболее трудной и ответственной задачей в теории принятия решений. Однако конкретная ситуация никогда не бывает настолько неопределенной,  чтобы нельзя было получить хотя бы частичной информации относительно вероятностного распределения состояний природы. В этом случае, оценив распределение вероятностей состояний природы применяют метод Байеса-Лапласа, либо проводят эксперимент, позволяющий уточнить поведение природы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Список литературы.

1. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М., Физматгиз,1966
2. Оуэн Г. Теория игр. М., Мир 1971
3. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981