Имитационное моделирование Монте-Карло

УНИВЕРСИТЕТ    МЕЖДУНАРОДНОГО    БИЗНЕСА

КАФЕДРА  «Бухгалтерский учет и аудит» 

РЕФЕРАТ

по  дисциплине: «Анализ  проектов» 

на  тему:

«Имитационное моделирование Монте-Карло» 

Подготовила:

Студентка 3 курса

Факультета  «Экономика и Учет»

Специальности «Учет и Аудит» 
Жамбакиева Саида

321 группа

АЛМАТЫ,  2011

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 

1. Имитационное моделирование. 

                 1.1. Понятие «имитационное моделирование»

                 1.2. Виды имитационного моделирования

                 1.3. Применение имитационного моделирования 

2. Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования.

                  2.1. Сущность метода Монте-Карло

                 2.2. Особенности метода Монте-Карло

                  2.3. Алгоритм метода имитации Монте-Карло

                  2.4. Процесс имитации 

3. Практические осуществление имитационного моделирования Монте-Карло. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

             Метод Монте-Карло является самым сложным методом расчета VaR. 

             Актуальность темы – по сравнению с другими методами, точность имитационного моделирования Монте-Карло может быть значительно выше, чем у других методов.

            Метод Монте-Карло подразумевает осуществление большого количества испытаний в виде моделирования развития ситуации на рынках с расчетом финансового результата по портфелю. В результате создания большого числа разовых моделей будет получено распределение возможных финансовых результатов, на основе которого - путем отсечения наихудших согласно выбранной доверительной вероятности - может быть получена VaR-оценка. 

           Создание методов оценки и управления рисками инвестиционных проектов с использованием математических средств, в частности, имитационного моделирования по методу Монте-Карло представляет интерес с точки зрения развития теории оценки проектов в условиях неопределенности. 

      Одним из методов, позволяющих учитывать  влияние неопределенности на эффективность  инвестиционного проекта является имитационное моделирование по методу Монте-Карло, которое можно отнести  к группе теоретико-вероятностных  методов. Данные методы отличаются большой  теоретической сложностью и малой  возможностью их практического применения.  

      Особое  место в ряду этих методов занимает имитационное моделирование. Реализация этого способа анализа рисков сложна и требует разработки специального программного обеспечения, но результаты анализа играют важную роль как при оценке влияния неопределенности на показатели эффективности, так и при определении общего уровня риска инвестиционного проекта.  

      Проведение  имитационного моделирования по методу Монте-Карло основано на том, что при известных законах  распределения экзогенных переменных можно с помощью определенной методики получить не единственное значение, а распределение результирующего  показателя (построить гистограмму  в общем случае, либо подобрать  теоретический закон распределения  вероятностей). Подбор законов распределения  экзогенных переменных осуществляется как на данных объективных наблюдений (статистики и т.д.), так и на экспертных оценках. В имитационном моделировании  используется математический аппарат  имитации по методу Монте-Карло, который  применяется для описания процессов, имеющих вероятностную природу. 

      Цель работы: всесторонне охарактеризовать имитационное моделирование метода Монте – Карло. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. 

1.1. Понятие «Имитационное моделирование». 

Имитационное  моделирование — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику. 

Имитационное  моделирование — это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью с достаточной точностью описывающей реальную систему и с ней проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация — это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте). 

Имитационное  моделирование — это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью. 

Имитационным  моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов. 

Имитационная  модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта. 

Имитационное  моделированием применяется к процессам, в ход которых может время  от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся  обстановки, принимать те или иные решения, подобно тому, как шахматист  глядя  на доску, выбирает свой очередной  ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки, в ответ на это решение и  к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее  текущее решение принимается  уже с учетом реальной новой обстановки и т. д.  В результате  многократного  повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и  постепенно выучиваться принимать  правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные. 

Процесс имитации включает в  себя набор действий:

• создаются последовательные сценарии с использованием исходных данных, которые являются неопределенными;
• моделирование осуществляется таким образом, чтобы случайный выбор значений не нарушал фактических диапазонов изменения параметров;
• результаты имитации собираются и анализируются статистически с тем, чтобы оценить меру риска.

Имитационное  моделирование осуществляется по следующему алгоритму:¹ 

Попробуем проиллюстрировать процесс имитационного  моделирования через сравнение  с классической математической моделью. 

 Этапы процесса построения математической модели сложной системы: 

1. Формулируются основные вопросы о поведении  системы, ответы на которые мы хотим  получить с помощью модели.
2. Из множества законов, управляющих поведением системы, выбираются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.
3. В пополнение к этим законам, если необходимо, для системы в целом или отдельных ее частей формулируются определенные гипотезы о функционировании.

Критерием адекватности  модели служит практика. 

Трудности при построении математической модели сложной системы: 

• Если модель содержит много связей между элементами, разнообразные нелинейные ограничения, большое число параметров и т. д.
• Реальные системы зачастую подвержены влиянию случайных различных факторов, учет которых аналитическим путем представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые при большом их числе;
• Возможность сопоставления модели и оригинала при таком подходе имеется лишь в начале.

Эти трудности  и обуславливают применение имитационного  моделирования.  

Оно реализуется по следующим  этапам: 

1. Как и ранее, формулируются основные вопросы  о поведении сложной системы, ответы на которые мы хотим получить.
2. Осуществляется декомпозиция системы на более простые части-блоки.
3. Формулируются законы и «правдоподобные» гипотезы относительно поведения как системы в целом, так и отдельных ее частей.
4. В зависимости от поставленных перед исследователем вопросов вводится так называемое системное время, моделирующее ход времени в реальной системе.
5. Формализованным образом задаются необходимые феноменологические свойства системы и отдельных ее частей.
6. Случайным параметрам, фигурирующим в модели, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняющиеся постоянными в течение одного или нескольких тактов системного времени. Далее отыскиваются новые реализации.

1.2. Виды имитационного  моделирования 

Существуют следующие  виды имитационного моделирования:  

• Агентное  моделирование — относительно новое (1990е-2000е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться;

• Дискретно-событийное моделирование — подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений — от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960х годах;

• Системная динамика — парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

Три подхода имитационного  моделирования²

Подходы имитационного моделирования  на шкале абстракции³ 

Но также выделяют еще один немаловажный вид имитационного  моделирования – это Монте-Карло  симуляция.

• Монте-Карло симуляция – численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

1.3. Применение имитационного  моделирования 

К имитационному  моделированию прибегают, когда:

• дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;
• невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;
• необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель  имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами или другими словами — разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов. 

Имитационное моделирование  позволяет имитировать поведение  системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно  управлять: замедлять в случае с  быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной  изменчивостью. Можно имитировать  поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны. С наступлением эпохи  персональных компьютеров производство сложных и уникальных изделий, как  правило, сопровождается компьютерным трёхмерным имитационным моделированием. Эта точная и относительно быстрая технология позволяет накопить все необходимые знания, оборудование и полуфабрикаты для будущего изделия до начала производства. Компьютерное 3D моделирование теперь не редкость даже для небольших компаний. 

Имитация, как метод  решения нетривиальных задач, получила начальное развитие в связи с  созданием ЭВМ в 1950х — 1960х годах. 

Области применения:

• Бизнес процессы
• Боевые действия
• Динамика населения
• Дорожное движение
• ИТ-инфраструктура
• Математическое моделирование исторических процессов
• Логистика
• Пешеходная динамика
• Производство
• Рынок и конкуренция
• Сервисные центры
• Цепочки поставок
• Уличное движение
• Управление проектами
• Экономика здравоохранения
• Экосистема
• Информационная безопасность

2. Метод Монте-Карло как разновидность имитационного моделирования. 

2.1. Сущность метода Монте-Карло 

         Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием «The Monte Carlo method». Создателями этого метода считают американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. В СССР первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955—1956гг.

        Любопытно, что теоретическая основа метода была известна давно. Более того, некоторые задачи статистики рассчитывались иногда с помощью случайных выборок, т. е. фактически методом Монте-Карло. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) этот метод не мог найти сколько-нибудь широкого применения, ибо моделировать случайные величины' вручную—очень трудоемкая работа. Таким образом, возникновение метода Монте-Карло как весьма универсального численного метода стало возможным только благодаря появлению ЭВМ.

         Название методу дал известный своими казино город Монте-Карло в княжестве Монако, так как именно рулетка является простейшим механическим прибором по реализации процесса получения случайных чисел, используемого в данном математическом методе.

         Идея метода чрезвычайно проста и состоит она в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. В действительности конкретное осуществление случайного процесса складывается каждый раз по-иному; так же и в результате статистического моделирования мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Что она может нам дать? Сама по себе ничего, так же как, скажем, один случай излечения больного с помощью какого-либо лекарства. Другое дело, если таких реализаций получено много. Это множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан  обычными методами математической статистики. После такой обработки могут быть получены любые интересующие нас характеристики: вероятности событий, математические ожидания и дисперсии случайных величин и т. д. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования, заставляем ее «работать на нас».

         Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую модель. Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (машин, людей, организаций, подсобных средств), в которых случайные факторы сложно переплетены,  где процесс — явно немарковскпй, метод статистического моделирования, как правило, оказывается проще аналитического (а нередко бывает и единственно возможным).

         В сущности, методом Монте-Карло может быть решена любая вероятностная задача, но оправданным он становится только тогда, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического расчета.  

Приведем  ПРИМЕР, когда метод Монте-Карло возможен, но крайне неразумен. Пусть, например, по какой-то цели производится три независимых выстрела, из которых каждый попадает в цель с вероятностью 1/2. Требуется найти вероятность хотя бы одного попадания. Элементарный расчет дает нам вероятность хотя бы одного  попадания равной 1 — (1/2)³ = 7/8. Ту же задачу можно решить и «розыгрышем»,  статистическим моделированием. Вместо «трех выстрелов» будем бросать «три монеты», считая, скажем, герб—за попадание, решку — за «промах». Опыт считается  «удачным», если хотя бы на одной из монет выпадет герб. Произведем очень-очень много опытов, подсчитаем общее количество «удач» и разделим на число N  произведенных опытов. Таким образом, мы получим частоту события, а она при большом числе опытов близка к вероятности. Ну, что же? Применить такой прием мог бы разве человек, вовсе не знающий теории вероятностей, тем не менее, в принципе, он возможен. 

Метод Монте-Карло- это численный метод решения  математических задач при  помощи моделирования случайных величин. 

2.2. Особенности метода  Монте-Карло. 

Можно выделить две особенности метода Монте-Карло:

    Первая  особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма.

    Вторая  особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна D/N2, где D - некоторая постоянная, N - число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N (т. е. объем работы) в 100 раз.

    Ясно, что добиться высокой точности таким  путем невозможно. Поэтому обычно говорят, что метод Монте-Карло  особенно эффективен при решении  тех задач, в которых результат  нужен с небольшой точностью (5-10%). Способ применения метода Монте-Карло по идее довольно прост. Чтобы получить искусственную случайную выборку из совокупности величин, описываемой некоторой функцией распределения вероятностей, следует:

    1. Построить график или таблицу  интегральной функции распределения  на основе ряда чисел, отражающего исследуемый процесс (а не на основе ряда случайных чисел), причем значения случайной переменной процесса откладываются по оси абсцисс (х), а значения вероятности (от 0 до 1) - по оси ординат (у).

    2.С  помощью генератора случайных  чисел выбрать случайное десятичное  число в пределах от 0 до 1 (с требуемым числом разрядов).

    3. Провести горизонтальную прямую  от точки на оси ординат  соответствующей выбранному случайному числу, до пересечения с кривой распределения вероятностей.

4.Опустить  из этой точки пересечения  перпендикуляр на ось абсцисс.

5.Записать  полученное значение х. Далее  оно принимается как выборочное  значение.

    б.Повторить  шаги 2-5 для всех требуемых случайных  переменных, следуя тому порядку, в  котором они были записаны. Общий смысл легко понять с помощью простого примера: количество звонков на телефонную станцию в течение 1 минуты соответствует следующему распределению: 

Предположим, что мы хотим провести мысленный  эксперимент для пяти периодов времени.

    Построим  график распределения кумулятивной вероятности. С помощью генератора случайных чисел получим пять чисел, каждое из которых используем для определения количества звонков в данном интервале времени. 

Взяв еще  несколько таких выборок, можно  убедиться в том, что если используемые числа действительно распределены равномерно, то каждое из значений исследуемой  величины будет появляться с такой же частотой, как и в реальном мире», и мы получим результаты, типичные для поведения исследуемой системы. 

В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется  в трех основных ролях:

1. при моделировании сложных, комплексных операций, где присутствует много взаимодействующих случайных факторов;
2. при проверке применимости более простых, аналитических методов и выяснении условий их применимости;
3. в целях выработки поправок к аналитическим формулам типа «эмпирических формул» в технике. 

2.3. Алгоритм метода  имитации Монте-Карло.

    Шаг 1. Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности.

    Шаг 2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта.

    Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные 1000 значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

    Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно  вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта  и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе  методом сценариев.

    Теперь  необходимо определить минимальное  и максимальное значения критической  переменной, а для переменной с  пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

    По прошлым  наблюдениям за переменной можно установить частоту, с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением.