Исследование свойств сингулярной функции

§1. Монотонные функции

Напомним  основные понятия.

Определение 1. Функция f называется монотонно неубывающей, если их следует . Аналогично определяются монотонно невозрастающие функции.

Определение 2. Пусть f – произвольная функция на прямой. Предел

(если  он существует) называется пределом  справа функции f в точке и обозначается

Аналогично  определяется - предел слева функции f в точке . Равенство означает, очевидно, что в точке функция f или непрерывна, или имеет устранимый разрыв.

Определение 3. Точка, в которой оба этих предела существуют, но не равны между собой, называется точкой разрыва первого рода, а разность называется скачком функции f в этой точке.

Если  , то функция f называется непрерывной слева в точке , а если , то f непрерывна справа в этой точке.

Среди монотонных функций простейшими  являются так называемые функции  скачков. Они строятся следующим  образом. Пусть на отрезке [a, b] задано конечное или счетное число точек и пусть каждой из них поставлено в соответствие положительное число , причем . Определим функцию f на [a, b], положив

Ясно, что эта функция монотонно неубывающая. Кроме того, она непрерывна слева¹ в каждой точке, а совокупность ее точек разрыва совпадает со множеством

¹ Если бы мы определили f формулой , то получили бы функцию, непрерывную справа.

, причем скачок в точке  равен . Действительно,

но так  как каждое , удовлетворяющее условию , удовлетворяет и условию при достаточно малом , то последний предел равен . Таким образом,

Если  точка x совпадает с одной из точек , скажем, , то

т.е.

Наконец, если x не совпадает ни с одной из точек , то в ней функция скачков непрерывна.

Простейший  тип функций скачков – ступенчатые  функции, у которых точки разрыва  можно расположить  в монотонную последовательность

Другой  тип монотонных функций, в некотором  смысле противоположный функциям скачков, - непрерывные монотонные функции. Имеет  место следующее утверждение.

Всякую  монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить как сумму непрерывной монотонной функции и функции скачков (непрерывной слева) и притом единственным образом.

Действительно, пусть f – неубывающая непрерывная слева функция и - все ее точки разрыва, а - ее скачки в этих точках. Положим

Разность  есть неубывающая непрерывная функция. Для доказательства

рассмотрим  разность

Здесь справа стоит разность между полным приращением функции f на отрезке [x’, x’’] и суммой ее скачков на этом отрезке. Ясно, что эта величина неотрицательная, т.е. - неубывающая функция. Далее, для произвольной точки x* имеем

откуда 

(где  h* - скачок функции H в точке x*). Отсюда и из непрерывности f и H слева вытекает, что действительно непрерывна. 

§2. Функции с ограниченным изменением

Определение 4. Функция f, заданная на отрезке [a, b], называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная C, что, каково бы ни было разбиение отрезка [a, b] точками

выполнено неравенство 

Определение 5. Пусть f – функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (2) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [a, b] называется полным изменением (или полной вариацией) функции f на отрезке [a, b] и обозначается . Таким образом,

Теорема 1. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.

Теорема Лебега². Монотонная функция f, определенная на отрезке [a, b], имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную.

Из теоремы 1 и теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с ограниченным изменением имеет почти всюду конечную производную.

Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным изменением, полезно  следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков. Пусть  - конечное или счетное множество точек на [a, b]. Поставим в соответствие каждой из этих точек два числа и , так, что

Предположим, кроме того, что если , то , а если , то .

Положим

Мы будем  называть теперь функциями скачков любые функции вида (3). Полное изменение функции равно, очевидно,

Точками разрыва функции (3) служат те , для которых хотя бы одно из чисел отлично от нуля, при этом

Легко получается следующее утверждение, обобщающее утверждение.

Теорема 2. Всякая функция f с ограниченным изменением, определенная на [a, b], может быть представлена и притом единственным образом в виде

где непрерывна, а - функция скачков.

² Доказательство этой теоремы подробно рассмотрено в учебнике А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», М.: Наука, 1976, стр. 324

Рассмотрим  теперь непрерывную, но не абсолютно  непрерывную функцию с ограниченным изменением и положим

Разность  представляет собой непрерывную функцию с ограниченным изменением. При этом

почти всюду.

Определение 6. Назовем непрерывную функцию с ограниченным изменением сингулярной, если ее производная равна нулю почти всюду.

Мы можем  теперь сформулировать следующий результат:

Теорема 3. Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена в виде суммы трех компонент

- функции скачков,  абсолютно непрерывной  функции и сингулярной  функции.

Нетрудно  показать, что каждое из слагаемых  в разложении (4) определяется самой функцией f однозначно с точностью до константы. Если функции, входящие в равенство (4), нормировать, потребовав обращение двух из них в ноль в точке x=a, то разложение (4) в точности уже будет единственным. Продифференцировав равенство (4), мы получим, что почти всюду

(поскольку  и равны нулю почти всюду). Следовательно, при интегрировании производной от функции с ограниченным изменением восстанавливается не сама эта функция, а только ее абсолютно непрерывная компонента. Две другие компоненты (функция скачков и сингулярная) при этом «бесследно исчезают». 

§3. Алгоритм построения сингулярной функции

Сингулярная функция строится по следующему правилу.

Пусть и , где каждое равно одному из чисел:  0, 1, 2, …, n – 1.

Если  все  - четные числа, то полагаем

  (k = 1, 2, 3 …);

если  же - первое нечетное число, то

(k = 1, 2, …, p-1),

Таким образом, f(x) всюду определена на [0, 1] и принимает значения также на

[0, 1]. При этом значения аргумента записаны в системе счисления с основанием n, а значения функции – в системе счисления с основанием m.

f(x) не убывает, что устанавливается непосредственным разбором всех возможных и с учетом определения f(x).

f(x) непрерывна, так как для любого натурального числа k.

Эта функция  вообще не постоянная – ее значения полностью заполняют [0, 1]. Постоянна  во всех интервалах смежных к совершенному нигде не плотному множеству³ меры нуль, откуда следует, что почти всюду.

Множество функций, строящихся таким  образом и обладающих описанными выше некоторыми свойствами, образуют класс так называемых сингулярных  функций. Исторически первым примером сингулярной функции является

³ Множество А называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом шаре содержится другой шар , не имеющий со множеством А ни одной общей точки.

«канторова лестница», речь о которой будет идти ниже.

§ 4. Пример сингулярной функции. Канторова лестница.

Рассмотрим  канторово множество – сложный  пример замкнутого множества на прямой.

Пусть - отрезок [0, 1]. Выбросим из него интервал , а оставшееся замкнутое множество обозначим . Затем выбросим из интервалы и , а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырех отрезков) обозначим . В каждом из этих четырех отрезков выбросим средний интервал длины и т.д. (рис.1). Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств . Положим

F – замкнутое множество (как пересечение замкнутых). Оно получается из отрезка [0, 1] выбрасыванием счетного числа интервалов. 

0. 1

Рис.1 Канторово  множество

Рассмотрим так называемую функцию «канторова лестница»⁴.

⁴  Канторова лестница более известна в литературе как функция Граве, так как Д.А. Граве дал наиболее прозрачное определение этой функции (точнее, целого семейства таких функций), детально изучил ее свойства и вычислил интеграл от этой функции.                                                         

Рассмотрим  на отрезке [0, 1] канторово множество  и определим f сначала на его смежных интервалах, положив на k-ом смежном интервале n-го ранга (включая и его концы). Следовательно,

Таким образом, f определена на отрезке [0, 1] всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т.е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). Доопределим теперь f  в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть t* - одна из таких точек и пусть - сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т.е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел

Аналогично  существует и предел

пределы (5) и (6) равны между собой. Приняв это общее значение за f(t*), мы получим монотонную функцию, определенную и непрерывную на всем отрезке [0, 1], называемую «канторовой лестницей». Ее производная равна, очевидно, нулю в каждой точке любого смежного интервала, т.е. почти всюду.

Следовательно, для этой функции имеем:

при любом x из полуинтервала .

Отметим попутно, что в случае монотонной f(x) равенство

 влечет равенство  при любом x из полуинтервала .

Чтобы узнать высоту лестницы для любого заданного значения x, необходимо записать x в виде троичного числа и превратить его затем в двоичную дробь, заменяя каждую цифру 2 вплоть до первой единицы (при чтении слева направо) на единицу. Первую единицу (если таковая имеется) оставляем без изменения, а все стоящие справа от нее цифры заменяем нулями. Например, число

отображается  в 

Таким образом, каждому значению x соответствует единственное значение y.

Чтобы вернуться от данного значения y к соответствующему значению (или значениям) x, необходимо записать y в виде двоичной дроби и заменить все единицы, кроме последней (если таковые имеются), двойками, а каждый ноль, расположенный правее последней единицы, заменить одной из трех цифр – нулем, единицей или двойкой.

Определение 7. Функция f, заданная на некотором отрезке [a, b], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого найдется такое , что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов с суммой длин, меньшей ,

выполнено неравенство

Ясно, что  всякая абсолютно непрерывная функция  равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно, например: описанная выше «канторова лестница» непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [0, 1], однако, она не абсолютно непрерывна. Действительно, канторово множество можно покрыть конечной системой интервалов , сумма длин которых сколь угодно мала. Вместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено, очевидно, равенство

Воспользовавшись  средствами системы компьютерной алгебры  Maple, приведем ниже график канторовой лестницы.