История интегрального исчисления. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.А. БУНИНА

 

 

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА математического анализа и элементарной математики

 

 

 

ИСТОРИЯ  интегрАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

 

 

Курсовая работа

студентки группы М-33 (заочное отделение)

Мягкого Евгения Алексеевича

 

 

 

Научный руководитель:

канд. пед. наук, доцент

Перцев В.В.

 

 

 

 

Елец  2010

Содержание

 

Введение	3
§ 1. Происхождение понятия определенного интеграла.	4
§ 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.	8
§3.  От Кавальери до Ньютона и Лейбница.	12
§ 4. «О глубокой геометрии» Лейбница.	16
§5. «Метод флюксий» Ньютона. Понятие неопределенного  интеграла.	18
§ 6. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона.	22
§ 7. Интегральное исчисление в трудах Эйлера и других ученых XVIII—XIX вв.	25
Заключение.	29
Литература.	31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Интегральное исчисление, вместе с исчислением дифференциальным, составляет основу математического  анализа. Интегральным исчислением  называют раздел математики, занимающийся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.

Интегральное исчисление появилось  во времена античного периода  развития математической науки и  началось с метода исчерпывания, который  был разработан математиками Древней  Греции, и представлял собой набор правил, разработанных Евдоксом Книдским. По этим правилам по которым вычисляли площадей и объёмы. Далее метод получил своё развитие в работах Евклида. Особым искусством и разнообразием применения метода исчерпывания прославился Архимед.

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”. Необходимость в специальном термине объясняется тем, что в античнoe время (и позднее, вплоть до XVIII столетия) еще не были достаточно развиты представления о действительных числах. Математики оперировали с их геометрическими аналогами или скалярными величинами, которые нельзя перемножать. Поэтому и задачи на нахождение площадей приходилось формулировать, например, так: «Построить квадрат, равновеликий данному кругу».

Цель курсовой работы – проследить историю развития интегрального исчисления.

 

 

 

 

§ 1. Происхождение  понятия определенного интеграла

 

Понятие интеграла и  интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Идея интегрального исчисления была древними учеными предвосхищена гораздо в большей мере, чем идея дифференциального исчисления. Мы уже говорили о методе исчерпывания Евдокса. Ниже пойдет речь о формировании понятия интеграла в XVII в. и о его дальнейшем развитии. Об интеграционных методах Архимеда рассказано в § 18. Чтобы дать общий обзор проблемы об интегральном исчислении, начнем с постановки вопроса.

Пусть требуется найти  площадь S криволинейной фигуры A'C'B'D' (рис. 1). Отнесем ее к декартовой прямоугольной системе координат ХОУ и опустим из крайних точек А' и В' (имеющих наименьшую и наибольшую абсциссы) нашей фигуры перпендикуляры А'А и В'В на ось ОХ. Площадь S представится тогда как разность между площадью Si фигуры АА'С'В'В и площадью S₂ фигуры AA'D'B'B. Отсюда ясно, что задачу вычисления площади произвольной фигуры можно свести к задаче вычисления площади фигуры вроде АА'С'В'В, ограниченной дугой некоторой кривой, двумя ординатами А'А и В'В и отрезком АВ оси абсцисс, заключенным между этими ординатами. Такую фигуру принято называть криволинейной трапецией.

Итак, пусть требуется  найти площадь S криволинейной трапеции ABCD (рис. 2), где DC — дуга линии y=f(x). Для этого разделим точками основание АВ нашей трапеции на п (вообще неравных) частей:

а=х₀<x₁<x₂< ... <x_k<x_k+1< ... <х_п = b    (1)

 

 

Рис. 1.

 

Длины участков x_i—х₀, х₂—х₁ . . . , х_п—x_n-1 обозначим через ∆x₁, ∆x₂, ... , ∆х_п. Проведя ординаты, соответствующие точкам деления, мы разбиваем трапецию на п полосок с основаниями ∆x₁, ∆x₂, ... , ∆x_k, ∆x_k+1, ... , ∆х_п. Заменяя каждую полосу некоторым прямоугольником, в котором основанием служит основание соответствующей полосы, а высотой — одна из ординат (допустим, левая) полосы, мы как бы заменяем нашу фигуру ABCD другой, ступенчатой фигурой Т, площадь которой равна сумме S_n площадей построенных п прямоугольников. Площадь каждого из последних равна произведению высоты на основание, т. е. f(x_k)∆x_k, или y_k∆x_k, где k=1, 2, ... , п. Итак,

S_n=f(x₁)∆x_l+f(x₂)∆x_t+ ... +f(x_n)∆x_n (1)

коротко¹:

,   или   (2)

 

Рис. 2

 

Формула (1) или (2) дает лишь приближенную площадь криволинейной трапеции, но с неограниченным увеличением числа п, т. е. с неограниченным убыванием длин участков ∆x_k, ступенчатая фигура Т неограниченно приближается к фигуре ABCD, и мы можем достигнуть любой степени приближения. Поэтому точное значение S мы получим как предел суммы S_n, когда наибольшая из длин ∆x_k стремится к нулю. Этот предел и называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается символом

  или . Символ   был введен Лейбницем. В нем  знак ò представляет как бы удлиненную букву S (первая в латинском слове Summa — сумма); ydx напоминает структуру слагаемых суммы.

Термин «интеграл» от латинского integer — целый,   т. е. целая, вся площадь) был предложен в 1690 г. Иоганном Бернулли и одобрен, хотя и неохотно, Лейбницем, который до этого пользовался выражением «сумма всех ydx».

К понятию определенного  интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых  требуется найти предел так называемой интегральной суммы, т. е. выражения

Здесь x_i   — произвольная точка на участке ∆х. Итак,

    (3)

Последнее обозначение  для определенного интеграла  ввел Ж. Фурье. Числа а и b называют соответственно нижним и верхним пределами интеграла. Если функция f(х), называемая подынтегральной, непрерывна, то предел, о котором идет речь, существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка [а, b] на участки ∆х_i, ни от выбора на них точек  x_i. Функцию f{x) называют в этом случае интегрируемой. В такой общей форме (3) это определение интеграла было впервые сформулировано немецким математиком Б. Риманом примерно в середине прошлого века. Поэтому интегральную сумму а иногда называют римановой суммой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери

 

Мы уже знаем, что  Архимед в некоторых своих  работах вычислял площади фигур и объемы тел, вписывая и описывая около них ступенчатые фигуры и вводя по существу понятие верхних и нижних интегральных сумм, о котором шла речь в предыдущей беседе. Однако Архимед еще не выделял и ясно не применял общие понятия предела и интеграла, уже не говоря о том, что он решал каждую задачу отдельно, не владея общим алгорифмом, созданным лишь 2000 лет спустя. Для дальнейшего развития зачаточных интеграционных методов Архимеда необходимо было предварительно создать и развить новую алгебру с ее символикой, ввести понятия переменных, функции и т. д.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII в., когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, а с другой — все более интенсивно развивались экономика, естествознание и техника, требовавшие более общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин.

Одним из первых видных ученых XVII в., стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов Архимеда, был Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет. Первые два закона, опубликованные в 1609 г. в важнейшем его труде «Новая астрономия», мы ныне формулируем так: 1) каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце; 2) радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, в равные промежутки времени описывает равные площади. Не так сформулирован второй закон самим Кеплером. В «Новой астрономии» Кеплер писал, что «сумма радиус-векторов некоторой дуги орбиты относится к сумме радиус-векторов всего эллипса, как время, использованное для прохождения этой дуги, относится ко времени, требуемому для полного оборота на эллипсе». Эта формулировка говорит о том, что Кеплер рассматривал фигуру как состоящую из мелких частиц, отрезков. Вероятно, он и просуммировал, возможно, большое число радиус-векторов, исходя из некоторого правила их следования друг за другом.

1612 г. был для жителей  австрийского города Линца, в  котором жил тогда Кеплер, и  его окрестностей исключительно  урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объемы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет     в 1615 г.

Кеплер вычислял площади плоских фигур и поверхностей и объемы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объем которой ему известен.

В отличие от Кеплера  автор «Геометрии неделимых», Кавальери  считал свои «неделимые», линии и  плоскости лишенными всякой толщины. Под термином «все линии» какой-либо плоской фигуры Кавальери понимал все же сумму этих параллельных между собой линий, из которых составлена фигура. Мысленно вернемся к рассмотренной в предыдущем разделе криволинейной трапеции. Под термином «линия» Кавальери понимал нашу ординату y_i. Более того, поскольку он считал ее лишенной всякой толщины, в то время как мы представляем ширину полосок как бесконечно малое dx, т. е. линия Кавальери есть не что иное, как наше ydx. Таким образом, выражение Кавальери omnes lineae (все линии) представляло по существу то, что мы сегодня называем интегралом, для которого Кавальери пользовался знаком отп (сокращение слова omnes — все). По поводу этого знака Лейбниц позже писал: «Целесообразно писать знак ò вместо отп и òl вместо все линии». От знака òl Лейбниц потом перешел к знаку ò у и, наконец, к символу .

Резюмируя, можно сказать, что понятие «все линии» Кавальери  эквивалентно тому, что в настоящее  время мы обозначаем через

     (1)

где а — длина инциденты, т. е. расстояние между двумя крайними прямыми, параллельными регуле.

Кавельери сформулировал  следующий принцип определения  отношений «сумм всех неделимых»: если две плоские (пространственные) фигуры заключены между одними и теми же двумя параллельными прямыми (плоскостями) и если неделимые обеих фигур, находящиеся на одной параллели, имеют постоянное отношение, то и «суммы всех неделимых» сравниваемых фигур будут иметь то же отношение. Сущность принципа Кавальери состоит в следующем: площади плоских фигур или объемы тел относятся между собой как суммы всех соответствующих неделимых (рис. 3). Результаты Кавальери в переводе на современный язык соответствуют вычислению определенных интегралов типа

  (m—натуральное).

Доказательство он дал  лишь для n=1, 2, . . . , 9.

Это был крупный сдвиг² по сравнению с результатами Кеплера. Вообще, в отличие от Кеплера, занимавшегося лишь практическими, конкретными задачами вычисления площадей (так называемыми квадратурами) и вычислением объемов (кубатурами), Кавальери интересовала главным образом общая постановка и систематическая трактовка проблемы в целом независимо от практических применений своих результатов к тем или иным частным квадратурам и кубатурам.

 

 

 

Рис. 3.

 

Несмотря на то, что  труды Кавальери сыграли большую  роль в создании исчисления бесконечно малых, в них было много пробелов и недостатков, среди которых  следует упомянуть в первую очередь  отсутствие алгебраической символики, громоздкость и искусственность приемов, молчаливое требование, чтобы соответствующие неделимые сравниваемых фигур находились на одинаковом расстоянии друг от друга, что на современном языке означает обязательное разделение интервала интегрирования на равные между собой части, рассмотрение лишь суммы значений функции у без учета независимой переменной и ее приращения dx и т. п.

Дело Кавальери продолжали другие видные ученые XVII в.

 

 

 

 

 

 

§3. От Кавальери до Ньютона и Лейбница

 

Среди последователей Кавальери  самыми видными учеными, подготавливавшими в XVII в. создание интегрального и дифференциального исчисления, завершенное Ньютоном и Лейбницем, были Дж. Валлис, П. Ферма и Б. Паскаль.

Методы Валлиса, изложенные в его  «Арифметике бесконечных» (1655), развивались  вслед за методом неделимых Кавальери. Валлис говорит о Кавальери как о своем предшественнике и часто пользуется терминологией метода неделимых. Однако Валлис продвинулся значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач Валлис по существу вычислял определенные интегралы от степеней не только с натуральными, но и с целыми отрицательными и дробными показателями, а также от некоторых других алгебраических функций; у Валлиса также впервые встречается в четком виде арифметизированный предельный переход. При этом Валлис исходит уже не из примитивного понятия всех линий, а из суммы   . Он рассматривает площадь (определенный интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней х^r, или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у=х^r, где r — рациональное число, П. Ферма занимался еще в 1644 г. Е. Торричелли обобщил результат Ферма и на отрицательные показатели. Позже, однако, Ферма независимо от Торричелли изложил общую теорию всех различных случаев. Он впервые разбил фигуру под кривой на малые полоски, которые можно принять за прямоугольники. При этом, однако, он делил отрезок оси ОХ, основание криволинейной трапеции, не на части произвольной длины, как это делаем мы, а на отрезки, образующие геометрическую прогрессию. Этот метод деления Ферма назвал логарифмическим.

Еще более четко понятие определенного  интеграла выступает в трудах Б. Паскаля. Он впервые познакомился с неделимыми у Кавальери, о котором отзывался с большой похвалой. Однако, несмотря на то что Паскаль пользовался термином «неделимые», он их понимает не так, как Кавальери. «Сумма ординат» для Паскаля — это уже не все линии, а сумма неограниченного числа прямоугольников, сторонами каждого из которых служили ордината и маленькие равные отрезки абсцисс. Когда речь идет о дуге окружности, вместо суммы ординат он употребляет также выражение «сумма синусов», понимая под синусами значения f(х_i) функции и умножая последние на приращение ∆x_i независимой переменной.

Приведем для примера следующую  теорему из «Трактата о синусе четверти круга» (1658) Паскаля.

Сумма синусов какой-нибудь дуги (BF) четверти круга (рис. 4) равна отрезку основания (АО) между крайними синусами, умноженному на радиус (АВ).

Дуга BF делится на равные части, отмеченные точками, из которых проводятся синусы DI. Точки пересечения касательных к дуге окружности в точках D обозначены точками Е; из последних опускаются затем перпендикуляры ER.

Предварительно Паскаль доказывает, что

DI·EE = RR·AB.    (1)

Рис. 4.                Рис. 5.

Действительно (рис. 5), из подобных прямоугольников DIA и EKE(ÐEEK=Ð-DAI) следует: . Ввиду того что AB = AD, получаем равенство (1). «Я утверждаю, — пишет после этого Паскаль, — что сумма синусов DI, само собой разумеется, каждого умноженного на одну из равных дуг DD, равна прямой АО, умноженной на радиус АВ». Заменяя каждую касательную ЕЕ дугой DD, Паскаль получает в левой части равенства (1) «сумму синусов», а в правой — произведение АВ на сумму отрезков RR, т. е. на АО. Итак, теорема доказана.

Отождествление дуги DD с отрезком касательной Паскаль только подразумевает. Он явно пишет по этому поводу следующее: «Когда я говорю, что все расстояния RR, вместе взятые, равны АО, а также, что каждая касательная ЕЕ равна каждой из малых дуг DD, то не следует этому удивляться, так как достаточно хорошо известно, что хотя на деле этого равенства и не существует, если множество синусов конечно, но тем не менее это равенство существует, если это множество неограниченно. Ибо тогда сумма всех равных между собою касательных ЕЕ отличается от всей дуги BF или же от суммы всех равных дуг DD только на величину, меньшую любой заданной величины. То же самое имеет место и для суммы RR всего (отрезка) АО».

Чтобы перевести доказательство Паскаля на современный язык, введем соответствующую систему декартовых координат, обозначим «синус DL» через у, элемент дуги DD — через ds, дифференциал независимого переменного — через ds, дифференциал независимого переменного — через dx, радиус АВ — через r. Тогда равенство (1) можно записать так:

yds = rdx.

Интегрируя согласно содержанию теоремы Паскаля, получим:

Более сложный интеграл, стоящий в левой части этого  равенства, сводится таким образом  к более простому интегралу правой части, равному rх, а для целой четверти r².

Положим r=1 и введем угол DAB =ÐADI = j; Тогда (рис. 5) s = rj = j,    y=DI = AD·cos j = cos j,     x=sinj. Равенство (2) дает:³

Паскаль вычислил и ряд других, более сложных интегралов и интегральных формул для преобразования одних  интегралов в другие. Труды Паскаля  означали существенный шаг вперед на пути к созданию анализа бесконечно малых. Достаточно упомянуть, что на рассмотренном выше треугольнике ЕЕК (рис. 5) Лейбниц построил свое дифференциальное исчисление. Этот треугольник, названный им характеристическим, по собственным словам Лейбница, «осенил его лучом нового света».

Признавая огромные заслуги  Паскаля, следует, однако, отметить его «слабость»: он не пользовался новой символической алгеброй и не производил алгебраических выкладок. Подобно древнегреческим математикам, он все выражал словами. Вероятно, это обстоятельство явилось одной из причин, из-за которых Паскаль был лишен возможности создать тот новый общий алгоритм исчисления бесконечно малых, который открыли Ньютон и Лейбниц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4. «О глубокой геометрии» Лейбница

 

С основными достижениями математики XVII в. Лейбниц познакомился в начале 70-х годов этого столетия, когда под влиянием голландского ученого X. Гюйгенса изучил, кроме его работ, «Геометрию» Декарта, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др. Два года спустя после опубликования мемуара 1684 г., первого печатного труда Лейбница по дифференциальному исчислению, в «Acta Eruditorum» появился новый его мемуар, названный им «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была первая печатная работа по интегральному исчислению. Основным понятием для Лейбница была сумма актуально бесконечных малых треугольников ydx, на которые разбивается криволинейная фигура, т. е. определенный интеграл. В этом же ме муаре впервые появляется не только знак ò, но и запись òydx, причем Лейбниц предупреждает, что не следует забывать писать под знаком интеграла множитель dx.

В своем мемуаре Лейбниц  устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислением. Еще в 1670 г. английскому математику И. Барроу впервые удалось установить чисто геометрически взаимоотношение между проведением касательных и квадратурой. Лейбниц, исходя из «характеристического» треугольника с катетами dx и dy (разности абсцисс и ординат двух близких точек линии) и гипотенузой ds (бесконечно малой дуги кривой или бесконечно малого отрезка касательной к дуге), приходит к равенству (дифференциальному уравнению)

ибо у нас суммы и разности или ò и d взаимно обратны, как в обычном исчислении степени и корня».

Таким образом, исходя из понятия определенного интеграла, Лейбниц приходит к понятию функции F(х) первообразной (или примитивной) для данной функции f(x) так, что

F' (x)=f(x),  или   dF(x)=f(x)dx.         (5)

Отсюда и заключение о том, что дифференцирование  и интегрирование являются двумя взаимно обратными операциями, вроде сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечение корня.

Ниже мы убедимся в  том, что независимо от Лейбница и  еще до него эти результаты были получены Ньютоном. Последний, однако, нашел их, идя по другому пути.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. «Метод флюксий» Ньютона.

Понятие неопределенного интеграла

 

К основным понятиям и  к алгоритму исчисления бесконечно малых Ньютон пришел в середине 60-х годов XVII в., когда двадцатилетний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался. В своем «Методе флюксий», составление которого Ньютон закончил в 1671 г., автор формулирует две основные проблемы. Первая: «По данному соотношению между флюэнтами определить соотношение между флюксиями». Решение этой проблемы приводит Ньютона к вычислению флюксии (производной) от данной флюэнты (функции) и к своеобразному обоснованию развитого им дифференциального исчисления. Он вводит понятие «моментов» текущих величин, соответствующих понятию дифференциалов функций. Неограниченно малую величину, понимаемую как актуально бесконечно малое приращение независимой переменной (времени), Ньютон обозначает через знак 0, напоминающий нуль, но не являющийся нулем. Момент флюэнты и, например, он обозначает так: , где u—флюксия. Свое исчисление флюксий Ньютон применяет к нахождению максимумов и минимумов величин, проведению касательных и к совершенно новой задаче — определению кривизны данной кривой в данной точке.

Вторую проблему Ньютон формулирует так: «По данному  уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюэнтами». Эта общая проблема об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений, которую Ньютон решает главным образом с помощью бесконечных рядов содержит, в частности, задачу определения функции F (называемой первообразной), зная ее производную F'=f. Именно эта задача приводит к понятию неопределенного интеграла.

В современных учебниках  дается такое определение: F(x) в данном промежутке называется первообразной функцией для f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной от F(x), т. е.

F^/(х) =f(x),     или       dF( x)=f(x)dx.

Термин «первообразная» (или примитивная) функция» ввел в  начале XVIII в. Лагранж.

Наряду с F(x) и функции F(x)+C (С — любая постоянная) будут первообразными для f(x) и вообще любая первообразная для f(x) может быть представлена в виде F(x)+C. Последнее выражение и называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

òf(x)dx. (2)

«Неопределенным» интеграл называется потому, что символ (2) неявно включает произвольную постоянную С. Об историческом происхождении символа (2), и в частности о записи ydx, уже говорилось выше.

Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной функции и неопределенного интеграла, однако исторически, в частности у Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.

Пусть имеем криволинейную  трапецию (рис. 6), ограниченную сверху кривой y=f(х), и пусть эта функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает лишь неотрицательные значения Для нахождения площади Р нашей трапеции рассмотрим сначала площадь Р(х) фигуры ADLK, отвечающей промежутку [а, х], где х — произвольно взятое на отрезке [a, b] значение. Для нахождения функции Р(х) построим приращение ∆х и соответствующее ему приращение ∆Р. Если m и М представляют минимум, соответственно максимум f(x) в промежутке                 [х, х + ∆х], то, очевидно, будет иметь место неравенство

m ∆х < ∆Р < М ∆ х, (3)

откуда

Вследствие непрерывности  функции т и М будут стремиться к f(x) при стремлении ∆х к нулю, и мы получим:

           (5)

т. е. производная от переменной Р(х) по конечной абсциссе х равна конечной ординате y=f(x), или, то же, площадь Р(х) криволинейной трапеции есть первообразная функция для функции y=f(x), представляющей собой кривую, ограничивающую трапецию.

Можно теперь записать:

P(x) = F(x) + C.     (6)

Но так как при х=аР(х) = 0, получим для значения постоянной С  в нашем случае:

0=F(a)+C,   или   C = —F(a),

подставив это значени С в (6), будем иметь:

P(x) = F(x)-F(a).         (7)

 

Рис. 6.

 

Для определения площади Р всей криволинейной трапеции ABCD следует положить x=b. Тогда

Р = F(b) — F(a).     (8)

Таким путем, исходя из понятия  производной, Ньютон пришел к понятию  первообразной или неопределенного интеграла. Последний являлся для Ньютона первоначальным понятием при построении интегрального исчисления, в отличие от Лейбница, исходившего из понятия определенного интеграла.

Равенство (7), пользуясь  современными символами, можно переписать так:

          (9)

Это и есть так называемая теперь «Формула Ньютона — Лейбница», содержание которой по существу восходит к И. Барроу. В ней определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего переменного предела интегрирования, представлен в виде одной из первообразных F(x)+С подынтегральной функции f(x).

Формула (8), которую можно  записать в виде

        (10)

носит название «основной  формулы интегрального исчисления». Она позволяет сводить довольно сложное вычисление определенных интегралов, т. е. нахождение пределов интегральных сумм, к сравнительно более простой операции отыскания первообразных.

Правая часть (10) записывается и в виде [F(x)] ^b_a или еще проще F(x) |^b_a.

Итак, задача вычисления площади фигур, т. е. квадратура, ведет к понятиям как определенного, так и неопределенного интегралов. Вот почему вычисление интегралов стали называть квадратурой. Написанная вскоре после «Метода флюксий» и опубликованная в 1704 г. работа Ньютона «Рассуждение о квадратуре кривых» была посвящена в основном интегрированию некоторых сложных выражений.

 

§ 6. Приближенное вычисление интегралов. Формула Симпсона

 

В предыдущей беседе показано, что определенный интеграл

,

где f(x) есть заданная на отрезке [а, b] непрерывная функция, вычисляется по формуле (10), т. е. с помощью первообразной F(x) функции f(x). Однако ввиду того, что ученики X класса умеют выражать первообразную через элементарные функции лишь для сравнительно небольшого класса функций, то для практических и других целей часто приходится пользоваться методами приближенного интегрирования, применяя соответствующие приближенные формулы. Одна из них, служащая для вычисления площади (криволинейной трапеции ABCD) под кривой y=f(x), носит название параболической формулы или формулы Симпсона и имеет следующий вид:

  (1)

Рис. 7.

где h = AB — основание или высота трапеции (рис. 7), п — число равных частей, на которые разделен отрезок АВ, y₀=AD, y_1/2 = EF₁ (АЕ = ЕВ), у₁ = ВС. Каждый из п промежутков, на который разделен отрезок АВ, в свою очередь делится пополам с помощью точек х_1\2, x_3\2, …, x_n-1\2.

Формула (1) получается путем  замены дуги CD данной кривой y=f (х) дугой параболы (начерченной на рисунке 30 штриховой линией) с вертикальной осью, проходящей через три точки С, F, D данной кривой. Уравнение параболы имеет вид: