История коммивояжёра

Содержание

Введение………………………………………………………………………..….3

История коммивояжёра…………………………………………………….……..4

Сущность и применение  на практике………………………..………………….6

Методы решения задачи коммивояжера…………………….…………………..9

Решение задачи коммивояжера в MS Excel……………………………………12

Заключение……………………………………………………...………………..15

Список литературы…………………………………………...………………….16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Комбинаторика - раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Каждое такое правило  определяет способ построения некоторой  конструкции из элементов исходного  множества, называемой комбинаторной  конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа  является изучение комбинаторных конфигураций. Это изучение включает в себя вопросы существования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизацию таких алгоритмов, а также решение задач перечисления, в частности определение числа конфигураций данного класса. Простейшим примером комбинаторных конфигураций являются перестановки, сочетания и размещения.

Большой вклад в систематическое  развитие комбинаторных методов  был сделан Г. Лейбницем (диссертация "Комбинаторное искусство"), Я. Бернулли (работа "Искусство предположений"), Л. Эйлером. Можно считать, что с появлением работ Я. Бернулли и Г. Лейб-ница комбинаторные методы выделились в самостоятельную часть математики. В работах Л.Эйлера по разбиениям и композициям натуральных чисел на слагаемые было положено начало одному из основных методов перечисления комбинаторных конфигураций - методу производящих функций.

Возвращение интереса к  комбинаторному анализу относится  к 50-м годам ХХ в. в связи с  бурным развитием кибернетики и  дискретной математики и широким использованием электронно-вычислительной техники. В этот период активизировался интерес к классическим комбинаторным задачам.

Классические комбинаторные  задачи - это задачи выбора и расположения элементов конечного множества, имеющие в качестве исходной некоторую формулировку развлекательного содержания типа головоломок.

В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру "Кругосветное путешествие", состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, изображенного на рис. 1, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами.

Задача о гамильтоновых  циклах в графе получила различные  обобщения. Одно из этих обобщений - задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем.

 

 

 

 

 

История коммивояжёра

 

Точно неизвестно, когда  проблему коммивояжера исследовали  впервые. Однако, известна изданная в 1832 году книга с названием «Коммивояжер — как он должен вести себя и что должен делать для того, чтобы доставлять товар и иметь успех в своих делах — советы старого курьера», в которой описана проблема, но математический аппарат для её решения не применяется. Зато в ней предложены примеры маршрутов для некоторых регионов Германии и Швейцарии.

Ранним вариантом задачи может рассматриваться англ. Icosian Game Уильяма Гамильтона 19 века, которая  заключалась в том, чтобы найти  маршруты на графе с 20 узлами. Первые упоминания в качестве математической задачи на оптимизацию принадлежат Карлу Менгеру, который сформулировал её на математическом коллоквиуме в 1930 году так: 

«Мы называем проблемой посыльного (поскольку  этот вопрос возникает у каждого  почтальона, в частности, ее решают многие путешественники) задачу найти кратчайший путь между конечным множеством мест, расстояние между которыми известно».

 

Вскоре появилось известное  сейчас название задача странствующего продавца (Traveling Salesman Problem), которую предложил Гаслер Уитни из Принстонского университета.

Вместе с простотой  определения и сравнительной  простотой нахождения хороших решений  задача коммивояжера отличается тем, что  нахождение действительно оптимального пути является достаточно сложной задачей. Учитывая эти свойства, начиная со второй половины 20-го века, исследование задачи коммивояжера имеет не столько практический смысл, сколько теоретический в качестве модели для разработки новых алгоритмов оптимизации.

Многие современные  распространенные методы дискретной оптимизации, такие как метод деления плоскостью, ветвей и границ и различные варианты эвристических алгоритмов, были разработаны на примере задачи коммивояжера.

В 1950-е и 1960-е годы задача коммивояжера привлекла внимание ученых в США и Европе. Важный вклад  в исследование задачи принадлежит Джорджу Данцигу, Делберту Рею Фалкерсону и Селмеру Джонсону, которые в 1954 году в институте RAND Corporation сформулировали задачу в виде задачи дискретной оптимизации и разработали метод деления плоскостью для её решения. Используя новый метод, они вычислили путь для отдельного набора узлов с 49 городами и доказали, что не существует более короткого пути. В 1960-е и 1970-е годы многочисленные группы исследователей изучали задачу с точки зрения математики и её применения, например, в информатике, экономике, химии и биологии.

Ричард Карп в 1972 году доказал NP-полноту задачи поиска гамильтоновых  путей, из чего, благодаря полиномиальной сводимости, вытекала NP-полнота задачи коммивояжера. На основе этих свойств  им было приведено теоретическое обоснование сложности поиска решений задачи на практике.

Больших успехов удалось  достичь в конце 1970-х и 1980-х  годах, когда Мартин Грётчел, Манфред  Падберг и Джованни Ринальди и другие, с применением новых методов деления плоскостью, ветвей и границ вычислили решение для отдельного случая задачи с 2393 городами.

В 1990-е годы Дэвид Аплгейт, Роберт Биксби, Вашека Шватал и Уильям Кук установили рекорды по программе Конкорд. Герхард Райнельт создал TSPLIB — набор стандартизованных экземпляров задачи коммивояжера различной степени сложности для сравнения результатов работы различных групп исследователей. В марте 2005 года задача с 33 810 узлами была решена программой Конкорд: был вычислен путь длиной в 66 048 945 и доказано отсутствие более коротких путей. В апреле 2006 было найдено решение для экземпляра с 85 900 узлами. Используя методы декомпозиции, можно вычислить решения для случаев задачи с миллионами узлов, длина которых менее чем на 1 % больше оптимальной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сущность и применение  на практике

 

Задача  коммивояжера – задача математического  программирования по определению оптимального маршрута движения коммивояжера, цель которого состоит в том, чтобы посетить все объекты, записанные в задании, за кратчайший срок и с наименьшими затратами. В теории графов – это поиск пути, связывающего два или более узла, с использованием критерия оптимальности.

Задача  коммивояжера является типичной задачей оптимизации, которая широко применяется при  разработке программного обеспечения. Задача о коммивояжере является упрощенной моделью для многих других задач дискретной оптимизации, а также часто является подзадачей. В своей области (оптимизации дискретных задач) она служит своеобразным катализатором, стимулирующим разработку наиболее эффективных методов, алгоритмов и способов их машинной реализации.

Задача  коммивояжера формулируется очень  просто: на плоскости (в пространстве) расположены N городов, заданы расстояния между  каждой парой городов. Требуется  найти маршрут минимальной длины  с посещением каждого города ровно один раз и с возвращением в исходную точку.

В задаче коммивояжера целевой  функцией, которую надо минимизировать, является стоимость обхода.

Особенностью  задачи о коммивояжере является необходимость  дополнительно учитывать расстояния от города до города, которые предполагаются известными. Эти «расстояния» можно  заменить на количество затраченного времени, стоимость проезда или предполагать другие произвольные значения. В общем случае мы даже не предполагаем, что стоимость проезда из I в J обязательно совпадает со стоимостью обратного проезда из I в J. Данная задача соединяет в себе простоту условия и сложность решения, обусловленную большими размерами поискового пространства.

На  графах задача формулируется  следующим  образом: требуется найти гамильтонов  цикл наименьшей стоимости во взвешенном полном графе. То есть выйдя из стартовой вершины, посетить каждую вершину графа ровно один раз и вернуться в начальную по кратчайшему пути.

Гамильтонов путь (или  гамильтонова цепь) – путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины которого совпадают, называется гамильтоновым циклом.

Гамильтоновы  путь, цикл и граф названы в честь  ирландского  математика У. Гамильтона, который впервые определил эти  классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые  вершины которого символизировали крупнейшие города Земли, а ребра – соединяющие их дороги.

Существует  несколько  частных случаев общей  постановки задачи, в частности:

- геометрическая задача  коммивояжёра (когда матрица расстояний  отражает расстояния между точками  на плоскости);

- треугольная задача  коммивояжёра (когда на матрице  стоимостей выполняется неравенство  треугольника);

- симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра.

Также существует обобщение задачи, так  называемая обобщённая задача коммивояжёра.

Общая постановка задачи и большинство  её частных случаев, относится к  классу NP-сложных задач. Поэтому  алгоритмы решения этой задачи делятся  на точные и приближенные. Все точные алгоритмы фактически представляют собой оптимизированный полный перебор вариантов. В некоторых случаях эти алгоритмы достаточно быстро находят решения, но в общем случае приходится перебирать все n! циклов.

При постановке задачи коммивояжера для  k коммивояжеров на множестве из n+1 городов строится k замкнутых маршрутов по следующим правилам:

- один из городов, называемый  базой входит во все маршруты;

- каждый из городов, исключая  базу входит в ровно один  из маршрутов;

- суммарная длина всех маршрутов минимальна.

Задача  коммивояжера может быть решена с  применением любой процедуры  исчерпывающего поиска (полного перебора), однако на практике для ускорения  процесса поиска необходимы и другие соображения, использующие специфику этой задачи. Решение задачи посредством полного перебора возможно лишь при наличии общих сведений о задаче или пространстве поиска. В общем случае задача разрешима в той степени, в которой исследование части пространства поиска дает существенную информацию о характере оставшейся части этого пространства. При попытке охарактеризовать пространство поиска может быть задано множество вопросов:

• Разбивается ли задача достаточно хорошо на совокупность более мелких подзадач?
• Существует ли точная, непротиворечивая информация о задаче?
• Ожидается ли, что в процессе решения задачи человек будет взаимодействовать с вычислительной машиной?

Задача  коммивояжера имеет ряд практических применений.

Как правило, речь идет либо о простом  перемещением по заданным точкам, либо с развозом груза небольшого формата или веса на транспортном средстве, вмещающем большое количество единиц, что создает предпосылки для применения задачи коммивояжера. Примером реализации задачи на практике является составление оптимального маршрута человека для доставки продуктов в магазины с оптового склада; доставки бутилированной воды; обновления программных продуктов автоматизированного учета на предприятии; пополнения банкоматов наличными деньгами; сбора сотрудников для доставки вахтовым методом; расклейки афиш; сбора наличных денежных средств их терминалов и др. В этом случае вершинами являются места установки терминалов (банкоматов и так далее) и «базовый пункт». Стоимостью каждого ребра (отрезка маршрута) является время в пути между двумя точками (вершинами) на маршруте.

Еще одно применение задачи коммивояжера – это задача о сверлильном  станке. Данное применение задачи является сугубо специализированным приложением, которое заключается в оптимизации  движений сверлильного станка ЧПУ для  создания большого количества нерегулярно расположенных отверстий или сварочного робота. Сверлильный станок изготавливает металлические листы с некоторым количеством отверстий. Координаты отверстий известны. Необходимо найти кратчайший путь через все отверстия, а значит, и наименьшее время, затрачиваемое на изготовление одной детали. В данном случае, если такой станок делает миллион деталей в год, то даже миллиметровая выгода может сэкономить приличные средства. Этим объясняется стремление развитых стран затрачивать огромные финансовые ресурсы на инвестиции в информационные технологии.

Внимание  исследователей к этой задаче привлекает благодаря: большому количеству практических задач, которые к ней сводятся; сосредоточению характерных математических, алгоритмических  вычислительных сложностей; простоте и прозрачности формулирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы решения  задачи коммивояжера

Задачи коммивояжера решаются посредством различных  методов, выведенных в результате теоретических  исследований. Все эффективные методы (сокращающие полный перебор) — методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Выделяют  следующие группы методов решения задач коммивояжера, которые относят к простейшим:

• Полный перебор;

Полный  перебор (или  метод «грубой силы») — метод  решения задачи путем перебора всех возможных вариантов. Сложность  полного перебора зависит от количества всех возможных решений задачи. Если пространство решений очень велико, то полный перебор может не дать результатов в течение нескольких лет или даже столетий.

• Случайный перебор;

Обычно  выбор решения  можно представить  последовательностью  выборов. Если делать эти выборы с помощью какого-либо случайного механизма, то решение находится очень быстро, так что можно находить решение многократно и запоминать «рекорд», то есть наилучшее из встретившихся решений. Этот наивный подход существенно улучшается, когда удается учесть в случайном механизме перспективность тех или иных выборов, то есть комбинировать случайный поиск с эвристическим методом и методом локального поиска. Такие методы применяются, например, при составлении расписаний для Аэрофлота.

• Жадные алгоритмы (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешевого включения);

Жадный  алгоритм –  алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё  не выбранного ребра, при условии, что  оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. «Жадным» этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность. При решении задачи коммивояжера жадный алгоритм превратится в стратегию «иди в ближайший (в который еще не входил) город». Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче.      

• Метод минимального основного дерева (деревянный алгоритм);

В основе алгоритма лежит  утверждение: «Если справедливо  неравенство  треугольника, то для  каждой цепи верно, что расстояние от начала до конца цепи меньше (или равно) суммарной длины всех ребер цепи». Это обобщение расхожего убеждения, что прямая короче кривой.

Деревянный  алгоритм для решения задачи коммивояжера будет следующим: строится на входной  сети задачи коммивояжера кратчайшее основное дерево и удваиваются все его ребра. В результате получаем граф — связный с вершинами, имеющими только четные степени. Затем строится эйлеров цикл, начиная с вершины 1, цикл задается перечнем вершин. Просматривается перечень вершин, начиная с 1, и зачеркивается каждая вершина, которая повторяет уже встреченную в последовательности. Останется тур, который и является результатом алгоритма.

Доказано, что деревянный алгоритм ошибается менее чем  в два раза, поэтому такие алгоритмы  называют приблизительными, а не просто эвристическими.

• Метод имитации отжига.

Экзотическое  название данного алгоритма связано  с  методами имитационного моделирования  в статистической физике, основанными  на технике Монте-Карло. Исследование кристаллической решетки и поведения  атомов при медленном остывании тела привело к появлению на свет вероятностных алгоритмов, которые оказались чрезвычайно эффективными в комбинаторной оптимизации. Впервые это было замечено в 1983 году. Сегодня этот алгоритм является популярным как среди практиков благодаря своей простоте, гибкости и эффективности, так и среди теоретиков, поскольку для данного алгоритма удается аналитически исследовать его свойства и доказать асимптотическую сходимость.

Алгоритм  имитации отжига относится к классу пороговых  алгоритмов локального поиска. На каждом шаге этого алгоритма для текущего решения ik в его окрестности N(ik) выбирается некоторое решение j и, если разность по целевой функции между новым и текущим решением не превосходит заданного порога tk, то новое решение j заменяет текущее. В противном случае выбирается новое соседнее решение.

На  практике применяются  различные  модификации более  эффективных  методов:

• Метод ветвей и границ;

Метод ветвей и границ предложен в 1963 году группой авторов  Дж. Литлом, К. Мурти, Д. Суини, К. Кэролом. Широко используемый вариант поиска с возвращением, фактически является лишь специальным частным случаем метода поиска с ограничениями. Ограничения в данном случае основываются на предположении, что на множестве возможных и частичных решений задана некоторая функция цены и что нужно найти оптимальное решение, т.е. решение с наименьшей ценой. Для применения метода ветвей и границ функция цены должна обладать тем свойством, что цена любого частичного решения не превышает цены любого расширения этого частичного решения (Заметим, что в большинстве случаев функция цены неотрицательна и даже удовлетворяет более сильному требованию).

Столь большой успех  применения данного  метода объясняется  тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.

В основе метода ветвей и  границ лежит  идея последовательного  разбиения  множества допустимых решений на подмножества. На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если  удается отбросить  все элементы разбиения, то рекорд —  оптимальное  решение задачи. В  противном случае, из неотброшенных  подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и так далее.

• Метод генетических алгоритмов;

 «Отцом-основателем»  генетических алгоритмов считается  Джон Холланд, книга которого «Адаптация в естественных и искусственных системах» (1975) является основополагающим трудом в этой области исследований.

Генетический  алгоритм — это эвристический алгоритм поиска, используемый для решения  задач оптимизации и моделирования  путём случайного подбора, комбинирования и вариации искомых параметров с использованием механизмов, напоминающих биологическую эволюцию. Является разновидностью эволюционных вычислений. Отличительной особенностью генетического алгоритма является акцент на использование оператора «скрещивания», который производит операцию рекомбинации решений-кандидатов, роль которой аналогична роли скрещивания в живой природе.

Генетические  алгоритмы  служат, главным образом, для поиска решений в многомерных пространствах  поиска.

• Алгоритм муравьиной колонии.

Алгоритмы муравья, или  оптимизация по принципу муравьиной колонии (название было придумано изобретателем  алгоритма, Марко Дориго), основаны на применении нескольких агентов и  обладают специфическими свойствами, присущими муравьям, и используют их для ориентации в физическом пространстве. Алгоритмы муравья особенно интересны потому, что их можно использовать для решения не только статичных, но и динамических проблем, например, в изменяющихся сетях.

 

 

 

 

 

Решение задачи коммивояжера в MS Excel

Определим булевы переменные задачи: xij = 1, если коммивояжер переезжает из города i в город j, и xij = 0, если коммивояжер  не переезжает из города i в город j.

Тогда задача заключается  в определении минимума целевой  функции

при ограничениях: 

 

          – только один въезд в город j,

 

   – только один выезд из города i.

 

 

В задаче коммивояжера необходимо еще одно условие, а именно:

 

ui – uj + (n – 1)xij ≤  n – 2,     i ≠ j, i,    j = 2,…, n.

 

Это специальное условие обеспечивает устранение нескольких несвязанных между собой маршрутов и циклов, попросту означающих перемещение коммивояжера по замкнутому частичному маршруту.

Пример 

Рассмотрим задачу:

                                                

Решение:

1. В ячейки В13:F17 вводим матрицу расстояний.
2. Вводим формулы

Ячейка	Формула	Примечание
В9	=СУММ(В4:В8)	Копируем в диапазон В9:F9
G4	=СУММ(В4:F4)	Копируем в диапазон G4:G8
С19	=СУММПРОИЗВ(B4:F8;B13:F17)	Целевая функция
Е19	=B4+C5+D6+E7+F8	Исключение пути i → i
В23	=$C$10–C10+4*C5	Копируем в диапазон В23:Е23
В24	=$D$10–C10+4*C6	Копируем в диапазон В24:Е24
В25	=$E$10–C10+4*C7	Копируем в диапазон В25:Е25
В26	=$F$10–C10+4*C8	Копируем в диапазон В26:Е26

Исходные данные приведены  на рис.3.1.

 

Рис. 3.1. Исходные данные задачи

 

3. Сценарий решения:

 

Рис.3.2. Окно Поиск решения.

Рис. 3.3. Параметры Поиска решения.

 

4. Он приводит к следующим результатам:

 

Рис. 3.4. Результаты решения  задачи коммивояжера

 

5. Ответ:

 

маршрут 1→3→4→2→5→1. Длина маршрута –21.

Заключение

Задача коммивояжера была поставлена в 1934 году. Ее сущность заключается в поиске оптимального маршрута движения при необходимости  посетить все запланированные объекты  с наименьшими финансовыми и  временными издержками. Как правило, речь идет о простом перемещении по заданным точкам, либо с перевозкой груза небольшого формата на транспортном средстве.

Задача коммивояжера является одной из знаменитых задач  теории комбинаторики и пользуется популярностью благодаря тому, что  к ней сводится большое количество практических задач.

Среди современных практических приложений задачи можно выделить: доставку продуктов в магазин  со склада, работу почтальона по разноске корреспонденции, мониторинг объектов (нефтяные вышки, базовые станции  сотовых операторов), изготовление отверстий на специализированном станке.

Для решения задачи коммивояжера используют различные группы простейших методов: полный и случайный перебор, жадный и деревянный алгоритмы, метод  имитации отжига. Широкое применение получили различные модификации более эффективных методов, таких как метод ветвей и границ, генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиных колоний.

В работе была поставлена задача, сводимая к задаче коммивояжера, и составлена схема оптимального маршрута, подробно рассмотрен порядок выбора кратчайшего пути при помощи использования надстройки MS Excel «Поиск решения» методом полного перебора. Результаты решения были выведены на отдельный рабочий лист Excel.

Изучение особенностей задачи коммивояжера позволило сделать  следующий вывод: актуальным в настоящее время остается поиск точных и приближенных способов решения этой задачи как с теоретической, так и с практической точек зрения. Более того, темпы современной жизни меняют отношение человека ко времени, сегодня пользователь не любит ждать, изыскивает возможности сократить время ожидания, найти оптимальное решение в кратчайшие сроки. Все это свидетельствует о росте в будущем потребности в эффективном решении задач коммивояжера и иных родственных им оптимизационных задач, которые позволили бы существенно сэкономить ограниченные ресурсы организаций.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список Литературы