Кинематика

ГЛАВА 1

кинематика

1. Кирхгофф (1824-1886), выдающийся немецкий физик, сначала ясно указал, что цель физика состоит в том, чтобы описать движения тел полностью и в самой простой манере. Но так как тело - ограниченная часть вопроса, который мы можем рассмотреть как составлено из многих небольших частиц, будет более просто рассмотреть сначала движение частицы и затем пройти к рассмотрению тел в движении. Однако, так как движение - просто изменение положения, будет удобно сначала изучить, как положение частицы определено. Слово "частица" используется всегда, чтобы обозначить тело, настолько маленькое, что его измерениями можно пренебречь по сравнению с другими вовлеченными расстояниями. Таким образом бейсбол можно считать частицей, когда каждый думает только о ее пути через воздух; но в руках питчера это" становится телом очень заметного размера, телом, которое он устанавливает во вращение вокруг определенной оси, чтобы дать этому любую желаемую "кривую." ПОЛОЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В САМОЛЕТЕ 2. Когда географы описывают положение города, они предполагают, что читатель уже знает положение некоторого пункта на земле, которую можно назвать ориентиром. Такой ориентир для поверхности земли - пересечение меридиана через Гринвич с экватором. Это установило, местоположение города определенно описано, когда две вещи известны об этом; а именно, его широта и его долгота. Таким образом остров Св. Хелены находится в 15 55' южных широт и 5 43' западных долготы. Подобный метод часто используется в физике; например, положение пункта P (Рис. 1), в отношении другого пункта 0, в том же самом самолете, описано когда два взаимно rectangn

прямые  линии lar оттянуты через пункт 0, и перпендикулярные расстояния пункта P от этих двух линий соответственно даны. Ориентир вообще называют происхождением. Горизонтальную линию справочного ВОЛА (Рис. 1) вообще называют осью Y X; и вертикальная линия справочного ВНУКА ось Y. Долготу x пункта P называют его абсциссой; в то время как широта y известна как ее ордината. Абсциссы положительны когда оттянуто направо от оси Y; отрицательный когда оттянуто налево. Ординаты положительны когда оттянуто вверх от оси X; отрицательный когда оттянуто вниз. Эти количества x и y известны как rectany FIQ. 1. Показ одного метода расположения: пункт в самолете. координаты gular пункта P; они - специальный вид Декартовских координат, так называемых после Декарта, который сначала использовал алгебру этого вида. В лаборатории у нас есть частые случаи, чтобы потянуть кривые, и это вообще сделано, определяя местонахождение пунктов на координационной бумаге, таким образом только описанной. Навигаторы и инспекторы вообще используют различный метод расположения одного пункта со ссылкой на другого в том же самом самолете. Они дают прямолинейное расстояние от первого пункта до второго, тогда они дают руководство линии, присоединяющейся к пунктам. Этот метод также часто используется в физике и известен как метод полярных координат. Идея будет ясна из Рис. 2, где ориентир и ВОЛ любое известное руководство. Нет никакого сомнения относительно точного положения частицы в P, как только мы знаем расстояние r между пунктами и P, и углом между линиями OP и ВОЛ. Угловое расстояние мы 
 

буду всегда считать положительным когда измерено в направлении вопреки этому, в который руки движения часов, руководство, которое называют против часовой стрелки. В подобной манере, считается отрицательным когда измерено в по часовой стрелке смысл. ВОЛ линии мы можем назвать линию ссылки. ПОЛОЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В КОСМОСЕ 3. Если пункт на поверхности земли должен быть описан все еще более полностью, мы можем выбрать уровень моря в качестве самолета ссылки, и дать высоту пункта. Так в математике и физике каждый часто описывает пункт, определяя местонахождение этого сначала в определенном самолете как описано в предыдущих секциях, и затем заявляя положение этого самолета относительно некоторого другого самолета ссылки. Будет замечено, что, вообще, три технических требований необходимы, чтобы полностью описать положение одного пункта в отношении другого; и когда численные значения этих трех координат когда-то известны, положение пункта дано без двусмысленности. Таким образом, если у.rectangular координат частицы в космосе есть ценности, z = + 3, можно продолжить определять местонахождение его как обозначено в Рис. 3. ВЕКТОРЫ ПОЛОЖЕНИЯ 4. Но третий и более простой способ думать о положении пункта состоит в том, чтобы рассмотреть это как полностью определено единственной прямой линией, бегущей от ориентира до пункта на рассмотрении. Если в Рис. 4 мы знаем, не только длина, но также и руководство и смысл прямой линии OP, мы знаем все, что может возможно быть известно о положении частицы в P. К любому количеству такой как 7) P, обладая руководством, смыслом, и количеством, было дано имя "вектор". Этот класс количеств включает многие из самых важных, изученных в физике. 
 
 
 

Векторное количество - просто то, которое напоминает ограниченную прямую линию в трех подробных сведениях; а именно, во владении руководством, смыслом, и числовой величиной. Вектор, который определяет местонахождение одного пункта со ссылкой  на другого, как в Рис. 4, называют вектором положения, и является типом  векторных количеств вообще, из которых  мы встретим много примеров в более  поздних страницах. Полноценность  вектора, в представлении положения  пункта, находится в его четкости и простоте; в целях числового  вычисления у этого есть маленькая  ценность. FlG 4 ОТКЛОНЕНИЯ НА СКАЛЯРНЫХ КОЛИЧЕСТВАХ 5. Простая длина прямой линии - то же самое в любом направлении, линия может лечь. Длина прямой линии, поэтому, не векторное количество. Это независимо от руководства. Количества, у которых нет руководства, называют скалярами. Филадельфия - город в 90 милях от Нью-Йорка. Это расстояние - скалярное количество. Информация, содержавшаяся в этом заявлении, говорит мне только, что Филадельфия находится где-нибудь на круге 90-мильного радиуса, описанного с Нью-Йорком как центр. Но "в 90 милях к юго-западу от Нью-Йорка" дает мне векторное количество, которое определяет местонахождение положения Филадельфии без двусмысленности. Фунт сахара, три ярда набивного ситца, два галлона воды, объем чего-либо, любое количество вопроса, является иллюстрациями скаляров. РЕЗЮМЕ 6. Подведение итогов, тогда, положение частицы почти всегда описывается одним или другими из трех после методов: (i) Прямоугольные координаты, в которых положение пункта зимуется в берлоге, давая его расстояние от каждого из трех взаимно перпендикулярных самолетов. Эти расстояния называют прямоугольными координатами частицы и обычно обозначаются x, y, z. Три взаимно перпендикулярных справочных самолета обозначены в Рис. 3 TOZ, ZOX, и XOY. 
 
 

(ii) Полярные координаты, в которых положение частицы описано ее расстоянием r от происхождения, и ее широтой и долготой на сфере, центр которой в происхождении и чей радиус - расстояние r только описанный. Эти три количества называют полярными координатами частицы и обычно обозначаются письмами r, 6, и <соответственно. (iii) Векторы, графический метод, в котором положение частицы расположено как предельный пункт единственной прямой линии, оттянутой в определенном смысле и в определенном направлении от происхождения. ПОЛОЖЕНИЕ ТЕЛА 7. К настоящему времени рассмотрев положение частицы только, мы теперь занимаем позицию тела, которое было уже определено как ограниченная часть вопроса. Пока давайте иметь дело только с совершенно твердыми твердыми частицами, то есть, с телами, размер которых и форма - каждая константа. Если мы рассматриваем тело просто как систему твердо связанных частиц, очевидно, что ее положение полностью определено только, когда положение каждой частицы в системе известно. Но так как тело твердо, это эквивалентно высказыванию, что его положение полностью определено, когда мы знаем положения любых трех пунктов в теле, при условии, конечно, что эти пункты не лежат в той же самой прямой линии. Другими словами, если прямая линия и один пункт вне этой линии быть расположенным в теле, положение всего тела полностью определено. Ясно, поэтому, что у тела может быть много различных положений, в которых установлены два пункта в теле; поскольку при этом условии это может вращаться через любой угол о прямой линии, присоединяющейся к этим двум пунктам. Как мы будем видеть позже, это должно часто вполне по мере необходимости рассматривать угловое так же как линейное положение тела; в то время как для единственной частицы угловое положение - термин, у которого нет никакого значения. ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИН 8. Фактическое определение положения любого пункта в мире о нас приводит сразу к измерению расстояния, которым предназначается просто сравнение любого назначенного расстояния с данным расстоянием, которое мы соглашаемся взять в качестве единства 
 
 

Поскольку более поздний опыт покажет, сравнение - существенная особенность всего  измерения. Десять ярдов ткани - просто часть ткани, которая является десять раз пока определенная часть леса, названного палкой ярда. ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ. САНТИМЕТР. НОГА 9. Почти весь научный  мир согласился взять в качестве стандартной длины расстояние между  двумя марками на определенном баре платинового иридия, сохраненном  в Международном Метрическом  Бюро в Севре, около Парижа. Это  расстояние называют метром. Сотое  участие расстояния между этими  двумя марками принято как  единица и названо сантиметром. Для многих лабораторных измерений  эта меньшая единица будет  сочтена более удобной чем метр. Будет замечено, что это определение просто произвольно, простой вопрос соглашения. Факт, что метр столь выбран, чтобы быть почти равным одной десятимиллионной расстояния от экватора земли до его Северного полюса, интересен; но это не вступает в определение - единицы длины. Как реальная действительность, длина сектора земли, как находили, была более близко 10 000 880 метров. Студент, который не знаком с метрической системой, сочтет интересным оценить его собственную высоту в сантиметрах, также предположить длину и ширину этой страницы в сантиметрах i и затем проверить точность его оценок фактическим измерением с палкой метра. Английские и американские инженеры вообще используют двор как стандарт длины и ноги как единица длины. В Великобритании двор - по определению, расстояние между двумя управлениями на определенном бронзовом баре, сохраненном в Офисе Стандартов в Лондоне. Во дворе Соединенных Штатов определен как 36/39.37 стандартного метра в Севре. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ. ЕДИНИЦА ОБЛАСТИ 10. Уладив на сантиметр как единица длины, самая простая единица области - область одного квадратного сантиметра. С учетом этого факта единица области, почти универсально используемой в науке, является квадратным сантиметром. Очень редко, действительно, области, измеренные прямым com 
 
 

баночка с  единицей области. Более часто будет  сочтено удобным измерить линейные измерения поверхности в вопросе, и, от них, вычислить геометрией область поверхности. Инженеры, конечно, используют квадратный фут как единицу области. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ. ЕДИНИЦА ТОМА 11. Стандарты объема, такие как бушель, кварта, кубический фут, уже знакомы. В научной работе кубический сантиметр принят как единица объема, и по тем же самым причинам, которые привели к принятию квадратного сантиметра как единица области. Знакомство с метрической системой делает мудрость из этого выбора сразу очевидной. В случае объемов, линейные измерения которых могут быть измерены, например, parallelopipedon или сфера, часто более удобно вычислить объем чем измерить это непосредственно. УГЛОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ. УГОЛ ЕДИНИЦЫ 12. Когда две прямых линии не совпадают в направлении, у них, как говорят, есть различные угловые положения. Различие их указаний - угловое смещение одной линии с уважением к другому. Это угловое смещение выражено инспекторами и астрономами в степенях. Но навигаторы используют "пункты" компаса, или 11 ^, как единицы. В физике и математике единица угла, главным образом используемого в описании и обсуждении явлений, отличается от любого из них. Это определено следующим образом: Если два Fio подряд. 5. Угол единицы. линии, лежащие в том же самом самолете, отличаются в направлении, они пересекутся. О пункте пересечения как центр, и в самолете этих двух линий, тянут круг. Эти линии, как говорят, включают угол единицы, когда они перехватывают дугу этого круга, равного в длине к его радиусу. См. Рис. 5. Этот угол единицы называют радианом. 
 
 
 

Это очевидно, так как окружность круга - длина. равный 2 раза TT радиусу, что в одном  прямом углу будет одна четверть радианов С 2 концернами, то есть радианов. Вычислите, и на краю этой страницы делают запись числа степеней в области одного радиана. Проблемы 1. Объясните только как получается, что любая ограниченная прямая линия - векторное количество, в то время как длина такой линии - скалярное количество. 2. Какой свет делает этимологию слова "векторный" сарай после его существующего значения? 3. Сколько радианов в углу подсклонялось полукругом? 4. Объем куба - 921 c.c. Найдите область одного лица куба. 5. Привлеките пару топоров под прямым углом друг другу. В отношении этих топоров, определите местонахождение пунктов A, B, и C, у которых есть абсциссы и ординаты следующим образом: АБСЦИССА ПУНКТА OEDINATB + 2 +7 B +5 - 10 C-8 - 4 6. Сколько кубических сантиметров iu объем полушария 8 см. радиус? 7. Потяните три взаимно прямоугольных топора координат и определите местонахождение двух пунктов, координаты которых (2, +3, + 4) и (+1, +5, +2). 8. Найдите длину вектора, присоединяющегося к двум пунктам, положения которых даны в предыдущей проблеме. 9. Какой из этих двух следующих моментов более далек от происхождения, (+5,-9) или (+7, +7)? 10. Две взаимно перпендикулярных стороны прямоугольного треугольника составляют 9 и 20 сантиметров, соответственно, в длине. Найдите область треугольника в квадратных сантиметрах, и длину hypothenuse в сантиметрах. 11. Вычислите число секунд дуги в одном радиане. |> = 30, = 15 12. Определите местонахождение следующих векторов положения I r = 30, = 345] [r = 30, 6 = 195 13. Рассмотренный как единицу объема, у какого преимущества есть кубический сантиметр по кубическому дюйму? 14. Укажите в трех измерениях на положение пункта, полярные координаты которого - r = 25, = 45, <j> =90. См. 6. 15. Определите местонахождение этих двух следующих моментов при помощи полярных координат и определите, кто из них ближе к линии ссылки, (r = 12, = 15) и (r = 6, 6 = 30). 
 

I. Случай  Частицы 13. Так как положение  частицы может всегда определяться  прямой линией определенной длины,  оттянутой в определенном направлении,  очевидно, что, если частица двигается  в новое положение, новая линия, которая описывает это новое положение, будет, вообще, отличаться от старого в его двух характерных особенностях, то есть в длине и в угловом положении. Но эта линия может измениться в длине Y только; когда частица проходит прямая линия. Это может измениться в угловом положении только; когда у нас есть движение на поверхности сферы. Предположите теперь, когда частица в P (Рис. 6) двинулась в пункт O таким образом, что линия OP имеет X измененный в длине и также в угловом положении. Если мы занимаем старую позицию РИС. частицы, С 6. изменениями из положения, количество p ag новый пункт Скорострельный refe rence, имея руководство. тогда ясно, что изменение положения будет описано прямой линией, PQ, присоединяясь к новым и старым положениям. Очевидно, тогда, мы можем описать новое положение Q частицы или давая эти две прямых линии OP и PQ, или просто давая одну ЗАКАЛКУ В МАСЛЕ прямой линии. Поскольку, любым процессом мы определенно определяем местонахождение нового положения Q. Результат целого вопроса - то, что изменение положения описано точно таким же образом, как положение непосредственно; а именно, заявляя длину, смысл, и руководство прямой линии. Отклонение на Дополнении и Вычитании Векторов 14. Что касается Рис. 7, давайте обозначим вектор OP p, вектор PQ q, и векторная ЗАКАЛКА В МАСЛЕ r. Тогда будет ясно, что новое положение Q частицы может быть расположено в любом из двух различных, но строго эквивалентных методов. Одним методом частица в Q расположена как предельный пункт th 
 
 
 
 

вектор  r. Другим методом это - предельный пункт двух векторов p и q, помещенного вплотную с их стрелками в том же самом смысле. И так как r определяет местонахождение пункта Q на том же самом расстоянии и в том же самом направлении от происхождения, r, как говорят, является результантом или векторной суммой p и q; в то время как p и </, как говорят, являются компонентами r. В алгебре векторов этот факт выражен при письме p + q = r, Eq. 1 уравнение, которое содержит целую историю векторного дополнения. В обычной алгебре, которая имеет дело только со скалярными количествами, у нас должен быть p + q> r, но это неравенство обращается просто к длинам и к нисколько указаниям. Результант любого числа векторов получен точно тем же самым процессом, а именно, помещая эти векторы вплотную, в любом заказе, но всех в том же самом смысле, и затем присоединяясь к начальному пункту первого вектора к предельному пункту последнего вектора. Этот графический метод дает начало вектору potygon, как иллюстрировано в Рис. 8, где r - результант векторов p, и s. Из того, что предшествует, будет замечено, что векторное дополнение означает не что иное как что подразумевается в заявлении что, насколько простой transporta - РИС. 7. Векторное дополнение. tion затронут, это весь то же самое, путешествует ли каждый поездом непосредственно от Чикаго до Питсбурга, или идет сначала от Чикаго до Толедо, отсюда в Кливленд, и отсюда в Питсбург. Так как признак вектора определяет свой смысл, каждый видит, что вычитание любого данного вектора от другого - точно то же самое как добавляющий этот вектор к другому, сначала полностью изменив его смысл. 
 
 

Когда частица  получает смещение, которое представлено любым данным вектором, скажем OP, Рис. 9, вопрос часто возникает относительно того, что количество смещения находится  в некотором другом направлении, скажите О. Это найдено, позволяя падению от предельного пункта перпендикуляр Pa на линию О. Если R обозначают ногу этого перпендикуляра, мы можем считать вектор OP как разбито в два компонента РИС. 9. - иллюстрирование резолюции ^ft и протокол передачи файлов которого прежний из вектора.. находится полностью вперед О; у последнего нет никакого компонента вперед О. Из определения косинуса очевидно что ИЛИ = OPcos 0. Eq. 2 II. Случай Твердого тела 15. Как наблюдался (7), положение твердого тела установлено, когда любые три пункта в теле, не лежащем в той же самой прямой линии, установлены. Соответственно, мы видим, что положения тел изменяются несколькими очевидно различными способами. (1) Если только два пункта установлены в теле, как, например, колесо и ось, проводимая между двумя пунктами центра, AA' (Рис. 10), то тело свободно вращаться о линии, присоединяющейся к этим двум пунктам. Движение твердого тела о неподвижной оси называют чистым вращением. Велосипедное колесо поднялось от земли и вращалось, случай. (2) Это может произойти, что только один пункт установлен в теле, как в случае трости с ее более низким уровнем на земле. Здесь тело свободно вращаться о многих различных линиях как топоры. Это может, Фло> 10._ Acas^ure вращение. действительно, смените друг друга о любой прямой линии, проходящей через более низкий край палки. (3) может случиться так, что никакой смысл в теле не установлен, но что тело вынуждено переместиться таким способом, которым каждый пункт тела описывает путь, равный и подобный пути каждого другого пункта. Такое движение называют чистым переводом. Это 
 
 

происходит  в поршневом пруте парового двигателя. Сани, скользящие к и fro в течение его собственных следов также, представляют движение. (4) Наконец, тело может вращаться и переведено одновременно. Такой случай представлен в колесе велосипеда, поехавшись. Студент, который преследует этот предмет дальше, найдет, что твердое тело может быть изменено от любого положения до любого другого положения, просто переводя его вдоль определенной прямой линии и вращая его через определенный угол об определенной оси. Следовательно первые три случая, которые только рассматривают, являются особыми случаями четвертого. Факт тогда - то, что каждое движение любого твердого тела, оказывается, или чистый перевод или чистое вращение или комбинация этих двух; другими словами, твердое тело может перенести линейное смещение или угловое смещение, или комбинацию двух. Как мы уже видели, линейные смещения представлены векторами; так также угловые смещения. Для предполагают, что грубая схема в Рис. 11 представляет любое твердое тело, устанавливающее один пункт. Возьмите этот пункт в качестве происхождения. Предположите, что тело превращено через любой угол 6 об оси OP. Такое угловое смещение - то, что мы только что назвали чистым вращением. Требуются для его описания три технических требований, а именно, (i). ^ / РИС. 11. Угловое смещение, вектор, руководство ot ось 01 вращение, (ii) количество вращения, то есть угол, через который тело повернулось, и (iii) смысл вращения. Вкратце короткий, это угловое смещение требует, чтобы вектор представил это. * Таким образом, если бы жернов вращаться до 90, его угловое смещение было бы представлено вектором, оттянутым в направлении оси жернова, и длины ^, смысл Zt, являющийся таким образом, что, если Вы смотрите в направлении стрелки *, внимание студента здесь особенно направлено к факту, что в добавляющих векторах, которые представляют угловое смещение, результант весьма зависим из заказа, в котором добавлены векторы, кроме тех случаев, когда угловые смещения бесконечно малы. 
 
 
 

на векторе  камень, будет казаться, будет вращаться  в по часовой стрелке руководство. Такое отношение между руководством вектора и руководством вращения - точно то, что существует между руководством прогресса и руководством вращения в обычном woodscrew. Это следовательно называют предназначенным для правой руки отношением винта. Важно заметить, что правило для добавления векторов относится к угловым смещениям только, когда они являются очень маленькими. В более поздних частях физики мы встретим много количеств, происходящих в парах, подобных этим двум аналогичным смещениям, линейным и угловым, который мы только что рассматривали. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ I. Случай Частицы 16. Интересно заметить, что, когда частица свободна изменить свое положение, перемещаясь в любом направлении вообще, это может переместиться в три, и только три, указания, таким образом, что у его движения вдоль любого из этих указаний нет никакого компонента вдоль любого из других двух. И очевидно, что эти три указания взаимно перпендикулярны; поскольку, если бы они были наклонены под каким-либо углом кроме 90, скажите 0, у смещения r вдоль одной оси был бы компонент r потому что 6 вдоль другого. Эти три указания представлены, поэтому, любыми тремя прямоугольными топорами. Ввиду этих фактов у частицы, как говорят, есть три степени свободы. Другими словами, у частицы есть три возможности в способе переводного движения. Это не может вращаться, потому что, по определению, у этого нет никаких заметных измерений. II. Случай Твердого тела 17. Случай очень отличается с расширенным телом. Рассмотрите монету, металлический цилиндр, или любое твердое тело вообще; если это совершенно свободно, это может быть переведено параллельное любому из трех прямоугольных топоров. Как частица, у этого есть три степени переводной свободы. Теперь вообразите это тело поддержанным на единственном центре, в той же самой манере как волчок. Здесь один пункт установлен так, чтобы у тела не было никакой свободы перевода; все же для тела ясно возможно вращать о любом один из трех взаимно перпендикулярных топоров, проходящих через это 
 
 
 

фиксированная точка. У вращения вокруг любого из этих топоров не будет никакого компонента вращения вокруг любого из других топоров. У твердого тела, не ограниченного  в любом случае, как говорят, поэтому, есть три степени свободы вращения, делающего во всех шести степенях свободы для любого беспрепятственного тела, а именно, трех из перевода и  трех из вращения. Студент сочтет это  и интересным и важным, чтобы обнаружить, в любом особом случае принужденного  движения, только haw много степеней свободы, которую имеет тело; поскольку продвинутый студент найдет позже, что целое поведение тела может быть описано при помощи как немного координат, поскольку у тела есть степени свободы. Интересный Особый случай. Движение Uniplanar 18. Когда движение находится в единственном самолете, твердое тело может быть передано от любого положения до любого другого положения (в том самолете, конечно) чистым Q, одно только вращение. Чтобы доказать эту теорему, рассмотрите любые два положения тела как представлено AB и AB' в Рис. 12. Разделите пополам AA' и также BB'. Потяните перпендикуляры через эти пункты деления пополам. Обозначьте пунктом, где эти перпендикуляры пересекаются. Тогда ось, о которой тело AB должен вращаться, чтобы принести это в положение A'B', перпендикулярна самолету, и проходит через пункт 0. Для очевидно треугольника ОБЬ может вращаться об этой оси, пока это точно не суперизложено на подходящий треугольник A' ОБ'. Проблемы 1. У сколько степеней свободы есть частица, которая вынуждена переместиться в самолет? 2. Мрамор, бесплатный катиться на полу, но не свободный покинуть пол, имеет сколько степеней свободы? 3. Проектируйте твердое тело, имеющее одну степень свободы перевода и одного из вращения. ^ РИС. 12. - иллюстрирование самого общего uniplanar движения 
 
 
 

4. Сколько  степеней свободы имеет один  из шаров на губернаторе парового  двигателя? 5. Большинство движений, которые используются в фактической  машине, ограничено, то есть у  них есть меньше чем шесть  степеней свободы. Каков, по  Вашей оценке, особый случай, который  происходит наиболее часто в  машинах? 6. В следующих движениях  твердых тел различают ясно, которые  являются случаями чистого перевода, которые являются случаями чистого  вращения, и которые являются  случаями, вовлекающими и перевод и вращение: i. Движение двери на ее стержнях. ii. Движение колеса вагона в отношении его оси, iii. Движение колеса вагона в отношении дороги, на которой это едет. iv. Движение кресла-качалки, поскольку каждый качается в этом. v. Движение окуляра, поскольку каждый сосредотачивает пару оперных очков. vi. Движение лезвия, в отношении ручки, когда каждый открывает складной нож. 7. Какой вектор опишет заключительное положение человека, который идет 10-мильный N.W., затем поворачивается и идет 10-мильный S.W.? 8. Две лодки приплывают от того же самого порта; в конце 5 часов каждый путешествовал 50 ми. должный E., другое ми V5000. S.E. Какой вектор тогда представит их относительные положения? Ответ 50-мильный должный S. 9. Координаты двух пунктов (+2, +3) и (1, +4). Найдите вектор, который присоединяется к этой паре пунктов. 10. Частица перемещается в круг, начинающийся с данного пункта, который мы можем назвать происхождением. Найдите вектор, который описывает положение частицы, когда $ окружности был пересечен. 11. Подготовьте следующие четыре пункта и покажите, что они - углы параллелограма: (+ 3, + 2); (+4, +1); (+2, +5); (+3, +4). 12. Что является прямоугольными компонентами вектора, который присоединяется к следующим двум пунктам: (+7, +3); (+10, +5)? УРОВЕНЬ ИЗМЕНЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ. СКОРОСТЬ 19. Нужно тщательно заметить, что до этого пункта мы нисколько не были заинтересованы с историей тела между временем его отъезда его старого положения и время его достижения его нового положения. Мы не заботимся, какой длины тело, возможно, было в изменении его положения, и при этом это не имеет значения, через какую "причину" это, возможно, изменило свое положение. Мы были заинтересованы только с методом для того, чтобы описать, наиболее просто и наиболее полно, изменение в положении тела. Когда, однако, просят, как это изменение произошло, нас ведут к рассмотрению Времени и Скорости 
 
 
 

В мире о  нас мы находим движение быть состоянием вещества, которое является вполне как естественный, возможно, еще  более естественно чем отдых. Смещение можно рассмотреть как результат движения. Но очень часто мы будем заинтересованы скорее с темпом движения. Соответственно, мы должны теперь рассмотреть метод описания темпа движения, то есть скорости. Когда человек покупает билет железной дороги от Нового Орлеана до Бостона, он платит за "смещение", и, вообще, цена билета железной дороги изменяется непосредственно как количество смещения. Но выбор поезда зависит в значительной степени от его скорости, или уровня смещения. Различие в цене между хорошими часами и бедным зависит преимущественно от уровня, при котором угловое положение рук изменяются. Если этот уровень <очень однороден, часы хорошо сделаны; если руки не перемещаются в довольно постоянный уровень, часы плохо сделаны. В то время как этимологически у того же самого, слова "уровень" и "отношение "теперь есть различные значения; прежний - особый случай последнего. Поскольку, в то время как "отношение" обозначает фактор любого количества другим," уровень" используется в физике, чтобы означать только отношение некоторого количества ко времени. Уровень, если иначе не определено, всегда является точным синонимом уровня времени; время всегда появляется в знаменателе любого уровня. Темп интереса - сумма денег, которую каждый платит за использование доллара, разделенного на число лет, он использовал доллар. Уровень смертности - общее количество смертельных случаев среди тысячи человек во время любого периода, разделенного на число лет в тот период. Но прежде, чем мы можем измерить показатели времени, мы должны выбрать стандарт и единицу времени. Они описаны в следующем параграфе. ВРЕМЯ. ЕДИНИЦА ВРЕМЕНИ 20. Скупое (то есть. среднее число), время, занятое солнцем в одной очевидной революции о земле, известно как скупой солнечный день. Этот интервал универсально используется как стандарт времени. 3eio~o Часть * скупой s lar день называют секундой и используется научным миром в качестве единицы времени. Интервалы времени могут быть по сравнению с изумительной точностью посредством часов, часов, или хронографов. 
 
 
 

21. Больше  чем столетие назад это было  доказано Лавуазье, великим французским  химиком, что у всего вопроса  есть непрерывное существование;  от которого, факта из этого  следует, что, поскольку частица  перемещается от одного пункта  до другого, это должно занять  каждое промежуточное положение  вдоль маршрута. Этот маршрут  - тогда непрерывная геометрическая  кривая. Соответственно путь частицы  определен как непрерывное местоположение  всех последовательных положений,  которые это занимает. Мы теперь  в состоянии определить ясно, что предназначено скоростью,  а именно, уровнем, при котором  частица проходит свой путь. Руководство  движения, это будет наблюдаться,  не вступает в это определение.  Человек, который, в течение  пятнадцати минут, идет миля  вдоль проветривания cowpath путешествия с точно той же самой средней скоростью как другой человек, который идет миля через пятнадцать минут вдоль прямого городского тротуара. Давайте обозначим p расстояние, которое частица переместила вдоль любого пути в течение времени t. Тогда в целях вычисления, средняя скорость частицы выражена, как следует: P Средняя Скорость = S = ~ Eq. 3, Но если скорость частицы изменяется от пункта до пункта, как обычно имеет место в природе, то обозначают мн расстояние, пересеченное частицей в конце времени ^; и p2 расстояние, пересеченное к концу времени 2. Теперь, если t t и t 2 быть столь выбранным, что ^ очень немного ранее чем t; и t 2 очень немного позже чем, скорость в любой момент t будет пределом, к которому приближается отношение ^ ^ - Соответственно каждый пишет <2", r я Ускоряюсь в момент t = & = [~ ^j ^\Eq. 4, где приписка 2 = t указывает, что 2 подхода неопределенно близко к концерну потребность некоторого выражения этого вида появятся, когда каждый задаст такой вопрос как,", Какова скорость бейсбола, брошенного вертикально в воздух? " У вопроса нет никакого значения, если каждый не определяет некоторый особый момент времени; поскольку у шара есть каждая скорость от начальной скорости с который 
 
 
 

это оставило руку метателя к нолю, который является его скоростью в вершине его  пути. Скорость, поэтому, действительно, предел. Концепция предела - что-то, что каждый студент должен принести с ним от исследования элементарной геометрии; или, не приобретя это  там, он должен теперь справиться с этим раз и навсегда, так как идея - та, которая важна даже в элементарной физике. ЕДИНИЦА СКОРОСТИ 22. Приняв сантиметр как единица длины и второго как единица времени, мы не испытываем затруднений в урегулировании на надлежащую научную единицу скорости; а именно, скорость одного сантиметра в секунду. Инженер, однако, вообще использует ногу в секунду для его отделения скорости. Проблемы 1. Найдите среднюю скорость, в милях в час, парохода, который делает проход от Нью-Йорка до Ливерпуля, 3032 ми., в 6 da. 2. 24-часовой поезд от Нью-Йорка до Чикаго, 926 ми., должен сделать что средняя скорость? 3. Выстрел путешествует на расстояние 4 километров через 10.5 секунд. Найдите его среднюю скорость в метрах в секунду. 4. Скорость 1 фута. в секунду эквивалентно скорости сколько сантиметров в секунду? 5. Оружие нацелено на расстояние 1 километра; отчет слышат 3.25 секунды. позже. От этого наблюдения, вычислите скорость звука в воздухе. 6. Легкие путешествия от солнца до земли приблизительно в 8 минут. Расстояние солнца от земли - приблизительно 95 миллионов ми. Сочтите приблизительную скорость света м. миль в секунду. Какова ценность этой скорости в метрах в секунду? 7. Один человек идет по курсу 3 ми. в час; другой идет при уровне 7 км. в час. Какой едет быстрее? 8. Предположение, что окружность земли на экватор - 25 000 ми., найдите скорость частицы на экваторе, вращающемся однажды через 24 часа. Выразите эту скорость в милях в секунду, также в метрах в секунду. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ 23. Очевидно из предыдущих примеров, что одна только скорость не достаточна определить уровень, при котором частица изменяет положение. Рассмотрите, например, частицу который 
 
 

шаги через  маленькое расстояние от P2 до P3 вдоль  кривого пути указали в Рис. 13, где P2 расположен векторным Ра и P3 вектором ry, Чтобы описать уровень изменения Y положения, необходимо знать не только, как далеко частица перемещалась мимоходом от P2 до P3, но также в том, какое руководство линия, присоединяющаяся к P2 и P3, находится. Из. 13. Ясно, курса, что, когда частица перемещается, это всегда перемещается в любой особый момент, в ком-то руководство, и в ком-то смысл. Чтобы полностью описать движение в любой момент, необходимо, поэтому, знать не только скорость, но также и руководство и смысл движения в тот момент. Это может быть наиболее удобно сделано при помощи вектора, названного "скоростью", у которой есть то же самое руководство и смысл как то из движения и у которой есть длина, равная скорости движения. Такой вектор полностью описывает скорость частицы в особый момент на рассмотрении. Скорость - поэтому, векторное количество, и ускорьте скаляр. Иллюстрировать: "Лодка покидает ее пирс и пары в прямой линии со скоростью 10 миль в час в течение 3 часов." От этой информации все, что мы знаем о положении лодки, - то, что она теперь лежит где-нибудь на круге 30-мильного радиуса, имея причал для центра. Если, однако, ее скорость (вместо ее скорости) была дана, говоря, что "она двигалась в течение 3 часов при 10-мильном уровне в северо-восточном направлении," ее существующее положение будет точно известно. Скорость, соответственно, определена как уровень времени изменения положения частицы. Или, с точки зрения алгебры, если мы обозначаем скорости V, 
 
 

Отметьте  тщательно различие между этим уравнением, которое определяет скорость, и Eq. 4, который определяет скорость; нумератор в (5) является вектором, в то время как нумератор в (4) является скаляром. От этого следует за РАЗЛИЧИЕМ МЕЖДУ СКОРОСТЬЮ И СКОРОСТЬЮ 24. Скорость представляет просто скорость движения, в то время как скорость представляет скорость, руководство, и смысл. Скорость зимуется в берлоге единственным числом, в то время как скорость требует три технических требований; а именно, количество, руководство, и смысл. Вообразите два поезда, едущие вдоль той же самой части двойного следа, идущие северные 30 миль в час, другие идущие южные 30 миль в час. У обоих поездов есть та же самая скорость и то же самое руководство; но их скорости столь же отличаются, как они могут быть; поскольку они непосредственно противоположны в знаке, то есть * в смысле. СКОРОСТЬ ТЕЛА 25. Мы оставляем теперь обсуждение частицы и прохода в рассмотрение расширенного тела, то есть. из тела, измерениями которого нельзя пренебречь по сравнению с другими вовлеченными количествами. И так как мы нашли (15), что любое изменение в положении тела может быть определено не меньше чем двумя векторами, переводом и вращением, из этого следует, что уровень, при котором тело изменяет положение, потребует для его описания двух скоростей. Если движение тела - один из перевода только, это - то же самое как тот из автомобиля вдоль прямой части железной дороги; линейная скорость - то же самое для каждой частицы в автомобиле; и эта скорость полностью описана, когда скорость любого пункта на автомобиле и руководстве следа дана. Но предположите, что автомобиль помещен в поворотный стол (Рис. 14), и стол, тогда сделанный вращаться; частицы около конца автомобиля переместятся быстро, те около центра будут медленно двигаться. Вообще, скорость частицы изменится как расстояние от оси поворотного стола. Как мы опишем движение, которое является очевидно настолько сложным? Это очень легко сделано, когда мы вспоминаем, что фактически единственное изменение количества - угловое положение автомобиля, и что это изменение - то же самое для каждой части автомобиля.