Классическая линейная модель парной регрессии

ПЛАН

Введение

1. Основные виды  эконометрических моделей

2. Нормальная  линейная модель парной регрессии

3. Классический метод наименьших квадратов для модели парной регрессии

Выводы

Список литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     Эконометрика— это наука, которая на базе статистических данных дает количественную характеристику взаимозависимым экономическим явлениям и процессам.

     Слово «эконометрика» произошло от двух слов: «экономика» и «метрика» (от греч. «метрон» — «правило определения расстояния между двумя точками в пространстве», «метрия» — «измерение»). Эконометрика — это наука об экономических измерениях.

     Зарождение  эконометрики является следствием междисциплинарного подхода к изучению экономики. Эконометрика представляет собой сочетание трех наук:

     1) экономической теории;

     2) математической и экономической  статистики;

     3) математики.

     На  современном этапе развития науки неотъемлемым фактором развития эконометрики является развитие компьютерных технологий и специальных пакетов прикладных программ.

     Основным предметом исследования эконометрики являются массовые экономические явления и процессы.

     Эконометрика  ставит своей целью количественно охарактеризовать те экономические закономерности, которые экономическая теория выявляет и определяет лишь в общем.

     Анализ экономических процессов и явлений в эконометрике осуществляется с помощью математических моделей, построенных на эмпирических данных. 
 
 

1. Основные виды  эконометрических  моделей

     Выделяют  три основных класса эконометрических моделей.

     1. Модель временных рядов.

     Модель  представляет собой зависимость  результативного признака от переменной времени или переменных, относящихся к другим моментам времени.

     К моделям временных рядов, в которых результативный признак зависит от времени, относятся:

     1) модель тренда (модель зависимости результативного признака от трендовой компоненты);

     2) модель сезонности (модель зависимости  результативного признака от сезонной компоненты);

     3) модель тренда и сезонности.

     К моделям временных рядов, в которых результативный признак зависит от переменных, датированных другими моментами времени, относятся:

     1) модели с распределенным лагом, которые объясняют вариацию результативного признака в зависимости от предыдущих значений факторных переменных;

     2) модели авторегрессии, которые объясняют вариацию результативного признака в зависимости от предыдущих значений результативных переменных;

     3) модели ожидания, объясняющие вариацию результативного признака в зависимости от будущих значений факторных или результативных переменных.

     Модели  временных рядов делятся на модели, построенные по стационарным и нестационарным временным рядам.

     Стационарные  временные ряды характеризуются постоянными во времени средней, дисперсией и автокорреляцией, т. е. данный временной ряд не содержит трендового и сезонного компонента.

     Если  временной ряд не отвечает перечисленным  условиям, то он является нестационарным (т. е. содержит трендовую и сезонную компоненты).

     2. Регрессионные модели с одним  уравнением.

     В подобных моделях зависимая или результативная переменная, обозначаемая обычно , представляется в виде функции факторных или независимых признаков              : 

     где                — параметры регрессионного уравнения.

     Регрессионные модели делятся на парные (с одним факторным признаком) и множественные регрессии.

     В зависимости от вида функции f(x, β) модели делятся на линейные и нелинейные регрессии.

     3. Системы одновременных уравнений.

     Данные  модели описываются системами взаимозависимых регрессионных уравнений. Системы могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя не только факторные переменные, но и результативные переменные из других уравнений системы.

     Для тождеств характерно то, что их вид  и значения параметров известны.

     Регрессионные уравнения, из которых состоит система, называются поведенческими уравнениями. В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.

     Примером  системы одновременных уравнений  может служить модель спроса и предложения, включающая три уравнения:

                                                                           — уравнение предложения;

                                                                           — уравнение спроса;

                                            — тождество равновесия,

     где                — предложение товара в момент времени t;

                          — спрос на товар в момент времени t;

                          — цена товара в момент времени t;

                          — цена товара в предшествующий момент времени t;

                          — доход потребителей в момент времени t.

2. Нормальная линейная  модель парной  регрессии

     1. Общая модель парной регрессии

     После того как в ходе экспериментов  было доказано наличие взаимосвязи между изучаемыми переменными, встает задача определения точного вида выявленной зависимости с помощью регрессионного анализа.

     Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи (в определении функции), в котором изменение одной величины (результативного признака) обусловлено влиянием независимой величины (факторного признака).

     Количественно оценить данную взаимосвязь можно с помощью построения уравнения регрессии или регрессионной функции.

     Базисной  регрессионной моделью является модель парной (однофакторной) регрессии. Данная регрессионная функция называется полиномом первой степени и используется для описания равномерно развивающихся во времени процессов. Общий вид парного уравнения регрессии зависимости y от x : 

     где       — зависимые переменные,

                  — независимые переменные;

                       — параметры уравнения регрессии, подлежащие оцениванию;

                  — случайная ошибка модели регрессии, появление которой может быть обусловлено следующими объективными предпосылками:

     1) нерепрезентативностью выборки. В модель парной регрессии включается одни фактор, неспособный полностью объяснить вариацию результативного признака, который может быть подвержен влиянию множества других факторов в гораздо большей степени;

     2) вероятностью того, что переменные, участвующие в модели, могут быть измерены с ошибкой.

     Аналитическая форма зависимости между изучаемой  парой признаков (регрессионная функция) определяется  с помощью следующих методов:

     1) на основе визуальной оценки характера связи. На линейном графике по оси абсцисс откладываются значения факторного (независимого) признака x, по оси ординат — значения результативного признака y. На пересечении соответствующих значений отмечаются точки. Полученный точечный график в указанной системе координат называется корреляционным полем. При соединении полученных точек получается эмпирическая линия, по виду которой можно судить не только о наличии, но и о форме зависимости между изучаемыми переменными;

     2) на основе теоретического и  логического анализа природы изучаемых явлений, их социальноэкономической сущности. Параметр    уравнения парной регрессии называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает, на сколько в среднем изменится результативный признак  y при изменении факторного признака x на единицу своего измерения. Знак параметра    в уравнении парной регрессии указывает на направление связи. Если,      > 0, то связь между изучаемыми показателями прямая, т. е. с увеличением факторного признака  x увеличивается и результативный признак, и наоборот. Если       < 0, то связь между изучаемыми показателями обратная, т. е. с увеличением фактора x результат  уменьшается, и наоборот.

     Значение  параметра    в уравнении парной регрессии трактуется как среднее значение результативного признака  y при условии, что факторный признак x равен нулю. Такая трактовка параметра возможна только в том случае, если значение x = 0 имеет смысл.

     2. Нормальная линейная модель парной  регрессии

     Нормальная, или классическая, линейная модель парной регрессии (регрессии с одной переменной) строится исходя из следующих предположений:

     1) факторный признак      является неслучайной или детерминированной величиной, не зависящей от распределения случайной ошибки уравнения регрессии εi;

     2) математическое ожидание случайной  ошибки уравнения регрессии равно нулю во всех наблюдениях: 

     где

     3) дисперсия случайной ошибки уравнения регрессии является постоянной для всех наблюдений: 

     4) случайные ошибки уравнения регрессии  не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю: 

     где i ≠ j.

     Это предположение верно в том  случае, если изучаемые данные не являются временными рядами;

     5) основываясь на 3 и 4-м предположениях, добавляется условие о том, что случайная ошибка уравнения регрессии является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 

     Исходя  из указанных предпосылок нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде: 

     где          — значения зависимой переменной,

                     — значения независимой переменной;

                          — коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие оценке;

                     — случайная ошибка уравнения регрессии. 
 
 

3. Классический метод  наименьших квадратов  для модели парной  регрессии

     Рассмотрим  применение метода наименьших квадратов  для нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии на примере модели линейной парной регрессии.

     Пусть подобрана эмпирическая линия, по виду которой можно удить о том, что связь между независимой переменной  и зависимой переменной  линейна и описывается равенством: 

     Необходимо  найти такие значения параметров и , которые бы доставляли минимум функции (1), т. е. минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативного признака  y от теоретических значений (значений, рассчитанных на основании уравнения регрессии): 

     При минимизации функции (1) неизвестными являются значения коэффициентов регрессии     и     . Значения зависимой и независимой переменных известны из наблюдений.

     Для того чтобы найти минимум функции  двух переменных, нужно вычислить частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравнять их к нулю. В результате получаем стационарную систему уравнений для функции (2): 
 
 
 

     Если  разделить обе части каждого уравнения системы на (- 2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему: 
 
 

     Это система нормальных уравнений относительно коэффициентов    и    для зависимости                                                     .

     Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных параметров уравнения регрессии    и     :

     где                   — среднее значение зависимого признака;

                             — среднее значение независимого признака;

                             — cреднее арифметическое значение произведения зависимого и независимого признаков;

                             — дисперсия независимого признака;

                             — ковариация между зависимым и независимым признаками. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Выводы

     Выделяют  три основных класса эконометрических моделей.

     1. Модель временных рядов.

     2. Регрессионные модели с одним  уравнением.

     3. Системы одновременных уравнений.

     Базисной  регрессионной моделью является модель парной (однофакторной) регрессии. Данная регрессионная функция называется полиномом первой степени и используется для описания равномерно развивающихся во времени процессов. Общий вид парного уравнения регрессии зависимости y от x : 

     Параметр    уравнения парной регрессии называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает, на сколько в среднем изменится результативный признак  y при изменении факторного признака x на единицу своего измерения. Знак параметра    в уравнении парной регрессии указывает на направление связи. Если,      > 0, то связь между изучаемыми показателями прямая, т. е. с увеличением факторного признака  x увеличивается и результативный признак, и наоборот. Если       < 0, то связь между изучаемыми показателями обратная, т. е. с увеличением фактора x результат  уменьшается, и наоборот.

     Значение  параметра    в уравнении парной регрессии трактуется как среднее значение результативного признака  y при условии, что факторный признак x равен нулю. Такая трактовка параметра возможна только в том случае, если значение x = 0 имеет смысл.

     Нормальную линейную модель парной регрессии можно записать в следующем виде: 
 
 
 

    Список  использованной литературы:

1. Голованов Е.А. Основы корреляционного и регрессионного анализа. - М.: Наука, 1991.

2. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Финансы и статистика, 1999.

3. «Эконометрика» под ред. И.И.Елисеевой, - М.: «Финансы и кредит»,

      2002;

4. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика. - М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.:      «Статистика»,1977

6. Практикум по дисциплине “ЭКОНОМЕТРИЯ” для студентов всех специальностей дневной формы обучения / Сост.: Сидин Э.Ф., Михайленко А.М. – Чернигов: ЧГИЭУ, 2008. – 80 с.