Корреляционная связь

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ

Понятие корреляционной связи

Корреляционная связь - это зависимость, при которой значение одной переменной величины y формируется под влиянием значения другой переменной величины x.

Корреляционная зависимость в отличие от функциональной  свидетельствует лишь о числовом соотношении (correlation – соотношение) между величинами, которое выражается в виде тенденций к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой переменной величины .

Корреляционной зависимостью является, например, зависимость между стажем работы и квалификацией сотрудника. Однако в данном случае  в качестве основного признака стаж не является единственной причиной изменения результативного признака – квалификации. Кроме него присутствуют и другие причины – природная одаренность, индивидуальное стремление к самосовершенствованию, коллектив в котором протекает его деятельность и т.д. Между тем, даже на уровне здравого смысла, необходимо признать, что такая связь присутствует.

При изучении конкретных зависимостей одни признаки выступают в качестве факторов, обуславливающих изменение других признаков. Признаки этой первой группы принято называть признаками-факторами или факторными признаками. Признаки же, которые изменяются под воздействием факторных признаков определяются как результативные.

Например, при изучении зависимости между производительностью труда рабочих и энерговооружённостью их труда уровень производительности труда рабочих является результативным признаком, а энерговооруженность – факторным признаком.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить, прежде всего, две категории зависимости:

- функциональные;

- корреляционные.

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, а каждому значению признака-фактора соответствуют вполне конкретные значения результативного признака.

В случае корреляционной связи между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, то есть воздействие проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. В простейшем случае применения корреляционной зависимости величина результативного признака рассматривается как следствие изменения только одного фактора. В частности, энерговооружённость труда можно рассматривать как причину роста производительности труда. Однако выделенный в данном примере в качестве основного, признак-фактор не является единственной причиной изменения результативного признака. Вместе с ним на производительность труда влияет и множество других причин. В частности, организация труда, уровень квалификации рабочих, специализации труда и т.д.

Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака. Дело в том, что в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Основное отличие функциональной зависимости от корреляционной зависимости заключается в том, что при функциональной связи между признаками можно  точно определить величину результативного признака, зная величину факторного признака.

При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака.

При исследовании корреляционных зависимостей между признаками решению подлежит широкий круг вопросов, к которым следует отнести:

1. Предварительный анализ свойств моделируемой совокупности единиц;

2. Установление факта наличия связи, определение её направления и формы;

3. Измерение степени тесноты связи между признаками;

4. Построение регрессионной модели, то есть нахождения аналитического выражения связи;

5. Оценка адекватности модели, её экономическая интерпретация и практическое использование.

Для того чтобы результаты корреляционного анализа нашли практическое применение и дали желаемый результат, должны выполняться определённые требования в отношении отбора объекта исследования и признаков факторов.

Одним из важнейших условий правильного применения методов корреляционного анализа является требование однородности тех единиц, которые подлежат изучению методами корреляционного анализа. Например, при корреляционном анализе зависимостей тех или иных технико-экономических показателей деятельности предприятий от определенных факторов, должны быть отобраны предприятия, выпускающие однородную продукцию, имеющие одинаковую технологию и т.д.

При выполнении указанных общих требований необходима количественная оценка однородности исследуемой совокупности по комплексу признаков. Наилучшим показателем для этих целей является коэффициент вариации. Можно также использовать отношение размаха вариации к среднеквадратическому отклонению.

Другим важным требованием, обеспечивающим надёжность выводов корреляционного анализа, является требование достаточного числа наблюдений. Дело в том, что влияние существенных причин может быть «затушёвано»  действием случайных факторов.

Метод параллельных рядов

Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи можно использовать метод сопоставления двух  параллельных рядов значений факторного () и результативного () признаков или построение знаковой таблицы. Значения факторного признака располагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины результативного признака.

ПРИМЕР

Имеются следующие данные об объемах затрат на рекламу (факторный признак) и объёмах отгрузки (результативный признак).

ОБЪЁМЫ ЗАТРАТ НА РЕКЛАМУ И ОБЪЁМЫ ОТГРУЗКИ (млн.руб.)

Сопоставляя значения  рядов можно сделать вывод, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу приводит к увеличению объёма отгрузки. В тоже время в отдельных случаях наличие такой зависимости не просматривается. В качестве примера можно указать на фирмы 9 и 10. Так у фирмы 9 расходы на рекламу оказались меньше, чем у фирмы 10, в то время как по объёмам отгрузки фирма 10 превзошла фирму 9 на 1,5 млн.руб.

ИЗМЕРЕНИЕ СТЕПЕНИ ТЕСНОТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ СВЯЗИ В СЛУЧАЕ ПАРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Показатели степени тесноты связи дают возможность охарактеризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора.

Зная показатели тесноты связи, можно решать следующие группы вопросов:

Определить необходимость изучения данной связи между признаками и целесообразность её практического использования;

Сопоставляя показатели тесноты связи для различных ситуаций можно судить о степени различий в её проявлении для конкретных условий;

Сопоставляя показатели тесноты связи результативного признака с различными факторами, можно выявить те факторы, которые в данных конкретных условиях являются решающими и главным образом воздействуют на формирование величины результата.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким учёным Фехнером.Этот показатель основан на степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчёта вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.

Формула расчёта коэффициента Фехнера выглядит следующим образом:

где                 – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин

                         от средней;

                          – число несовпадений знаков отклонений индивидуальных

                                   величин от средней.

ПРИМЕР

ЗНАКОВАЯ ТАБЛИЦА

ОТКЛОНЕНИЙ ОТ СРЕДНЕЙ АРИМЕТИЧЕСКОЙ ЗАТРАТ ФИРМАМИ НА РЕКЛАМУ И ОБЪЁМОВ ОТГРУЗКИ                                                                                                                                  

Как видно из столбца 6 совпадение знаков наблюдается  в 10 случаях и только два раз знаки не совпали.

Отсюда коэффициент Фехнера будет равен:

Полученная величина коэффициента Фехнера свидетельствует о том, что можно предположить наличие прямой зависимости между исследуемыми признаками.

Между тем, величина этого коэффициента, как видно из расчёта, не зависит от величины отклонений факторного и результативного признака от соответствующей величины. Поэтому нельзя говорить о степени тесноты корреляционной связи, а тем более об оценке её существенности на основании этого показателя.

Линейный коэффициент корреляции

Более совершенным показателем тесноты связи является линейный коэффициент корреляции, который был предложен английским математиком  Пирсоном.

При расчёте этого показателя учитываются не только знаки отклонений индивидуальных значений признака от средней, но и сама величина этих отклонений, как для факторного, так  и результативного признаков величины - и .

Однако непосредственно сопоставлять между собой полученные абсолютные величины нельзя, так как сами признаки могут быть выражены в разных единицах измерения, а при наличии одних и тех же единиц измерения средние могут быть различны по величине. По этой причине целесообразно сравнивать отклонения, выраженные в относительных величинах, то есть долях стандартного отклонения – нормированными отклонениями. Тогда для факторного признака будет иметь место совокупность величин , а для результативного - .

Полученные нормированные отклонения можно сравнивать между собой. Для того, чтобы на основе сопоставления рассчитанных нормированных отклонений получить обобщающую характеристику степени тесноты связи между признаками для всей совокупности, рассчитывают среднее произведение нормированных отклонений. Полученная таким образом средняя и будет являться линейным коэффициентом корреляции

где                                – линейный коэффициент корреляции;

                                        n  - число единиц в совокупности.

Вычисление коэффициента корреляции по приведённой формуле является достаточно трудоёмкой операцией. Выполнив ряд преобразований, можно получить следующую формулу для расчёта линейного коэффициента корреляции:

где                                n – число единиц в совокупности.

Коэффициент парной корреляции обладает следующими основными свойствами:

- симметричности, т.е. его значение не изменяется, если x и y поменять местами;

- безразмерности величины, т.е. он не изменяется при изменении единиц измерения признаков x и y.

Линейный коэффициент корреляции может принимать любые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе значение коэффициента корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи – прямой зависимости соответствует знак плюс, а обратной зависимости – знак минус.

Если с увеличением значений факторного признака x, результативный признак y имеет тенденцию к увеличению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и 1.

Если же с увеличением значений факторного признака x, результативный признак y имеет тенденцию к снижению, то величина коэффициента корреляции будет находиться между 0 и -1.

ПРИМЕР

По нижеприведённым данным рассчитать линейный коэффициент корреляции.

Отсюда линейный коэффициент корреляции равен:

Сам по себе коэффициент корреляции не имеет содержательной интерпретации. Однако его квадрат , называемый коэффициентом детерминации (обычно выражается в %), имеет большой содержательный смысл – это показатель того, насколько изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого.

Из определения коэффициента детерминации следует, что он принимает значения в диапазоне от 0% до 100%.

В рассмотренном примере коэффициент детерминации равен , то есть увеличение или уменьшение стоимости выпущенной товарной продукции на 50,06%  вариации объема отгрузки, произведённой фирмами объясняется вариацией затрат фирм на рекламу своих товаров.

Между тем, сама по себе величина коэффициента корреляции не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости предшествует анализ качественной природы явлений. Но есть и ещё одно обстоятельство, объясняющее формулировку выводов о возможном наличии связи по величине коэффициентов корреляции.

Связано это с тем, что степени тесноты связи с помощью коэффициента корреляции производится, как правило, на основе более или менее ограниченной информации об изучаемом явлении. При этом возникает вопрос, насколько правомерно сделано заключение по выборочным данным в отношении действительного наличия корреляционной связи в той генеральной совокупности, из которой сделана выборка.

Принципиально возможны случаи, когда отклонение от нуля полученной величины выборочного коэффициента корреляции оказывается целиком обусловленным неизбежными случайными колебаниями тех выборочных данных, на основании которых он вычислен. Особенно осторожно следует подходить к истолкованию полученных коэффициентов корреляции при незначительных объёмах выборочной совокупности.

В этой связи возникает необходимость оценки существенности  линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объёма выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Рассмотрим следующие основные критерии, используемые в статистике.

1. При большом объёме выборки следует рассчитать среднюю квадратическую ошибку линейного коэффициента корреляции по следующей формуле:

где          - линейный коэффициент корреляции, полученный по данным выборки;

               – объём выборки.

Если величина линейного коэффициента корреляции превышает величину средней квадратической ошибки более, чем  , то можно говорить о существенности выборочного коэффициента корреляции, где - уровень значимости 0,01 или 0,05.

Если же отношение окажется меньше , то с вероятностью следует предполагать отсутствие корреляционной связи в генеральной совокупности.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции будет записан так:

где          - линейный коэффициент корреляции в генеральной совокупности.

2. Для малого объёма выборочной совокупности используется тот факт, что величина при условии r = 0, распределяется по закону Стьюдента с (n-2) свободами.

Полученную величину сравнивают с табличным значением (число степеней свободы равно n-2). Если рассчитанная величина превосходит табличное значение критерия , то практически невероятно, что найденное значение обусловлено только случайными совпадениями x и y в выборке из генеральной совокупности, для которой действительное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если же вычисленная величина меньше, чем в таблице, то полагают, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности в действительности равен нулю и соответственно эмпирический коэффициент корреляции существенно не отличается от нуля.

ПРИМЕР

Оценить существенность корреляции между затратами фирм на рекламу и объёмами отгрузки.

Так как объём выборки равен 12 фирмам и величина коэффициента корреляции равна 0,7075

В таблице для числа степеней свободы 12-12=10 и уровня значимости 1% находим, что t=3,169

ЗНАЧЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ k СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ И ЗАДАННОГО УРОВНЯ ЗНАЧИМОСТИ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

Таким образом, лишь с вероятностью меньшей 1% можно утверждать, что величина могла появиться в силу случайной выборки. Такое событие является маловероятным, а поэтому можно считать с вероятностью 99%, что в генеральной совокупности действительно существует прямая зависимость между изучаемыми признаками, т.е. отличие выборочного коэффициента корреляции от нуля является существенным.

3. Проверку гипотезы об отсутствии связи можно сделать и без вычислений, пользуясь таблицей Р. Фишера.

В этой таблице показывается величина коэффициента корреляции, которая может считаться существенной при данном количестве наблюдений. При пользовании этой таблицы величину коэффициента корреляции следует искать для числа степеней свободы, равного n-2.