Культура современного естествознания

             Культура совремнного естествознания.     

        Введение. Предмет истории естествознания.

Термин “естествознание” несет несколько смыслов, которые необходимо уточнить. С одной стороны – это знание о “естественном”, что само по себе не прояснено. С другой стороны, о каком, собственно, знании идет речь?

Понятие “естественного” подразумевает природу, как она есть и противопоставляется с одной стороны сверхъестественному, с другой – искусственному, причем острота этих противопоставлений меняется от эпохи к эпохе. Природа, “физис” по-гречески, термин сам по себе очень многоплановый /2/. Первоначальное его значение - “рождение того, что растет” /3/, то есть организма. Поэтому под “физикой” греки подразумевали то, что мы сейчас называем ест

ествознанием, а именно, науки о природных живых организмах, человеке как биологическом объекте, мире в целом, который представлялся грекам как единый, живой организм и который греки впервые попытались объяснить рационально.

Под “знанием” ныне мы понимаем главным образом научное знание, поэтому, мы не обойдем вопроса о том, что есть наука как таковая, и когда зарождается наука о природе. Ведь магия является также знанием о природных явлениях: наука по Дж. Фрэзеру замещает магию как область человеческой деятельности. Среди многочисленных определений, что есть наука, наиболее краткое и в то же время емкое принадлежит Аристотелю: “ Наука – это знание, основанное на доказательстве”. Базируясь на этом определении науки как некоей методологии, которая в современной терминологии называется гипотетико-дедуктивным методом, можно попутно решить очень важный вопрос о времени и месте зарождения науки как таковой и естественных наук, в частности. В VI веке до н.э. в ионийских городах Древней Греции среди философов, астрономов и математиков, которые, впрочем, так еще не назывались, впервые начинает систематически применяться научная гипотеза и дедуктивное доказательство, ставшие впоследствии главными орудиями в приобретении знаний. В предшествующих и сопутствующих восточных культурах, несмотря на высокий, порой даже более высокий, чем у греков (в Вавилоне) уровень знаний в математике и астрономии, эти важнейшие компоненты отсутствовали.

В разделе курса, посвященном истории естествознания мы будем рассматривать ее как единый поток, не разбивая его на отдельные реки, ручьи и т.д. То есть, мы не будем изучать истории частных наук во времени и пространстве, а, придерживаясь хронологического принципа, рассматривать, прежде всего, наиболее “продвинутые” в теоретическом плане науки, обращая малое внимания на науки, находящиеся в “описательно-классификационном” состоянии.

Тем более что помимо внешних причин, обуславливающих не одновременность развития наук, существует и внутренняя логика развития науки, впервые сформулированная основателем позитивизма Огюстом Контом. В своей классификации наук О.Конт поставил математику на первое место, ибо она не нуждается в других науках. Далее - механику, для которой необходима лишь математика, затем астрономия, для которой нужна и математика и механика и т.д. Действительно, для прогресса математики не требуется никаких знаний, кроме математических, она может развиваться даже в том случае, если других наук вообще не будет (необходим лишь первый толчок). Существование же, например, биологии как теоретической науки немыслимо без предшествующего развития физики, химии, физиологии и анатомии. Именно поэтому первоначально большее внимание будет уделяться математике, астрономии и лишь затем механике, физике и т.д. Это, конечно, не означает, что для появления элементов “более сложных” наук необходимо полностью сложиться ее “предшественницам”. Но это будет еще не теоретическая наука. Для различения наук, находящихся на “описательно-классификационном” и “теоретическом” этапах развития, еще в древности существовало два термина. Первые назывались “историей”, а вторые – “философией”. Нас будет более интересовать история "философии", а точнее, натурфилософии.

1.2.1. Преднаука Древнего  Востока.

Элементы естественных знаний, знаний в области естественных наук, накапливались постепенно в процессе практической деятельности человека и формировались большей частью исходя из потребностей этой практической жизни, не становясь самодостаточным предметом деятельности. Выделяться из практической деятельности эти элементы начали в наиболее организованных обществах, сформировавших государственную и религиозную структуру и освоивших письменность: Шумер и Древний Вавилон, Древние Египет, Индия, Китай.

Чтобы понять, почему одни элементы естествознания появляются ранее других, вспомним, области деятельности, знакомые человеку той эпохи:

• сельское хозяйство, включая земледелие и скотоводство;
• строительство, включая культовое;
• металлургия, керамика и прочие ремесла;
• военное дело, мореплавание, торговля;
• управление государством, обществом, политика;
• религия.

Рассмотрим вопрос: развитие каких наук стимулируют эти занятия?

Сельское хозяйство.

1. Развитие сельского  хозяйства требует развития соответствующей  сельскохозяйственной (с/х) техники. Однако  от развития последней до обобщений  механики слишком долгий путь, чтобы всерьез рассматривать генезис механики из, скажем, потребностей земледелия. Хотя практическая механика, несомненно, развивалась в это время. Например, можно проследить появление из примитивной древнейшей зернотерки, через зерновую мельницу (жернова) водяной мельницы (V-III вв. до н.э.) – первой машины в мировой истории.

2. Ирригационные работы  в Древнем Вавилоне и Египте  требовали знания практической  гидравлики.

Управление разливом рек, орошение полей при помощи каналов, учет распределяемой воды развивает элементы математики. Первые водоподъемные приспособления – ворот, на барабан которого был намотан канат, несущий сосуд для воды; «журавль» – древнейшие предки кранов и большинства подъемных приспособлений и машин.

3. Специфические климатические условия Египта и Вавилона, жесткое государственное регулирование производства диктовали необходимость разработки точного календаря, счета времени, а отсюда – астрономических познаний. Египтяне разработали календарь, состоящий из 12-ти месяцев по 30 дней и 5-ти дополнительных дней в году. Месяц был разделен на 3 десятидневки, сутки на 24 часа: 12 дневных часов и 12 ночных (величина часа была не постоянной, а менялась со временем года).

Этот солнечный календарь послужил основой для построения юлианского календаря. Ботаника и биология еще долго не выделялись из сельскохозяйственной практики. Первые начатки этих наук появились только у греков.

Строительство.

4. Строительство, особенно  грандиозное государственное и  культовое требовали, по крайней  мере, эмпирических знаний строительной механики и статики, а также геометрии. Древний Восток был хорошо знаком с такими механическими орудиями как рычаг и клин. На сооружение пирамиды Хеопса пошло 23 300 000 каменных глыб, средний вес которых равен 2,5 тонны. При сооружении храмов, колоссальных статуй и обелисков вес отдельных глыб достигал десятков и даже сотен тонн. Такие глыбы доставлялись из каменоломен на специальных салазках. В каменоломнях для отрыва каменных глыб от породы служил клин. Подъем тяжестей осуществлялся с помощью наклонных плоскостей. Например, наклонная дорога к пирамиде Хефрена имела подъем 45,8 м и длину 494,6 м. Следовательно, угол наклона к горизонту составлял 5,3º, и выигрыш в силе при поднятии тяжести на эту высоту был значительным.

Для облицовки и пригонки камней, а возможно и при подъеме их со ступеньки на ступеньку, применялись качалки. Для поднятия и горизонтального перемещения каменных глыб служил также рычаг.

5. К началу последнего тысячелетия до н.э. народам Средиземноморья были достаточно хорошо известны те пять простейших подъемных приспособлений, которые впоследствии получили название простых машин: рычаг, блок, ворот, клин, наклонная плоскость. Однако до нас не дошел ни один древнеегипетский или вавилонский текст с описанием действия подобных машин, результаты практического опыта, видимо, не подвергались теоретической обработке. Строительство больших и сложных сооружений диктовало необходимость знаний в области геометрии, вычислении площадей, объемов, которое впервые выделилось в теоретическом виде. Для развития строительной механики необходимо знание свойств материалов, материаловедение. Древний Восток хорошо знал, умел получать очень высокого качества кирпич (в том числе обожженный и глазурованный), черепицу, известь, цемент.

Ремесла.

6. В древности (еще до  греков) было известно 7 металлов: золото, серебро, медь, олово, свинец, ртуть, железо, а также сплавы между ними: бронзы (медь с мышьяком, оловом  или свинцом) и латуни (медь с  цинком). Цинк и мышьяк использовались  в виде соединений. Существовала и соответствующая техника для плавки металлов: печи, кузнечные мехи и древесный уголь как горючее, что позволяло достигнуть температуры 1500 0С для плавления железа. Разнообразие керамики, производимой древними мастерами, позволило, в частности, археологии в будущем стать почти точной наукой. В Египте варили стекло, причем разноцветное, с применением разнообразных пигментов-красителей. Широкой гамме пигментов и красок, применявшихся в различных областях древнего мастерства, позавидует современный колорист. Наблюдения над изменениями природных веществ в ремесленной практике, наверное, послужили основой для рассуждений о первооснове материи у греческих физиков. Некоторые механизмы, применяемые ремесленниками, чуть ли не до сей поры, изобретены в глубокой древности. Например, токарный станок (конечно, ручной, деревообрабатывающий), прялка.

Области деятельности высших классов общества.

7. Достаточно долго  можно распространяться о влиянии  торговли, мореплавания, военного дела  на процесс возникновения научных знаний. Отметим только, что даже простейшие виды оружия должны делаться с интуитивным знанием их механических свойств. В конструкции стрелы и метательного копья (дротика) уже заложено неявное понятие об устойчивости движения, а в булаве и боевом топоре – оценка значения силы удара. В изобретении пращи и лука со стрелами проявилось осознание зависимости между дальностью полета и силой броска.

В целом, уровень развития техники в военном деле был значительно выше, чем в сельском хозяйстве, особенно в Греции и Риме. Мореплавание стимулировало развитие той же астрономии для координации во времени и пространстве, техники строительства судов, гидростатики и многого другого.

Торговля способствовала распространению технических знаний. Кроме того, свойство рычага – основы любых весов было известно задолго до греческих механиков-статиков. Следует отметить, что в отличие от сельского хозяйства и даже ремесла, эти области деятельности были привилегией свободных людей.

8. Управление государством  требовало учета ираспределения продуктов, платы, рабочего времени, особенно, в восточных обществах. Для этого были нужны хотя бы зачатки арифметики. Иногда (Вавилон) государственные нужды требовали знаний астрономии. Письменность, сыгравшая важнейшую роль в становлении научных знаний – во многом продукт государства. Трудно переоценить роль государственных потребностей в становлении письменности, арифметики, астрономии.

9. Взаимоотношения религии  и зарождающихся наук предмет  особого глубокого и отдельного  исследования. В качестве примера укажем лишь, что связь между звездными небом и мифологией египтян очень тесная и прямая, а потому развитие астрономии и календаря диктовалось не только нуждами сельского хозяйства. В дальнейшем, в контексте материала лекций,  мы будем обращать внимание на эти связи.

Постараемся просуммировать сведения о том, что было выделено на Древнем Востоке как теоретическое знание.

Математика.

Известны египетские источники II-го тысячелетия до н.э. математического содержания: папирус Ринда (1680 г. до н.э., Британский музей) и Московский папирус. Они содержат решение отдельных задач, встречающихся в практике, математические вычисления, вычисления площадей и объемов. В Московском папирусе дана формула для вычисления объема усеченной пирамиды.

Площадь круга египтяне вычисляли, возводя в квадрат 8/9 диаметра, что дает для числа пи остаточно хорошее приближение – 3,16. Несмотря на существование всех предпосылок  О. Нейгебауэр – крупнейший специалист по науке античности -  отмечает достаточно низкий уровень теоретической математики в древнем Египте. Это объясняется следующим: “Даже в наиболее развитых экономических структурах древности потребность в математике не выходила за пределы элементарной домашней арифметики, которую ни один математик не назовет математикой. Требования же к математике со стороны технических проблем таковы, что средств древней математики было недостаточно для каких бы то ни было практических приложений”.

Шумеро-вавилонская математика была на голову выше египетской. Тексты, на которых основаны наши сведения о ней относятся к 2-м резко ограниченным и далеко отстоящим друг от друга периодам: большая часть – ко времени древневавилонской династии Хаммурапи 1800 – 1600 гг. до н.э., меньшая часть – к эпохе Селевкидов 300 – 0 гг. до н. э. Содержание текстов отличается мало, появляется лишь знак “0”. Невозможно проследить развитие математических знаний, все появляется сразу, без эволюции. Существует две группы текстов: большая – тексты таблиц арифметических действий, дробей и т.п., в том числе ученические, и малочисленная, содержащая тексты задач (около 100 из найденных 500 000 табличек).

Вавилоняне знали теорему Пифагора, знали очень точно значение главного иррационального числа -  корня из 2, вычисляли квадраты и квадратные корни, кубы и кубические корни, умели решать системы уравнений и квадратные уравнения. Вавилонская математика носит алгебраический характер. Так же как для нашей алгебры ее интересует только алгебраические соотношения, геометрическая терминология не употребляется.

Однако и для египетской и для вавилонской математики характерно полное отсутствие теоретических изысканий методов счета. Нет попытки доказательства. Вавилонские таблички с задачами делятся на 2 группы: “задачники” и “решебники”. В последних из них решение задачи иногда завершается фразой: “такова процедура”. Классификация задач по типам была той высшей ступенью развития обобщения, до которой сумела подняться мысль математиков Древнего Востока. Видимо, правила находились эмпирическим путем, путем многократных проб и ошибок.

При этом математика носила сугубо утилитарный характер. С помощью арифметики египетские жрецы решали задачи о расчете заработной платы, о хлебе, о пиве для рабочих и т.п. Нет еще четкого различия между геометрией и арифметикой. Геометрия является лишь одним из многих объектов практической жизни, к которым можно применить арифметические методы. В этом отношении характерны специальные тексты, предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач. Писцы должны были знать все численные коэффициенты, нужные им для вычислений. В списках коэффициентов содержатся коэффициенты для “кирпичей”, для “стен”, для “треугольника”, для “сегмента круга”, далее для “меди, серебра, золота”, для “грузового судна”, “ячменя”, для “диагонали”, “резки тростника” и т.д.

Как считает Нейгебауэр, даже вавилонская математика не перешагнула порога донаучного мышления. Он, впрочем, связывает этот вывод не с отсутствием доказательств, а с неосознанностью вавилонскими математиками иррациональности корня из 2.

Астрономия.

Египетская астрономия на протяжении всей своей истории находилась на исключительно незрелом уровне. Судя по всему, никакой иной астрономии кроме наблюдений за звездами для составления календаря в Египте не было.

В египетских текстах не нашлось ни одной записи астрономических наблюдений. Астрономия применялась почти исключительно для службы времени и регулирования строгого расписания ритуальных обрядов. Египетская астрономическая терминология оставила следы в астрологии.

Ассиро-вавилонская астрономия вела систематические наблюдения с эпохи Набонассара (747 г до н.э.). За период “доисторический” 1800 – 400 гг. до н.э. в Вавилоне разделили небосвод на 12 знаков Зодиака по 300 каждый, как стандартную шкалу для описания движения Солнца и планет, разработали фиксированный лунно-солнечный календарь. После ассирийского периода становится заметен поворот к математическому описанию астрономических событий. Однако наиболее продуктивным был достаточно поздний период 300 – 0 гг. Этот период снабдил нас текстами, основанными на последовательной математической теории движения Луны и планет.

Главной целью месопотамской астрономии было правильное предсказание видимого положения небесных тел: Луны, Солнца и планет. Достаточно развитая астрономия Вавилона объясняется обычно таким важным ее применением как государственная астрология (астрология древности не имела личностного характера). Ее задачей было предсказание благоприятного расположения звезд для принятия важных государственных решений. Таким образом, несмотря на нематериалистическое применение (политика, религия) астрономия на Древнем Востоке также как и математика носила сугубо утилитарный, а также догматический, бездоказательный характер. В Вавилоне ни одному наблюдателю не пришла в голову мысль: “А соответствует ли видимое движение светил их действительному движению и расположению?”.  Их взгляды на строение мира ограничивались непосредственными зрительными ощущениями.

«Знания»

1. На процесс становления естественных наук влияют также исторические, производственные, экономические факторы (а не только "внутренняя логика развития науки")
2. Элементы наук начали выделяться только в развитых цивилизациях Востока: Древний Египет, Вавилон, Индия, Китай.
3. Список областей человеческой деятельности в эпоху древних цивилизаций.
4. Сельское хозяйство не определяло генезис механики.
5. Наблюдался постепенный прогресс в практической механике в области с/х: зернотерка-жерновная мельница-водяная мельница.
6. Водяная мельница была изобретена в III вв. до н.э.
7. Водяная мельница – первая машина в мировой истории.
8. Ирригационные работы формируют знания в практической гидравлике и математике, а также механике (простые подъемные машины).
9. Потребности с/х – календарь (служба времени) – астрономические наблюдения.
10. Египтянам принадлежит заслуга разработки солнечного календаря.

1.2.2. Рождение греческой  науки.

Элементы наук, которые выделились в самостоятельные виды занятий в первых цивилизациях в истории человечества (Др. Египет, Др. Вавилон), нельзя было назвать собственно наукой. В пользу такой точки зрения есть несколько весомых аргументов:

1. Отсутствие доказательства среди методов поиска истины у жрецов и писцов ближневосточных цивилизаций (как, впрочем, и дальневосточных).
2. Утилитарный характер математических и астрономических занятий Целями этих занятий всегда являются государственные и хозяйственные нужды, как в случае арифметических расчетов еды и оплаты, так и в случае астрономо-астрологических расчетов. Математика и астрономия и их внутренние цели никогда не становились самодостаточными предметами жизнедеятельности.
3. Не было попытки построение единой рационалистической системы природного мира.

Существует глубокое различие между проявлениями естественных  наук и математики на Востоке и первыми же опытами греков в этой области. Согласно П.П.Гайденко очень важный и спорный вопрос истории науки о восточных влияниях и даже корнях рождающейся греческой науки, следует решить в пользу самобытности и оригинальности первых греческих астрономов, а еще более математиков. Существовала и 2-я важная причина сомневаться в глубокой содержательной стороне этого влияния: известная нелюбовь греков к изучению чужих языков и, следовательно, невозможность вникать в суть чужих учений. Даже в эпоху эллинизма неизвестен ни один греческий автор, который бы знал египетский язык и письменность, причем это касается и тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения.  Контакт культур в эллинистическое время выражался скорее в эллинизации <варваров>, чем в <варваризации> греков. В целом, терминология греческой математики полностью греческого происхождения.

Греческие "семь мудрецов"

Заимствования вполне могли быть в области архитектуры, практической математики, астрономии, календаря, измерениях времени, веса, длины, практической механики. Носителями этих заимствований могли быть и купцы, и наемники, и греческие колонисты в восточных странах. Но уже первые упражнения в науке греческих философов кардинально отличаются от подобного рода восточных. Впрочем, проблема эта дискутируется до сих пор. Вовсе не случайно, что греческая философия зародилась в открытой внешним влияниям Малой Азии (6-7 в. до  н.э., милетская школа). Элейская школа(6 в.н.э) возникла позднее, на другой границе греческого мира, в Южной Италии.

Впрочем, нельзя пренебрежительно относиться к началу наук на Древнем Востоке. Здесь зародились зачатки математических знаний и, прежде всего, сформировалась фундаментальная идея числа и основные операции с числами, родились оригинальные системы счета. Здесь зародились основы геометрии. Что очень важно, сформировались математические понятия, хотя грекам непосредственно передано, пожалуй, только понятие пирамиды. Человек впервые описал звездное небо, движение Солнца, Луны и планет, научился наблюдать небесные светила и создал основы измерения времени. И наконец, заложил основы письма и алфавитного письма, в частности.

В чем же важнейшие отличия науки Древней Греции от науки Древнего Востока?

Лучше всего это иллюстрируется на примере математики. Как было показано, до греков математика была наукой сугубо практической, без теории, без доказательств. Надо сказать, что и у греков была подобная математика, она называлась логистикой. В состав логистики входили счет, арифметические действия с целыми числами, вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия на счетном приборе абаке, операции с дробями и приемы численного решения задач на уравнения 1-й и 2-й степени. Здесь рассматривались приложения арифметики к землемерию и другим задачам повседневной жизни. Правила логистики излагались догматически и, вообще говоря, не снабжались доказательствами. Сами греки отличали логистику от теоретической арифметики, которую называли просто арифметикой.

Что же мы видим уже у первого греческого философа и математика Фалеса (624 - 547 гг.)?

Согласно сведениям Евдема, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр - прямой. Он утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, открыл равенство углов, образующихся при пересечении 2-х прямых и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне.

Подобных задач не ставили перед собой ученые писцы (именно они были носителями математических знаний Вавилона и Египта). Хотя известно, что Фалес путешествовал в Египет, но незачем ехать так далеко, чтобы убедиться в том, что диаметр делит круг пополам: этот факт интуитивно ясен каждому ребенку, который делит на 2 части круглую лепешку. Практически, все теоремы, приписываемые Фалесу, связаны с проблемой симметрии и доказываются взаимным наложением. По сути, греки начали с таких вещей, которые до них никому в голову не приходило доказывать. Как отмечал один из современных исследователей "действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство "очевидных" математических фактов".

Важно еще и то, что уже Фалесом, по-видимому, сформулированы основы дедуктивного доказательства (процесс логического вывода, то есть перехода по тем или иным правилам логики от некоторых данных положений-посылок к их следствиям-заключениям). Часть своих теорем он доказывал наглядно - наложением, однако Аристотель приводит пример строгого доказательства у Фалеса. Как писал древнегреческий историк математики Евдем: "Одному Фалес учил более абстрактным образом, а другому - более чувственным, наглядным".

Пример. АВС - равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга.

Требуется доказать, что углы при его основании равны. Доказательство: угол 1 = угол 2, поскольку оба они являются углами полуокружности, угол 3 = угол 4, поскольку 2 угла любого сегмента круга равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы САВ и СВА равны между собой. Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно просто перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем. Дедуктивный метод в отличие от просто логических рассуждений нельзя считать чем-то внутренне присущим обращению с числами. На всем Древнем Востоке, включая Индию и Китай, математика развивалась без него.

В чем же причины того, что именно в Древней Греции появился гипотетико-дедуктивный метод (сначала в математике, потом в философии - есть взгляды, что и наоборот), произведший революцию в знаниях человека о природе и мире? Как уже говорилось, рождение этого метода, по сути, тождественно рождению науки. Существуют разные точки зрения.

1. Рост производства и обмена привели к ускоренному процессу распада родового общества и установлению классового общества. Это эпоха классовой, политической борьбы между аристократией и торгово-ремесленными слоями общества помноженной на бурный рост производства, торговли, культуры. Эпоха быстрых изменений в жизни формирует изменение мышления. Таков строго марксистский взгляд автора капитальной "Истории физики" П.С.Кудрявцева.
2. "Капитализация" общества (наличие купечества, свободных ремесленников), плюс рабовладельческая форма демократии как политическое устройство, плюс известная религиозная терпимость и свободомыслие - такова "либерально-демократическая" формула, приведенная в работе Дорфмана.

Однако и то и другое объяснения являются, на наш взгляд, лишь объяснением неких общих условий, исторического фона, который не раз реализовался позже (например, в Риме, у поздних европейских варваров, неоднократно, в Китае).  Почему же там так  и не были  написаны "Начала :" Евклида и не был рожден Платон?

1. В развитии дедуктивной логики видели влияние политического и судебного красноречия. Однако риторика развивается позже - со второй трети 5-го века. То же можно сказать и о влиянии философии на математику (Парменид).

Интересны рассуждения, приведенные А.И.Зайцевым:

1. В Греции впервые в истории получили общественное одобрение все формы творчества, все формы продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственно-утилитарного значения. Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он приобрел на этом поприще общественное признание.
2. Особый тип соревновательности, присущий греческому обществу того времени, а именно такой, в котором главным признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с ней материальные блага. Этот дух чистого соперничества впервые зародился в греческих спортивных состязаниях, а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества: сначала на литературу, затем на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.
3. Став на путь свободного чистого математического исследования, математики быстро убедились, что добиться успеха, получить неопровержимые результаты, можно только применяя строго логическое доказательство. Эмпирический метод не обладал той убедительной силой. Всякий мог сказать Фалесу, сколько бы тот ни измерял углы у основания равнобедренного треугольника, что найдется другой равнобедренный треугольник, у которого углы не равны. Иное дело - дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его неопровержимости.