Логика предикатов в експертных системах

   ВСТУП

   Сучасний  рівень і темп технічного розвитку висувають перед студентом –  майбутнім фахівцем, основну вимогу - не тільки вміти вчитися упродовж життя, а й ефективно застосувати  нові знання, наукові відкриття і  технології. Особливо це стосується такого розділу науки, як штучний інтелект.

   Інтелектуальні  системи нового типу повинні створювати той інструментарій, який забезпечить  освічену людину засобами більш якісного і глибшого опанування новітніми  досягненнями науки і технологій. З іншого боку, на сьогодні важко назвати розділ теоретичної науки, який би не знайшов застосування в системах штучного інтелекту.

   Актуальність  даної очевидна. Використання  точних наук у конструюванні технологій надзвичайно важливо,саме на їх основі створюється кістяк, те з чого почне «рости» справжній витвір мистецтва нового часу.

   Об’єкт: Математична логіка;

   Предмет: Логіка предикатів та її застосування  на практиці

   Мета: Висвітлити  основні напрямки застосування логіки предикатів у вирішенні прикладних та практичних задач.

   Завдання:

   1) Виділити  основні напрямки використання  логіки предикатів;

   2) Охарактеризувати  на основі яких властивостей  має місце їх використання  саме у даній галузі;

   3) Зробити   висновок що до значення цього  розділу  математичної логіки  що до глобальних технологічних проблем;

    1. Прикладнi числення (теорiї  першого порядку)

   Прикладнi числення (теорiї першого порядку) характеризуються тим, що в них до логiчних аксiом додаються власнi спецiальнi аксiоми, в яких визначають властивостi конкретних (iндивiдуальних) предикатних букв i предметних констант з певної предметної областi.

   Найтиповiшi приклади iндивiдуальних предикатних  букв - предикати  =  (рiвностi) i £ (порядку), а функцiональних букв - знаки арифметичних операцiй +, ´, -, / тощо та iнших популярних математичних функцiй. Як предметнi областi найчастiше виступають множина N натуральних чисел, множина Z цiлих чисел, множина R дiйсних чисел, булеан b(A) деякої множини A та iн. 

   1.1 Предикат рiвностi

   Бiльшiсть  прикладних числень мiстить предикат рiвностi  =  i аксiоми, що його визначають. Наприклад, аксiомами для рiвностi можуть бути такi:

   E1. "x(x = x)

   E2. (x = y)®(F(x,x)®F(x,y)),

де F(x,y) отримано з F(x,x) шляхом замiни деяких (не обов’язково всiх) вõоджень x на y за умови, що y у цих входженнях також залишається вiльним.

   Будь-яка  теорiя, в якiй E1 i E2 є аксiомами  або теоремами, називається теорiєю (або численням) з рiвнiстю.

   З аксiом E1 i E2 неважко вивести теореми, що описують основнi властивостi рiвностi - рефлексивнiсть, симетричнiсть i транзитивнiсть:

   "t (t = t)

   (x = y)®(y = x)

   (x = y)®((y = z)®(x = z)). 

   1.2 Предикат еквiвалентностi

   Аналогiчно  можуть бути введенi три аксiоми, що задають бiльш загальний предикат - предикат еквiвалентностi E(x,y):

   Q1. "xE(x,x)

   Q2. "x"y(E(x,y)®E(y,x))

   Q3. "x"y"z((E(x,y)ÙE(y,z))®E(x,y)). 

   2. Теорiя часткового порядку

   Iншим  прикладним численням є теорiя  часткового порядку, яка мiстить  три конкретнi аксiоми для предиката £:

   O1. "x(x£x)

   O2. "x"y(((x£y)Ù(y£x))®(x = y))

   O3. "x"y"z((x£y)®((y£z)®(x£z))).

   Приєднавши  до цих аксiом аксiому

   O4. "x"y((x£y)Ú(y£x)Ú(x = y)),

дiстанемо  теорiю лiнiйного (строгого) порядку.

   Ще  одна аксiома (аксiома щiльностi)

   O5. "x"y((x£y)®$z((x£z)Ú(z£y)))

формалiзує  вiдношення лiнiйного (строгого) порядку  у щiльних множинах (див.роздiл 1.8), наприклад, у множинi рацiональних або множинi дiйсних чисел. 

   2.1 Формальна арифметика

   Найбiльш  дослiдженою на сьогоднi формальною теорiєю, яка вiдiграє визначальну роль для  аналiзу проблеми обгрунтування засад  математики, є так звана формальна  арифметика [.......].

   У формальнiй арифметицi використовують три функцiональнi букви +, ´, ¢. Є також одна предикатна буква - символ бiнарного предиката рiвностi  =  i одна предметна константа 0.

   Дев’ять схем спецiальних аксiом задають основнi закони формальної арифметики.

   A1. F(0)Ù"x(F(x)®F(x¢ ))®F(x) (принцип iндукцiї)

   A2. (t₁¢ = t₂¢ )®(t₁ = t₂)

   A3. Ø(t₁¢ = 0)

   A4. (t₁ = t₂)®((t₁ = t₃)®(t₂ = t₃))

   A5. (t₁ = t₂)®(t₁¢ = t₂¢ )

   A6. t₁+0 = t₁

   A7. t₁+t₂¢ = (t₁+t₂)¢

   A8. t₁´0 = 0

   A9. t₁´t₂¢ = t₁´t₂+t₁.

   Зауважимо, що формальна арифметика припускає так звану стандартну iнтерпретацiю, в якiй символ  =  ототожнюється зi звичним знаком рiвностi, 0 - з числом нуль, + i ´ - з традицiйними знаками арифметичних бінарних операцiй додавання i множення, а ¢ - з унарною операцiєю «безпосередньо слiдує за». Така iнтерпретацiя відповідає звичній змістовній арифметиці. Кожен терм вiдповiдає деякому натуральному числу, а формула - твердженню про певну властивiсть натуральних чисел або числових змiнних. 

   2.2 Математична теорія

   У результатi дослiдження рiзних теорiй математики дiйшли висновку, що їхнє обгрунтування може бути зведено до дослiдження систем аксiом для елементарної арифметики, з одного боку, i теорiї множин, з iншого. Такими дослiдженнями з початку ХХ столiття займалось багато математикiв. I лише на початку 30-х рокiв к.Гьодель опублiкував досить несподiваний на той час i песимiстичний результат: жодна скiнченна система аксiом для елементарної арифметики не є повною. Точнiше у першiй теоремi Гьоделя стверджується, що будь-яка формальна теорiя T, що мiстить формальну арифметику, є неповною, а саме, в T iснує (i може бути ефективно побудована) замкнена формула F, така що ØF iстинна, однак нi F, нi ØF не є вивiдними в T. Друга теорема Гьоделя про неповноту твердить, що для довiльної несуперечливої формальної теорiї T, що включає формальну арифметику, формула, що описує несуперечнiсть T, є невивiдною в T. (Тут доречно зауважити, що при доведеннi першої з теорем Гьодель використав метод, подiбний до вiдомого дiагонального методу Кантора).

   Отже, нi для арифметики i теорiї чисел, нi тим бiльше для багатших математичних теорiй не iснує адекватних формалiзацiй. Цей досить сумний, але об’єктивний факт однак не заперечує i не знецiнює iдеологію формалiзму. Формальний пiдхiд залишається основним конструктивним засобом побудови i дослiдження математичних теорiй. Потенцiйна неможливiсть адекватної i повної формалiзацiї теорiї означає, що належить або видiляти i обмежуватись лише тими фрагментами теорiї, якi формалiзуються, або ж будувати iншу потужнішу формальну теорiю (на жаль, знову неповну), яка розширить сферу дiї формалiзму. Зокрема, використавши метод трансфiнiтної iндукцiї, який не може бути формалiзований у формальнiй арифметицi, представник гiльбертівської школи Герхард Генцен довiв несуперечнiсть формальної арифметики i окремих роздiлiв математичного аналiзу. 

   3. Вузьке числення предикатiв

   Окрiм  суто формальних побудов у класичному численнi предикатiв мова так званого  вузького числення предикатiв використовується для запису тверджень (властивостей, аксіом, лем, теорем) i означень у рiзних конкретних роздiлах математики. Використання символiки логiки предикатiв дозволяє досягти бiльшої строгостi i формальностi у викладеннi математичних результатiв, уникнути неоднозначностi i багатослiвностi звичайної мови. Досвiд свiдчить, що засвоєння методики символiчного запису сприяє як полегшенню розумiння смислу досить складних математичних тверджень, так i успiшнiшiй побудовi багатоетапних логiчних ланцюжкiв для розв’язання конкретних задач.

   Наприклад, твердження про те, що довiльне цiле число a можна роздiлити з остачею на цiле число b, яке не дорiвнює нулю, може бути записане так:

   "(aÎZ)"(bÎZ)[(b¹0)®($(qÎZ)$(rÎZ)(a = b´q+r)Ù((r = 0)Ú((0<r)Ù(r<|b|))))].

   Замiсть  знака рiвносильностi  =  пишуть також знак , який читається «за означенням».

   За  допомогою предиката x|y можна природно означити унарний предикат «x - просте число» (позначимо його через P(x)):

   P(x) "y((y|x)®((y = 1)Ú(y = -1)Ú(y = x)Ú(y = -x))).

   Наведемо  ще декiлька прикладiв означень з математичного аналiзу. Вiдоме означення границi числової послiдовностi можна записати так:

   lim a_i = a "(e>0)$(kÎN)"(iÎNÙi>k)(|a_i -a|<e).

   Аналогiчно  можуть бути записанi класичнi означення  рiзних варiантiв поняття неперервностi дiйсної фунцiї f:

   1) фунцiя f(x) неперервна в точцi a

   "(e>0)$(h>0)"(xÎR)((|x-a|<h)®(|f(a)-f(x)|<e));

   2) функцiя f(x) неперервна на iнтервалi (a,b)

   "(cÎ(a,b))"(e>0)$(h>0)"(xÎ(a,b))((|x-c|<h)®(|f(c)-f(x)|<e));

   3) функцiя f(x) рiвномiрно неперервна  на iнтервалi (a,b)

   "(e>0)$(h>0)"(cÎ(a,b))"(xÎ(a,b))((|x-c|<h)®(|f(c)-f(x)|<e)).

   Означення основних теоретико-множинних операцiй i вiдношення включення для множин можуть бути записанi так:

   xÎAÈB (xÎA)Ú(xÎB),

   xÎ AÇB (xÎA)Ù(xÎB),

   xÎ A\B (xÎA)Ù(xÏB),

   AÍB "x((xÎA)®(xÎB))

тощо.

      ВИСНОВКИ

      На основі обробленого  теоретичного матеріалу з предмета математична логіка, а саме, логіка предикатів, було виділено основні напрямки використання логіки предикатів у прикладних задачах,а саме:формальна арифметика, математична теорія, вузьке числення предикатів.

   Було  розглянуто, на основі яких властивостей предикатів можливо використовувати їх саме у даному розділі прикладних задач,при чому виділялися аспекти на котрі необхідно звертати увагу саме при роботі з даною задачею.

     Логіка предикатів є важливою  складовою математичної логіки, саме цей розділ актуально,  а саме головне, правильно використовувати при рішенні багатьох прикладних задач, в  тому числі і в експертних системах. 
 

      Література 

1. Капітонова  Ю. В., Кривий С. Л., Летичевський О. А., Луцький Г. М., Печурін М. К. Основи дискретної математики. - К.: Наукова думка, 2002.
2. Середа В. Ю., Математична логіка в шкільному курсі математики. – К.: Радянська школа, 1984.
3. Мендельсон 3. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.
4. Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973.
5. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М: Просвещение, 1968.
6. Нікольський Ю.В., Пасічник В.В., Щербина Ю.М. Дискретна математика. – В: Магнолія плюс, 2005.