Метод анализа иерархий

 

Федеральное агентство  по образованию РФ

 

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра ИТАС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по дисциплине

" Теория принятия решений"

 

тема: Метод  анализа иерархий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение………………………………………………………………………………...	3
1. Иерархии……………………………………………………………………………..	4
1.1. Понятие иерархии………………………………………………………………	4
1.2. Преимущества иерархий……………………………………………………….	6
1.3. Построение иерархии…………………………………………………………..	7
2. Приоритеты в иерархиях……………………………………………………………	9
3. Интуитивное обоснование  метода………………………………………………….	14
4. Иерархии и суждения, получаемые с помощью анкетирования………………….	17
5. Тесты на точность, среднеквадратичное отклонение  и медианное абсолютное отклонение………………………………………………………………………………	18
6. Основные понятия  метода анализа иерархий………………………………………	19
7. Применение метода  анализа иерархий в психотерапии…………………………...	22
Список литературы	26

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Часто экономические, медицинские, политические, социальные, управленческие проблемы имеют несколько вариантов решений. Зачастую, выбирая одно решение из множества возможных, лицо, принимающее решение, руководствуется только интуитивными представлениями. Вследствие этого принятие решения имеет неопределенный характер, что сказывается на качестве принимаемых решений.

С целью придания ясности процесс  подготовки принятия решения на всех этапах сопровождается количественным выражением таких категорий как  «предпочтительность», «важность», «желательность» и т.п.

В настоящее время существует множество информационных технологий, позволяющих предельно облегчить жизнь и помочь в решении проблем, связанных с процессами принятия решений в различных предметных областях. В частности, очень распространены сейчас системы поддержки принятия решений на основе Метода Анализа Иерархий (МАИ).

Метод анализа иерархий  разработан американским математиком  Т. Саати (Питтсбурский университет) в 70-е гг. МАИ получил широкое распространение и применяется в самых разнообразных отраслях. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Кроме того, необходимо отметить, что в России этот метод получает все большее распространение в различных видах маркетинговых исследований, определении сценариев развития города, оценке различных коммерческих рисков и т.д.

Метод применяется в  тех случаях, когда перед экспертом  стоит проблема выбора из ряда альтернатив. Альтернативы характеризуются некоторыми весами, зная которые, не составляет труда выбрать наилучшую из них. Проблема состоит в том, что веса заранее неизвестны. Они должны быть получены посредством применения метода анализа иерархии (МАИ) [1].

Постановка задачи, решаемой с помощью метода МАИ, заключается обычно в следующем:

Дано: общая цель (или цели) решения задачи; N критериев оценки альтернатив; n альтернатив.

Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.

Подход анализа иерархий состоит из совокупности этапов:

1. Первый этап заключается  в структуризации задачи в виде иерархической структуры с несколькими уровнями: от вершины (цели) через промежуточные уровни (критерии) к нижнему уровню альтернатив.

2. На втором этапе  выполняется построение множества матриц попарных сравнений элементов каждого уровня. Матрица строится для глобальной цели и для каждого из элементов промежуточных уровней. Результаты сравнений переводятся в числа.

3. Вычисляются коэффициенты  важности для элементов каждого  уровня. При этом проверяется  согласованность суждений.

4. Подсчитывается количественный  индикатор качества каждой из альтернатив и определяется наилучшая альтернатива [3].

 

 

1. Иерархии

1.1. Понятие иерархии

 

Очень часто при анализе  интересующей структуры число элементов  и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы - блоки и их взаимосвязи, причем у каждого блока есть собственная схема.

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Ниже дан элементарный пример иерархии. Благосостояние полисов (городов-государств) в средневековой Европе зависело в основном от силы и способностей их правителей. Общая структура полиса может быть воспроизведена в иерархической форме показанной на рис.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1. Общая структура полиса в иерархической форме

 

Сельское хозяйство, торговля, численность населения и ремесла сгруппированы в одно множество, или уровень, так как в этой модели они обладают свойствами наиболее фундаментальных факторов экономической силы полиса. Эти факторы определяют способность функционирования гражданского правительства и силу армии, которые, в свою очередь, влияют на благосостояние полиса.

Для этого примера необходимо сделать некоторые замечания.

Во-первых, очевидно, что модель слишком  проста. Здесь можно было бы определить намного больше элементов и больше уровней в зависимости от вопроса, на который полагается ответить. Модель быстро усложняется и становится трудновоспринимаемой. Поэтому следует тщательно строить иерархию с учетом соответствия действительности и понимания ситуации. Опыт показал, что даже весьма грубая на вид идеализация может позволить глубже вникнуть в суть проблемы.

Во-вторых, в модель не включен тот  очевидный факт, что не только торговля влияет на гражданское правительство, но и гражданское правительство также воздействует на торговлю. Это «реверсивное» воздействие, или обратная связь, будучи зачастую важным, все же не так существенно, как это может показаться вначале. Анализ нескольких задач проведен сначала без учета обратной связи, а затем с се учетом. Первые результаты были достаточно близки, и это позволяет допустить, что правильно построенная иерархия будет в большинстве случаев хорошей моделью реальности, даже если возможные обратные связи игнорируются. Тем не менее, как показывает первый пример этого раздела, некоторые ситуации могут быть настолько сложными, что их представление в виде иерархии окажется упрощенным, вводящим в заблуждение.

Следующий пример делает понятие иерархии более ясным. Вопрос связан с колледжем; необходимо определить сценарий, согласно которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа. Назовем благосостояние колледжа общей целью. На нее влияют следующие силы: обучение, общественная жизнь, дух (атмосфера), наличие оборудования и внешкольная деятельность. Эти силы определяются следующими акторами (действующими лицами): академической администрацией, неакадемической администрацией, профессорско-преподавательским составом, студентами, попечителями. Опускаем очевидную обратную связь между силами и акторами. Различные акторы имеют определенные цели: профессорско-преподавательский состав может хотеть сохранить свою работу, расти профессионально, качественно проводить обучение; студенты могут быть заинтересованы в получении работы, в женитьбе, в получении хорошего образования и т.д. И имеется несколько возможных сценариев, таких как: статус-кво, акцент на профессиональное обучение, дальнейшее образование, или превращение в религиозную школу. Сценарии определяют вероятность достижения целей, цели влияют на акторов, акторы направляют силы, которые, наконец, воздействуют на благосостояние колледжа. Таким образом, получаем иерархию рис.2.

Рассмотрим это понятие  иерархии более внимательно.

Многие склонны полагать, что иерархии были изобретены в корпорациях  и правительствах для решения собственных проблем. Это не так. Иерархии являются основным способом, с помощью которого человек подразделяет реальность на кластеры и подкластеры. Красноречивым подтверждением этой точки зрения служит следующая цитата: «Очевидна огромная сфера приложений иерархической классификации. Это наиболее мощный метод классификации, используемый человеком для при-ведения в порядок опыта, наблюдений и информации. Хотя нейрофизиологией и психологией определенно это еще не установлено, однако иерархическая классификация, возможно, воспроизводит первичную форму координации или организации: 1) корковых процессов, 2) их психических соотносительных понятий и 3) их выражения в символах и языках. Использование иерархического упорядочивания, по-видимому, так же старо, как и человеческое мышление, сознательное и бессознательное...».

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. Точные методы построения систем в виде иерархий постепенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных систем. Путем иерархической композиции, по существу, уклоняются от непосредственного сопоставления большого и малого. Концептуально, наиболее простая иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируемый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляющих и т.д. до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации). В математической теории иерархий разрабатывается метод оценки воздействия уровня на соседний верхний уровень посредством композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов нижнего уровня по отношению к элементу верхнего уровня. Эта композиция может распространяться вверх по иерархии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2. Структура колледжа в иерархической форме

 

Каждый элемент иерархии функционально может принадлежать к нескольким другим различным иерархиям. Например, ложку можно расположить вместе с другими ложками различного размера в одной иерархии, или вместе с ножами и вилками в другой иерархии. Элемент может являться управляющей компонентой на некотором уровне одной иерархии или может просто быть элементом, раскрывающим функции нижнего или высшего порядка в другой иерархии [2].

 

 

1.2. Преимущества иерархий

 

1. Иерархическое представление системы можно использовать для описания того, как влияют изменения приоритетов на верхних уровнях на приоритеты элементов нижних уровней.

2. Иерархии предоставляют  более подробную информацию о  структуре и функции системы  на нижних уровнях и обеспечивают рассмотрение акторов и их целей на высших уровнях. Для удовлетворения ограничений на элементы уровня их лучше всего воспроизводить на следующем более высоком уровне. Например, природу можно рассматривать как актор, цель которого - использовать определенный материал и который подчиняется определенным законам в качестве ограничений.

3. Естественные системы,  составленные иерархически, т.е.  посредством модульного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем системы, собранные в целом.

4. Иерархии устойчивы  и гибки; они устойчивы в  том смысле, что малые изменения вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик [2].

 

 

1.3. Построение иерархии

 

На практике не существует установленной процедуры генерирования целей, критериев и видов деятельности для включения в иерархию или даже в более общую систему. Это зависит от тех целей, которые выбираются для декомпозиции сложной системы. Обычно эта процедура начинается с изучения литературы для обогащения мыслями, и часто, знакомясь с чужими работами, как бы проходят через стадию мозгового штурма для составления перечня всех концепций, существенных для задачи, независимо от их соотношения или порядка. Следует помнить, что основные цели устанавливаются на вершине иерархии; их подцели - непосредственно ниже вершины; силы, ограничивающие акторов, - еще ниже. Силы доминируют над уровнем самих акторов, которые, в свою очередь, доминируют над уровнем своих целей, ниже которых будет уровень их возможных действий, и в самом низу находится уровень различных возможных исходов (сценариев) (см. рис.2). Это естественная форма, которую принимают иерархии, связанные с планированием и конфликтами. В иерархии, предназначенной для физической системы, возможные действия могут быть заменены методами конструирования. За ними должны следовать несколько промежуточных уровней. Прежде чем будет сформирован хорошо определенный план, могут потребоваться значительные критические замечания и перепроверки.

Задачей для опытного исследователя в некотором смысле становится отождествление различных классов проблем, возникающих в реальных системах. Существует такое разнообразие этих систем, что исследователю необходимо знание идей и концепций, которыми оперируют специалисты. Это требует интеллекта, терпения и способности взаимодействовать с другими людьми, чтобы извлечь выгоду из их опыта и знаний.

Общая цель и другие критерии иерархии в социополитических приложениях могут не быть единственными. Они зависят от исследуемого вопроса. Это не является специфической особенностью иерархии, а присуще жизненным ситуациям.

Пример, в шахматах известны постоянные (априорные) величины, характеризующие веса фигур в начале игры. Имеются также текущие (апостериорные), или эмпирические величины, характеризующие веса фигур в зависимости от сопоставления занятых ими позиций в конце партии. Значения весов обоих типов для фигуры могут быть получены в соответствии с двумя положениями: 1) в зависимости от того, сколько клеток они контролируют, располагаясь па каждой клетке; 2) к зависимости от возможности фигуры объявить шах королю противника так, чтобы самой не быть убитой.

При этом значения в случае 2 близки, а в случае 1 они различны. Анализ приводит к вопросу: «какова в действительности относительная ценность фигур в шахматах?» Очевидно, что единственного ответа здесь нет. Тем не менее может быть приемлемым ответ в терминах относительного упорядочивания значений.

 

 

 

 

Имеются следующие относительные веса коня, слона, ладьи и ферзя:

	Случай 1	Случай 2
	Контроль клеток	Угроза королю
Постоянное значение	3, 5, 8, 13	12, 13, 24, 37
Текущее значение (получены эмпирически)	350, 360, 540, 1000	12, 13, 18, 33

 

Наше чувственное восприятие действует специфически, а именно, служит потребностям выживания. Поэтому, хотя мы и стараемся быть объективными при интерпретации опыта, наша способность понимать и абстрагировать - очень субъективна и обычно служит нашим нуждам! Выживание, по-видимому, является основой для выработки целей. В действительности, то, что мы подразумеваем под объективностью, есть разделенная субъективность. Поэтому формируемые нами иерархии объективны в соответствии с нашим собственным определением, так как они отражают коллективный опыт.

Важным замечанием при иерархическом подходе к решению задач является то, что функциональное воспроизведение системы может быть различным у разных лиц, однако люди обычно приходят к согласию по нижнему уровню альтернативных действии, которые нужно предпринимать, и по следующему за ним уровню характеристик этих действий. Например, нижний уровень может состоять из различных маршрутов движения транспорта между двумя пунктами, а уровень характеристик может включать время следования, сужения, выбоины, безопасность и т.д. В таблице 1 показаны уровни иерархий различных типов, однако лицо, формирующее иерархию, должно быть уверенным в том, что уровни естественно связаны друг с другом. При необходимости уровень может быть разбит на два уровня и более или совершенно удален [2].

Общее построение иерархий и декомпозиция               Таблица 1

Общая иерархия	Ограничения и силы окружающей среды	Перспектива (акторы)	Цели акторов	Возможные действия	Исходы	Результирующий исход
Иерархия для конфликта	Ограничения	Акторы	Цель	Возможные действия	Исходы	Компромисс или устойчивый исход
Прямое или проектируемое планирование	Возможные организационные действия в настоящее время	Другие акторы	Цели  других акторов	Возможные действия	Сценарии	Логическое будущее
Обратное или идеализированное планирование	Ответные возможные организационные действия	Другие акторы	Цели других акторов	Возможные действия других акторов	Сценарии	Желательное будущее
Анализ стоимость-эффективность	Критерии	Подкритерии	Цели	Возможные действия	Выборы	Лучший выбор или смесь
Выбор капиталовложений	Уровень риска	Основные силы	Критерии	Сферы задач	Характерные проекты
Прогнозирование	Уровень риска	Основные силы	Критерии	Сферы задач	Категории

 

 

2. Приоритеты в иерархиях

 

Иерархия, в том виде, в каком она представлена в  предыдущем разделе, является более или менее заслуживающей доверия моделью реальной ситуации. Она отражает проведенный анализ наиболее важных элементов и их взаимоотношений, однако она - не достаточно мощное средство в процессе принятия решений или планирования. Необходим метод определения силы, с которой различные элементы одного уровня влияют на элементы предшествующего уровня, чтобы можно было вычислять величину воздействий элементов самого низкого уровня на общую цель.

Для большей ясности возвратимся  к иерархии колледжа из предыдущего раздела. Как уже было отмечено, нас интересует «сценарий, по которому с наибольшей вероятностью будет обеспечено продолжительное существование колледжа». Для определения этого сценария сначала находим важность сил относительно общей цели. Затем для каждой силы определяем степень влияния акторов на эту силу. Отсюда несложным вычислением получаем степень влияния акторов на общую цель. Затем оцениваем важность целей для каждого актора и, наконец, определяем действенность различных сценариев в обеспечении достижения каждой цели. Повторив несколько раз упомянутые выше вычисления, получим «наилучший» сценарий.

Определим «степень влияния», или  приоритеты, элементов одного уровня относительно их важности для элемента следующего уровня. Здесь представим только наиболее элементарные аспекты нашего метода. Психологическая мотивация и математические основы метода будут изложены позже.

Введем некоторые понятия. Матрица - это массив чисел и виде прямоугольной таблицы. Горизонтальная последовательность чисел в матрице называется строкой, а вертикальная - столбцом. Матрица, состоящая только из одной строки или из одного столбца, называется вектором, а с одинаковым числом строк и столбцов - квадратной. Полезно отметить, что с квадратной матрицей ассоциируются ее собственные векторы и соответствующие собственные значения.

Метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы одного, скажем, четвертого уровня иерархии и один элемент е следующего более высокого уровня. Нужно сравнить элементы четвертого уровня попарно по силе их влияния на е, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Определим шкалу приоритетов для  следующего примера. Пусть А, В, С и D обозначают стулья, расставленные по прямой линии, ведущей от источника света. Создадим шкалу приоритетов относительной освещенности для стульев. Суждения производит человек, стоящий около источника света, у которого, например, спрашивают: «Насколько сильнее освещенность стула В по сравнению с С ?» Он отвечает одним из чисел для сравнения, записанных в таблице, и это суждение заносится в позицию (В, С) матрицы. По соглашению сравнение силы всегда производится для действия или объекта, стоящего в левом столбце, по отношению к действию или объекту, стоящему в верхней строке. Мы получим матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (матрица 4x4).

Условимся, что это  следующие числа. Пусть заданы элементы А и В; если:

А и В одинаково важны, заносим 1;

А незначительно важнее, чем В, заносим 3;

А значительно важнее В, заносим 5;

А явно важнее В, заносим 7;

А по своей значительности абсолютно превосходит В, заносим 9 в позицию (А, В), где пересекаются строка А и столбец В.

При сравнении элемента с самим  собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки А со столбцом А в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, .... или 1/9 на пересечениях столбца А и строки В, т.е. в позицию   (В, А) для обратного сравнения В с А. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины используются для облегчения компромиссов между слегка  отличающимися от основных чисел суждениями.   Используются также рациональные, числа для получения отношений из описанных выше значений шкалы,  когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе суждений (не менее n-1).

В общем случае, под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них.   Для проведения парных сравнении n объектов или  действий при условии, что каждый объект или действие представлен в данных по крайней мере один раз, требуется (n-1) суждений о парных сравнениях. Из них можно просто вывести все остальные суждения, используя следующее отношение: если объект А₁ в 3 раза превосходит объект А₂ и в 6 раз превосходит А₃, то А₁=3А₂ и А₁=6А₃. Следовательно, 3А₂=6А₃, или А₂=2А₃ и А₃=1/2А₂. Если численное значение   суждения в позиции (2, 3) отличается от 2,  то матрица будет несогласованной.   Это случается часто и не является бедствием. Даже при использовании для суждений всех действительных чисел до тех пор, пока не будет  суждении по основным (n-1) объектам, получить согласованные числа невозможно. Добавим, что для большинства задач очень трудно определить (n-1) суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых является абсолютно верным.

Известно,  что согласованность  положительной  обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию равенства ее максимального собственного значения с n. Можно также оценить отклонение от согласованности разностью , разделенной на n-1. Заметим, что неравенство всегда верно. Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного значения величины с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Вернемся теперь к нашему примеру освещенности стульев. В матрице для чисел   имеется 16 нолей. Четыре из них уже определены,    а именно те, что находятся на диагонали, (А, А), (В, В), (С, С), (D, D) и равны единице, так как, например, стул А имеет одинаковую освещенность по отношению к самому себе. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнении, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть обратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что интенсивность освещенности стула В по сравнению со стулом С находится между слабой и сильной. Тогда и позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина, т.е. 1/4, что не обязательно, но в общем случае рационально.

После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин, для всей матрицы получим:

 

 

 

Освещенность	А      В    С D
А В С D

Следующий шаг состоит  в вычислении вектора приоритетов  по данной матрице: В математических терминах это - вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов. В отсутствие ЭВМ, позволяющей точно решить эту задачу, можно получить грубые оценки этого вектора следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок.

1. Суммировать элементы  каждой строки и нормализовать  делением каждой суммы на сумму  всех элементов; сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй - второго объекта и т.д.

2. Суммировать элементы  каждого столбца и получить  обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы  каждого столбца на сумму элементов  этого столбца (т.е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это - процесс усреднения но нормализованным столбцам.

4. Умножить n элементов каждой строки и извлечь корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

Для простой иллюстрации  того, что методами 1, 2 и 3 получаем предполагаемые ответы, используется урна с тремя белыми (Б), двумя черными (Ч) и одним красным (К) шарами. Вероятность извлечения Б, Ч или К шара, соответственно: 1/2, 1/3, 1/6. Легко убедиться, что любым из первых трех методов эти вероятности получатся при использовании следующей согласованной матрицы попарных сравнений. Метод 4 дает такой же результат.