Метод TOPSIS и его модификация

Метод TOPSIS и  его модификация.

А = {Ai} – множество  альтернатив, i = 1, 2, …, n. 

С = {Cj} – множество  критериев, j = 1, 2, …, m  

Пусть 

   Метод TOPSIS основан на следующей идее: наиболее предпочтительная альтернатива должна быть не только ближе всех остальных альтернатив к позитивному идеальному решению, но и быть дальше всех остальных альтернатив от негативного идеального решения.

    Позитивное идеальное решение – вектор, содержащий максимальные значения по каждому критерию для всех альтернатив.  

    Негативное идеальное решение – вектор, содержащий минимальные значения по каждому критерию для всех альтернатив.

   Х – исходная матрица (размерности n x m), где xij – значение критерия Cj для альтернативы Ai.

Пошаговое  применение метода TOPSIS 

    Шаг 1. Строим матрицу нормализованных значений критериев. 

   Переводим критерии, выраженные в разных единицах в безразмерный вид.

pij = xij / ( Σ (xij ²)) ½

                                           i 

    Шаг 2. Строим матрицу взвешенных нормализованных значений критериев. 

   Предположим, что у нас определен вес каждого критерия wj ,  

0 <= wj <= 1,  

Σ wj = 1,

  j

   Обозначим матрицу взвешенных нормализованных значений критериев Y. 

yij = wj * pij 

   Шаг 3. Определяем позитивное и негативное идеальные решения. 

A⁺ = (max (yi1), …, max (yim)) = (y1⁺, …, ym⁺),

                i i  

A^- = (min (yi1), …, min (yim)) = (y1^-, …, ym^-),

          i i

    Шаг 4. Рассчитываем расстояние для каждой альтернативы от позитивного и негативного идеальных решений.  

   Расстояние от i-ой альтернативы до позитивного идеального решения: 

Si ⁺ = [  (yi⁺– yij)² ] ½   i = 1, …, m 

   Расстояние от i-ой альтернативы до негативного идеального решения:  

Si ^-  =  [  (yi^-– yij)² ] ½   i = 1, …, m

   Шаг 5. Определение относительной близости к позитивному идеальному решению. 

Pi⁺ = Si^- / (Si⁺ + Si^- ) , 0 = (Pi⁺ )*  = 1  

   Выбираем ту альтернативу, для которой (Pi⁺ )* ближе к 1. 

    Пример. Оценим 4 марки автомобилей (m=4) по 4 критериям (дизайн, надежность, экономичность, цена).

Таблица 1  

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

7 

9 

9 

8 

Тойота 

8 

7 

8 

7 

Форд 

9 

6 

8 

9 

Мазда 

6 

7 

8 

6 

Вес 

0,1 

0,4 

0,3 

0,2

Шаг 1(а). Рассчитаем ( Σ (xij ²)) ½ для каждой колонки.

                                        i  

Таблица 2. 

Критерий

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

49 

81 

81 

64 

Тойота 

64 

49 

64 

49 

Форд 

81 

36 

64 

81 

Мазда 

36 

49 

64 

36 

Σ (x^{_ij 2}) 

230 

215 

273 

230 

( Σ (x^{_ij 2})) ^½ 

15,17 

14,66 

16,52 

15,17

Шаг 1(б). Находим pij 

Таблица 3. 

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

0,46 

0,61 

0,54 

0,53 

Тойота 

0,53 

0,48 

0,48 

0,46 

Форд 

0,59 

0,41 

0,48 

0,59 

Мазда 

0,4 

0,48 

0,48 

0,4

Шаг 2. Умножаем таблицу 3 на весовые коэффициенты.  

Таблица 4.  

Критерий 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономичность 

Цена 

Хонда  

0,046 

0,244 

0,162 

0,106 

Тойота 

0,053 

0,192 

0,144 

0,092 

Форд 

0,059 

0,164 

0,144 

0,118 

Мазда 

0,040 

0,192 

0,144 

0,080

    Шаг 3. Определяем позитивное и негативное идеальные решения. 

A⁺ = (0,059; 0,244; 0,162; 0,080). 

А^- = (0,04; 0,164; 0,144; 0,118). 

   Шаг 4(а). Определяем расстояние до позитивного идеального решения.

Таблица 5. 

Критерий 
 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономич-ность 

Цена 

 (y^_i+– y _^ij)² 

[  (y^_i+– y _^ij)² ] ^½ 

Хонда  

(0,046-0,059)² 

(0,244-0,244)² 

0² 

0,026² 

0,000845 

0,029 

Тойота 

(0,053-0,059)² 

(0,192-0,244)² 

(-0,18)² 

0,012² 

0,003208 

0,057 

Форд 

(0,053-0,059)² 

(0,164-0,244)² 

(-0,18)² 

0,038² 

0,008186 

0,090 

Мазда 

(0,053-0,059)² 

(0,192-0,244)² 

(-0,18)² 

0² 

0,003389 

0,058

Шаг 4(б). Определяем расстояние до негативного идеального решения. 

Таблица 6. 

Критерий 
 

Марка 

Дизайн 

Надежность 

Экономич-ность 

Цена 

 (y^i-– y ^ij)² 

[  (y^i-– y ^ij)² ] ^½ 

Хонда  

(0,046-0,04)² 

(0,244-0,164)² 

0,018² 

(-0,012)² 

0,006904 

0,083 

Тойота 

(0,053-0,04)² 

(0,192-0,164)² 

0² 

(-0,026)² 

0,001629 

0,040 

Форд 

(0,053-0,04)² 

0² 

0² 

0² 

0,000361 

0,019 

Мазда 

(0,053-0,04)² 

(0,192-0,164)² 

0² 

(-0,038)² 

0,002228 

0,047

   Шаг 5. Определение относительной близости альтернатив к идеальному решению. 

Марка 

S^_i- / (S^_i+ + S^_i- ) 

P^_i+ 

Ранг 

Хонда  

0,083 / 0,112 

0,74 

1 

Тойота 

0,040 / 0,097 

0,41 

3 

Форд 

0,019 / 0,109 

0,17 

4 

Мазда 

0,047 / 0,105 

0,45 

2

Модифицированный  метод TOPSIS  

   ЛПР не всегда может быть доступен, у разных ЛПР могут быть разные предпочтения.  

   Объективные веса критериев могут быть получены на основе применения показателя энтропии. Показатель энтропии отражает количество информации, необходимой для принятия решений, которую несет каждый критерий. 

   Энтропия - это мера неопределенности в информации, сформулированная на основе теории вероятности.

   Рассмотрим пошаговое применение модифицированного метода TOPSIS. 

А = {Ai} – множество  альтернатив, i = 1, 2, …, n.  

С = {Cj} – множество  критериев, j = 1, 2, …, m.

   Шаг 1. Чтобы рассчитать объективные веса критериев, матрицу Х нужно преобразовать, нормализуя xij по каждому критерию Cj: 

pij = xij / (Σxij ) ,  

   Шаг 2. Теперь можно оценить энтропию каждого критерия ej: 

где k = 1 / ln n – константа, которая гарантирует, что 0<=ej<=1

    Шаг 3. Степень дивергенции dj внутренней информации, содержащейся в каждом критерии Cj, может быть рассчитана так: 

dj = 1−ej,  

dj – отражает контрастность критерия Cj.  

   Чем больше дивергенция Cj, т.е. чем выше значение dj, тем более важен критерий Cj для решения проблемы.

   Шаг 4. Объективный вес для каждого критерия Cj может быть получен так:  

wj = dj / (Σ dj )

                j 

   Шаг 5. После того как определили показатели результативности и объективные веса критериев следующий шаг – агрегировать их, чтобы получить общий индекс результативности для каждой альтернативы.

   В процессе агрегирования используем позитивное (А⁺) и негативное (А^-) идеальные решения:  

   Шаг 6. Индекс общей результативности альтернативы определяется на основе расстояния от нее до A⁺ и A^-.

   Взвешенное Евклидово расстояние между Ai и A⁺, и Ai и A^- рассчитывают так: 

 где

 dij⁺=pj⁺−pij,

 dij⁻=pij−pj⁻,

 i=1, 2,…,

 j=1, …, m.

   Шаг 7. Индекс общей результативности для каждой альтернативы Ai рассчитывают так: 

0 <= Pi <= 1, 

    Чем ближе значение индекса к 1, тем лучше данная альтернатива.

Пример. Сравним 5 компаний. Для сравнения используем три критерия: уровень прибыльности, производительность труда, доля рынка (табл.7).  

Критерий 

С1 

С2 

С3 

Компания 

Уровень прибыльности, % 

Производительность труда, руб./чел. 

Доля рынка 

А1 

15 

22000 

0,26 

А2 

20 

20000 

0,3 

А3 

12 

25000 

0,15 

А4 

10 

30000 

0,19 

А5 

18 

27000 

0,23 

Таблица 7 – Значения  критериев (xij)

   Чтобы применить модифицированный метод TOPSIS, нормализуем данные из табл.7. 

Таблица 8 – Нормализованные  значения критериев (pij) 

Компания 

Уровень прибыльности 

Производительность труда 

Доля рынка 

А1 

0,2 

0,18 

0,23 

А2 

0,27 

0,16 

0,26 

А3 

0,16 

0,20 

0,13 

А4 

0,13 

0,24 

0,17 

А5 

0,24 

0,22 

0,2

Таблица 9. Энтропия, дивергенция  и веса критериев. 

Уровень прибыльности 

Производительность труда 

Доля рынка 

e_^j 

0,981 

0,994 

0,983 

d_^j 

0,019 

0,006 

0,017 

w_^j 

0,449 

0,150 

0,401 

k = 0,62

Теперь определяем  позитивную и негативную идеальные  точки: 

A⁺=(0,27, 0,24, 0,26), A⁻=(0,13, 0,16, 0,13).  

Таблица 10 – Расстояния  до идеальных точек  

Компания 

Уровень прибыльности 

Производительность труда 

Доля рынка 

d^_ij+ 

d^_ij- 

d^_ij+ 

d^_ij- 

d^_ij+ 

d^_ij- 

А1 

0,07 

0,07 

0,06 

0,02 

0,04 

0,1 

А2 

0 

0,14 

0,08 

0 

0 

0,13 

А3 

0,11 

0,03 

0,04 

0,04 

0,13 

0 

А4 

0,14 

0 

0 

0,08 

0,1 

0,04 

А5 

0,03 

0,11 

0,02 

0,06