Общая теория статистики

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования 

Государственный университет  управления

 

Кафедра статистики

 

 

 

 

 

Семестровое домашнее задание

по статистике

 

Раздел «Общая теория статистики»

 

 

 

Выполнил	Проверил
Студент II курса ИФМ группа МО II-2 Гаркуша П.А. Вариант № 9	Доцент кафедры статистики канд. экон. наук ПЕТРОВА Екатерина Валерьяновна       Итоговая оценка __________________________ __________________________

 

 

Москва, 2008

 

Вариант №9

1.Заполнение статистического формуляра в форме списка отчетными данными по предприятиям.

Таблица 1.

Отчетные данные по авторемонтным  предприятиям региона.

N предприятия	Выпуск валовой продукции(в  действующих ценах), млн.руб.			Среднесписочная численность рабочих в марте, чел.	Средняя стоимость основных фондов в марте, млн.руб.	Затраты на содержание оборудования в марте, млн.руб.
	январь	февраль	март
1	87,8	101,7	99,0	1650	26,1	7,7
2	47,3	49,5	54,5	1058	17,1	4,4
3	211,5	215,6	219,6	2177	49,5	16,4
4	62,1	64,8	63,9	1211	18,9	4,7
5	162,0	161,6	174,2	2070	42,3	12,3
6	90,5	107,1	115,7	1817	29,7	8,9
7	207,0	214,7	210,2	2138	47,3	14,7
8	117,0	116,6	126,9	1812	31,5	10,2
9	166,1	174,6	180,0	2103	42,8	13,8
10	76,5	87,8	90,0	1350	24,8	6,9
11	126,0	134,6	140,9	1943	35,1	11,1
12	72,0	77,9	81,0	1344	22,5	6,8
13	90,2	86,4	104,0	1770	27,9	7,8
14	81,0	88,7	90,0	1628	26,1	8,0
15	52,1	54,0	56,1	1078	16,7	3,9
16	60,8	64,8	63,0	1223	19,4	5,0
17	211,5	212,4	217,5	2238	45,0	14,4
18	156,0	157,5	158,4	1937	38,3	11,4
19	121,1	121,5	129,6	1925	32,0	11,9
20	67,5	67,1	68,0	1253	18,9	5,3
21	90,9	99,5	127,4	1575	25,2	10,8
22	66,6	72,5	73,8	1350	22,5	6,2
23	99,5	106,2	111,2	1778	28,4	9,2
24	207,0	214,7	219,2	2228	49,5	16,1
25	173,7	180,9	181,2	2132	42,8	12,5
26	165,6	180,0	175,1	2061	43,7	12,9
27	102,6	103,5	109,8	1802	26,1	8,7
28	145,1	156,6	158,9	2048	39,5	11,6
29	140,4	133,7	135,0	1932	31,5	10,4
30	81,0	78,3	80,6	1355	23,0	6,9

 

 

2. Выявление зависимости производительности труда рабочих от уровня вооруженности их труда основными фондами. Произвести группировку предприятий по вооруженности труда рабочих основными фондами. Интервалы группировки разработать самостоятельно. Показатели производительности труда и вооруженности труда исчислять в тыс. руб. с точностью до 0,1. Результаты группировки и сводки представить в виде статистической таблицы, в которой также исчислить удельные веса групп по числу предприятий и численности рабочих. Сформулировать выводы.

 

Таблица  2.1.

Отчетные данные по авторемонтным  предприятиям региона.

 

N предприятия	Выпуск валовой продукции(в  действующих ценах), млн.руб.	Среднесписочная численность  рабочих в марте, чел.	Вооруженность труда  рабочих основными фондами
27	109,8	1802	14,5
20	68,0	1253	15,1
15	56,1	1078	15,5
4	63,9	1211	15,6
1	99,0	1650	15,8
13	104,0	1770	15,8
16	63,0	1223	15,9
14	90,0	1628	16,0
21	127,4	1575	16,0
23	111,2	1778	16,0
2	54,5	1058	16,2
6	115,7	1817	16,3
29	135,0	1932	16,3
19	129,6	1925	16,6
12	81,0	1344	16,7
22	73,8	1350	16,7
30	80,6	1355	17,0
8	126,9	1812	17,4
11	140,9	1943	18,1
10	90,0	1350	18,4
28	158,9	2048	19,3
18	158,4	1937	19,8
17	217,5	2238	20,1
25	181,2	2132	20,1
5	174,2	2070	20,4
9	180,0	2103	20,4
26	175,1	2061	21,2
7	210,2	2138	22,1
24	219,2	2228	22,2
3	219,6	2177	22,7

 

Таблица  2.2.

Вспомогательная таблица.

Группы предприятий  по размеру вооруженности труда  основными фондами	14,5-15,9	15,9-16,6	16,6-19,8	20,1-22,7
Номер предприятия	27,20,15,4,1,13,16	14,21,23,2,6,29,19	12,22,30,8,11,10,28,18	17,25,5,9,26,7,24,3
Выпуск валовой продукции	563,8	763,4	910,5	1577,0
Среднесписочная численность  рабочих	9987	11713	13139	17147

Таблица  2.3

Зависимость производительности труда от уровня вооруженности основными фондами

Группа по вооруженности  труда рабочих основными фондами	Число предприятий	Общий валовой объем  продукции, млн. руб.	Среднесписочная численность  рабочих, чел	Производительность труда, тыс. руб	Изменение производительности по сравнению с 1-ой группой, %	Удельный вес, %
						По числу предприятий	По количеству рабочих
14,5-15,9	7	563,8	9987	56,45	100,00	23,33	19,21
15,9-16,6	7	763,4	11713	65,18	115,46	23,33	22,53
16,6-19,8	8	910,5	13139	69,30	122,76	26,67	25,27
20,1-22,7	8	1577,0	17147	91,97	162,92	26,67	32,99
Итого:	30	3814,7	51986	282,90		100	100

 

 

Вывод: из данных таблицы 2.3 следует, что с ростом вооруженности труда рабочих основными фондами увеличивается производительность труда. Так производительность труда рабочих второй группы, вооруженность труда которых от 14,5 до 15,9тыс. руб. на 15,46 % превышает производительность труда рабочих первой группы, вооруженность труда которых от 15,9 до 16,6 тыс. руб.; производительность труда рабочих третьей группы, вооруженность труда которых от 16,6 до 19,8тыс. руб. на 22,76 % превышает производительность труда рабочих первой группы; производительность труда рабочих четвертой группы, вооруженность труда которых от 20,1 до 22,7 тыс. руб. на 62,92 % превышает производительность труда рабочих первой группы  
3. Построить ряд распределения предприятий по объему основных производственных фондов, рассчитав величину интервала по формуле Стерджесса. Для построенного ряда определить показатели центра распределения, вариации, асимметрии. На основе эмпирического распределения рассчитать теоретическую кривую нормального распределения и при помощи критерия согласия Романовского проверить соответствие эмпирического распределения нормальному.

Дать графическое изображение  эмпирического и теоретического нормального распределения. Сформулировать выводы.

 Таблица  3.1.

Отчетные данные по авторемонтным  предприятиям региона.

 

Номер   предприятия	Средняя стоимость основных фондов в марте, млн. руб.
1	26,1
2	17,1
3	49,5
4	18,9
5	42,3
6	29,7
7	47,3
8	31,5
9	42,8
10	24,8
11	35,1
12	22,5
13	27,9
14	26,1
15	16,7
16	19,4
17	45,0
18	38,3
19	32,0
20	18,9
21	25,2
22	22,5
23	28,4
24	49,5
25	42,8
26	43,7
27	26,1
28	39,5
29	31,5
30	23,0

 

Число групп определяется по формуле  Стерджесса:

n = 1+3,322*lgN

N - общее число единиц совокупности, в N=30 (по условию задания)

n= 1+ 3,322*lg30= 5,906

n=6

Величину интервала группировки  определяется по формуле:

i = R/m

R= x_max- x_min - размах колебания (варьирования) признака.

R=49,5-16,7=32,8

i = 32,8/6=5,5

Таблица  3.2.

Ряд распределения предприятий  по объему основных производственных фондов

Группы предприятий  по объему основных производственных фондов млн. руб.	Номер  предприятия	Средняя  стоимость  основных  фондов       в  марте млн.руб.
16,7-22,2	15	16,7
	2	17,1
	4	18,9
	20	18,9
	16	19,4
22,2-27,7	12	22,5
	22	22,5
	30	23,0
	10	24,8
	21	25,2
	1	26,1
	14	26,1
	27	26,1
27,7-33,2	13	27,9
	23	28,4
	6	29,7
	8	31,5
	29	31,5
	19	32,0
33,2-38,7	11	35,1
	18	38,3
38,7-44,2	28	39,5
	5	42,3
	9	42,8
	25	42,8
	26	43,7
44,2-49,7	17	45,0
	7	47,3
	3	49,5
	24	49,5
Итого:	30	944,1

 

 

Таблица  3.3.

Вспомогательная таблица  для расчета показателей вариации

группы предприятий  по объему основных производственных фондов,    млн. руб.	центр интервала,       млн. руб.	частота          (количество предприятий в группе)	d=x'-хср	dˆ²	dˆ²*f	|d|*f	Накопленные частоты
x	x'	f					S
1	2	3	4	5	6	7	8
16,7-22,2	19,4	5	-12,1	146,41	732,05	60,5	5
22,2-27,7	24,9	8	-6,6	43,56	348,48	52,8	13
27,7-33,2	30,4	6	-1,1	1,21	7,26	6,6	19
33,2-38,7	35,9	2	4,4	19,36	38,72	8,8	21
38,7-44,2	41,4	5	9,9	98,01	490,05	49,5	26
44,2-49,7	46,9	4	15,4	237,16	948,64	61,6	30
Итого:		30	9,9	545,71	2565,2	239,8

 

 

К показателям центра распределения  относятся:

1. средняя арифметическая взвешенная
2. Мода
3. Медиана

 

1. Средняя арифметическая  для интервального ряда распределения определяется по формуле:

_       

x = å(x' *f) /åf,

     

где x' - середина соответствующего интервала значения признака.

_

X=(19,4*5+24,9*8+30,4*6+35,9*2+41,4*5+46,9*4)/30=31,5

 

2. Мода - наиболее часто встречающееся  значение признака. В интервальном ряду определяется модальный интервал (имеет наибольшую частоту). Значение моды определяется по формуле:

                                         f_Mо - f_{( - 1)}

 Мо = x_Mо +h*¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                           (f_Mо - f_{(Мо - 1)} ) + (f_Mо - f_{(Мо + 1)} )

 

x_Mо - нижняя граница модального интервала,

 f_Mо - частота модального интервала,

f_{( - 1)} - частота интервала, предшествующего модальному,

f_{( + 1)} - частота интервала, следующего за модальным,

h – величина интервала.

 

Модальным интервалом будет [22,2-27,7), так как здесь находится наибольшее количество предприятий. Нижняя граница этого интервала 22,2, его частота 8, предмодальная частота 5, послемодальная частота 6.

Mo=22,2+5,5(8-5/[8-5]+ [8-6])=25,5

3.Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

N_Me = (n + 1)/ 2

n - число единиц совокупности.

N_Me = (30+1)/2 = 15,5

Численное значение медианы определяется по формуле:

 

  

 

                      N_Me - S_(-1)

 Ме = x_Me + i*¾¾¾¾¾

                              f_Me

x_Me - нижняя граница медианного интервала,

S_(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i - величина интервала,

f_Me - частота медианного интервала.

Медианным является интервал [27,7-33,2), поскольку его накопленная частота равна 19, что превышает половину суммы всех частот ((30/2)=15). Нижняя граница этого интервала 27,7, его частота 6, накопленная до него 13, величина интервала (27,7-33,2)=5,5.

 

Ме=27,7+5,5((30+1)/2-13)/6)=29,9

 

3.среднее линейное отклонение:

d = (å|x' - x|*f )/ åf = 8,11

 

4.среднее квадратическое отклонение  и дисперсия:

                            ______________

s = Öå d²*f /  åf             и            s ²= åd²*f /  åf

       _______

s=Ö2565,2/30=9,24        s ²=85,50

 

Наиболее часто употребляемый относительный показатель -  коэффициент вариации: если он не превышает 33%, то совокупность считается однородной.

          _

n=(s/ x )* 100%.

n=29,3%

Как видно из расчета, данная совокупность является однородной

 

Симметричным является распределение, в котором частоты двух любых вариантов, равноотстоящих по обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Рассчитаем  относительный показатель асимметрии:

(31,5-25,5)/9,24=0,64

Он принимает положительное  значение, это говорит о правосторонней асимметрии, поскольку больше 0,5, то асимметрия значительная.

 

 

 

Таблица  3.4.

Вспомогательная таблица  для расчета теоретических частот нормального распределения.

Группы предприятий по объему основных производственных фондов,   млн. руб.	частота          (количество предприятий в группе)	центр интервала,       млн. руб.	t=(X'-Xcp.)/σ	e^(-t^2/2)                             √2π	округленные теоретические  частоты	f - f'	(f -f')^2/f'
x	f	x'			f'
1	2	3	4	5	6	7	8
16,7-22,2	5	19,4	-1,310	0,1691	3,0	2,0	1,316
22,2-27,7	8	24,9	-0,714	0,3101	5,5	2,5	1,114
27,7-33,2	6	30,4	-0,119	0,3965	7,1	-1,1	0,159
33,2-38,7	2	35,9	0,476	0,3572	6,4	-4,4	2,987
38,7-44,2	5	41,4	1,071	0,2251	4,0	1,0	0,246
44,2-49,7	4	46,9	1,667	0,1006	1,8	2,2	2,726
Итого:	30				27,8	2,3	8,548

Для ответа на поставленный вопрос прежде всего исчисляются теоретические частоты нормального распределения по формуле f'=((n*i)/σ)*e^(-t^2/2)/√2π, где t-нормированное отклонение, t=(x -x)/σ.

_

X=(19,4*5+24,9*8+30,4*6+35,9*2+41,4*5+46,9*4)/30=31,5

       ________

σ=√∑d²·ƒ/∑ƒ

       ________

s=Ö2565,2/30=9,24

 

f'=30*5,5/9,24=17,8

 

Рис. 3.1. Эмпирическое и теоретическое нормальное распределение.

 

Находим критерий согласия ("хи-квадрат") по К. Пирсону: χ²   = ∑((ƒ-ƒ')ˆ²/ƒ');  χ²  = 8,548

Оцениваем близость эмпирического  распределения кривой нормального распределения по отношению В.И. Романовского: (χ² -(m-3))/√2·(m-3);где m - число групп.

(8,548-(6-3))/√2·(6-3)=5,124/2,45=2,5. Так как 2,1 < 3 следовательно гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

 

4. Используя ранее выполненную группировку предприятий по стоимости основных фондов (пункт 3), проверить правило сложения дисперсий по объему выработанной валовой  продукции в марте. Сформулировать практическое значение полученных результатов.

 

Общая дисперсия характеризует  вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности данных. Она определяется по формуле:

Для расчета общей дисперсии  составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в следующей таблице.

Таблица  4.1.

Вспомогательная таблица для расчета  общей дисперсии.

Выпуск валовой продукции  в марте	Число предприятий	x*f	x-xo	_  (x-xo)²	_  (x-xo)²*f
99,0	1	99,0	-28,1	789,6	789,61
54,5	1	54,5	-72,6	5270,8	5270,76
219,6	1	219,6	92,5	8556,3	8556,25
63,9	1	63,9	-63,2	3994,2	3994,24
174,2	1	174,2	47,1	2218,4	2218,41
115,7	1	115,7	-11,4	130,0	129,96
210,2	1	210,2	83,1	6905,6	6905,61
126,9	1	126,9	-0,2	0,0	0,04
180,0	1	180,0	52,9	2798,4	2798,41
90,0	1	90,0	-37,1	1376,4	1376,41
140,9	1	140,9	13,8	190,4	190,44
81,0	1	81,0	-46,1	2125,2	2125,21
104,0	1	104,0	-23,1	533,6	533,61
90,0	1	90,0	-37,1	1376,4	1376,41
56,1	1	56,1	-71,0	5041,0	5041
63,0	1	63,0	-64,1	4108,8	4108,81
217,5	1	217,5	90,4	8172,2	8172,16
158,4	1	158,4	31,3	979,7	979,69
129,6	1	129,6	2,5	6,3	6,25
68,0	1	68,0	-59,1	3492,8	3492,81
127,4	1	127,4	0,3	0,1	0,09
73,8	1	73,8	-53,3	2840,9	2840,89
111,2	1	111,2	-15,9	252,8	252,81
219,2	1	219,2	92,1	8482,4	8482,41
181,2	1	181,2	54,1	2926,8	2926,81
175,1	1	175,1	48,0	2304,0	2304
109,8	1	109,8	-17,3	299,3	299,29
158,9	1	158,9	31,8	1011,2	1011,24
135,0	1	135,0	7,9	62,4	62,41
80,6	1	80,6	-46,5	2162,3	2162,25
Итого:	30	3814,7			78408

_

x₀ = 3814,7/ 30 = 127,1– средняя валовая продукция

s ² _общ =78408/ 30 =2613,9 – общая дисперсия

  Величина этой дисперсии  характеризует вариацию стоимости продукции под влиянием всех условий.

   Далее необходимо, как и  в пункте 3, выделить 6 групп для расчета средней внутригрупповой дисперсии.

Таблица  4.2.

Расчет внутригрупповой  дисперсии по первой группе.

Валовая продукция в  марте, x	Число предприятий		_	_
	f	x * f	x – x1	(x – x1)2*f
99,0	1	99,0	-23,2	538,2
54,5	1	54,5	-67,7	4583,3
219,6	1	219,6	97,4	9486,8
63,9	1	63,9	-58,3	3398,9
174,2	1	174,2	52,0	2704,0
Итого:	5	611,2		20711,2

_                  

х ₁ = 122,2    s ² ₁ = 4142,24

Таблица  4.3.

Расчет внутригрупповой  дисперсии по второй группе.

Валовая продукция в марте, x	Число предприятий		_	_
	f	x * f	x – x1	(x – x1)2*f
115,7	1	115,7	-15,4	237,2
210,2	1	210,2	79,1	6256,8
126,9	1	126,9	-4,2	17,6
180,0	1	180,0	48,9	2391,2
90,0	1	90,0	-41,1	1689,2
140,9	1	140,9	9,8	96,0
81,0	1	81,0	-50,1	2510,0
104,0	1	104,0	-27,1	734,4
Итого:	8	1048,7		13932,5