Общие сведения о системе MathCad

Содержание

Введение

MathCAD – математически ориентированная универсальная система. С момента своего появления она имела удобный пользовательский интерфейс – совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, клавиш и иных элементов. Есть и эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Помимо собственно вычислений она позволяют с блеском решать задачи, которые с трудом поддаются другим популярным программам. Словом, система MathCAD ориентирована на массового пользователя – от ученика начальных классов до академика.

         Сетевое планирование и управление (СПУ), система планирования и управления разработкой крупных народно-хозяйственных комплексов, научными исследованиями, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов изделий, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путём применения сетевых графиков. Система СПУ позволяет устанавливать взаимосвязь планируемых работ и получаемых результатов, более точно рассчитывать план, а также своевременно осуществлять его корректировку.

Первоначальные идеи СПУ были разработаны в конце 50-х годов в США и реализованы в виде двух систем сетевого анализа –PERT (Program Evaluation and Review Technique – оценка программ и способов проверки) и CPM (Critical Path Method – метод критического пути).

В России работы по сетевому планированию начались в 60-х годах. Тогда методы СПУ нашли применение в строительстве и научных разработках. В дальнейшем сетевые методы стали широко применяться и в других областях народного хозяйства.

Актуальность данной темы обусловлена постоянной работой внутри производственно-хозяйственной системы по ее совершенствованию, для чего необходимо планировать производственный процесс в целом, рассматривая работы во взаимосвязи.

Применение системы сетевого планирования способствует разработке оптимального варианта стратегического плана развития предприятия, который служит основой оперативного управления комплексом работ в ходе его осуществления. Основным плановым документом в этой системе является сетевой график, или просто сеть, представляющий информационно-динамическую модель, в которой отражаются все логические взаимосвязи и результаты выполняемых работ, необходимых для достижения конечной цели стратегического планирования. В сетевом графике с необходимой степенью детализации изображается, какие работы, в какой последовательности и за какое время предстоит выполнить, чтобы обеспечить окончание всех видов деятельности не позже заданного или планируемого периода.

При сетевом планировании производства:

- видна цепочка работ, от которых  зависит своевременное выполнение  проекта,

- есть простые математические  зависимости, позволяющие делать  расчёты,

- после составления сетевого  графика выявляются резервы, которые  можно использовать внутри проекта  и, следовательно, сократить длительность  и стоимость.

Каким бы совершенным ни был производственный процесс, на предприятии всегда найдутся внутрипроизводственные резервы. С течением времени в силу появления новых достижений научно-технического прогресса величина этих резервов будет возрастать.

Методы сетевого моделирования относятся к методам принятия оптимальных решений.

1. Общие сведения о системе MathCad

Как уже говорилось во введении, MathCad – программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом.

Mathcad был задуман и первоначально написан в конце 80-х годов 20 – го века Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation) [6, c. 154].

Mathcad относится к системам автоматизации математических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения.

При разработке новых версий авторы Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого создаются дополнительные библиотеки и пакеты расширения с дополнительными функциями, которые при необходимости можно приобрести отдельно, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах.

Несмотря на то, что эта программа, в основном, ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.

Самая последняя версия Mathcad на сегодняшний день 15. Кроме этого, разрабатывалась и совершенно новая система Mathcad Prime, но она еще не получила широкого распространения.

Количество лицензионных пользователей Mathcad в мире – более 2 млн.

Основное отличие MathCad от других программных средств этого класса состоит в том, что математические выражения на экране компьютера представлены в общепринятой математической нотации – имеют точно такой вид, как в книге, тетради, на доске. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов. Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get – «что видишь, то и получаешь») [7, c. 137].

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Mathcad изначально задумывался как средство «программирования без программирования», но, если потребность программирования все же возникает – например, если не имеется нужной функции, решить задачу аналитически невозможно, необходимо выполнить серийные расчеты – имеются довольно простые инструменты программирования, однако, позволяющие, строить достаточно сложные алгоритмы.

Отдельно следует отметить возможность использования в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или даже построить собственную. Результаты вычислений также получают соответствующую размерность.

Среди основных возможностей Mathcad можно выделить:

• Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами.
• Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т.д.).
• Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте.
• Выполнение вычислений в символьном режиме.
• Выполнение операций с векторами и матрицами.
• Символьное решение систем уравнений.
• Аппроксимация кривых.
• Создание и выполнение пользовательских программ.
• Поиск корней многочленов и функций.
• Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей.
• Поиск собственных чисел и векторов.
• Вычисления с единицами измерения.
• Интеграция с САПР-системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров и т.д. [4, c. 137]

Дополнения Mathcad 15.0 включают 25 новых функций для расчетов по планированию экспериментов, помогающих сократить время, затраченное на натурные эксперименты, за счет понимания общей тенденции при испытаниях, улучшенные расчетные библиотеки и расширенную интеграцию с решениями сторонних производителей, например с Microsoft Excel 2010 и. Mathcad 15.0 поддерживает работу многих систем автоматизированного проектирования, а также позволяет осуществить интеграцию с базами данных с различными справочным материалами, позволяющими найти критические факторы и оптимальные условия при моделировании сложных процессов. Предусматривается поддержка операционной системы Microsoft Windows 7 в полном объеме.

Далее рассмотрим основные возможности Mathcad и приемы работы с ним, которые требуются для проведения большинства инженерных расчетов.

Основное отличие Mathcad от аналогичных программ – это удобной графический режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В любом случае – формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая соответствующие изменения результата. Это дает возможность создания полноценных интерактивных вычислительных документов.

При запуске программы с рабочего стола или из Главного меню Windows открывается файл Mathcad.exe, после чего на экране отображается рабочее окно Mathcad. Внешний вид окна такой же, как у большинства Windows программ. Вверху расположено главное меню и пять панелей инструментов: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование), Math (Математическая), Controls (Контроль) и Resources (Документация). По умолчанию загружается пустой файл Untitled 1 (Безымянный 1), представляющий из себя шаблон Normal (Обычный) рабочего документа Mathcad. Такеже при загрузке открываются окна Tip of the day (Совет дня) и Mathcad Resource (Документация Mathcad) [3, c. 98].

Главное меню Mathcad в верхней части окна, также как и у других программ, предназначено для управление всеми процессами, кроме того, оно позволяет выполнить все входящие в программу команды и функции.

Рассмотрим команды Главного меню программы Mathcad.

1. File (Файл) – создание, открытие, сохранение, пересылка по электронной почте, печать документов на принтере и просмотр свойств документа.

2. Edit (Правка) – правке текста, включающая копирование, вставку, удаление фрагментов, отмену и возврат последнего действия и т.д.

3. View (Вид) – внешний вид документа и самой программы Mathcad, а также создание эффектов анимации.

4. Insert (Вставка) – вставка объектов в документ.

5. Format (Формат) – форматирование объектов – текста, формул и графиков.

6. Tools (Инструменты) – управление вычислительными операциями.

7. Symbolics (Символьные операции) – вычисление выражений в символах.

8. Window (Окно) – управление расположением окон с документами.

9. Help (Помощь) – вызов справочной информации.

Рисунок 1 – Окно программы Mathcad и панели инструментов

Как видно из описания, за исключением двух пунктов – Инструменты и Символьные операции – остальная структура меню аналогична любой другой прикладной программе Windows. Содержание этих пунктов также аналогично, за исключением, пожалуй пункта Вставка, в котором содержатся подпункты вставки специальных объектов – графиков, элементов формул, функций и т.д.

Пункты Инструменты и Символьные операции предназначены для работы с математическими объектами. Инструменты – для организации обычных вычислений в числовом виде, Символьные операции – для символьных вычислений [8, c. 67].

Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд. Вид панелей показан на рисунке 1:

• Standard (Стандартная) – действия с файлами, редактирование документов, вставка объектов и т.д.
• Formatting (Форматирование) – форматирование текста, формул, графиков и других объектов.
• Math (Математика) – вставка математических операторов и символов.
• Recources (Дополнительные ресурсы) – список электронных книг, входящих в оболочку Mathcad.
• Controls (Элементы управления) – кнопки для дополнительного управления работой Mathcad-документа.
• Debug (Отладка) – появилась, начиная с версии 13, предназначена для трассировки программ.

Панели инструментов Стандартная и Форматирование также во многом аналогичны другим приложениям, поэтому подробно разбирать их в данной работе не имеет смысла.

Панель Математика содержит 9 кнопок, нажатие на которые приводит к раскрытию панели второго уровня. Рассмотрим их подробнее:

1. Calculator (Калькулятор) – вставка шаблонов математических операций, цифр, знаков.

2. Graph (График) – вставка шаблонов и обработка графиков.

3. Matrix (Матрица) – вставка шаблонов матриц и операций с ними.

4. Evaluation (Выражения) – операторы присвоения и вывода результатов расчета.

5. Calculus (Вычисления) – вставка шаблонов вычислительных операторов дифференцирования, интегрирования, суммирования, произведения, пределов и градиента.

6. Boolean (Булевы операторы) – вставка логических операторов.

7. Programming (Программирование) – операторы, необходимые для создания программ.

8. Greek (Греческие буквы).

9. Symbolics (Символьные операции) – операторы символьных вычислений.

При наведении указателя мыши (курсора) на любую из кнопок рядом с ней появляется всплывающая подсказка – короткий текст, поясняющий назначение кнопки.

Перед началом работы курсор имеет вид красного крестика. В момент ввода выражения курсор приобретает вид синего уголка, окаймляющего часть вводимого выражения. Ввод начинается с имени переменной, после нее ставится знак присваивания (знак:), а затем само выражение или константа. Имя выражения (та часть, которая левее оператора присваивания) может состоять из латинских, русских, греческих букв и цифр, знаков подчеркивания (_), штриха (`), процента (%), бесконечности , вводимых с клавиатуры.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, подчеркивания, штриха, процента (%), не могут включать пробелы. Символ бесконечности может быть только первым в имени переменной. Mathcad воспринимает прописные и строчные буквы, а также введенные разными шрифтами как различные.

Редактирование введенных выражений производится следующими способами:

1. Курсор перемещается по экрану клавишами со стрелками или левой кнопкой мыши ставится в нужное место экрана.

2. Для выделения одного символа синим уголком курсора нужно установить курсор так, чтобы он охватывал этот символ слева или справа.

3. Для расширения выделения на часть или выражение целиком удобнее использовать клавиши со стрелками или пробел. Для перехода из оператора на уровень выше можно также использовать пробел. Уголок курсора должен охватывать все выражение или его часть, над которой надо выполнить действие.

4. Для  выделения части или всего  выражения надо щелкнуть левой  кнопкой мыши в начале или  в конце выделяемого выражения  и переместить курсор до другого  края с нажатой левой кнопкой  мыши. Можно использовать клавиши  Shift+← или Shift+→. Выделенная часть выражения черного цвета. Выделение в Mathcad используется для вырезания или копирования части выражения, изменения шрифта, а также для выполнения некоторых видов символьных вычислений.

5. Для выделения объекта или группы (математических, текстовых или графических) надо щелкнуть мышью на свободном месте рабочего листа и протянуть прямоугольник выделения так, чтобы он захватил нужные объекты. Один объект будет выделен синим курсоров, а группа объектов – пунктирной рамкой.

Если надо удалить, вырезать или скопировать выделенную часть выражения, выделенный объект целиком или группу выделенных объектов, используются такие же команды, как и в других приложениях Windows.

Некоторые латинские и греческие буквы зарезервированы в качестве констант. Так, латинская буква е внутри математического выражения является основанием натурального логарифма е = 2,718. Это значение можно отменить, присвоив ей любое другое значение, используя знак локального присваивания:=.

Знак бесконечности ∞ можно вставить с математической панели Calculus.

Если какой-либо константе или переменной не присвоено никакого значения левее и выше ее на экране, то она будет окрашена в красный цвет, указывая на ошибку. Все переменные и функции должны быть предварительно определены.

Если константы в правой части функции пользователя не заданы непосредственно перед использованием этой функции их значения берутся такими, какие были в последний раз перед этим расчетом.

Для ввода простого текста можно выбрать команду Insert Text Region (Вставить Текстовую область) в главном меню, но удобнее ввести с клавиатуры символ кавычки и далее сам текст. На экране появится текстовая область, в которой можно печатать. Также, сменив латинский шрифт на русский, начать печатать текст в любом месте документа. Как только будет напечатано первое слово, при нажатии пробела эта область автоматически превращается в текстовую.

В Mathcad на точность расчета повлиять нельзя, но можно изменить формат вывода результатов. В Mathcad 11 вычисления совершаются с точностью 12 знаков, а в Mathcad 15 – до 17 знаков.

Mathcad позволяет вести расчеты как с учетом размерностей, так и без них. Для включения размерности при вводе исходных данных достаточно умножить число на размерность. Любые действия с введенными таким образом величинами будут выполняться с учетом размерности.

Перед началом работы с размерными величинами надо ввести систему единиц, с которой предполагается работать. В дальнейшем в начале документа при вводе исходных данных их надо записывать, умножая число на переменную, обознающую размерность. В принципе, пользователь может придумать и использовать свои, абсолютно любые размерности.

Ограничения на проведение размерных расчетов:

• При расчетах с матрицами все элементы матриц, используемых в расчетах, должны иметь одинаковую размерность.
• Ряд встроенных функций не может работать с размерными величинами. Это функции регрессии, сглаживания, Odesolve, вычисления логарифма (функции ln и log). Для того чтобы обойти это ограничение, нужно сделать безразмерными аргументы функций, разделив размерную величину на ее размерность.
• В сложных расчетах при использовании многих функций и нескольких дискретных переменных учет размерностей может быть затруднен. В таких случаях размерность можно указать рядом с результатом расчета в виде комментария.

В Mathcad используются следующие типы данных:

• числа (действительные, комплексные, встроенные константы) – все числа в формате двойной точности (17 знаков) с плавающей точкой;
• строки – любой текст, заключенный в кавычки (или с пробелом);
• массивы (ранжированные переменные, векторы и матрицы) – упорядоченные последовательности чисел или строк [4, c. 87].

Любое выражение, начинающееся с цифры, Mathcad определяет как число. Комплексное число является суммой действительного и мнимого числа, получающегося путем умножения любого действительного числа на мнимую единицу.

Для числовых форматов существуют следующие варианты:

• General (Общий) – принят по умолчанию. Числа отображаются с порядком. Число знаков перед запятой определяется в пункте Exponential threshold (Порог экспоненты).
• Decimal (Десятичный) – десятичное представление чисел с плавающей запятой: 12,2564.
• Scientific (Научный) – числа отображаются только с порядком: 1,22.105.
• Engeneering (Инженерный) – числа отображаются только с порядком, кратным 3: 1,22.106.
• Fraction (Дробь) – числа отображаются в виде обыкновенной дроби.

Функции в Mathcad записываются в обычной для математиков форме:

f (х,…) – функция;

f – имя функции; х,… – список  переменных.

Удобнее всего ввести написание функции в документ при помощи клавиатуры.

В Mathcad формально можно разделить функции на два типа:

– встроенные функции;

– функции, определенные пользователем.

Mathcad содержит свыше 200 встроенных функций. Для вставки функции также можно нажать кнопку f(x) на стандартной панели инструментов. Откроется окно со списком всех встроенных функций, разделенных на группы. Щелчок мыши на любой из групп приводит к открытию перечня функций, входящих в эту группу.

Основные встроенные функции Mathcad приведены в Приложении 1.

Для того чтобы определить функцию пользователя, например

f (x, y) = x2-cos (x+y), необходимо:

1. Ввести в желаемом месте  документа имя функции f.

2. Ввести левую скобку «(«, имена переменных через запятую х, у и правую скобку»)».

3. Ввести оператор присваивания.

4. Ввести в появившийся местозаполнитель выражение, явно определяющее функцию x2 – cos (x + y), используя клавиатуру или панели инструментов.

Для решения уравнения с одной неизвестной необходимо вначале задать команду «решить» (solve). Для этого: в панели инструментов «Символьная» нужно выбрать команду solve. Слева от слова solve вводится выражение для левой части уравнения, а справа – имя переменной, относительно которой нужно получить решение. Результат – значение корня уравнения – будет отображен в рабочем документе справа:

Системы алгебраических уравнений решаются с помощью вычислительного блока given–find. Системы уравнений всегда решаются итерационными методами, поэтому перед решением необходимо задать начальные приближения всех неизвестных.

Чтобы решить систему алгебраических уравнений, нужно:

• задать начальные приближения для всех неизвестных;
• напечатать ключевое слово Given (Дано). При этом ни в коем случае нельзя нажимать пробел. Если нажать пробела, то математическое выражение становится текстом и слово Given не воспринимается как ключевое;
• ввести уравнения и неравенства, входящие в систему, правее и ниже слова Given. Между левой и правой частями уравнения должен стоять знак логического равенства (жирное равно). Его можно ввести через комбинацию клавиш Ctrl+= или выбрать на панели Boolean (Булевы операторы);
• ввести функцию find (x, y, z…), где x, y, z – неизвестные. Число неизвестных обязательно должно быть равно числу уравнений.

Функция find находит значения неизвестных x, y, z, обращающих уравнения в тождества. Она может решать и одно уравнение с одним неизвестным. Для системы из нескольких уравнений функция find выводит решение в виде вектора или матрицы, если система имеет несколько решений [2, c. 28].

Математически решение дифференциальных уравнений – всегда очень сложная проблема. Во многих случаях Mathcad не в состоянии решить дифференциальные уравнения и их системы без дополнительных упрощений.

Для решения дифференциальных уравнений используется функция Odesolve. Она использует многие имеющиеся в Mathcad другие функций решения дифференциальных уравнений, в ряде случаев, заменяя их. В контекстном меню можно выбрать требуемый метод решения дифференциальных уравнений.

Функция Odesolve также позволяет записывать уравнение в блоке решения в привычном виде, также как и на листе бумаги.

Для решения системы дифференциальных уравнений функцию надо записывать следующим образом:

odesolve((вектор имен неизвестных), x, xk, n).

Преимущества Mathcad особенно хорошо видны при работе с матрицами. Операции с матрицами при обычных вычислениях трудоемки и, как правило, требуют компьютерного решения. В системе Mathcad матричные выражения имеют традиционный вид, как на листе бумаги, но уже с готовыми численными или символьными ответами.

Чтобы ввести вектор или матрицу, следует:

• записать имя матрицы и ввести оператор присваивания;
• на панели инструментов нажать кнопку с изображением матрицы. Откроется панель Matrix, на которой нужно еще раз нажать кнопку с изображением матрицы. Откроется диалоговое окно, в котором вводится число строк и столбцов матрицы, затем нажать ОK. На экране появится шаблон матрицы с местозаполнителями. То же действие произойдет при нажатии комбинации клавиш Ctrl+m;
• каждое место ввода в шаблоне нужно заполнить числами или буквенными выражениями. Матрица готова.

С помощью шаблона можно ввести матрицу, содержащую не более 600 элементов в любом порядке. Доступ к любому элементу матрицы можно получить, введя имя матрицы с индексами. Первый индекс обозначает номер строки, второй – номер столбца. Элемент вектора задается одним индексом.

Для набора нижнего индекса можно открыть панель Vector and Matrix (Матрицы), и нажатием соответствующей кнопки на математической панели, после чего нажать кнопку Xn (Subscript). Можно также использовать клавишу [(открывающая квадратная скобка) на клавиатуре.

Нумерация элементов массива (вектора или матрицы) может начинаться с любого другого числа (положительного или отрицательного). Порядком нумерации элементов массива управляет встроенная переменная ORIGIN. По умолчанию ORIGIN = 0, это означает, что первый элемент массива имеет номер 0.

Mathcad позволяет выполнять с матрицами основные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, а также транспонирование, обращение, вычисление определителя матрицы, нахождение собственных чисел, собственных векторов и т.д.

Графики служат для визуального отображения результатов вычислений. В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы.

Двумерные графики:

• XY (декартовый) график (XY Plot);
• полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

• график трехмерной поверхности (Surface Plot);
• график линий уровня (Contour Plot);
• трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);
• трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);
• векторное поле (Vector Field Plot).

Деление графиков на типы несколько условно, т.к., управляя установками многочисленных параметров, можно создавать комбинации типов графиков, а также новые типы (например двумерная гистограмма распределения является разновидностью простого XY-графика). Все графики создаются с помощью панели инструментов Graph (График), различия обусловлены отображаемыми данными.

При построении графика функция будет представлена в виде набора точек на плоскости. То есть, для построения графика перебирается определенное количество значений аргумента, и для каждого из них вычисляется значение функции.

Для построения плоского графика функции следует:

• установить курсор туда, где надо построить график;
• на математической панели нажать кнопку Graph Toolbar X-Y Plot (График Плоский график);
• в появившейся на месте курсора заготовке ввести на оси абсцисс имя аргумента, на оси ординат – имя функции;
• щелкнуть мышью вне графика.