Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки

Министерство науки и образования РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технологический институт «СТАНКИН»

Егорьевский технологический институт (филиал)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ»

ВАРИАНТ 23

Работу выполнил:                                                                           Работу проверил:                                 

Студент гр. М-09-з                                                                                      доцент

__________Е.С.Булычева                                                   _________С.Л.Махов

«____»_____________2011г.                                          «____»____________2011г.

Егорьевск

2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

1.      Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки………………………………………………….…………………….3

2.      Изгиб. Основные понятия и определения. Поперечная сила и изгибающий момент…………………………………….………………..13

3.      Силовые соотношения, условия самоторможения и к.п.д. винтовой пары…………………………………………………………………..……21

4.      Задачи……………………………………………………………..……….27

5.      Список использованных источников……………………………………28

1.      Общие теоремы динамики точки и системы. Количество движения точки и системы. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Рассмотрим движение материальной точки (рис. 1) в инерциальной системе отсчёта под действием сил, обусловленных взаимодействием точек с другими точками и телами (т. е. возникающих в результате взаимодействия материальных объектов). 

Рис.1.

 Заметим, что при движении в неинерциальной системе отсчёта относительные движения частично определяются движением самой системы отсчёта.

Уравнения движения составляются на основе законов Ньютона.

Законы Ньютона – идеализированные законы природы, но для практики это допустимо в очень широких пределах. Введём меры движения.

Количество движения – равно произведению массы m на вектор скорости точки: 

,

где m = const > 0 – мера инертности материи.

Момент количества движения, относительно начала координат (рис. 2):

.

Рис.2.

 Кинетическая энергия материальной точки:

(скаляр)

В дальнейшем покажем, что в ряде случаев движение точки наглядней описывается через  или Т.

При формулировании законов Ньютона обозначаем:

 - сила взаимодействия между точками  и ;

- суммарная сила, приложенная к точке М, взаимодействующей со многими точками.

Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальной системы отсчёта до тех пор, пока действующие на неё силы не изменят это состояние.

То есть изолированная точка либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно. Причина изменения движения – вне самой точки.

 Второй закон Ньютона: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна силе, приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы точки на её абсолютное ускорение геометрически равно приложенной к материальной точке силе, т. е.

 или , если m = const.

Связь кинематической величины – ускорения с динамической величиной – силой через коэффициент пропорциональности – массу.

Третий закон Ньютона: две любые материальные точки взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по прямой, соединяющей эти точки, равными по величине и противоположно направленными (рис. 3).

Рис.3.

 Рассмотрим воздействие точки M1 c остальными точками (рис. 4).

 
Для  имеем ускорение:

Принцип независимости действия сил: ускорение , вызываемое силой  , определяется только этой силой и не зависит от других сил.

Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:

            ,     ,                 

причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: .

Если известен закон движения (например из кинематики):

,     ,     ,

то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.

Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.

 Формы дифференциальных уравнений движения

1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения.

2) Умножим на  (векторно):

или  - уравнение момента количества движения.

Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.

Подробная запись (координатная):

3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :

.

- уравнение кинетической энергии.

Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении. Рассмотрим движение n свободных материальных точек относительно инерциальной системы отсчёта (рис. 5).

Рис.5.

- масса точки .

Масса всей системы:

.

Центром масс системы назовём точку С, радиус – вектор которой равен

,

где .

Основные меры движения системы материальных точек:

1. Суммарное количество движения системы (геометрическая сумма количества движения материальных точек).

, где - скорость точки  .

Рассмотрим систему точек с постоянными массами => дифференцируя :

;где  - скорость центра масс.

Итак, 

Количество движения системы  материальных точек равно количеству движения массы всей системы, сосредоточенной в центре масс.

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.

1. Для точки  уравнение движения относительно инерциальной системы отсчёта:

Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:

.

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как  то

.

Это уравнение движения центра масс системы  материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.

2. Умножим уравнение движения точки  слева векторно на  и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:

.

Теорема об изменении кинетического момента системы:

Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).

Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.

3. Умножая скалярно уравнение движения точки  на  и суммируя:

или

.

Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:

1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.

2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек:

.

3) Если внешние и внутренние силы консервативны, то

Здесь:

 - потенциал внешнего силового поля;

 - потенциал взаимодействия точек;

 - потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;

 - потенциальная энергия взаимодействующих точек.

2. Изгиб. Основные понятия и определения. Поперечная сила и изгибающий момент.

              Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты Mx или My . Если изгибающий момент в сечении является единст­венным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 5.1, а).

Рис. 6.

              В тех случаях, когда в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб назы­вается поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, вопервых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, вовторых, вся нагруз­ка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Та­ким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

              Для того, чтобы правильно ориентироваться в вопросах, связан­ных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

              Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

              1. Шарнирноподвижная опора (рис. 6, б  левая опора бал­ки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

              2. Шарнирнонеподвижная опора (рис. 6, б  правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемеще­ния опоры.

              3. Жесткая заделка (рис. 6, а  опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизон­тали сечения балки, примыкающего к опоре.

              По запрещенным направлениям во всех этих типах опор воз­никают соответствующие реакции.

              Рассмотрим характерный пример (рис. 7, а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 7, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Рис. 7

              Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) m (A) = 0 и m (В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

.

              Для определения НА имеем: откуда НА =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил y = 0, откуда получим

,     0 = 0.

              Для определения внутренних силовых факторов  изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Рис. 8.

              Заданная система состоит из двух участков  первого (0  z  a) и второго (a  z  a + b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат­ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси­лий, определим выражения для внутренних сило­вых факторов. При этом, знак изгибающего мо­мента устанавли­вается по знаку кривизны изогну­того бруса (рис. 8, а) и зависит от выбранного направления осей системы координат y0z. Следовательно, в системе координат y0z принятой на рис. 8, а положительный момент вызывает рас­тяжение нижних волокон балки.

              Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило знаков: если результиру­ющая поперечная сила Qy вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае  отрицательной (рис. 8, б).

              Из условия равновесия Mx = 0; y = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z1 (первый участок), (см. рис. 7, в), получим:

Mx (z1) = Ra z1;     Qy = Ra .

              Для определения Mx и Qy на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 7, б), т.е. Mx = 0; y = 0 откуда и определим:

Mx (z2) = Rb (a + b  z2);     Qy =  Rb .

              Эпюры Mx и Qy изображены на рис. 9. Заметим, что эпюры изгибающих моментов Mx , как и поперечных сил Qy строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 9

 Основные дифференциальные соотношения
теории изгиба

              Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 10, а).

Рис. 10

              Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 10, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 10, б), получим:

Qy + q dz  Qy  d Qy = 0 ;

Mx + Qy dz + q dzdz/2  Mx  d Mx = 0.

              Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим:

откуда

.                                                                     

              Из следует, что при q = const функция Qy будет линей­ной, а функция Mx  квадратичной. Если на какихто участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Qy = const, а Mx является линейной функцией от z.

              В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Qy претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Qy принимает нулевое значение и меняет знак, функция Mx достигает экстремальных значений.

Напряжения при чистом изгибе

              Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения , вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны  (рис. 11). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

              Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

              Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 11).

              В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол d , в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние  укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = CD= dz = d. Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A B   AB. С учетом построений, изображенных на рис. 11, легко определить величину его линейной деформации:

.

              Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения  сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям  можно осуществить посредством закона Гука:                                                                                                                 

Рис. 12

              Устано­вим положение нейт­ральной оси x, от кото­рой происходит отсчет координаты у (рис. 12). Учитывая, что сумма элементарных сил dF по площади попе­речного сечения F дает нормальную силу Nz . Но при чистом изгибе Nz = 0, следовательно:

.

              Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

              Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через . Очевидно, что

.

              C учетом выражения получим:

.                                         

Откуда

                            ,                                                       

где  кривизна нейтрального волокна; EIx  жесткость бруса.

              Из формулы, исключая 1/, окончательно получим:

.                                                                     

Откуда следует, что нормальные напряжения  в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = ymax):

,

где   момент сопротивления сечения.

              Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении d :

, с учетом и ,

окончательно получим

.

3.Силовые соотношения, условия самоторможения и к.п.д.

винтовой пары.

Зависимость между моментом, приложенным к гайке, и осевой силой винта. Если винт нагружен осевой силой F (рис. 13), то для завинчивания гайки к ключу необходимо приложить момент ТЗАВ, а к стержню винта — реактивный момент Тр, который удерживает стержень от вращения. При этом можно записать

где ТТ — момент сил трения на опорном торце гайки; Тр — момент сил в резьбе. Равенство, так же как и последующие зависимости, справедливо для любых винтовых пар болтов, винтов,  шпилек  и  винтовых  механизмов.

Не   допуская   существенной   по­грешности,    принимают   приведен­ный радиус сил трения на опорном торце   гайки   равным   среднему   радиусу   этого    торца   или  DСР/2.   При  этом

TТ = Ff(DСР/2),             

где DСР = (Dl + dОТВ)/2; Dl — наружный диаметр опорного торца гайки; dОТВ —диаметр отверстия под винт; f—коэффициент трения  на  торце  гайки.

Момент сил в резьбе определим, рассматривая гайку как ползун, поднимающийся по виткам резьбы, как по наклонной плоскости (рис. 14, а). По известной теореме механики, учи­тывающей силы трения, ползун находится в равновесии, если равнодействующая Fn системы внешних сил отклонена от нормали n — n на угол трения ϕ. В нашем случае внешними являются осевая сила F и окружная сила Ft = 2Tp/d2. Здесь Tp —не реактивный, а активный момент со стороны ключа, равный   ТЗАВ — ТT   Далее  (рис.14),  или

где — угол подъема резьбы; — угол трения в резьбе; — приведенный коэффициент трения в резьбе, учитывающий влияние угла профиля. Подставляя значения моментов в формулу, найдем искомую  зависимость:

При отвинчивании гайки окружная сила F1  и силы трения меняют направление (рис. 14,б). При этом получим

Момент   отвинчивания  с   учетом   трения   на   торце   гайки,  по аналогии  с  формулой,

Полученные  зависимости  позволяют  отметить:

1.  По  формуле  можно  подсчитать  отношение осевой силы винта F  к силе FK,  приложенной на ручке ключа,  т. е F/FK,    которое    дает    выигрыш    в    силе.    Для    стандартны метрических    резьб    при    стандартной    длине    ключа    и F/FK = 70...80.

2.   Стержень   винта   не   только   растягивается  силой  F,   но и закручивается  моментом   ТР.

Самоторможение и к. п. д. винтовой пары. Условие самоторможения можно записать в виде Тотв>0, где Тотв определяется по формуле Рассматривая самоторможение только в резьбе без учета трения на торце гайки, получим или

Для крепежных резьб значение угла подъема лежит в пределах 2°30'...3°30', а угол трения изменяется в зави­симости от коэффициента трения в пределах от 6° (при f≈0,1) до 16° (при f≈0,3). Таким образом, все крепежные резьбы — самотормозящие. Ходовые резьбы выполняют как самотор­мозящими,  так  и  несамотормозящими.

Приведенные выше значения коэффициента трения, свидетельствующие о значительных запасах самоторможения, справед­ливы только при статических нагрузках. При переменных нагрузках и особенно при вибрациях вследствие взаимных микросмещений поверхностей трения (например, в результате радиальных упругих деформаций гайки и стержня винта) коэффициент трения существенно снижается (до 0,02 и ниже). Условие самоторможения нарушается. Происходит самоотвин­чивание.

К. п. д. винтовой пары представляет интерес главным образом для винтовых механизмов. Его можно вычислить по отношению работы, затраченной на завинчивание гайки без учета трения, к той же работе с учетом трения. Работа завинчивания равна произведению момента завинчивания на угол поворота гайки. Так как углы поворота равны и в том и в другом случае, то отношение работ равно отношению моментов , в котором определяется по формуле,   а   — по  той  же  формуле,   но  при f=0  и  ϕ = 0:

Учитывая  потери  только  в  резьбе  (TT = 0),  найдем  к. п. д. собственно  винтовой  пары:

самотормозящей паре, где , . Так как большинство   винтовых   механизмов   самотормозящие,   то   их к. п. д -   меньше  0,5.

Формула позволяет отметить, что возрастает с увеличением    и уменьшением  .

Для увеличения угла подъема резьбы в винтовых механизмах применяют многозаходные винты. В практике редко используют винты, у которых больше 20..25°, так как дальнейший прирост к. п. д. незначителен, а изготовление резьбы затруднено. Кроме того, при большем значении становится малым выигрыш в силе или передаточное отношение винтовой  пары.

Для повышения к. п. д. винтовых механизмов используют также различные средства, понижающие трение в резьбе: антифрикционные металлы, тщательную обработку и смазку трущихся поверхностей, установку подшипников под гайку или  упорный  торец  винта,  применение  шариковых   винтовых пар и  пр.

Распределение осевой нагрузки винта по виткам резьбы.  На рис. 15 изображена схема винтовой пары. Осевая нагрузка винта передается через резьбу гайке и уравновешивается реакцией ее опоры. Каждый виток ре­зьбы нагружается соотве­тственно силами F1 F2, ..., Fz, где z — число витков  резьбы  гайки.

Сумма . В общем случае Fi не равны между собой. Задача о распределении нагрузки по виткам статически неопределима. Для ее решения уравнения равновесия дополняют уравнениями деформаций. Впервые она была решена Н. Е. Жуковским в 1902 г. Не излагая это сравнительно сложное решение, ограничиваемся качественной оценкой причин неравномерного распределения нагрузки. В пер­вом приближении полагаем, что стержень винта и гайка абсолютно жесткие, а витки резьбы податливые. Тогда после приложения нагрузки F все точки стержня винта (например, А и В) сместятся одинаково относительно соответствующих точек гайки (например, С и D). Все витки получат равные прогибы, а следовательно, и равные нагрузки (рис. 15, а). Во втором приближении полагаем стержень винта упругим, а гайку оставляем жесткой. Тогда относительное перемещение точек А и D будет больше относительного перемещения точек В и С на значение растяжения стержня на участке АВ. Так как нагрузка витков пропорциональна их прогибу или относительному перемещению соответствующих точек, то нагрузка  первого  витка  больше  второго  и  т. д.             

В действительности все элементы винтовой пары податливы, только винт растягивается, а гайка сжимается. Перемещения точки D меньше перемещений точки С на значение сжатия гайки на участке CD. Сжатие гайки дополнительно увеличит разность относительных перемещений точек А и D, В и С и т. д., а следовательно, и неравномерность нагрузки витков  резьбы.

Все изложенное можно записать с помощью математически символов. Обозначим   перемещения соответствующих точек. Вследствие растяжения участка АВ винта ,  а  вследствие сжатия участка   CD гайки .