Особенности математических методов, применяемых к решению задач в дизайне

Приложение  №2

Перечень  страниц:

Введение  ………………………………………………………………….. стр. 3

1.Проблема  универсальной применимости математики  ……………... стр. 4

1.1. Причины  универсальности математики……………………….……стр. 4

1.2.Специфика  применения математики в разных  науках……………. стр. 6

1.3. Специфика  применения математики в различных  сферах дизайна- стр. 9

2.Особенности  задач в дизайне, решаемых математическими  методами-стр.12

3.Особенности  математических методов, применяемых  к решению задач  в дизайне……………………………………………………………………... стр. 14

Заключение………………………………………………………………… стр. 19

Список  литературы и интернет –ресурсов  ……………………………… стр.20

Введение

Есть различные  точки зрения на процессы, происходящие в нашем обществе в настоящий  момент. Но независимо от того как развиваются различные отрасли в дизайне, социум воспринимают эти процессы и не может отрицать того, что создание интерьера помещения, верстка web-сайта или расчет на участке ландшафта напрямую связано с такой наукой как математика. Исходя из условия, что сделать жизнь красивее (чем собственно и занимаются дизайнеры) стало намного сложнее в наше время. Главное- удивить потенциального покупателя, предложить ему что-нибудь новое, тем самым заинтересовав его, и рассчитывать в дальнейшем как на потенциального клиента. Но как принять верное решение, касающегося не только частных интересов, но и общественных,  если на кону репутация целой компании? Эти трудности не могли не вызвать волны нового интереса к математическим методам, применяемым в дизайне; т.е. к тем методам, которые позволили бы выбрать наилучшую стратегию как на ближайшее будущее, так и на дальнюю перспективу. В то же время многие люди в таких случаях предпочитают обращаться к собственной интуиции, опыту или другим сотрудникам-профессионалам компании. Следовательно, необходимо оценить роль математических методов в  сфере дизайна - насколько полно они описывают все возможные решения и предсказывают наилучшее, или даже так: стоит ли их использовать вообще?

По отношению  к этому вопросу следует избегать двух крайних мнений: полное отрицание применимости математических методов в дизайне и фетишизация, преувеличение той роли, которую математика могут или могли бы сыграть. Оба этих подхода основаны на незнании реального положения вещей, поскольку человек, хотя бы частично знакомый с этим вопросом, никогда не поставит его ребром: да или нет; а будет говорить лишь об удельном весе математических методов во всей системе исследования проблем в дизайне.

В этом вопросе  есть значительный философский аспект, связанный с проблемой истины. Т.е. насколько математические модели отражают реальные законы, по которым живет дизайн. Полнота этого отражения зависит в некоторой степени и от цели исследования. Для одних целей достаточно минимального уровня соответствия, для других же может потребоваться более детальное описание.

Кроме того математические методы не могут не развиваться, также  как и сама сфера дизайна. Это происходит как вследствие смены стилей в искусстве и изменений моды, что дает необходимый толчок в развитии дизайна в целом, так и по внутренней логике развития данной сферы деятельности. При этом необязательно, что новые методы с неизбежностью отбрасывают старые, может происходить взаимопроникновение, включение старых теорий в новые ( в качестве частного случая ). 

На развитие и применение математических методов огромное влияние оказало и еще окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных ранее лишь теоретически или на простейших примерах. Кроме всего прочего развитие систем компьютерной обработки, совершенствование таких прикладных программ как corel draw, photoshop, 3dsmax, а также накопление и хранение информации создает новую, весьма обширную информационную базу, которая возможно послужит толчком к созданию новых, ранее неизвестных математических методов поиска и принятия решений не только в дизайне, но и живописи, иллюстрации и фотографии.

1.Проблема  универсальной применимости  математики

1.1. Причины универсальности  математики

Математику можно  определить как науку, оперирующую  чистыми абстракциями, т.е. объектами, отделёнными от реального мира. Hо  еще в древности математика и  науки о природе не разделялись. Люди воспринимали числа и операции над ними как законы реального мира. Лишь в Древней Греции впервые возникла идея о том, что числа можно изучать отдельно ( школа Пифагорейцев ). Правда взгляды их на число были почти суеверными. Hо как раз они и открыли первые закономерности, не имеющие аналога в мире вещей, хотя и утаили их от всего мира. Таким образом в Древней Греции были положено начала развития математики как самостоятельной науки.

В Средние Века развитие математики как таковой  происходило в основном в Средней  Азии. В Европе же шел процесс  развития формальной логики внутри церковной схоластики. Это также было позитивным моментом, поскольку применение математики предполагает определённую формализацию знания.

Hачиная с  17 века возможности математики  начинают расти. Первоначально  развитие математики определялось  потребностями изучения и выражения объективных законов. Впоследствии математика стала развиваться подчиняясь также внутренней логике развития и исходя из собственных потребностей. Hо роль математики, как аппарата для выражения объективных законов, нисколько не уменьшилась.

При этом новые  закономерности, выведенные чисто математически, позволяют предсказывать свойства, присущие объектам физической природы.

Математика стала  широко проникать во все сферы  науки, и тут выяснилось, уравнения  и выражения, созданные для целей одной науки, зачастую применимы, после определённой подработки, в другой.

В чём же причина  такой универсальной применимости математических методов?

По мнению Вигнера  универсальность применимости математики следует считать чем-то сверхестественным. Ученые должны просто пользоваться ею, не пытаясь понять причины этого. А саму математику он рассматривает как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Причем новые понятия выводятся для того и так, чтобы над ними можно было произвести какие-нибудь хитроумные операции, которые импонируют человеческому чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их помощью результатам, обладающим большой простотой и общностью.

Hо такой подход  ненаучен. Причина такой универсальности математики кроется в высоком уровне абстрагированности математического языка. Уже введение понятия числа было переходом на более высокий уровень абстрагирования. Числа не имеют вкуса, запаха, веса и других эмпирических характеристик, являясь лишь субъективным суждением о количестве какого-либо предмета, явления. В то же время они позволяют определить количественные характеристики и отношения практически любого объекта. Единственная сложность состоит только в выборе единицы измерения. Т.е. измерив объект, выразив его количественно, можно затем отвлечься от его содержания и оперировать полученными данными по всем правилам математического языка. Полученные таким образом результаты можно и нужно проверять эмпирически.

Вообще, язык математики имеет определенные преимущества перед естественными языками. Он минимально избыточен, моносемантичен и содержит в себе правила преобразования. Все это позволяет сравнительно легко оперировать элементами языка: объединять фрагменты в блоки, применять алгоритмы к блокам, а затем развертывать результат через систему подстановок и т.д.

Применение математического  языка, в свою очередь требует  определённого уровня формализации. Введение единиц измерения – уже  частичная формализация. Hо единицы измерения формализуют лишь количественную сторону явлений и процессов, не позволяя создать новые методы для решения новых задач.

Формализация  же качественных характеристик объектов происходит двумя путями:

1) создание формализованных  аксиоматических систем;

2) алгоритмизация.

Аксиоматическая система - это один из способов построения теории на основе базовых положений ( аксиом ), из которых затем выводится  основное содержание теории. Аксиоматические  системы в ходе эволюции прошли три  этапа, которым соответствуют три типа аксиоматических систем:

а) Содержательные аксиоматические системы - когда  на основе основных представлений с  помощью интуиции описываются содержательно  ясные объекты. Т.е. и объекты и  аксиомы имеют свои аналоги в  мире вещей. Hа начальных этапах развития науки все теории представляли из себя такие аксиоматические системы. Такие системы не представляют ценности в смысле универсальности их применения.

б) Полуформализованная  аксиоматическая система предполагает задание абстрактных объектов, для  которых описываются содержательно ясные аксиомы. Такие системы уже в достаточно большой мере универсальны, поскольку зачастую бывает, что сходство начальных условий позволяет применять старую теорию для изучения новых объектов (конечно же с известной долей скептицизма).

в) Полностью  формализованные системы. В этом случае изначально задаются и алфавит  системы и аксиомы и правила  преобразования знаков алфавита, сохраняющие  истинность аксиом. Такие системы  могут развиваться по своим внутренним законам. Но теории и методы созданные в рамках таких формализованных систем могут найти неожиданное применение в различных отраслях научного знания.

Но главным  критерием применимости того или  иного метода является проверка результатов  исследования на опыте, на практике.

Алгоритмизация, второй вид полной формализации, предполагает создание алгоритмов - единых методов для решения целого ряда задач. При этом метод решения заключается в совершении какой-то последовательности заранее определённых действий. При этом создание алгоритма уже предполагает универсальность. Одно время даже пытались создать единый алгоритм для решения любых задач.

Универсальность алгоритмов имеет определённые ограничения. Во-первых, это их дискретность, т.е. разбивка на шаги, которые нельзя пропускать; во-вторых, для ряда задач вообще нет алгоритма решения.

То есть следует  заметить, что математика универсальна не абсолютно. При применении математических методов в различных науках наблюдается  определенная специфика.

1.2. Специфика применения  математики в разных науках

Специфика применения математики в различных отраслях науки в значительной мере определяется особенностями процесса познания в  этих науках, которые в свою очередь  зависят от свойств объекта исследования.

А свойства объекта  исследования в свою очередь определяются запретами, которые накладывает на возможные движения этого объекта законы объективной реальности. Отсюда одной из задач науки является сужение множества "мыслимых", или виртуальных движений, выяснение принципов отбора реальных движений из числа возможных. Исходя из этого проблема математического описания материального мира сводится прежде всего к поиску описаний различных механизмов отбора, лежащих в основе причинности всех реальных движений материи [6 (55)].

По Моисееву, описание механизмов отбора - это по существу один из способов изложения естественных наук. Основными принципами отбора в естественных науках являются:

- закон сохранения, отражающий вариационные принципы (принципы экономного достижения  цели);

- второй закон  термодинамики (о неубываемости энтропии);

- принцип минимума  диссипации энергии (принцип,  по которому из нескольких  разрушительных процессов реализуется  наименее разрушающий);

- принцип устойчивости (сохранение лишь устойчивых форм  движения).

На основе этих и многих других принципов отбора в естественных науках строятся математические модели феноменологической природы. Но феноменологическая база естествознания постоянно расширяется, что приводит к усложнению и обобщение моделей. Основной путь развития таких моделей - индуктивный, т.е. движение от более простых к более сложным. Но дедуктивный путь не менее важен.

Одним из методов, который позволяет получать классы упрощенных моделей, является так называемый асимптотический метод, или асимптотический  анализ [6 (68)].

Таким образом, можно сделать вывод, что система естественнонаучных методов имеет важную особенность. Она состоит в стремлении использовать феноменологию только на микроуровне, охватить по возможности более широкий класс явлений, а затем методами асимптотического анализа получить более простые модели макроуровня, как частные случаи [7 (23)].

При переходе к  более сложным уровням организации  возникают новые понятия, математические модели приобретают иной характер, усложняется аппарат исследования. Так, при переходе к уровню живой материи неизменно становится сложнее организация, изменяются старые и появляются новые принципы отбора.

В отличие от неживой природы, процессы живой  природы не могут быть описаны  без применения термина "обратная связь".

Т.е. характер взаимодействий здесь определяется еще одной свободной (независимой) функцией, обычно называемой управлением, выбор которой в той или иной мере произволен, во всяком случае, не следует из законов сохранения (хотя, конечно им не противоречит). При этом выбор этот производится исходя из стремления достичь определенную цель. Для того, чтобы сделать правильный выбор, живому организму нужна соответствующая информация. При этом информация нужна не любая, а только такая, которая позволит либо достичь цели как минимум, либо достичь ее наилучшим образом, как максимум. В этом смысле понятие информации отличается от понятия информации как знания о состоянии системы (на основе понятия энтропии).

Соответственно, для описания биотических процессов  необходимо иметь представление  о структуре обратных связей, реализуемых функциями поведения. Но аргумент функции поведения - это расстояние до гомеостатической границы существования организма. Значит, первый необходимый шаг любых системных исследований, исследующих математические модели - определение границы гомеостазиса, т.е. критических значений параметров окружающей среды. Второй этап исследования - это определение реакции на отклонения от гомеостатической границы, т.е. определение функций поведения [6 (87)].

Здесь также  возможно применение асимптотических методов и агрегирования, но пока еще мало сделано для этого. Это вызвано тем что биотические системы намного более сложные. Например при описании иерархической структуры "стадо - индивид" ученые сталкиваются с проявлением противоречий целого и частей. Интересы цело го здесь далеко не сумма интересов отдельных его частей. Таким образом , чтобы понять природу этого уровня организации материи, необходимо принять во внимание диалектическое единство противоположенностей, порождаемых наличием гомеостазисов и рефлексностью, т.е. действием той системы обратных связей , которая возникает на этом уровне. Через систему конфликтов эти противоречия стимулируют развитие и усложнение (усовершенствование) организации.

Эта внутренняя противоречивость определяет специфическую структуру соответствующей системы моделей и порождает трудности согласования моделей разных уровней, без преодоления которых, однако, невозможно говорить об организации (системности) множества моделей.

При переходе к  следующему, общественному уровню организации материи следует отметить, что методы изучения этого уровня несомненно включают все предыдущие методы, поскольку за рамки объективных законов природы выйти нельзя. Но говоря о специфике применения математических методов следует указать на два коренных отличия общественных взаимодействий от биологических.

Во-первых, по мере развития трудовой деятельности человека как социального животного происходит непрерывное усложнение общественной организации, появляется большое разнообразие гомеостатических общностей, усложняются цели, стремления и потому противоречия. Вместе с усложнением инфраструктуры организации все большее число ее отдельных частей приобретает черты организмов и, следовательно, структура обратных связей усложняется.

Во-вторых, при построении модели нельзя не учитывать постепенное развитие интеллекта и, следовательно, способности все большего понимания индивидом последствий его действий, степени их влияния на характер гомеостатической стабильности. Именно благодаря этому реакции теряют свою рефлексность, и при анализе обратных связей становится необходимым учитывать процессы переработки информации и принятия решений.

Люди обладают различным уровнем интеллекта, поэтому  их реакции на одинаковые ситуации могут различаться. Кроме этого надо учитывать характер информированности субъекта, особенности процессов принятия решений; т.е. всю логическую цепочку, которая может привести к тем или иным выводам. Все это предъявляет новые требования к применяемым математическим методам.

Схематично специфику применения математических методов в зависимости от отрасли науки можно представить следующим образом: метод математических моделей на уровне организации неживой природы требует главным образом использования законов сохранения и простейших механизмов отбора. На биотическом уровне организации возникает необходимость описание структуры обратной связи рефлексного типа. На уровне общества качественно новой особенностью является необходимость описывать противоречивое единство интересов и целей отдельных организмов, участвующих в том или ином процессе, противоречивое единство связанных между собой, иерархически организованных цепочек организмов [6 (129)].

В дизайне такими организмами можно считать отдельных людей, группу людей, организацию, предприятие. Даже культуру отдельной страны можно рассматривать как организм с присущими ему реакциями на различные факторы внешней среды. То есть в зависимости от целей исследования следует выделять определенную область дизайна и рассматривать ее как организм.

При этом в зависимости  от выбранного сферы деятельности дизайнера возникают свои особенности применения математических методов, которые и определяют степень применимости того или иного метода, его эффективность. 

1.3. Специфика применения  математики в различных сферах дизайна.

 «Математика  прекрасна». Это утверждение может  показаться абсурдным для тех,  кто не занимается ей профессионально.  Однако, очень много вещей в  природе подчиняется математике. От самой маленькой ракушки  до галактики во вселенной,  все подчиняется ее величеству. Аристотель так и говорил: «Математическим наукам присущи порядок, симметрия и определенность, они и являются формами прекрасного». Математика - основа всех наук, просто иногда цифры выражены в чем то другом, но понятие пропорций, сечений и третей всегда важны. 
 
Математика есть и в искусстве и в архитектуре, но ее не использовали для создания дизайна сайтов. Вероятно, потому что, многие думают, что математика не совместима с творчеством. Однако, ее можно использовать для создания креативных проектов, и не стоит в этом деле перебарщивать. Думайте так, математика не враг, а друг и помощник.

Использовать  математические принципы в веб-дизайне  не только можно, но и нужно.   
Далее будет приведен ряд примеров применения в дизайне сайтов таких известных математических принципов как “золотое сечение”, числа Фибоначчи, или даже некоторые теории из физики как, например, всем известная синусоида.

Кто бы мог подумать, что математика может быть настолько  тесно связана с дизайном интерьеров? Необычный союз дизайнеров из студии gt2P и знаменитого русского математика подарил миру столь же необычную мебель. Полки-близнецы Twin shelves, о которых пойдет речь, были созданы чилийскими специалистами как раз на основе трехмерных диаграмм математика Сергея Федоровича Вороного. 

  Также нельзя говорить о специфики применения математических методов и не сказать о ландшафтном дизайне. 

Ландшафтный дизайн (ландшафтная архитектура) – искусство и наука, направленные на организацию пространства жизнедеятельности человека, создание высокодекоративных с эстетической точки зрения, и в то же время полифункциональных, практичных ландшафтов.

Основной точкой отсчета, в часто довольно сложном  и продолжительном процессе планирования и благоустройства территории, является ландшафтный проект.

 Процесс проектирования  начинается с выезда специалиста  на объект, изучения его основных  характеристик: рельефа, геологии, инсоляции, розы ветров и геометрии  участка, что несомненно имеет  огромное значение в работе  над проектом. Наряду с этим, обсуждаются с Заказчиком основные пожелания и требования к создаваемому ландшафту, выбирается стилистическая концепция будущего дизайна.

Что же касается графического дизайна, то эта сфера  напрямую связана не только с различными математическими методами , но и  геометрией. Рассмотрим это утверждение на примере логотипа популярной американской компании Apple, знаменитого «яблока» 

            Рис.2

Пи разработке фирменного стиля, дизайнер придерживался не только интуиции, но и таких принципов как “золотое сечение” и числа Фибоначчи. Что несомненно явилось залогом успешности данного логотипа и компании в целом.

2. Особенности задач в дизайне, решаемых математическими методами

Область дизайна, как и любая другая область имеет свою специфику. Специфика ее определяется общей спецификой наук о человеке. Все общественные науки изучают самую сложную и высокоорганизованную форму движения - социальную. Как уж упоминалось выше, на этом уровне организации материи приходится учитывать обратную связь между субъектом и внешней средой. При этом связь эта представляет противоречивое единство интересов и целей отдельных организмов, участвующих в том или ином процессе. Дизайн влечет за собой большой пласт процессов, как правило имеющих место между субъектами при обмене различными продуктами( продуктами дизайна), так и имеющих к этому какое-либо отношение. До того, как люди стали обмениваться продуктами своего труда, отношения между ними никак нельзя было подчинить схеме «исполнитель-заказчик». Возникновение экономических отношений положило начало специализации труда и соответственно, всему социально-экономическому прогрессу, который в полной мере затронуло область дизайна

На современном этапе взаимоотношения между заказчиком и исполнителем образуют экономические системы со сложной структурой, большим количеством элементов и связей между ними, которые и являются причиной применения математических методов не только на конечном этапе дизайна продукта, но и на этапе ведения проекта.

По Гатаулину  основой экономической системы  является производство, следовательно  производство того или иного продукта. Именно производство конечного продукта является целью дизайна мебели, веб-дизайна, графического а также промышленного.

Немалую помощь на начальном этапе дизайна продукта оказывает фрактальная графика — визуальное изображение математических функций. Принцип работы с ней довольно-таки прост.

Берется не очень  сложная функция, которая присваивает  каждой точке экрана цвет в зависимости от ее положения на экране и цвета окружающих точек. Получающаяся картинка выводится на экран. Затем та же функция опять применяется к получившемуся экрану, картинка чуть изменяется. Потом опять. Человек в результате видит движущийся узор весьма непростого вида. При некоторых подобранных параметрах сложность и красота картинок завораживает и оказывается вполне на уровне морозных разводов на стекле или абстрактных композиций хороших художников. 
 
Фрактал - это более широкое понятие. И обозначает бесконечно самоподобную геометрическую фигуру, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба

Интересны сферы применения фракталов:

• Геральдика 

Герб Российской Федерации является примером фрактала. В правой лапе двуглавый орёл сжимает  скипетр, увенчанный точно таким же двуглавым орлом.

• Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают  при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение  жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии.

В биологии они  применяются для моделирования  популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных  сосудов).

• Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. ( прим. Рис.3)

• Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.