Периодтық емес сигналды спектральдық талдау

Кіріспе

 

 

Әртүрлі техникалық мақсаттарға  арналған әрбір электротехникалық  құрылғыларда небір энергетикалық өзгерулер пайда болады. Олардың көбісінде электр энергиясы бұл құрылғының жеке бөлшектері арасына қайта бөлінеді. Электр тізбегі есебінің тәжірибелік қолданысы өте қажет. Бұл курстық жұмыста сызықты тармақты электр тізбегін талдауды спектрлі әдіспен жүргізу керек.

Мен танып біліп жатқан әдіс периодты емес әсердегі жиілік (спектральді) әдісі. Курстық жұмыстың мазмұнын ашу үшін әр термин үшін жеке-жеке анықтама беріп көрейік. Тақырыбымның өзекті мәселесі болып келетін спектральдық талдауды қарастырайық.

Спектральдық (жиіліктік) талдау бұл уақыт қатарларын қатаң периодты немесе ретті ауытқуларды зерттеуге арналған анализдеудің түрі болып табылады. Спектрлі талдау кезінде жиілік фильтрациясы үшін, өзара спектр алынады. Барлық талдау түрлері үшін тек жиілік фильтрация үшін ғана емес бағдарлама автоматты түрде зерттелетін көрсеткіште тенденцияның бар болуын анықтайды және оны тапқан жағдайда сәйкесті мәлімдеме береді. Гармоникалық талдауда бағдарламадан шығуда есептік параметрлер берілген сәйкесті хаттама шығады. Осының нәтижесі бойынша гармоник қажеттілігін талдауға болады. Спектральдық талдау жасау үшін Фурье қатары қолданылатыны белгілі. Талдаудың математикалық әдісіне қысқаша шолу жасайық [1,2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Периодтық емес сигналды спектральдық талдау

 

 

Периодтық емес сигнал f(t), мысалы тікбұрышты бірлік импульс (1.1-сурет)

 

1. –сурет

 

Фурье қатары:

 

                                                  (1.1)                               

 

(1.1) жіктеу коэффициенттері математикадан белгілі қатынаспен анықталады:

 

                                                              (1.2)                                        

 

периоды Т => ∞ болатын периодтылық ретінде көрсетуге болады. Бұл негізде гармоникалық құраушылардың амплитудалары, (1.2) сәйкес нөлге ұмтылады , яғни шексіз кіші шамаларға айналады. Одан басқа ω₁=2π/Т  негізгі жиілікпен анықталатын спектральдық құраушылар арасындағы қашықтық та сондай шексіз кіші шамаларға айналады және спектр дискреттіктен үздіксізге түрленеді.

Қорыта келгенде, периодтық  емес тербелісті жиіліктері шексіз кіші шамаларға бөлініп, барлық жиіліктік  диапазонды толтыратын гармоникалық тербелістердің амплитудалары бойынша шексіз кіші шексіз санның жиынтығы ретінде қарауға  болады. Фурье қатары математикадан  белгілі Фурье интегралына түрленеді:

 

                                                       (1.3)

 

                                               (1.4)

 

f(t) функциясы әрбір әрбір түпкі аралықта Дирихле шарттарын қанағаттандырады деп болжанылады, ол шексіз аралықта абсолют интегралданады және f (t)=0 егер t<0. Біз үшін (1.3)  шексіз кіші амплитудалары  |F(jω)|dω/π, жиіліктері ω және үзіліссіз ω=0-ден ω→ ∞ дейін өзгеретін бастапқы фазалары φ(ω) бар гармоникалық тербелістердің шексіз үлкен шамасының интегралдық жиынтығын көрсететіндігі маңызды.

ω -дан  ω+dω-ға дейінгі әрбір шексіз кіші жиілік диапазондарының құраушы амплитудалары осы функцияның мәніне пропорционал болғандықтан |F(jω)| функциясы амплитудалардың спектральдық тығыздығы деп аталады. φ(ω) функциясы периодтық емес сигналдың фазалар спектрін сипаттайды. F(jω) комплексті функциясын комплексті спектральдық тығыздығы, ал  (1.4) қатынасын біржақты Фурье түрлендіруі деп атайды.

Фурье мен Лаплас түрлендірулерінің байланысын және аналогиясын көру қиын емес. Фурьенің біржақты түрленуі F(jω) p = jω болғандағы Лаплас түрленуінен алынуы мүмкін деген қорытынды жасауға болады.

 

F(jω)=F(p) |_p=jω                                                                                        (1.5)

 

(1.5) қатынасы Лаплас түрленулерінің көлемді кестелерін қолданып, әртүрлі сигналдардың спектральдық құрамын талдау үшін қолданылуы мүмкін.

Мысал 1. Амплитудалардың спектральдық тығыздығын және экспоненциалды функцияның f(t) =A _oe^-αt фазалар спектрін анықтау.

Берілген функция бойынша (1.1-кестесін қараңыз) Лаплас түрлендіруін және (1.5) қатынасын қолданайық. Сонда комплексті спектральдық тығыздық:

 

1. кесте

 

К		0		1		2		3		4		5		6		7
Ак		Uo		2Uo/π		0		2Uo/3π		0		2Uo/5π		0		2Uo/7π
φк		-		- π /2		-		- π/2		-		- π/2		-		- π/2

 

 

 

Осыдан амплитудалардың  спектральдық тығыздығы |F(jω)|=A _o/(a ²+ω²)^1/2 және фазалар спектрі φ(w )= - arctg(ω/a ).

Осы функциялардың графиктері 1.2-суретінде көрсетілген. Экспоненциалды сигналдың спектрі төменгі жиіліктер облысында жинақталады.

 

1.2 -сурет

 

Мысал 2. Тікбұрыш пішінді (1.1-сурет) бірлік импульстің спектральдық сипаттамасын анықтау. Шешім табу үшін комплексті спектральдық тығыздыққа арналған (1.4) қатынасын қолданайық:

 

 

Бұдан әрі алынған қатынаспен модуль мен аргументті бөліп көрсету  үшін келесі түрлендіруді жасаймыз:

 

 

Сонымен қоса

 

 

 

 

Фазалар спектрі sin(wt_и /2) функциясының нөл арқылы өтуіне (белгінің ауысуы)сәйкес келетін жиіліктерде π рад-ға ұлғаю керек. Бұл жиіліктерді (w _k t_и /2) = kp шартынан табамыз.Олар  w _k = 2kp/ t_и тең, k =1,2,3… Бұл жиіліктерде амплитудалардың спектральдық тығыздығы нөлге айналады. Егер ω=0 болғанда анықталмағандықты ашудан кейін |F(jω)|=U_o t_и аламыз.

Алдында айтылған мәселелерді есепке ала отырып, 1.3-суретінде тікбұрыш пішінді видеоимпульстің спектральді функцияларының графиктері құрастырылған.

Қарастырылып отырған  импульстің энергиясының негізгі бөлігі төменгі жиіліктер облысына тура келеді. t_и импульс ұзақтығы азаяды содан кейін оның спектрі пропорционалды кеңейгендіктен импульс неғұрлым қысқа болса, оның спектрі соғұрлым жалпақ болады [1,5,7,9].

 

 

 

1.3-сурет

 

 

       1.1 Периодты емес сигнал энергиясының жиілік бойынша таралуы

 

 

Периодтық емес кернеу u(t) Фурье интегралы түрінде берілсін:

 

 

Берілген кернеу қосылған R=1 Ом резистивтік кедергіде белгіленетін W энергиясын анықтайық.Сонда мынаны аламыз:

 

                                                                 (1.1.1)    

 

(1.1.1) -да математикадан белгілі Рэле теоремасы қолданылған. Алынған байланыстан |U(jω)|² функциясы ағымдағы жиілікте ω жиілік жолағына 1 рад/с келетін сигнал құраушыларының энергиясын сипаттайтындығы белгілі. Бұл функцияны сигнал энергиясының спектральдық тығыздығы деп атайды.

Қорыта келгенде |U(jω)|² функциясы бойынша периодтық емес сигналдың энергетикалық манызды бөліктері жайлы сөз қозғауға болады.1.1.1- суретте тікбұрыш пішінді видеоимпульс энергиясының спектральды тығыздығының графигі келтірілген. Ол мына формула бойынша есептелінген:

 

 

1.1.1-сурет

 

Импульс энергиясының негізгі бөлігі төменгі жиіліктер облысында тұрақтанған. Импульс энергиясының 90%нан көбі негізгі жолаққа келеді деп айтуға болады, яғни ω = 0ден ω = 2π / t_иға дейінгі жиілік жолағына. Көбінесе практикалық қосымшаларда бұл жиіліктер жолағы импульс спектрінің ені ретінде қабылданады. Импульс ұзақтығы неғұрлым аз болса, оның спектрінің ені  соғұрлым көп болады [2,9,10].

 

 

2. Спектральді талдау

 

Берілген әдістің негізі ретінде Фурьенің кері түрлендіруі  алынады. Кіріс дабылдың спектральді  тығыздығы және сызықтық буынның  тарату коэффициенті белгілі болған жағдайда, шығыс дабылының спектральді  тығыздығы (1.3.5) өрнегіне сәйкес келесідей жазылады

 

                                                                       (1.2.1)                                                                                             

 

Әрі қарай Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, шығыс дабылы есептеледі. Ескеретін жайт, Фурье түрлендіруін қолданылу шарты – интеграл астындағы функцияның абсолютті интегралдануы. Бұл шарт берілген әдісте қолданылатын дабылдар класын азайтады [6,8,9].

 

 

3. Сызықтық буындар және олардың қосылуларының параметрлері мен сипаттамалары

 

 Талдаудың екі түрі  мен сипаттамалардың екі типі. Талдаудың екі түрі – уақыттық  және спектральді (басқаша атауы  – жиіліктік) – сызықтық динамикалық  жүйелерді зерттеуде қолданылады.  Сәйкесінше, сипаттамалардың екі  типі сызықтық құралдың жұмысын  анықтайды, олар: уақыттық және  жиіліктік.

Уақыттық зерттеудің негізі болып Лапластың кері және тура түрлендіруі  алынсса, ал спектральді зерттеу  үшін Фурьенің кері және тура түрлендіруі  алынады.

Лапластың түрлендіруіне  сәйкес, құрылғының уақыттық сипаттамаларды табуға мүмкіндік беретін беріліс  функциясы  анықталса, Фурье түрлендіруіне сәйкес, объектінің жиіліктік қасиеттерін анықтайтын тарату коэффициентін табады. Фурье интегралдары Лаплас түрлендіріуінің жеке жағдайы болып саналғандықтан,  мен арасында уақыттық сипаттамалардан жиіліктікке және керісінше көшуге мүмкіндік беретін тура байланыс бар.

Сызықтық жүйенің қарапайым  буынын – төртұштықты қарастырайық.

Жоғарыда айтылған сипаттамаларды дәл осы төртұштыққа үш тестілік кіріс дабылы барысында анықтайық: синусоидалы, бірлік секіріске және бірлік импульске ие. [6]

 беріліс функциясы. Сызықтық  төртұштықтың қасиетін n-ші дәрежелі  сызықтық дифференциалды теңдеудің  көмегімен анықтауға болады.

 

                                          (1.3.1)

 

мұндағы – шығыс дабылы;

                – кіріс.

 

Сызықтық буындарды операциялық  әдіспен талдау барысында Лаплас-Карсон түрлендіруі қолданылады.

Оған сәйкес (1.3.1) теңдігі операциялық формада келесі түрге ие болады:

 

                                                       (1.3.2)     

 

Шығыс дабыл бейнесінің кіріс  дабыл бейнесіне қатынасына тең  болатын құрылғының беріліс функциясы үшін (1.3.2) теңдігі келесі түрге ие болады:

 

                                       (1.3.3)   

 

Немесе алымы мен мен  бөлімін көбейткіштерге жіктесек ( )

 

                                                     (1.3.4)                    

 

мұндағы , , , – беріліс функциясының нөлдері деп аталатын теңдеуінің түбірлері;

, , , – беріліс функциясының полюстері деп аталатын теңдеудің түбірлері.

 

Орнықты жүйеде, яғни автотербеліс режиміне өтпейтін жүйеде, операторының барлық полюстері   комплексті  айнымалының жартыжазықтығының сол жағында орналасады, яғни барлық полюстердің нақты бөлігі , мұнда [7].

1.3.3 тарату коэффициенті. Фурьенің тура түрлендіруіне сәйкес кіріс және шығыс дабылдарының спектральді тығыздықтарын анықтайық.

Бұл спектральді тығыздықтардың қатынасы буынның тарату коэффициентінің  дәл өзі

 

                                                                     (1.3.5)                                                 

 

 шамасын Фурье интегралы  Лаплас түрлендіруінің жеке жағдайы  екендігін негізге ала отырып, барысында қарапайымырақ жолмен табуға болады.

Сондықтан алмастыру арқылы беріліс функциясы (1.3.5) арқылы буынды тарату коэффициентінің комплексті шамасын аламыз

 

          (1.3.6)                                                  

 

(1.3.6) өрнегін келесі түрге келтірейік:

 

                                                    (1.3.7)                                                                        

 

мұндағы тарату коэффициентінің  модулі келесі формула бойынша анықталады

 

                                                                       (1.3.8)                                                                                          

 

тарарту коэффициентінің  фазасы

 

                                        (1.3.9)                                                   

 

мұндағы – тарату коэффициентінің нақты және жорамал бөліктері.

       Тарату коэффициентінің көмегімен сызықтық буынның жиіліктік және уақыттық сипаттамаларын анықтауға болады.

1.3.4 Амплитудалы-жиіліктік сипаттама (АЖС) дегеніміз шығыс дабыл амплитудасының тұрақты амлитуда мәніне ие кіріс дабылының жиілігіне тәуелділігі. АЖС (1.3.6) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының модулі болып табылады.

 

                                                               (1.3.10)                                   

 

1.3.5 Фаза-жиіліктік сипаттама (ФЖС) дегеніміз шығыс дабыл фазасының тұрақты амплитудаға ие кіріс дабыл фазасына тәуелділігі. ФЖС – бұл (1.3.9) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының аргументі.

Тәжірибе жүзінде АЖС  мен ФЖС анықтау кезінде  кіріс дабылы гармоникалық дабыл ретінде алынады.

1.3.6 Ауысу сипаттамасы дегеніміз кіріс дабылы бірлік функция - кернеу секірісі – ретінде берілгендегі шығыс дабылының тәуелділігі:

 

                                                                                      (1.3.11)                                               

 

1.3.7 Бірлік функцияның бейнесі . басқа, барлық жиіліктері үшін спектральді функция . Ал болғанда, , яғни дельта-функциясына тең.

Уақыттық сипаттама үшін тәуелділікті табуды шығыс дабылдың бейнесі арқылы жүзеге асыруға болады. Лаплас-карсон түрлендіруіне сәйкес, бірлік функцияның бейнесі болғандықтан, ауысу сипаттамасы – беріліс функциясының түпнұсқасы: функцияның бейнесі арқылы түпнұсқаны табу жіктеу формуласымен операциялық есептеулер жүргізу арқылы жүзеге асады. Ол үшін беріліс функциясының полюстерін, (1.3.4) өрнегіне сәйкес теңдеудің нақты және комплексті түбірлерін табу қажет.

 

                                                                                       (1.3.12)                                                   

 

Нақты коэффициенттері бар полиномның (1.3.12)                                                  нақты және комплексті түбірлерін табудың бірнеше сандық әдістері белгілі. Олардың бірі Ньютон-Рафсон әдісі. Осы тәріздес есептерді Mathcad бағдарламасының математикалық пакеті арқылы жүзеге асыруға болады.

Ауысу сипаттамасын есептеудің басқа әдісі беріліс функциясының (1.3.3) өрнегінен шығады және полиномның (1.3.12)                                                  түбірлерін алдын-ала табуды талап етпейді.

Тізбектің орнықтылық шарттарын  жүргізу барысында және болғандағы Фурье интегралының Лаплас түрлендіруімен байланысына және интеграл асты функциясының интегралдану шарттарына қайта негізделе отырып, тізбектің ауыспалы сипаттамасы үшін дәл сол объектінің (1.3.7) тарату коэффициентінің нақты бөлігі арқылы берілген келесі өрнекке қол жетуізуге болады.

 

                                                                   (1.3.13)                                              

 

1.3.8 Импульсті сипаттама дегеніміз бірлік импульс немесе бірлік функциясының (1.3.11) туындысы – дельта-функция түріндегі кіріс әсеріне объектінің үндеуі

 

                                                                                             (1.3.14)                                                    

 

Бірлік импульстің амплитудасы  , ұзақтығы , импульстің ауланы . Лапла-Карсон түрлендіруіне сәйкес бірлік импульстің бейнесі . Бірлік функция мен бірлік импульстің бейнелері қатынасымен байланысқан. Тікбұрышты импульстің спектральді функциясының талдауынан ұзақтық кезінде спектрдің ені шығады. Сондықтан бірлік импульстің спектральді функциясы барлық жиілікте , (1.3.5) өрнегін ескере отырып, жазуға мүмкіндік береді. Сонымен қоса, импульсті сипаттама Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, интеграл асты функциясының интегралдану шартымен келесіге тең

 

                   (1.3.15)               

 

мұнда

 

.

 

Интегралдаушы типті тізбек үшін импульсті сипаттаманы беріліс  коэффициентінің нақты бөлігі белгілі болғанда, анықтауға мүмкіндік бар. Мұнда аталған тізбек дегеніміз полиномның, яғни көпмүшенің алымындағы дәреже бөлімінің дәрежесінен кем дегенде 1 дәрежеге артық болатын, ал амплитудалы-жиіліктік сипаттама жоғарғы жиілік аймағында нөлге дейін төмендейтін тізбек. Мұндай тізбектер үшін

 

                                                                      (1.3.16)                                                                                          

 

 (1.3.14) өрнегін ескерсек, импульсті сипаттама – бұл ауысу сипаттамасының туындысы [10,13,14].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Тапсырма

 

 

2.1-суретінде қарапайым тізбек келтірілген. Тізбек элементтерінің параметрлері мынандай: , , , , , , , , . Бұл жерде - бірлік қадамды функция ( қосылу функциясы). Бірлік импульстің графигі 2.2 суретінде келтірілген. Бірлік және импульстер реттілігінің параметрлері: , , [11].

 

2.1-сурет Талданушы тізбектің сұлбасы

 

2.2-сурет Бірлік импульстің графигі

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Периодтық емес әсер еткенде тізбекте жүргізілетін спектральдық талдау

Таралу функциясының Амплитуда-фаза-жиіліктік(АФЖС), амплитуда-жиіліктік(АЖС) және фаза-жиіліктік(ФЖС) сипаттамаларын анықтау.   

        Амплитудалы-жиіліктік сипаттама – ол комплекстік түрде берілген, тізбектің таратушы, шығыс немесе кіріс функциясының солардың жиілік модулінен тәуелділігі. Амплитудалы-жиіліктік сипаттама (АЖС) кіріс сигналдың спектріне тізбек арқылы тигізетін бұрмалануларды зертеуге мүмкіндік беретін, кез келген тізбектің ең негізгі сипаттамаларының бірі болып табылады. Зерттелетін тізбекте жиілікті-тәуелді элементтердің (L және C) бар болуы кіріс сигналдың спектр құраушыларының әрқалай өзгеруіне алып келеді.

Тізбектің АЖС алудың ең қарапайым тәсілі – бұл  үшін p операторлық айнымалысын жорамал жиілігіне ауыстыру.

 

 

Ең алдымен спектральдық сипаттаманың нақты және жорамал  бөлігін белгілеп алайық:

 

 

 

Енді жиіліктің  комплексті функциясының модулін табамыз:

 

 

Берілген мәндер бойынша құрастырылған АЖС 2.1.1-суретте көрсетілген түрге келеді.

 

2.1.1-сурет Зерттелетін тізбектің АЖС-сы

 

Құрастырылған сипаттама  бойынша өткізу жолағы анықталуы  мүмкін.Өткізу жолағы – шектерінің арасында өшу белгілі бір мәннен төмен болып қалатын жиілік жолағы. Яғни осы жолақ үшін тарату коэффициенті оның максимал мағынасынан тен аспайтын шамаға ерекшеленеді. Бұл сигнал деңгейінің 3 дБ-ға кемуіне сәйкес келеді. Қарастырылып отырған тізбек үшін таралу функциясының максимал мәні жиілікте жетеді және құрайды. Өткізу жолағының шекарасына таралу функциясының мәні сәйкес келеді. Бұл мән жиілікте жетеді. Қорыта келгенде өткізу жолағы тең болады: .

Фаза-жиіліктік сипаттама – ол комплекстік түрде берілген, тізбектің таратушы, шығыс немесе кіріс функциясының солардың жиілік аргументінен тәуелділігі. Олай болса, берілген тізбек үшін ФЖС мынадай түрге келеді :

 

.

 

Берілген мағына бойынша  құрастырылған АЖС 2.1.2-суретте көрсетілген түрге келеді.

 

2.1.2-сурет Зерттелетін тізбектің ФЖС-сы

 

Тізбектің амплитудалық-фаза-жиіліктік сипаттамасы (годограф) тарату коэффициентінің өзгеруін (біздің жағдайымызда, тогы боынша) және шығыс пен кіріс тоқтар арасындағы фаза ауытқуын біріктіріп байланыстырады. Годограф АЖС пен ФЖС-те бар мәліметтерді қамтиды. Годограф параметрі жиілігі болып келетін параметрлі қисық болып келеді. Годографтың қандай да бір нүктесіне еоординат басынан жүргізілген вектор ұзындығы осы жиілікте таралу функциясының абсолютті мәніне, ал оның арасындағы бұрыш пен заттық осьтің тура бағыты – таралу функциясының аргументіне сәйкес келеді.  

 

 

2.1.3-суретінде қарастырылып отырған тізбек үшін годограф келтірілген. Нөлдік жиілікке (тұрақты тоққа) заттық осьтағы 0.136 координатасы бар нүкте сәйкес келеді, өте үлкен (шексіздік шамасында) жиілікке заттық осьтағы координатасы бар нүкте сәйкес келеді. Бұл жиіліктік шекараларда фазалық ауытқуға реактивті элементтердің әсері жоқ [12].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.1-сурет Талданатын тізбектің годографы

 

2.2 Кіріс сигналдың амплитудалық және фазалық спектрін анықтау

Кіріс сигналдың  спектралды сипаттамасын табу үшін Фурьенің тура түрленуін қолдануға болады. Осы тапсырманы шешудің екінші жолы Лаплас және Фурье түрленуінің арасындағы аналогияға негізделген және кіріс сигналдың операторлық бейнесіндегі p операторлық айнымалысын жорамал жиілігіне ауыстыруынан тұрады. Нәтижесінде қарапайым түрлендірулерден кейін аламыз:

     

        

Кіріс сигналдың амплитудалық спектрі сигналдың спектральді  сипаттамасының модулі ретінде табылуы  мүмкін (ол үшін Эйлер түрлендіруін қолданайық):

Кіріс сигналдың амплитудалық-жиіліктік  спектрі 2.2.1-суретте көрсетілген.

2.2.1-сурет Кіріс сигналдың амплитудалық спектрі (АЖС)

 

Спектральді сипаттама  кезінде максималды мәнге жетеді және тең болады. деңгейі бойынша анықталған сигнал спектрінің ені құрайды. Сигнал спектрінің ені мен оның ұзақтығы арасында келесі ара қатынас бар: . Сигналдың берілген түрі үшін аламыз: . Бұл константа сигналдың базасы деп аталады. Импульс ұзақтығының 10 есе азаюы тура сондай (10 есе) оның спектр енінің ұлғаюына алып келеді. Қысқа импульстарда қалың спектрлердің бар болуы сондай импульстарды түрлі тізбектердің жиіліктік қасиеттерін зерттеу үшін пайдалануға мүмкіндік береді. Математикалық мағынада синусоидальді емес сигналдың спектрі шектелмеген.

Рейли теоремасының қолданылуы сигнал энергиясының негізгі бөлігі сәйкес келетін, сигнал спектрін жиілік жолағымен шектеуге мүмкіндік береді. 1 Ом кедергідегі тоқтың импульс әрекетін қарастырып, кедергімен тұтынылатын және энергиясын табайық. Бұл энергиялар жоғарыда табылған спектр ені үшін кіріс сигналдың кіріс сигналдың спектрінен  Рейли теоремасының негізінде анықталған. 

 

 

 

Сонымен біз, спектр ені  және бойынша анықталған сигнал спектрін шектеу арқылы толық энергиясынан болатындығын ескереміз. Бұл ақпарат маңызды болуы мүмкін, мысалы өткізу жолағын таңдау үшін.

Кіріс сигналдың фазалық  спектрі спектральдық сипаттаманың кірісіндегі аргумент ретінде анықталады:

 

.

 

Фазалық спектрдің түйініндегі p бұрышына шабулар косинус таңбасының өзгеруімен байланысты. Бұрмаланбайтын тізбектің амплитудалық сипаттамасы тұрақты, ал фазалық сипаттамасы шексіз жиіліктер жолағында болуы тиіс. Сонымен қоса фазалық сипаттаманың көлбеу бұрышының тангенсі сигалдың кешігу уақытына тең болып шығады.Реалды тарататын жүйелердің жиіліктік сипаттамалары идеалды жүйелерден үнемі ерекшеленеді: амплитудалық сипаттама үнемі тұрақтыдан , ал фазалық – сызықтыдан ауытқиды. Бұрмаланулардың бағалауын тізбектің АЖС және ФЖС графиктерімен фазалық және амплитудалық спектрлердің графиктерін салыстыру арқылы жүзеге асырады. Оларды салыстырып, шығыста сигналдың шамалы бұрмалануын көруге болады. Резистивтік тізбек үшін шығыс сигнал кіріс сигналға ұқсас және тура сондай ұзақтыққа ие болар еді.Жиілікті-тәуелді элементтерді қамтитын тізбектің берілген жағдайында маңызды өзгерістер кіріс сигналдың фазалық спектрі үшін де орын алуы мүмкін. Бұл сигнал құраушыларының арасындағы фазалық қатынастардың бұзылуына және шығыс сигнал пішінінің бұрмалануына себеп болады [15,16].

Төмендегі 2.2.2-суретте кіріс сигналдың  фазалық спектрі бейнеленген.

 

 

2.2.2-сурет Кіріс сигналдың фазалық спектрі (ФЖС)

2.3 Шығыс сигналдың амплитудалық  және фазалық спектрін анықтау

 

 

Шығыс сигналдың амплитудалық-жиіліктік сипаттамасы кіріс сигналдың амплитудалық-жиіліктік сипаттамаларының ұлғаюы арқылы алынуы мүмкін.

 

 және тізбектің : .

 

 сәйкес сипаттамасымен  АЖС теңдеуі шығыс сигналдың пішінінің маңызды бұрмалануын болжауға мүмкіндік береді. Бұрмаланулар кіріс сигналдың түрлі спектр құраушылары үшін таралу функциясының өлшемінің  айырымымен байланысты. Резистивті тізбек үшін шығыс сигнал кіріс сигналға ұқсас болар еді және тура сондай ұзақтыққа ие болар еді.Төмендегі 2.3.1-суретте шығыс сигналдың АЖС-ы бейнеленген.