Понятие доказательства в логике

Содержание

 

Введение                                                                                                               3

1 Виды доказательств                                                                                          5

2 Правила доказательства                                                                                 12 

Заключение                                                                                                         15

Контрольная работа по решению  практических задач                                  16

Список литературы                                                                                            20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Об И. Ньютоне  рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с чтения "Геометрии" Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал доказательства. Его  удивляло, что люди затрачивают столько  усилий, чтобы доказать совершенно очевидное.

Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости  доказательств в математике и  других науках и хвалил Евклида как  раз за безупречность и строгость  его доказательств.

Невозможно переоценить  значение доказательств в нашей  жизни и особенно в науке. К  доказательствам прибегают все, но редко кто задумывается над  тем, что означает "доказать", почему доказательство "доказывает", всякое ли утверждение можно доказать или  опровергнуть, все ли нужно доказывать и т.п.

Доказательство в логике - это:

• процесс (метод) установления истины, обоснование истинности суждения. Познание отдельных фактов, предметов, их свойств происходит посредством форм чувственного познания (ощущений и восприятий) и высказывания вспомогательных суждений и утверждений. Во многих случаях, например на лекции, в сочинении, в научной работе, в докладе, в ходе полемики, в судебных заседаниях, на защите диссертации и во многих других, приходится доказывать, обосновывать высказанные суждения
• важное качество правильного мышления. Теория доказательства и опровержения является в современных условиях средством формирования научно обоснованных убеждения. В науке ученым приходится доказывать самые разные суждения, например суждение о том, что существовало до нашей эры, об атмосфере планет Солнечной системы и т.п. Все эти суждения должны быть научно обоснованны.

Рассмотрев значение доказательств  в науке и в нашей жизни, можно сказать, что избранная тема контрольной работы весьма актуальна.

Целью данной контрольной  работы является ознакомление с видами доказательств и соблюдением определенных правил, приводящих к желаемым результатам.

В соответствии с поставленной целью в контрольной работе будут решены следующие задачи:

- рассмотрены виды доказательств;

- рассмотрены правила доказательства.

Теоретической основой работы являются труды ученых таких, как: Г.Л. Бузук, А.А. Ивин, В. Зегет, А.Д. Гетманова.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Виды доказательств

 

Доказательство - это логическое рассуждение, в процессе которого подтверждается или опровергается истинность какой-либо мысли с помощью других положений, проверенных практикой. Путем доказательства совершается переход от вероятного, недостоверного знания к достоверному. Его назначение - служить сверкой теоретических положений и выводов с реальной действительностью.

По форме доказательства делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такова: из данных аргументов (a,b,c...) необходимо следуют истинные суждения (k,m,l...), а из последних следует доказываемый тезис q. По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных  между собою этапа: отыскание  тех, признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными  аргументами для доказываемого  положения; установление логической связи  между найденными аргументами и  тезисом. Нередко первый этап считается  подготовительным и под доказательством  понимается дедукция, связывающая подобранные  аргументы и доказываемый тезис.

Пример, нужно доказать, что космические корабли подчиняются действию законов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: им подчиняются все тела в любых точках космического пространства. Очевидно также, что космический корабль есть космическое тело. Отметив это, строим соответствующее дедуктивное умозаключение. Оно является прямым доказательством рассматриваемого утверждения.

Непрямое (Косвенное) доказательство - это доказательство, в котором  истинность выдвинутого тезиса обосновывается путём доказательства ложности антитезиса. Оно применяется тогда, когда  нет аргументов для прямого доказательства. Антитезис может быть выражен  в одной из двух форм: 1) если тезис обозначить буквой а, то его отрицание (а) будет антитезисом, то есть противоречащим тезису суждением; 2) антитезисом для тезиса а в суждении а...в...с служат суждения в и с.

Косвенное доказательство устанавливает  справедливость тезиса тем, что вскрывает  ошибочность противоположного ему  допущения, антитезиса.

Как с иронией замечает американский математик Д. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое  сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии».

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы Прямо отыскивать аргументы для выведения из них  доказываемого положения, формулируется  антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис  ошибочен, значит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого  положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Допустим, нужно построить  косвенное доказательство такого весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Необходимо показать ложность этого утверждения. С этой целью выводим из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, исходный тезис должен быть истинным.

Другой пример, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.

Это опять-таки косвенное  доказательство. Вместо прямого обоснования  тезиса выдвигается антитезис, что  у пациента в самом деле грипп. Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Это говорит, что допущение о гриппе неверно. Отсюда следует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Доказательства от противного обычны в наших рассуждениях, особенно в споре. При умелом применении они  могут обладать особенной убедительностью.

Итак, ход мысли в косвенном  доказательстве определяется тем, что  вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать несостоятельность  его отрицания. В зависимости  от того, как решается последняя  задача, можно выделить несколько  разновидностей косвенного доказательств:

а) Следствия противоречащие фактам

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Так обстояло, в частности, дело в  примере с гриппом.

Друг изобретателя паровой  машины Д. Уатта шотландский ученый Д. Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы такой машины. Блэк, наблюдая обычное явление -- таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк и назвал скрытой.

Это - косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а значит, и он сам, опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.

б) Внутренне противоречивые следствия

По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание одного и того же, можно сразу же заключить, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат - это окружность» ложно, поскольку из него выводится как то, что квадрат имеет углы, так и то, что у него нет углов.

Ложным будет также  положение, из которого выводится внутренне  противоречивое высказывание или высказывание о тождестве утверждения и  отрицания.

Один из приемов косвенного доказательства - выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание - тезис доказательства - верно.

Хорошим примером такого рассуждения  служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые - это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа - это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (больше 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11,13,... -- бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда - А. Образуем далее другое число: В = (2 * 3 * 5 *... * А) + 1. Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5, .... А, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен [1].

В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит  о ложности антитезиса и соответственно об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность  какого-либо предположения, они именуются  по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается  тем, что из него выводится откровенная  нелепость.

Имеется еще одна разновидность  косвенного доказательства, когда прямо  не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения достаточно показать, что  оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

Этот прием опирается  на закон Клавия, говорящий, что если из ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно. К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, выведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.

По такой схеме рассуждал  еще Евклид в своей «Геометрии». Эту же схему использовал однажды  древнегреческий философ Демокрит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

3 Разделительное доказательство

Во всех рассмотренных  косвенных доказательствах выдвигаются  две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

Можно не ограничивать число  принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так  называемому разделительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется  в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в  число альтернатив, полностью исчерпывающих  все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что  ни одна из величин не превосходит  другую, два варианта будут отброшены  и останется только третий: величины равны.

Доказательство идет по простой  схеме: одна за другой исключаются все  возможности, кроме одной, которая  и является доказываемым тезисом. В  стандартных косвенных доказательствах альтернативы - тезис и антитезис - исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

С помощью разделительного  доказательства можно попытаться, например, показать, что в Солнечной системе  жизнь есть только на Земле. В качестве возможных альтернатив выдвинем утверждения, что жизнь есть на Меркурии, Венере, Земле и т.д., перечисляя все планеты Солнечной системы. Опровергая затем все альтернативы, кроме одной - говорящей о наличии жизни на Земле, получим доказательство исходного утверждения [4].

Нужно заметить, что в  ходе доказательства рассматриваются  и опровергаются допущения о  существовании жизни на других планетах. Вопрос о том, если ли жизнь на Земле, вообще не поднимается. Ответ получается косвенным образом: путем показа того, что ни на одной другой планете  нет жизни. Это доказательство оказалось  бы, конечно, несостоятельным, если бы, допустим, выяснилось, что, хотя ни на одной  планете, кроме Земли, жизни нет, живые существа имеются на одной  из комет или на одной из так  называемых малых планет, тоже входящих в состав Солнечной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Правила доказательства

 

Для того чтобы доказательство действительно привело к обоснованным результатам, надо соблюдать ряд  требований в обращении со всеми  его компонентами: тезисом, аргументами  и демонстрацией. В отношении тезиса необходимо придерживаться двух правил.

Тезис должен формулироваться  ясно и однозначно.

Тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем  же.

В первом правиле, как легко  догадаться, воплощается одно из фундаментальных  свойств логической мысли - определенность. Мысль не является логической мыслью, если она не удовлетворяет требованию определенности. Пока оно не выполнено, спорить, обсуждать, анализировать  нечего.

Но теперь мы в состоянии  обозначить это требование конкретнее. Тезис - это какое-то суждение. И надо следить за тем, чтобы все его  количественно-качественные и модальные  характеристики были выражены точно. Естественный язык не всегда и не во всем удовлетворяет  таким требованиям, поскольку в  нем многое принимается по умолчанию, как принято выражаться в компьютерной технике. Это не мешает и, более того, это удобно в обычной повседневной практике, где буквальная точность чаще всего не нужна, и при возникновении  недоразумений всегда можно прибегнуть к дополнительным уточнениям. Другое дело создание теорий, подготовка документов, написание публицистических статей. Двусмысленность здесь должна быть полностью исключена. Логика формирует  точное, однозначное и обоснованное мышление. Она поэтому требует  большей тщательности, чем допускается  в обычном разговорном общении. Например, с первого взгляда можно  не заметить ничего примечательного  в высказываниях: "Журналист - мастер слова", "Верблюд - двугорбое животное", "Законодатель - хранитель интересов  народа". Между тем, если внимательно проанализировать их логическую форму, то придется признать все их ложными, ведь они являются общеутвердительными суждениями и, следовательно, в них утверждается, будто все верблюды имеют по два горба, а все законодатели только и думают об интересах народа. Из-за того, что в них употреблены понятия в собирательном смысле, каждое из них отражает преобладающую черту, а не обязательную для всех, о ком говорится. Эти суждения, строго говоря, являются частными, хотя и выглядят общими, и только при учете таких поправок с их помощью можно обосновать правильные выводы.

Во втором правиле выражаются те же требования, что и в законах  тождества и противоречия. Нет  поэтому нужды специально останавливаться  на его пояснении. Само собой понятно, что, составляя какой-либо документ, нельзя в его начале обосновывать, допустим, полезность сотрудничества, в конце доказывать, будто оно  вообще только вредно. Тем не менее, при всей самоочевидности данного  правила сплошь и рядом встречаются  его нарушения. В логике таковые  имеют общее название ошибки подмены  тезиса. Она имеет разные формы  проявления, иногда бывает сознательной уловкой, но может возникать и  из-за невнимательности или различного рода сложностей с распознанием мысли  как одной и той, же в разных условиях. Ведь иногда мысль необходимо выражать через другие понятия, но при  этом все-таки не исказить. Из-за таких  замен возникает немало проблем, о которых говорилось в разделе  о законах логики. Возникают по этой причине и ошибки [2].

Одна из разновидностей подмены  тезиса называется: переход в другой род - понятия и суждения, смысл  которых вольно или невольно изменился, доказывают или больше, чем нужно, или, наоборот, меньше.

Еще одной распространенной ошибкой является переход к личности. В этом случае вместо обсуждаемого тезиса разговор сбивается на отстаивающего  его автора, на его поведение, манеру говорить, достоинства и недостатки. Скажем, критики ельцинских реформ имеют все основания согласиться с Жириновским, что любая реформа должна только улучшать жизнь. Но сторонники шоковой терапии в экономических преобразованиях просто отмахиваются от таких замечаний: "А это сказал Жириновский". Каким бы одиозным ни был автор критики, обсуждать надо его слова, а не политическое лицо [4].

Еще одна ошибка подмены  тезиса, которая чаще всего встречается  в публичных выступлениях и дискуссиях, связана с неравномерностью интереса к разным сторонам обсуждаемой проблемы. Видимо, каждый может припомнить случаи, когда спор перескакивает с главного вопроса на второстепенные, потому что упоминаются какие-либо впечатляющие, захватывающие факты, идеи, произведения и т.д. Оратор может увлечься и  сам не заметить отступления от темы, а если почувствует оживление  интереса у публики, то тем самым  как бы получит санкцию на уклонение  или соблазнится желанием блеснуть перед аудиторией. Но далеко не редко  и умышленное использование такого приема, чтобы отвлечь внимание от тезиса, который невозможно отстоять. Разговор в таких случаях вертится вокруг вопросов, хотя и как-то связанных  с темой, но все-таки не имеющих прямого  отношения к делу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Тема о доказательстве занимает в курсе логики особо важное место. В ней объединяются все логические формулы и законы логики, правильное соблюдение которых обеспечивает логически  стройную и последовательную мысль.

По форме доказательство представляет собой процедуру, с помощью которой  устанавливается истинность какого-либо утверждения. Доказательствами пользуются как в научной, так и в повседневной практике.

Общий смысл, сущность доказательства состоит в том, что мы определенным образом соотносим высказанное  в утверждении с действительным положением вещей или с другими  утверждениями, истинность которых  уже не вызывает сомнений. Например, в одних случаях истинность утверждений  достигается с помощью физического, химического, биологического и т.п. экспериментов, результаты которых  соответствуют или не соответствуют  высказанным суждениям, и таким  образом служат доказательством  или опровержением выдвинутого  утверждения. В других случаях, когда  наблюдение и эксперимент невозможны, мы прибегаем к другим истинным утверждениям и из них выводим истинность нашего суждения.

И, для того чтобы доказательства приводили к желаемому результату, необходимо соблюдение правил и условий их проведения. Поскольку доказательства, как правило, состоят из целого ряда умозаключений различного вида, постольку в доказательствах необходимо соблюдать правила и условия для каждого вида умозаключений в отдельности. Однако из факта соединения многих умозаключений в сложных доказательствах и опровержениях и, следовательно, наличия многих посылок вытекают дополнительные условия, несоблюдение которых может повлечь за собой ошибки в доказательствах.

Контрольная работа по решению  практических задач

1. Подобрать два высказывания (стихи  и проза) и выразить их в  символической форме.

1. Стихи

 

И когда с другим по переулку

Ты пойдешь, болтая про любовь (А),

Может быть, я выйду на прогулку (В),

И с тобою встретимся мы вновь (С).

В символической форме: А→(В^С)

2.  Проза

Если гладкий желоб с лежащим  внутри шариком наклонить (А), то шарик  обязательно покатится по желобу в сторону уклона (В).

В символической форме: А → В. 

2. Привести примеры явного и неявного определения понятий.

Примеры явных определений:

1. Номинальное определение: m - масса тела.

2. Определение через ближайший род и видовое отличие: гротеск - способ сатирического изображения жизни, отличающийся резким преувеличением, сочетанием реального и фантастического.

3. Генетическое определение: цилиндр  вращения - это тело, полученное вращением прямоугольника около одной из свих сторон.

Примеры неявных определений:

1. Семантическое определение: канцелярские товары - это ручки, карандаши, линейки, скрепки, бумага и т.д.
2. Синтаксическое определение: число ноль - это такое число, что при прибавлении его к любому другому числу получается это число.

 

 

3. Привести пример логической  ошибки, возможной в определении  понятия.

Приведем здесь правила определения  понятий и примеры их нарушений.

1. Определение не должно заключать в себе круга. Например, тавтология. Так, «коммунист - человек коммунистических взглядов».
2. Определение должно быть ясным, то есть не должно содержать, например, метафорических сравнений, таких как «краткость - сестра таланта».
3. Определение не должно быть отрицательным, например «Тетрадь - это не блокнот».

4. Используя приемы, сходные с определением понятия (описание, характеристика, разъяснение посредством примера, сравнение, различение), привести несколько примеров введения понятий (не менее двух).

1. Характеристика: Иванов проявил себя безответственно, грубо нарушил технику безопасности, не известил начальство о случившемся событии.

2. Описание: кенгуру принадлежит семейству сумчатых, имеет вес до 200 кг и т.д.

3. Сравнение: водитель как осьминог выдает билеты сразу всем пассажирам.

4. Различение: человек бесхарактерный - это не человек, а неодушевленный предмет.

5. Разъяснение посредством примера: животный мир пустыни - верблюда, антилопа, черепаха, варан и др.

 

5. Привести примеры, иллюстрирующие следующие структуры:

а) конъюнкции:

 

Не только А, но и В - Не только математику, но и мировую культуру сейчас изучают в школе.

Как А, так и В - Как мама, так и папа меня очень любят.

В, хотя и А - На улице ярко светит солнце, хотя и не жарко.

А вместе с В - Для равностороннего треугольника характерно равенство углов при основании вместе с тем, что все углы по 60 градусов.

В, несмотря на А - Несмотря на лень, Сидоров решил копать картошку.

А, в то время как В - В то время как Миша садился в электричку, Маша ждала его в намеченном месте.

б) импликации:

Если А, то В - Если долго тренироваться, то можно достичь высоких результатов.

Коль скоро А, то В - Коль скоро наступит лето, то начнется пора отпусков.

В случае А имеет место В - В случае длительных тренировок имеет место усталость.

Для В достаточно А - Для скорого выздоровления достаточно точно следовать рекомендациям врача.

Для А необходимо В - Для достижения высоких результатов необходимо усиленно тренироваться.

А влечет В - Выполнение домашних заданий влечет усвоение материала.

с) эквиваленции

А, если и только если В - Мы будем кататься на санках, если и только если выпадет достаточно снега.

Для А необходимо и достаточно В - Для равенства всех сторон треугольника необходимо и достаточно равенство всех его углов.

Если А, то В, и обратно - Если треугольник равносторонний, то углы в нем по 60 градусов и обратно.

А тогда и только тогда, когда В - Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

А, если В и В, если А - Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

6. Привести примеры  суждений, на которые распространяются формально-логические законы.

1. Всякая мысль истинна или ложна не сама по себе, а в силу достаточного основания. Это закон достаточного основания. Например, через три данных точки можно провести плоскость и притом только одну. Это теорема, поэтому закон.

2. Всякая мысль тождественна сама себе. Это закон тождества. Нарушение этого закона возникает при двусмысленности, применении одного и того же слова в разных значениях. Например: «Ноздрев был в некотором отношении исторический человек. Ни на одном собрании, где он был, не обходилось без истории».

3. Закон непротиворечия выражает требование непротиворечивости мышления. Так, суждения «Владивосток - город с населением 600 тысяч человек» и «Владивосток - миллионник» не могут быть одновременно истинными, если эти суждения относятся к одному и тому же городу.