Понятие и назначение средних величин, требования к обоснованности их расчетов

 

 

Реферат

по курсу «Статистика»

 

 

Вариант 14

 

Понятие и назначение средних  величин, требования к обоснованности их расчетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

 

Введение ………………………………………………………………..	3
1.Понятие и назначение средних величин ……………………………	4
2.Требование к обоснованности расчетов средних величин ………..	7
Заключение ……………………………………………………………..	19
Список литературы …………………………………………………….	21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Средняя величина – одна из важнейших категорий статистической науки, основная форма обобщающих показателей. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В средних величинах находят выражение общие, закономерные черты, свойственные всей совокупности явления. Это свойство средних предопределяет использование их в качестве основного метода статистической науки.

Задача средней величины – одним числом охарактеризовать уровень признака у всех единиц однородной совокупности, у которых размер признака варьирует, то есть колеблется от одной единицы к другой.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин: средней продолжительности  рабочего дня, среднего тарифного разряда, среднего уровня производительности труда среднего пробега транспортных средств и т.д.

В работе были рассмотрены  следующие вопросы:

• Понятие и назначение средних величин;
• Требование к обоснованности расчетов средних величин.

В ходе написания данной работы, мною была изучена литература (труды  Черновой Т.В., Гусарова В.М., Громыко Г.Л. и других).

В работе представлено 3 таблицы  и 14 формул. Объем переработанной литературы при написании работы составляет 6 источников. Объем работы составляет  21 лист.

 

1. Понятие и назначение средних величин 

 

Социально-экономические  явления в статистике изучаются  с помощью обобщающих показателей, таких, как средние величины.

Средняя величина в статистике¹ – это обобщающий показатель, который характеризует типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности и абстрагированную от индивидуальных особенностей отдельных единиц. Благодаря этой абстракции создаются предпосылки для выявления характерных, типичных размеров признака в совокупностях, для изучения свойств и закономерностей, массовых социально-экономических явлений в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина – одна из важнейших категорий статистической науки, основная форма обобщающих показателей. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В средних величинах находят выражение общие, закономерные черты, свойственные всей совокупности явления. Это свойство средних предопределяет использование их в качестве основного метода статистической науки.

Задача средней величины – одним числом охарактеризовать уровень признака у всех единиц однородной совокупности, у которых размер признака варьирует, то есть колеблется от одной единицы к другой.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин: средней продолжительности  рабочего дня, среднего тарифного разряда, среднего уровня производительности труда среднего пробега транспортных средств и т.д.

Средняя величина как категория  статистики обладает рядом специфических характерных для нее черт:

· статистические средние – это реальные показатели, отображающие объективно существующие свойства социально-экономических явлений;

· статистические средние  в абстрактной форме отображают качественно определенные свойства социально-экономических явлений. Какой бы средний статистический показатель мы ни взяли, он всегда будет выражать типичный размер качественно определенного свойства конкретного явления. Приведу пример:  показатель средней заработной платы всегда характеризует не уровень заработной платы вообще, а уровень заработной платы определенных групп рабочих, занятых в тех или иных отраслях народного хозяйства;

· отличительной особенностью средней является то, что в ней взаимно погашаются и уничтожаются индивидуальные отклонения, различающиеся между собой многих величин одного и того же вида.

Средние показатели в статистике служат надежным орудием цифрового освещения явлений общественной жизни. Путем сравнения средних показателей, выражающих на определенные даты или за определенные периоды размеры изучаемых явлений, выявляется и измеряется их динамика. Средние показатели используются также для выявления и характеристики взаимосвязи и взаимодействия социально-экономических явлений и различного рода сопоставлений.

Одно из условий правильного использования средних величин состоит в том, чтобы индивидуальные величины, из которых они исчисляются, были одного и того же вида, т.е. характеризовали однородные явления. Только в этом случае средняя сохраняет свое свойство выражать качественные особенности изучаемых явлений.

Выделение однородных явлений  осуществляется в статистике при помощи группировки. Поэтому метод средних величин должен органически сочетаться с методом группировок.

По моему мнению, статистические средние показатели должны быть использованы только для решения тех задач, которые совместимы с их основными свойствами, т.е. обусловлены их сущностью. Средние величины служат инструментом изучений, формой выражения их действия. Свойство средних величин выражать характерные, типичные размеры изучаемого явления в массовом процессе, обеспечивающем условия взаимного погашения отклонений значений признака от закономерного уровня.

Перечислю виды  средних величин, которые используются в статистике:

Чаще всего в статистике находят применение степенные средние²:

• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая.

Общая формула степенной  средней величины имеет вид:

 
где Х - степенная средняя;

х – варианты;

n - число вариант;

Σ - знак суммирования;

m – показатель степени  средней.

Изменение значения показателя степени средней (m) определяет вид средней величины: если m=1, получается средняя арифметическая; если m=2 получается средняя квадратическая; если m=3, получается средняя кубическая; если m= -1, получается средняя гармоническая; если m=0, получается средняя геометрическая.

 

2. Требование к обоснованности расчетов средних величин

Наиболее распространенным видом средних величин в статистике является средняя арифметическая, представляющая собой частное от деления суммы индивидуальных значений признаков на их количество.

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной. Приведу пример и покажу вывод формулы и расчет средней арифметической.

 Итак, 10 токарей изготовили за смену следующее количество деталей:

Порядковый номер токаря 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Изготовлено деталей штук 5 7 4 6 5 4 8 7 8 6

Нужно найти среднюю выработку  на одного рабочего за смену.

Исходная база ее расчета  имеет такой вид:

 

 

Общая выработка всех токарей равна сумме сменных выработок всех 10 токарям. Следовательно,

 

Характеризуя типичный размер варьирующего признака, средняя необязательно совпадает с одним из вариантов.

Среднесменная выработка  одного токаря составляет 6 деталей. Это средняя арифметическая величина простая. Простой она называется, потому что исчисляется простым суммированием индивидуальных значений признака и делением этой суммы на число значений.

Отдельные значения признака (в приведенном мной примере сменная выработка каждого токаря – 5,7,4 и т.д.) в статистике принято называть вариантами и обозначать символом «х», при наличии в совокупности n вариантов последний из них обозначается х_n. Величина среднего варианта обозначается Ō, а знак суммы вариантов – через Σ (греческая прописная буква «сигма»).

Отмечу, что расчет средней арифметической простой можно записать в виде такой формулы:

Средняя исчисляется по формуле средней арифметической простой тогда, когда значения вариантов встречаются по одному или по одинаковому числу раз, т.е. когда повторяемость каждого варианта одинакова. Если же отдельные значения признака повторяются неодинаковое число раз, то средняя величина определяется по формуле средней арифметической взвешенной.

Приведу еще один пример. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих сдельщиков:

Месячная заработная плата, руб.	7500	8 900	11 000	15 000	15 500	16 000
Число рабочих	5	7	13	15	6	3

В данном примере пять рабочих  получали по 7 500 рублей, семь – по       8 900 рублей и т.д., т.е. каждый вариант повторяется неодинаковое число раз. Поэтому при исчислении средней заработной платы нельзя пользоваться формулой средней арифметической простой. Чтобы определить среднюю заработную плату рабочих сдельщиков, сначала надо определить общую сумму заработной платы всех рабочих. Для этого надо умножить по каждой группе заработную плату на число рабочих и полученные произведения суммировать. Средняя заработная плата по всей совокупности рабочих определяю делением полученной суммы на число рабочих сдельщиков. В моем примере:

 

Числа, которые показывают, сколько раз или как часто встречаются отдельные признаки, в статистике принято называть частотами.

В моем примере частотами являются 5,7,13,15,6,3. они показывают, что заработная плата 7 500 рублей встречается 5 раз, 8 900 рублей – 7 раз и т.д. частоты еще называют весами средней, отсюда и происходит название средней взвешенной.

Обозначив условно частоты  буквой f, расчет средней арифметической взвешенной выражаю следующей формулой:

где Х – значение вариантов; f- значение весов (частот).

Иногда среднюю арифметическую величину исчисляют по данным интервального вариационного ряда, когда варианты признака, по которому исчисляется средняя величина представлены в виде интервалов «от – до». Например, надо определить среднюю заработную плату одного рабочего по предприятию по следующим данным:

Группы рабочих по заработной платы, руб.	6 000- 6 500	6 500-7 000	7 000- 7 500	7 500 - 8 000	8 000- 8 500	8 500 - 9 000
Число рабочих (f)	10	12	7	5	4	3
Среднее значение интервалов (Х)	625	675	725	775	825	875

Для исчисления средней в  интервальном ряду нужно, прежде всего, получить середину интервала каждой группы (6 000+6 500):2=6 250 и т.д.

После того как найдено  среднее значение интервалов, расчет производится по средней арифметической взвешенной. Напомню, что средняя арифметическая интервального ряда менее точна, чем средняя арифметическая, исчисленная из конкретных вариантов, потому что при исчислении центров интервалов допущена некоторая условность.

В статистической практике бывают случаи, когда при вычислении средней имеются данные об индивидуальных значениях признака (х) и его общем объеме в совокупности (W), но неизвестны частоты (f). В таких случаях среднее значение признака исчисляется по формуле средней гармонической, которая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений вариант.

Например, имеются данные о фонде заработной плате и среднемесячной заработной плате по трем предприятиям одной и той же отрасли производства. Требуется определить среднюю заработную плату одного работника по всем предприятиям в целом.

Чтобы определить неизвестную величину (количество работников), следует разделить сумму фонда заработной платы по каждому предприятию (W) на размер среднемесячной заработной плате одного работника (х) и суммировать.

Среднюю заработную плату  одного работника по всем предприятиям рассчитываю путем деления общего фонда заработной платы на общее количество работников, т.е. по формуле средней гармонической  взвешенной:

Ō = 

Если отдельные индивидуальные значения признака (варианты) встречаются по одному разу, то вычисляется средняя гармоническая простая по формуле³:

Ō = 

Где – сумма обратных значений вариант; n – число вариант.

При анализе развития явления  часто возникает потребность  дать обобщенную характеристику интенсивности  развития за длительный период. Для этого исчисляют среднегодовые темпы роста и прироста.

Рассмотрим их расчет на приведенном примере темпов динамики розничного товарооборота за 2001 – 2005 гг.

Расчет среднегодовых  темпов роста лучше производить  на основе темпов роста, выраженных в  коэффициентах. Годовые темпы розничного товарооборота составили (данные условные):

 

Годы	2001	2002	2003	2004	2005
Темп роста	1,046	1,048	1,046	1,052	1,065

Задача состоит в том, чтобы по приведенным годовым темпам роста исчислить среднегодовой темп. Если величина признака образуется как произведение отдельных вариант, то согласно общему правилу нужно применять среднюю геометрическую, т.е. перемножить цепные темпы динамики и из произведения извлечь корень, степень которого равна числу темпов роста.

Формула примет такой вид:

где Т – цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах; n – число темпов.

В моем примере среднегодовой темп роста розничного товарооборота равен:

Следовательно, среднегодовой темп роста составил 1,052, или 105,2%. Среднегодовой темп прироста (∆Ò) равен 5,2%.

Так как произведение цепных темпов роста всегда равно базисному, то средний темп роста можно исчислить из базисного темпа. Базисный темп роста, можно получить, непосредственно разделив уровень последнего периода Y_n на уровень базисного периода Y₀. Тогда формула расчета среднего темпа роста примет такой вид:

где n – число уровней  ряда динамики в изучаемом периоде, не считая базисного. Для исчисления среднего уровня ряда динамики в статистике используется средняя хронологическая.

Средняя хронологическая⁴ – это средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных равноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле средней арифметической простой, а для неравно стоящих рядов – по средней арифметической взвешенной.

Средний уровень моментного ряда динамики так исчислять нельзя, так как отдельные уровни содержат элементы повторного счета. Средний уровень моментного ряда динамики исчисляют по формуле средней хронологической, которая имеет такой вид:

где n – число уровней  ряда динамики.

Таким образом, средняя хронологическая из моментного ряда динамики равняется сумме уровней этого ряда, в которой начальный и конечный уровни взяты в половинном размере, деленной на число уровней без одного.

Покажу методику использования средней хронологической на примере. Известна списочная численность рабочих предприятия на первое число каждого месяца 2005 года:

Месяцы 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

Списочная численность 500 525 530 515 520 540 550

Требуется определить среднесписочную численность рабочих предприятия за полугодие.

Среднесписочная численность рабочих за полугодие 2005 года составит:

Для характеристики типичных уровней и количественных соотношений социально-экономических явлений в статистике применяются структурные, средние мода и медиана.

Мода и медиана являются вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака. Модой в статистике называется значение признака, чаще всего встречающееся в данной совокупности. Иначе говоря, это вариант, имеющий наибольшую численность в данном распределении.

Мода применяется в  тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если надо, например, узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров.

Определение моды по данным дискретных вариационных рядов, признак которых выражен в виде конкретных вариантов, не представляет каких-либо трудностей.

 

Таблица 1

Распределение слесарей-сдельщиков предприятия по тарифному разряду

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6
Численность слесарей сдельщиков	5	15	18	26	12	13

 

Так, в приводимом выше распределении  слесарей-сдельщиков по тарифному разряду модой будет четвертый разряд, так как именно этот вариант обладает наибольшей численностью. Если же признак выражен в виде равных интервалов, то в этом случае мода рассчитывается по следующей формуле:

Где Mo– мода; Хо – нижняя граница модального интервала, т. е. интервал, имеющего наибольшую численность; d – величина модального интервала;     f₁ - частота интервала, предшествующего модальному; f₂ - частота модального интервала; f₃ - частота следующего за модальным интервалом.

По этой формуле рассчитаю моду по данным о распределении слесарей-сдельщиков предприятия по выполнению норм выработки (Таблица 2).

Таблица 2

Распределение слесарей-сдельщиков предприятия по выполнению норм выработки в декабре месяце 2005 года

Выполнение норм выработки, %	100 –105	105 –110	110-115	115-120	120-125	125-130	130-135
Число слесарей	10	18	20	25	9	5	3

 

Наибольшую численность  имеет интервал 115-120, в пределах этого интервала и находится мода. Нижняя граница этого интервала Õ₀ - 115, величина модального интервала d = 120 -115 = 5, частота интервала, предшествующего модальному,  f₁ = 20, частота модального интервала  f₂ = 25 и частота следующего за модальным интервалом ,  f ₃ = 9. Подставляя эти значения в формулу, нахожу:

 

Мода, как это видно  из формулы, тяготеет к той границе интервала, к которой примыкает интервал с большей численностью.

Медианой в статистике называется варианта, делящая численность упорядоченного вариационного ряда (расположенного в порядке возрастания или убывания численных значений признака) на две равные части.

Медиана интересна тем, что  показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности. Так медианой пяти вариантов расположенных в возрастающем или убывающем порядке, будет третий вариант, семи вариантов – четвертый и т.д. Приведу еще один пример: известно, что дневная выработка пяти рабочих составила соответственно 150, 190, 230, 250 и 270 рублей. Медиана этого ряда значений, расположенных в возрастающем порядке равна третьему варианту, т.е. 230 рублей. Именно эта варианта делит численность данного ряда на две равные части⁵.

В тех случаях, когда вариационный ряд состоит из четкого числа членов, в качестве медианы берется средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда. Так, для шести членов ряда, медиана будет равна среднеарифметической из значений третьего и четвертого вариантов, для восьми членов – средний арифметической из значений четвертого и пятого членов и т.д.

Медиана интервальных вариационных рядов определяется в следующей последовательности, сначала определяется медианный интервал, т. е. интервал, в котором лежит медиана, а затем уже рассчитывается конкретное значение медианы. Для определения медианного интервала подсчитываются суммы накопленных частот до тех пор, пока не получают две величины, одна из которых меньше, а другая больше полу суммы всех частот ряда. Медиана лежит в пределах того интервала, прибавление частоты которого к первой сумме дает вторую.

Конкретное значение медианы  определяется следующим образом: к нижней границе медианного интервала прибавляется такая же часть величины интервала, какая часть численности этого интервала взята для получения полу суммы частот ряда. Алгебраически это можно выразить в виде следующей формулы:

Где Ме  – медиана; Хо– нижняя граница медианного интервала; d– величина медианного интервала; Σ_m-1 - сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному; f_m – частота медианного интервала.

Проиллюстрирую порядок расчета медианы интервального ряда на примере. Воспользуюсь для этой цели данными о распределении рабочих предприятия по размеру месячной заработной плате.

Таблица 3

Распределения рабочих по размеру заработной плате, руб⁶.

Группы рабочих по заработной плате, руб.	Число рабочих, чел.	Сумма накопленных частот
6 000 – 7 000	15	15
7 000 – 8 000	21	36
8 000 – 9 000	25	61
9 000 – 10 000	30	91
10 000 – 11 000	28	119
11 000 – 12 000	10	129
Итого	129

Численность этого ряда Σ_f = 129. Подсчитав суммы накопленных частот, находим, что медиана лежит в интервале 9 000 – 10 000. Отсюда следует, что Хо=9 000, d=1 000,  S_m-1= 61, f _m = 129 .

Подставив, соответствующие  значения в формулу медианы получаю следующее:

 

 

Мода и медиана часто  используются для характеристики структуры  вариационных рядов.

 

Заключение

 

Средняя величина – одна из важнейших категорий статистической науки, основная форма обобщающих показателей. В средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В средних величинах находят выражение общие, закономерные черты, свойственные всей совокупности явления. Это свойство средних предопределяет использование их в качестве основного метода статистической науки.

Задача средней величины – одним числом охарактеризовать уровень признака у всех единиц однородной совокупности, у которых размер признака варьирует, то есть колеблется от одной единицы к другой.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин: средней продолжительности  рабочего дня, среднего тарифного разряда, среднего уровня производительности труда среднего пробега транспортных средств и т.д.

Средняя величина как категория  статистики обладает рядом специфических характерных для нее черт:

· статистические средние– это реальные показатели, отображающие объективно существующие свойства социально-экономических явлений;

· статистические средние  в абстрактной форме отображают качественно определенные свойства социально-экономических явлений. Какой бы средний статистический показатель мы ни взяли, он всегда будет выражать типичный размер качественно определенного свойства конкретного явления. Приведу пример:  показатель средней заработной платы всегда характеризует не уровень заработной платы вообще, а уровень заработной платы определенных групп рабочих, занятых в тех или иных отраслях народного хозяйства; отличительной особенностью средней является то, что в ней взаимно погашаются и уничтожаются индивидуальные отклонения, различающиеся между собой многих величин одного и того же вида.

Средние показатели в статистике служат надежным орудием цифрового освещения явлений общественной жизни. Путем сравнения средних показателей, выражающих на определенные даты или за определенные периоды размеры изучаемых явлений, выявляется и измеряется их динамика. Средние показатели используются также для выявления и характеристики взаимосвязи и взаимодействия социально-экономических явлений и различного рода сопоставлений.