Понятие теории математического моделирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание:

Введение……………………………………………………………………..3

1. Теория управления. Основные понятия теории управления. ……

2. Понятие теории математического моделирования…………………

Заключение………………………………………………………………….

Список литературы………………………………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Теория управления. Основные понятия теории управления.

 

       Определение образовательной системы как социального института позволяет использовать для решения задач, относящихся к проблеме управления такими системами, подходы теории социального управления. В рамках этой теории понятие управления характеризует воздействие субъекта на объект управления и подразумевает оптимизацию процессов при целенаправленном переходе социальных систем из одного состояния в другое. В становлении теории управления социальными системами целесообразно рассматривать пять основных подходов, которые представляют определенный интерес для организации управления образовательными системами: выделение школ в управлении, процессный, системный, программно-целевой, ситуационный подходы.

         Согласно первому подходу, в управлении можно выделить несколько научных школ, которые рассматривают управление с различных точек зрения: школа научного управления, административного управления, человеческих отношений, поведенческих наук, а также школа науки управления или количественного метода.

         Основателем школы научного управления, получившей широкую известность в мире как «научная организация труда», был американский инженер Ф. Тейлор (1856 – 1915). Главная идея концепции этой школы – построение управления на основе научных исследований, направленных на повышение эффективности работы. Разрабатываемое с использованием данного подхода научное управление предназначалось для реализации только в промышленном производстве.

          Наибольший вклад в развитие классической, или административной школы управления внес французский ученый А. Файоль. Представители этой школы пытались создать универсальные принципы управления, которые затрагивали два аспекта. Первый – разработка рациональной системы управления организацией, второй – построение структуры организации и управления работниками.

          Если стратегия научного управления связана с применением научных подходов к различным сторонам производственного процесса, то в классической теории управления впервые были исследованы собственно управленческая деятельность и способы рациональной организации систем управления.

         Рассмотренные представителями данной школы теории и сформулированные ими принципы до сих пор не утратили своей актуальности.

          С развитием психологической науки происходило становление школы человеческих отношений в управлении, поведенческого подхода к управлению. Представители этой школы (М. Фоллет, Англия; Э. Мэйо, США, 1930–1950-е гг.) полагали, что если руководство повышает заботу о своих работниках, то и уровень удовлетворенности работников должен возрастать, что неизбежно приведет к повышению производительности. Основной акцент делался на социальном аспекте управления. Подходы к управлению, разработанные данной школой, были предназначены для того, чтобы компенсировать недостатки классического подхода, в котором человеческий фактор не осознавался как элемент эффективности организации.

       Школа поведенческих наук значительно отошла от школы человеческих отношений. Согласно этому подходу, работнику должна оказываться помощь в осознании его собственных возможностей на основе применения концепций поведенческих наук к управлению организациями. Основная цель этой школы – повышение эффективности деятельности организации путем повышения эффективности ее человеческих ресурсов за счет изучения различных аспектов социального взаимодействия, мотивации, характера власти и авторитета, организационной структуры, коммуникации, изменения содержания работы и качества трудовой жизни.

      Школа науки управления, или количественный метод базируется на использовании в управлении данных точных наук (математики, статистики, инженерных наук, кибернетики) и предполагает активное применение моделирования, вычислительной техники. Применение моделей существенно упрощает рассмотрение сложных управленческих задач, позволяет сократить число переменных, подлежащих учету, до управляемого количества. Реализация преимуществ количественных измерений (количественного подхода) обеспечивает возможность сравнения, анализа и прогнозирования поведения модели. Отличительными особенностями науки управления социальными системами являются: использование научного метода, системная ориентация, моделирование. Научный метод предполагает использование наблюдения, формулирования гипотезы и верификации (подтверждения гипотезы). Системная ориентация обеспечивает возможность рассматривать организацию как открытую систему. Моделирование позволяет принимать объективные управленческие решения при использовании создаваемых для этих целей моделей.

     Отдельные идеи данного метода востребованы для решения задач управления образовательными системами: применение в управлении современных информационных средств и технологий, принятие управленческих решений только на основании результатов количественных измерений.

        Еще один подход, разработчики которого внесли большой вклад в теорию управления, получил название ситуационного подхода. Сущность этого подхода заключается в том, что самым эффективным является тот метод управления, который более всего соответствует сложившейся ситуации, поскольку ситуация, т.е. конкретные обстоятельства, оказывают значительное влияние на организацию в данное конкретное время. Ситуационный подход не является простым набором предписываемых рекомендаций, это способ мышления относительно организационных проблем и их решений. Используя его, руководители могут лучше понять, какие приемы в большей степени способствуют достижению целей организации в конкретной ситуации.

      Применение теории систем в управлении в конце 1950-х гг. явилось важнейшим вкладом школы науки управления и, в частности, американского ученого Дж. Пола Гетти. Согласно данной теории, система – это некоторая целостность, состоящая из взаимозависимых частей, каждая из которых вносит свой вклад в характеристики целого. При системном подходе организация рассматривается как совокупность взаимозависимых элементов, таких, как люди, структура, задачи и технология, которые ориентированы на достижение различных целей в условиях изменяющейся внешней среды.

       Под воздействием системного подхода происходило формирование программно-целевого подхода (программный подход, целевое управление), содержащего три основные процедуры: определение целей и их упорядочение в соответствующей иерархической системе («дерево целей»); выработку комплексных программ развития организационно-обособленных комплексов социальной деятельности; формирование специфических организационных структур.

        В настоящее время широко применяется процессный подход. Он был впервые предложен представителями школы административного управления, которые пытались описать функции менеджера. Согласно этому подходу, управление рассматривается как процесс непрерывных, взаимосвязанных действий (функций), каждое из которых, в свою очередь, также состоит из нескольких взаимосвязанных действий. Они объединены процессами коммуникации и принятия решений. При этом руководство рассматривается как самостоятельная деятельность. Оно предполагает возможность такого влияния на работников, чтобы они работали в направлении достижения целей.

        В последнее время в управлении образованием получили развитие концепции управления по целям и по результатам.

        Суть целевого управления заключается в развертывании деятельности во имя достижения четко сформулированных целей, согласованных на различных уровнях образовательной системы и выработанных совместно с подчиненными решений о средствах их достижения. В данном случае цель, выполняя мотивационную, управляющую и системообразующую функции, становится главным критерием отбора содержания, методов, форм и средств осуществления образовательного процесса.

       В отличие от целевого управления, где основной акцент сделан на планировании деятельности согласно поставленной цели, в управлении по результатам внимание в большей степени акцентируется на состоянии реального процесса управления, мотивации и квалификации руководителей. Процесс прогнозирования результатов начинается с анализа миссии организации, влияния внешних и внутренних ситуационных факторов. Результаты, соответствующие устремлению организации, выражаются в виде определенных конечных целей, стратегий, к

,33лючевых результатов и промежуточных целей. В целом эта концепция реализует идеи процессуального подхода к управлению социальными системами.

        В настоящее время особенно интенсивно развивается подход, ориентированный на управление не только функционированием, но и развитием образовательного учреждения (Т.И. Шамова, М.М. Поташник, П.И. Третьяков и др.).

      Образовательные учреждения должны представлять собой единую систему, функционирующую с учетом индивидуально-типологических особенностей отдельно взятой личности, развивающейся в данной системе.

 

2.Понятие теории математического моделирования

 

       Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов, функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

        Теория математического моделирования обеспечивает выявление закономерностей протекания различных явлений окружающего мира или работы систем и устройств путем их математического описания и моделирования без проведения натурных испытаний. При этом используются положения и законы математики, описывающие моделируемые явления, системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

        Математическая модель (ММ) представляет собой формализованное описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств. Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природы реального объекта, так и от задач исследования.

        Математическое моделирование общественных, экономических, биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных и аэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т.д.

      Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужны суперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовке данных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случае математическое моделирование сложных систем и устройств не только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и может устранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами.

       Между тем математическое моделирование на уровне решения более простых задач, например, из области механики, электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.

      Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою очередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы. Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятности возможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, в теории игр; либо она может представлять реальные переменные параметры взаимосвязанных частей действующей системы.

       Математическое моделирование для исследования характеристик систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В свою очередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

        Для аналитического моделирования характерно, что процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений) . Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не  удается найти решение уравнений  в общем виде и их решают  для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при  отсутствии решения находят некоторые  его свойства.

     Аналитические модели удается получить только для сравнительно простых систем. Для сложных систем часто возникают большие математические проблемы. Для применения аналитического метода идут на существенное упрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенной модели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитические модели математически верно отражают связь между входными и выходными переменными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннюю структуру объекта.

       При аналитическом моделировании его результаты представляются в виде аналитических выражений . Например, подключив -цепь к источнику постоянного напряжения ( и - компоненты данной модели), мы можем составить аналитическое выражение для временной зависимости напряжения на конденсаторе :

 

            Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и является аналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическое решение, при начальном условии , означающем разряженный конденсатор в момент начала моделирования, позволяет найти искомую зависимость – в виде формулы:

 

       Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилия для решения ДУ или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютерной алгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачи моделирования линейной -цепи дает аналитическое выражение достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любых номиналах компонентов и , и описывает экспоненциальный заряд конденсатора через резистор от источника постоянного напряжения .

       Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическом моделировании оказывается исключительно ценным для выявления общих теоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств. Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий на модель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающих моделируемый объект. Можно получить более или менее обозримые результаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но уже при большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерно громоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простой электронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем не менее, многие современные СКМ, например, системы символьной математики Maple, Mathematica или среда MATLAB (глава 7), способны в значительной мере автоматизировать решение сложных задач аналитического моделирования.

          Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование , которое заключается в получении необходимых количественных данных о поведении систем или устройств каким-либо подходящим численным методом, таким как методы Эйлера или Рунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройств с использованием численных методов оказывается намного более эффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейных цепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ или систем ДУ в более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но по данным численного моделирования можно получить достаточно полные данные о поведении моделируемых систем и устройств, а

также построить графики  описывающих это поведение зависимостей.

 

Имитационное  моделирование

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени [42].

Основным преимуществом  имитационных моделей по сравнению  с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных или непрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействия и др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектирования сложных систем. Основным средством реализации имитационного моделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровое моделирование систем и сигналов.

        В связи с этим определим словосочетание «компьютерное моделирование», которое все чаще используется в литературе. Будем полагать, что компьютерное моделирование - это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники. Соответственно, технология компьютерного моделирования предполагает выполнение следующих действий :

1) определение цели моделирования; 

2) разработка концептуальной  модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация  модели;

5) планирование модельных  экспериментов; 

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация  результатов моделирования. 

       Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования (и даже наоборот - их результат определяет выбор метода). А вот реализация остальных пяти этапов существенно различается для аналитического и имитационного моделирования.

         При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды. Примером простейшей аналитической модели может служить уравнение прямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процесса с помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдение за изменением пройденного пути с течением времени.

           Очевидно, в одних случаях более предпочтительным является аналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того и другого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

      С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса  могут быть получены в ходе выполнения двух первых этапов моделирования.

       Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуре соответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явное соответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами, протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделирования является большое время решения задачи для получения хорошей точности.

      Результаты имитационного моделирования работы стохастической системы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтому для нахождения характеристик системы требуется многократное повторение и последующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяется разновидность имитационного моделирования - статистическое моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделях случайных факторов, событий, величин, процессов, полей . По результатам статистического моделирования определяют оценки вероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующих функционирование и эффективность управляемой системы. Статистическое моделирование широко применяется для решения научных и прикладных задач в различных областях науки и техники. Методы статистического моделирования широко применяются при исследовании сложных динамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

       Заключительный этап статистического моделирования основан на математической обработке полученных результатов. Здесь используют методы математической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание, проверку гипотез) . Примером параметрической оценки является выборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрических методов большое распространение получил метод гистограмм.

       Рассмотренная схема основана на многократных статистических испытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин. Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальной по затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто за счет использования более точных методов оценивания. Как известно из математической статистики, наибольшую точность при заданном объеме выборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и метод максимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.

         В задачах статистического моделирования обработка реализаций случайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов. Весьма важен также и контроль характеристик входных случайных воздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределений генерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача часто формулируется как задача проверки гипотез.

          Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложных управляемых систем является стремление к уменьшению времени моделирования, а также проведение исследований в реальном масштабе времени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентной форме, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации

 

 Принципы системного  подхода в моделировании

           Основные положения теории систем возникли в ходе исследования динамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместно с целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяет определить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи, обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощью  гипотез, а обнаруживаются экспериментальным  путем. Для того чтобы начать построение системы, необходимо иметь общие  характеристики технологических процессов. Это же справедливо и в отношении  принципов создания математически  сформулированных критериев, которым  должен удовлетворять процесс или  его теоретическое описание. Моделирование  является одним из наиболее важных методов научного исследования и  экспериментирования.

             При построении моделей объектов используется системный подход, представляющий собой методологию решения сложных задач, в основе которой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующей в некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостности объекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связей с внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира, которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построения модели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель проектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающей средой.

          Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является  функционально независимой частью  объекта. Она связана с другими  подсистемами, обменивается с ними  информацией и энергией;

2) для каждой подсистемы  могут быть определены функции  или свойства, не совпадающие  со свойствами всей системы; 

3) каждая из подсистем  может быть подвергнута дальнейшему  делению до уровня элементов. 

           В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня, дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

            Таким образом, систему можно определить как представление объекта в виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания, исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представление системы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними, называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строения системы до уровня элементов – микроструктурой.

         Наряду с системой обычно существует надсистема – система более высокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причём функция любой системы может быть определена только через надсистему. Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира, существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но не входящих в состав системы и ее надсистемы.

        В связи с системным подходом к построению моделей используется понятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ее окружением (средой).

        При этом выделение, описание и исследование свойств объекта, существенных в рамках конкретной задачи называется стратификацией объекта, а всякая модель объекта является его стратифицированным описанием.

         Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный и функциональный подходы к моделированию.

       При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системы и их связи с помощью графов.

      Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваются отдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуется функциональный подход, определяющий функции, которые выполняет система.