Содержание

     Введение

     Глава 1. Понятие производной

     1.1. Определение производной

     1.2 Геометрический и физический смысл производной

     1.2 Правила дифференциации 

     Глава 2. Применение понятия производной  в экономике

     2.1 Предельная себестоимость

     2.2 Оптимизация налогообложение предприятий

     2.3 Эластичность спроса

     2.4 Максимизация производства

     2.5 Закон убывающей эффективности  производства

     Заключение

     Список  использованной литературы

     Примечание

 

     Введение

     Понятие производной является одним из основных понятий математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития.

     С  XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников.

     Первый  в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

     Появление анализа бесконечно малых революционизировало  всю математику, превратив ее в  математику переменных величин.

     Актуальной  данной работы заключается в том, что математические дисциплины, составляющие основу современной математики и  инструментария экономических исследований, способствую формированию мышления достойного уровня и высокой культуры, широкого кругозора. Эти качества необходимы как для успешной работы, так и  для усовершенствования знаний и  повышение квалификаций.

     Целью данной работы  - применение производной  в экономике. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

• выявить понятие производных
• изучить геометрический и физический смысл производных и правила дифференциации
• рассмотреть предельную себестоимость продукции
• познакомится с определением эластичностью спроса, оптимизацией налогообложения, максимизации производства и законом убывающей эффективности производства.

     Глава 1. Понятие производной

     1.1 Определение производной

     Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

     

     Общепринятые  обозначения производной функции  y = f(x) в точке x₀:

     

     Дифференцируемость

     Производная f'(x₀) функции f в точке x₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

     

     Для дифференцируемой в x₀ функции f в окрестности U(x₀) справедливо представление

     f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀) + o(x − x₀) при

     Замечания

• Назовём Δx = x − x₀ приращением аргумента функции, а Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) приращением значения функции в точке x₀. Тогда

     

• Пусть функция  имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

     

• Функция, имеющая конечную производную в  точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:

1.2 Геометрический и  физический смысл  производной

Тангенс угла наклона касательной  прямой

 

Геометрический  смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло серая линия C). Расстояние Δx = x — x₀ устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Производные высших порядков

     Понятие производной произвольного порядка  задаётся рекуррентно. Полагаем

     Если  функция f дифференцируема в x₀, то производная первого порядка определяется соотношением

     Пусть теперь производная n-го порядка f⁽ⁿ⁾ определена в некоторой окрестности точки x₀ и дифференцируема. Тогда

     Производные высших порядков обозначаются символами:

     Когда n мало, используются штрихи, римские цифры или точки:

f⁽³⁾(x₀) = f'''(x₀) = f^III(x), и т. д.

Примеры

• Пусть f(x) = x². Тогда

• Пусть f(x) = | x | . Тогда если то

f'(x₀) = sgnx₀,

где sgn обозначает функцию знака. Если x₀ = 0, то а следовательно f'(x₀) не существует.

1.3 Правила дифференцирования

   Операция  нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя их определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.

• (f + g)' = f' + g' (производная суммы равна сумме производных)
• (отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу)
• Если функция задана параметрически:

, то 

     Глава 2. Применение понятия производной в экономике

     2.1 Предельная себестоимость

     Рассмотрим  зависимость C = f(Q) себестоимости С  произведенной продукции от ее объема Q. Предельная себестоимость характеризует отношение прироста себестоимости DC к приросту объема продукции DQ при малом изменении объема продукции.

      .

2.2 Оптимизация налогообложения  предприятий

     Пусть t  - налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с Q единиц продукции составит  T= tQ. В этом случае функция прибыли будет иметь вид:

     П(Q)= R (Q)-С(Q) Q- t Q.

     Возникает вопрос: каким должен быть налог t , чтобы величина суммарного налога T  со всей продукции была наибольшей?

     Рассмотрим  этот вопрос на примере: пусть R (Q)=16 Q- Q²,

     а С (Q) = Q ² +1.

     Тогда функция прибыли имеет вид:

     П(Q)= 16Q-2 Q - t Q-1

     Предыдущей  задаче, условия максимума прибыли П′ (Q)=0, отсюда получаем значение Q, максимизурующего прибыль с учетом пока еще не известного налога t:

     Q _opt=4- t/4.

     Полученное  значение объема производства следует  подставить в величину суммарного налога  и в свою очередь найти при которых величина Т будет максимальной. Итак,

     Т= t Q= t( 4- t/4 ); Т′=0, тогда получаем, что t=8.

     Отсюда  следует, что Q _opt =2, и при этом значении максимальная величина прибыли составит П_мах=7, а оптимальный (с точки зрения налогового законодательства) сбора налога Т_орт=16.

     Интересно составить эти цифры со случаем  отсутствия налогообложения. При t=0 решение задачи _opt ′ t Qна максимизацию прибыли дает следующие результаты: Q _opt=4, П_мах=31. Следовательно, уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит к увеличению прибыли от ее реализации. Понятно, почему производители тратят массу усилий средств на снижение ставки налога

     2.3 Эластичность спроса 

     Пусть D=D(P) – функция спроса от цены товара Р. Под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1 %:

      .

     При непрерывной зависимости DD от DP удобно перейти к пределу при DP®0:

      .

     Эластичность  спроса можно представить в следующем  виде:

      .

     Из  этого равенства следует, что  эластичность спроса обладает свойствами логарифма:

      .

     Так как D(P) - убывающая функция, то . Из формулы (4.1) следует, что E(D)<0.

     Различают три вида спроса в зависимости  от величины ½E(D)½:

1. 1)  ½E(D)½>1  (E(D)< -1) – спрос эластичен;
2. 2)  ½E(D)½=1  (E(D)= -1) ) – спрос нейтрален;
3. 3)  ½E(D)½<1  (E(D)> -1) ) – спрос неэластичен.

     Найдем  изменение выручки с увеличением  цены товара при разных вариантах  эластичности спроса. Выручка  I  равна произведению цены товара P на величину спроса D:

     I(P)=D(P) P.

     Найдем  производную этой функции:

      .

     Выразим из формулы (4) и подставим в последнее равенство:

     

     Возможны  случаи:

1. 1)  если  E(D)< -1, то  <0  -  при эластичном спросе повышение цены товара ведет к снижению выручки;
2. 2)  если  E(D)= -1, то  =0  -  при нейтральном спросе изменение цены не влияет на выручку;
3. 3)  если  E(D)> -1, то  >0  -  при неэластичном спросе повышение цены товара приводит к росту выручки.

     2.4 Максимизация прибыли

     Пусть Q – количество реализованного товара, R(Q) – функция дохода, C(Q) – функция затрат на производство товара. Тогда прибыль от реализации товара выражается формулой

     П(Q) = R(Q) – C(Q).

     Чтобы прибыль была максимальной при некотором  значении Q, должен выполняться необходимый принцип экстремума . Следовательно,

      ,

     где   - предельный доход:

        - предельные издержки.

     Получено  известное микроэкономическое утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход  и предельные издержки были равны.

     2.5 Закон убывающей  эффективности производства

     Рассмотрим  функцию, выражающую зависимость объема произведенной продукции V от капитальных затрат К. Характерный вид этой функции дается уравнением

      ,

     где a, b, c –известные положительные числа, определяемые структурой производства, V_lim – предельно возможный объем выпускаемой продукции.

     Найдем  вторую производную данной функции.

           

     

     Определим критическую точку второй производной  из условия  .

     

     Точка К_кр  является точкой перегиба графика функции:

1. 1)     при К< К_кр  >0  - график вогнутый, увеличение капитальных затрат приводит к интенсивному росту выпуска продукции.
2. 2)     при К> К_кр  <0 - график выпуклый, прирост объема выпуска продукции снижается, эффективность увеличения капитальных затрат падает. 

     В стратегии капиталовложений важно  определить критический объем затрат, сверх которого дополнительные затраты  будут приводить ко все меньшей отдаче при имеющейся структуре организации производства. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Заключение

     Математика  успешно проникает  в другие науки, во многом это происходит благодаря  дифференциации. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразие мира.

     Эффективное использование математического  аппарата предполагает овладение необходимым  объемом базовых математических знаний. Математические теоремы  и  доказательства представляют собой  строгие логические рассуждения.  В этом смысле математика является более простой наукой, нежели другие, скажем науки об обществе: она не допускает множественного трактования, для опровержения какого-либо предположения здесь достаточно привести один противоречащий пример. Однако за этой простотой нельзя не видеть силы логических построений и умозаключений, позволяющих оттачивать методику исследований сложных процессов, протекающих в экономике и обществе.

     Понятие производной в экономике отвечает на многие важные экономические вопросы:

• предельные показатели в микроэкономике, такие как, например, эластичность спроса - помогает определить меру реакции величины спроса на данный товар или услугу, а предельная себестоимость
• оптимальный уровень налогообложения
• максимизация производства,  где необходимо выполнение условия: предельные издержки должны равняться предельному доходу
• закон убывающей эффективности производства гласит, что по мере того как объем производимых благ растет, пока издержки не будут превышать расходов производства и т.д.

 
 

     Список  использованной литературы