Принятие решений в условиях неопределенности в логистике распределения

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЛОГИСТИКЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

К задачам анализа  решений в условиях риска и  неопределённости в системах логистики  относят задачи, для которых из-за влияния внешних, не зависящих от лица, принимающего решения (ЛПР), случайных воздействий или факторов конечный экономический результат заранее не определён. При этом, если статистические данные, характеризующие такие возможные случайные воздействия (вероятности различных ситуаций, влияющих на экономический результат; законы распределения вероятностей для ожидаемых доходов или издержек и т.п.), известны, то в таком случае говорят о принятии решений в условиях риска. Если необходимые для принятия решений статистические данные отсутствуют (или имеется недоверие к таким данным, а, следовательно, и недоверие к рекомендациям, которые будут получены на их основе), то задачи указанного типа относят к задачам анализа решений в условиях неопределённости.

При оптимизации систем логистики и оптимизации звеньев  цепей поставок можно использовать различные группы критериев принятия решений в условиях неопределенности. Это, в частности, - классические, производные и составные критерии. К классическим критериям относят следующие:

• максиминный критерий;
• оптимистический критерий;
• нейтральный критерий;
• критерий Сэвиджа.

1. Максиминный критерий (ММ-критерий или критерий Вальда)

Этот критерий характеризуется  крайней осторожной или, как говорят, крайней пессимистической позицией отношения ЛПР к неопределённости экономического результата. В рамках такого подхода при сравнении альтернативных решений за основу принимаются их соответствующие самые неблагоприятные результаты для возможных ситуаций развития "внешних" событий, не зависящих от ЛПР при анализируемом решении. Выбирается (в качестве оптимального) решение, применительно к которому такой самый неблагоприятный результат (для перечисленных возможных ситуаций развития "внешних" событий) будет наилучшим.

Формальные процедуры выбора решения - следующие. К матрице полезностей  дописывается дополнительный столбец. Его элементы определяются как самые плохие (наименьшие) возможные конечные экономические результаты при соответствующем решении (по строкам матрицы). Затем из всех элементов такого дополнительного столбца находится самый лучший (наибольший). По этому элементу и определяют оптимальное решение: им будет решение соответствующей строки матрицы полезностей.

2. Оптимистический критерий (или  H-критерий)

Этот критерий характеризуется  крайней оптимистической позицией отношения ЛПР к неопределённости экономического результата, т.е. позицией "азартного игрока", уверенного в том, что ему должно повезти, и поэтому склонного к самым рискованным выборам. В рамках такого подхода при сравнении альтернативных решений за основу принимаются их самые благоприятные результаты среди возможных ситуаций для "внешних" событий, не зависящих от ЛПР. Выбирается решение, применительно к которому такой самый благоприятный результат (для возможных ситуаций развития "внешних" событий) будет наибольшим.

Представим формальные процедуры выбора решения по этому критерию. К матрице полезностей дописывается дополнительный столбец. Его элементы определяются как самые лучшие (наибольшие) возможные конечные экономические результаты при соответствующем решении (по строкам матрицы). Затем из всех элементов такого дополнительного столбца находится самый лучший (наибольший). По такому элементу и определяют оптимальное решение: им будет решение соответствующей строки матрицы полезностей.

3. Нейтральный критерий (N-критерий)

Этот критерий характеризуется нейтральной или средневзвешенной позицией отношения ЛПР к возможным значениям конечного экономического результата при случайных ситуациях, описываемых полной группой событий. При этом "веса" для учета соответствующих результатов принимаются ЛПР равными между собой (т.е. равными 1/n). в рамках такого подхода при сравнении альтернативных решений за основу принимается среднее арифметическое значение доходов по всем возможным ситуациям, не зависящим от ЛПР при каждом анализируемом решении. Выбирается такая альтернатива, применительно к которой «средний ожидаемый» или «средневзвешенный» результат (с учетом возможных сценариев развития внешних событий по строке матрицы) будет наибольшим.

Формальные процедуры выбора решения - следующие. К матрице полезностей  дописывается дополнительный столбец. Его элементы определяются как «средневзвешенные» конечные экономические результаты для каждого решения (по строкам матрицы). При гипотезе о равных вероятностях для случайных событий полной группы это соответствует средним ожидаемым экономическим результатам для анализируемых решений. Они («средневзвешенные» показатели) заносятся в дополнительный столбец. Затем из всех элементов такого дополнительного столбца находится самый лучший (наибольший). По этому элементу и определяют оптимальный выбор: им будет альтернативное решение соответствующей строки матрицы полезностей.

4. Критерий Сэвиджа  (S-критерий)

Этот критерий характеризуется  крайней осторожной (пессимистической) позицией отношения ЛПР к возможным потерям из-за отсутствия достоверных сведений о том, какая из ситуаций, влияющих на экономический результат, будет иметь место в конкретном случае. При S-критерии указанная крайне осторожная позиция ЛПР (аналогичная позиции ММ-критерия) реализуется применительно к матрице рисков или потерь (а не применительно к матрице полезностей, как это имеет место в рамках ММ-критерия). А именно, свой выбор ЛПР реализует на основе анализа матрицы потерь (обозначим её далее через L), которая строится по матрице полезностей следующим образом.

Сначала определяется условное решение Х_i, которое соответствует утопической точке (утопическому решению) в поле полезностей. А именно: это - дополнительный вектор-строка, для которого элемент a_ij конечного результата, соответствующий ситуации Qj (j = 1, n), определяется как максимально возможный доход в этой ситуации по всем анализируемым решениям. Подчеркнем, что доходы, соответствующие этому утопическому решению, можно было бы реализовать, но только в том случае, если иметь информацию о том, какое событие (из всех событий полной группы, влияющих на экономический результат) наступит. Далее, анализируя полученную матрицу потерь L при сравнении альтернативных решений, за основу принимаются их соответствующие самые неблагоприятные результаты для возможных потерь при различных ситуациях развития событий, не зависящих от ЛПР. Выбирается решение, применительно к которому такой самый неблагоприятный результат (для возможных ситуаций развития "внешних" событий) будет наиболее приемлемым.

5. Модификация максиминного критерия: привязка выбора к утопической точке (MM_mod(y_T) -критерий)

Рассматриваемый ниже критерий (обозначаемый через MM_mod(y_T) -критерий), как и представленные выше ММ- и S - критерии, характеризуется также весьма осторожной или, как говорят, пессимистической позицией отношения ЛПР к неопределённости экономического результата. В рамках такого критерия при сравнении альтернативных решений за основу снова принимаются их соответствующие самые неблагоприятные результаты для возможных ситуаций развития "внешних" событий, не зависящих от ЛПР. Однако, в формате представляемого здесь подхода к оптимизации решения в условиях неопределенности соответствующие процедуры (напомним, их можно характеризовать словами «из всех зол выбирается наименьшее») реализуются применительно к специальным образом модифицированной матрице полезностей, а не просто к исходной матрице полезностей и тем более не применительно к матрице потерь Сэвиджа. Модификация, которая будет формализована ниже, предназначена только для того, чтобы линии уровня классического ММ-критерия «нацелить» на утопическую точку поля полезностей, причем, не используя матрицы потерь.

Интересующая нас модификация  матрицы полезностей в рамках рассматриваемого здесь подхода  подразумевает, что показатели конечного экономического результата приводятся к новой системе координат. Новая система координат выбирается так, чтобы координаты утопической точки поля полезностей были совпадающими между собой, т.е. равными применительно к любой координатной оси. Другими словами, центр начала системы координат соответствующего многомерного пространства переносится в такую точку, из которой УТ будет «видна» под одинаковым углом к любой координатной оси. Такой подход к модификации матрицы полезностей на формальном уровне означает следующее. К каждому элементу любого отдельного столбца матрицы полезностей добавляется одно и тоже число (зависящее от столбца), причем такое, чтобы максимальный элемент такого столбца после указанной процедуры стал равным наибольшей координате УТ в исходной матрице полезностей. После такой модификации матрицы полезностей для принятия решения реализуются указанные выше процедуры классического ММ-критерия.

Пример

Для иллюстрации методов  оптимизации решений в условиях неопределенности рассмотрим упрощенную модель задачи, связанной с оптимизацией выбора способа доставки товара. Пусть некоторая фирма, располагающая свободным капиталом, например, в объеме 800 000$, рассматривает возможность участия в следующей сделке или проекте. Некоторая партия товара (объем партии не подлежит изменению) может быть куплена за 500 000$ и оптово продана за 560 000$. Неопределенность экономического результата связана только с необходимостью доставки товара.

Анализируются следующие  способы доставки:

• Авиатранспорт: стоимость составляет 22 000$, включая страховку по цене приобретения (вероятность авиакатастрофы, по мнению ЛПР, составляет 0,001, но доверия к этому показателю нет, т.е. необходимо реализовать процедуры оптимизации решения в условиях неопределенности);
• Автотранспорт: стоимость составляет 8 000$, неопределенность обусловлена только возможностью ограбления (вероятность нападения с целью ограбления, по мнению ЛПР, составляет 0,1, но как и в предыдущем случае, доверия к этому показателю нет, т.е. необходимо реализовать процедуры оптимизации решения в условиях неопределенности).

Приведем дополнительные возможности на рынке услуг, которые  требуется учесть в рамках анализируемой  модели задачи принятия решений в условиях неопределенности.

1. Объявить страховку. Известно, что отношение страхового возмещения к цене страхового полиса составляет 40:1. При этом ЛПР предлагает рассмотреть только два варианта объявления страховки: по цене приобретения и по цене реализации.
2. Нанять охрану. Стоимость составляет 7 000$. Известно, что в 10% случаях наличие охраны не помогает (доверия к этому показателю также нет). Кроме того, ЛПР не будет использовать охрану, если оформляется страховой контракт.

Дополнительно отметим, что при формализации модели известно, что депозитная ставка на период реализации проекта составляет 2%.

ТРЕБУЕТСЯ: найти наилучшее решение, формализовав и решив эту задачу как задачу принятия решений в условиях неопределенности (т.е. в условиях недоверия к предоставленным статистическим данным), - в частности, реализовать следующие процедуры.

1. Составить весь перечень ситуаций, которые влияют на экономические результаты решений, которые необходимо анализировать.
2. Составить перечень анализируемых альтернативных решений.
3. Составить матрицу полезностей.
4. Найти наилучшее решение в рамках каждого из рассмотренных выше соответствующих классических критериев принятия решений в условиях полной неопределенности: ММ-критерий; H-критерий; N-критерий и S-критерий. Кроме того, представить процедуры оптимизации по модифицированному ММ_mod(УТ) -критерию.

ЗАМЕЧАНИЕ. Атрибуты задачи не претендуют на общность. Они упрощены для удобства иллюстрации представленных выше подходов к оптимизации логистических систем в условиях неопределенности.

Решение.

ЭТАПЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ МОДЕЛИ

1. Составим весь перечень ситуаций, влияющих на экономические результаты решений, которые требуется анализировать. Предварительно отметим следующее. В ситуации с охраной, когда груз доставляется автотранспортом, нападение с целью ограбления может привести или не привести к потере груза. Это необходимо учесть в структуре матрицы полезностей. Поэтому далее для формализации модели удобно использовать следующую интерпретацию. Считаем, что нападающие могут принадлежать к одной из двух категорий: хорошо организованная группировка - соответственно груз будет потерян, несмотря на наличие охраны; недостаточно организованная группировка - соответственно при наличии охраны груз не будет потерян (при отсутствии охраны он будет потерян). Тогда интересующий нас перечень ситуаций можно синтезировать следующим образом:

Q₁ - {самолет, который мог бы доставлять товар, - долетел} х {машина, которая могла бы доставлять товар, - доезжает без нападения};

Q₂ - {самолет, который мог бы доставлять товар, - долетел} х {на машину, которая могла бы доставлять товар, - напали, но недостаточно организованная группировка};

Q₃ - {самолет, который мог бы доставлять товар, - долетел} х {на машину, которая могла бы доставлять товар, -напали, причем хорошо организованная группировка};

Q₄ - {самолет, который мог бы доставлять товар, - не долетел} х {машина, - которая могла бы доставлять товар, - доезжает без нападения};

Q_s - {самолет, который мог бы доставлять товар, - не долетел} х {на машину, которая могла бы доставлять товар, - напали, но недостаточно организованная группировка};

Q₆ - {самолет, который мог бы доставлять товар, - не долетел} х {на машину, которая могла бы доставлять товар, - напали хорошо организованная группировка}.

2. Составим перечень анализируемых альтернативных решений в формате этой задачи оптимизации в условиях неопределенности с учетом требований ЛПР:

Х₀ - отказаться от участия в сделке и положить деньги на депозит;

Х₁ - вступить в сделку, причем груз доставлять авиатранспортом;

Х₂ - вступить в сделку, причем груз доставлять автотранспортом без использования указанных дополнительных услуг (т.е. без охраны и без объявления страховки);

Х₃ - вступить с сделку, причем груз доставлять автотранспортом, объявляя страховку - по цене приобретения;

Х₄ - вступить в сделку, причем груз доставлять автотранспортом, объявляя страховку - по цене реализации;

Х₅ - вступить в сделку, причем груз доставлять автотранспортом и дополнительно воспользоваться - только услугами охраны

(подчеркнем, что, вообще  говоря, возможны и другие решения,  но в соответствии с условием  далее учитываем, что ЛПР желает рассмотреть именно указанные здесь альтернативы).

3. Для поставленной задачи оптимизации в условиях неопределенности составим соответствующую матрицу полезностей. Для ее атрибутов уже имеем:

• {Q_]; Q₂; Q₃; Q₄; Q_S; Q₆} - перечень возможных ситуаций, влияющих на конечный экономический результат предложения / проекта и образующих соответствующую полую группу случайных событий.

• {Х₀; Х₁; Х₂; Х₃; Х₄; Х₅} - перечень альтернативных решений, которые ЛПР требует анализировать в рамках рассматриваемого предложения / проекта.

Для формализации матрицы  полезностей оценим соответствующие  показатели конечного экономического результата (дохода) в формате анализируемых  решений при указанных выше конкретных внешних ситуациях.

Решение Хо при ситуациях Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅, Q₆:

800.000*(1+0,02)=816.000

Решение Х_] при ситуациях Q_], Q₂, Q₃:

(800.000-500.000-22.000)*1,02+560.000 = 843.560

Решение Х₁ при ситуациях Q₄, Q_s, Q₆:

(800.000-500.000-22.000)*1,02+500.000 = 783.560

Решение Х₂ при ситуациях Q₁, Q₄:

(800.000-500.000-8.000)*1,02+560.000 = 857.840

Решение Х₂ при ситуациях Q₂, Q₃, Q_s, Q₆:

(800.000-500.000-8.000)*1,02 = 297.840

Решение Х₃ при ситуациях Q₁, Q₄:

(800.000-500.000-8.000-12.500)*1,02+560.000 = 845.090

Решение Х₃ при ситуациях Q₂, Q₃, Q_s, Q₆:

(800.000-500.000-8.000-12.500)*1,02+500.000 = 785.090

Решение Х4 при ситуациях Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅, Q₆:

(800.000-500.000-8.000-14.000)*1,02+560.000 = 843.560

Решение Х₅ при ситуациях Q₁, Q₂, Q₄, Q_s:

(800.000-500.000-8.000-7.000)*1,02+560.000 = 850.700

Решение Х₅ при ситуациях Q₃, Q₆:

(800.000-500.000-8.000-7.000)*1,02 = 290.700

Таким образом, матрица  полезностей в рамках рассматриваемого здесь условного примера имеет вид, представленный в таблице 10.

Таблица 10

ЭТАП ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Найдем наилучшее решение  применительно к каждому из представленных в этой главе критериев принятия решений в условиях неопределенности.

ММ-критерий:

, где

Необходимые процедуры выбора наилучшего решения представлены в таблице 11.

Таблица 11

В дополнительном столбце  матрицы выделено наилучшее значение показателя К_i для ММ-критерия. Таким образом, в рамках классического ММ-критерия (критерий пессимизма) для данной задачи принятия решений в условиях неопределенности в качестве оптимального будет выбрано решение Х₄. Конечный гарантированный результат дохода составит 843,56 тыс. у.е. Подчеркнем, что при этом ранжирование анализируемых альтернатив (в порядке убывания предпочтения) оказывается следующим:

^Х4, ^Х0, ^Х5, ^Х3, ^Х2, ^Х1.

Отметим, дополнительно, что применительно к рассматриваемому примеру оказалось, что наилучший показатель ММ-критерия достигается именно на одном из анализируемых альтернативных решений. Соответственно, реализация процедур идентификации оптимального решения не требуется. Кроме того, подчеркнем, что указанный выше гарантированный доход (843,56 тыс. у.е.), в частности, реализуется также и в любой из ситуаций Q₁-Q₆.

Н-критерий:

, где

Соответствующие процедуры  выбора наилучшего решения представлены в таблице 12.

Таблица 12

В дополнительном столбце  матрицы выделено наилучшее значение показателя К_i для Н-критерия. В рамках классического Н-критерия (оптимизма) для данной задачи принятия решений в условиях неопределенности будет выбрано решение Х₂: «вступить в сделку, причем груз доставлять автотранспортом без охраны и без оформления страхового контракта для операций доставки». Естественно, такое решение ориентирует ЛПР на самый благоприятный исход применительно к доставке автотранспортом: события Q₁ и Q₄. Легко видеть, что только в этом случае можно получить соответствующий доход. При этом и ранжирование анализируемых альтернатив соответствует более оптимистической позиции:

X₂, Х₅, Х₃, Х₁ и Х₄, Х₀.

N-критерий:

, где

Соответствующие процедуры  выбора наилучшего решения представлены в таблице 13.

Таблица 13

В дополнительном столбце  матрицы выделено наилучшее значение показателя К_i для N-критерия. Таким образом, в рамках классического N-критерия (нейтрального критерия) для данной задачи принятия решений в условиях неопределенности будет выбрано именно решение Х₄: «вступить в сделку, причем товар доставлять автотранспортом с объявлением страховки по цене реализации». При этом ранжирование анализируемых альтернатив более соответствует осторожной позиции ЛПР (хотя и отличается от всех предыдущих):

X₄, Х₀, Х₃, Х₅, Х₁, Х₂.

Если, априори считать, что все события полной группы случайных событий Q₁-Q₆ равновозможны (имеют одинаковые вероятности), то указанное решение обеспечит самый большой ожидаемый доход в среднем на одну сделку. Обратим внимание на то, что значение целевой функции критерия, как раз, и указывает на величину такого среднего ожидаемого дохода.