Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Принятие решений в условиях риска

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет

при Правительстве Российской Федерации»

(Финансовый университет)

Кафедра

«Математическое моделирование экономических процессов»

Реферат

по дисциплине «Теория игр»

на тему:

«Принятие решений в условиях риска»

Выполнила:

Студентка группы ФК2-5

Афенкина Е.М.

Научный руководитель:

Ященко Н. А.

Москва 2012

Cодержание работы:

Введение...............................................................................................................3

Принятие решения в условиях риска......................................................5
Критерий ожидаемого значения..............................................................6
Показатель риска. Ожидаемое значение и дисперсия.................................................................................................12

Заключение.........................................................................................................19

Список используемой литературы...................................................................20

Введение

Риск - это деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели.

При разработке решений часть условий всегда неопределенна, поэтому практически все решения принимаются в условиях риска. «Неопределенными» могут быть как условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции. Кроме того, риск в той или другой степени может относиться также к целям (задачам) операции, успех которой не всегда может быть исчерпывающим образом охарактеризован одним единственным числом – показателем эффективности.

Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях неопределенности. В некоторых наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение.

Одним из наиболее ярких примеров расчетно-аналитических методов оценки рисков служит использование теории игр. Целью игры является выбор стратегии, соответствующей точке равновесия. Стратегия равновесия - это стратегия надежности. В теории игр, однако, вполне разумным является также выбор стратегии, отличающейся от равновесной и связанной с определенным риском. Это говорит о том, что в условиях сложной ситуации всегда полезно представить варианты решения и их возможные последствия в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее грубым, а риск минимальным".

В теории игр предполагается, что среди "игроков" имеется хотя бы один, который действует сознательно и целенаправленно, остальные же могут руководствоваться случайным выбором, но и в этом случае считается, что свою стратегию они "выбирают" независимо от других участников игры.

В своей работе я бы хотела рассмотреть применение теории игр в анализе риска и доказать эффективность решения экономических задач с помощью теории игр в условиях неопределённости.

Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска характеризуется тем, что некоторый происходящие факторы имеет случайный характер (например, природные). Это проявляется в том, что существует некоторая вероятностная мера, в соответствии с которой возникают (наступают) те или иные состояния природы. При этом лицо принимающее решение имеет определённую информацию о вероятностях появления состояний среды, которая по своему характеру может быть весьма разнообразна. Например, имеется три состояния среды B₁, B₂ и B₃, то дополнительная информация о появлении этих состояний может заключаться в том, что состояние B₁ наименее вероятно, а состояние B₃ более вероятно.

Следовательно, принятие решений в условиях риска предполагает, кроме задания функции реализации, задание некоторой дополнительной информации о вероятностях состояния среды. Если множество состояний природы B конечно (число состояний равно m), то вероятностная мера на нём может быть задана вероятностным вектором q=(q₁, q₂, …, q_m), где qj ≥ 0 и .¹

Таким образом, матрица выигрышей в условиях риска может быть представлена в следующем виде (таблицу 1).

Таблица 1.

Платёжная матрица с вероятностным вектором состояния среды

Решения	Состояния среды
	q₁	…	q_j	…	q_m
	B₁	…	B_j		B_m
X₁	a₁₁		a_1j		a_1m
…
Xi	a_i1		a_ij		a_im
…
Xn	a_n1		a_nj		a_nm

Выбирая решение Xi, игрок знает, что получит один из выигрышей a₁₁, …, a_1m с вероятностями q₁, …, q_m соответственно. Следовательно, исходом для принимающего решение при выборе им решения Xi является случайная величина

Итак, сравнение двух решений X₁ и X₂ сводится к сравнению соответствующих им случайных величин ..

Выбор оптимального решения обычно основывается на одном из следующих критериев:

1) критерий Байеса-Лапласа – ожидаемого значения (прибыли или расходов);

2) комбинации ожидаемого значения и дисперсии;²

Критерий ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа)

Использование критерия Байеса-Лапласа ( или критерий "ожидаемого среднего значения") обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы.

Математически это выглядит так: пусть ξ – случайная величина с математическим ожиданием Mξ и дисперсией Dξ. Если x₁, x₂,..., x_n – значения случайной величины (с.в.) ξ, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений

имеет дисперсию . Таким образом, когда n→

→0 и →Mξ. ³

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия "ожидаемое значение" справедливо только в случае, когда одно и то же решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Прежде чем перейти к модификации критерия Байеса-Лапласа рассмотрим данный критерий подробнее.

Известно, что естественной числовой характеристикой случайной величины ξ является её математическое ожидание Mξ, к которому приближается среднее значение этой случайной величины при большом количестве испытаний.

Если у человека, выступающего против природы, есть статистические данные о закономерностях в конкретных проявлениях природы, то задача легко может быть решена вероятностными методами.

Таким образом, если вероятности состояний природы известны и не изменяются со временем (стационарны), то оптимальным следует считать решение, максимизирующее ожидаемый выигрыш (которое даёт наибольшее математическое ожидание выигрыша против известной стратегии природы – состояния или условия).

Рассмотрим такой пример:

Фирма купила станок за 100 денежных единиц. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования – в 40 ед. Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трёх раз: вероятность того, что станок не сломается – 0.3; сломается 1 раз – 0.4; сломается 2 раза – 0.2; сломается 3 раза – 0.1. Определите целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.⁴

Мы видим, что первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать (X₁) и не покупать (X₂) специализированное ремонтное оборудование. У второго игрока (у природы) – четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задаётся платёжной матрицей (таблицу А):

Таблица А

Решения	Выход станка из строя
	B₁, ни разу	B₂,1 раз	B₃,2 раза	B₄,3 раза
X₁, не купить	-100	-140	-180	-220
X₂, купить	-150	-160	-170	-180

Решение: 1) Рассмотрим эту задачу как антагонистическую игру. В матрице методом минимакса находим седловую точку: (X₂, B₄), таким образом, цена игры V= - 180 денежных единиц (таблицу B):

Таблица B

Решения	Выход станка из строя
Решения	B₁, ни разу	B₂, 1 раз	B₃, 2 раза	B₄, 3 раза	α_i
X₁, не купить	-100	-140	-180	-220	-220
X₂, купить	-150	-160	-170	-180	-180
βj	-100	-140	-170	-180

По итогу проведённых действий мы видим, что есть необходимость в приобретение специализированного оборудования.

Стоит обратить внимание, что в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: q= (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа.

Если же человек – первый игрок – будет продолжать играть оптимально, то его выигрыш составит M=-150×0.3-160×0.4-170×0.2-180×0.1= -161, а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит M=-100×0.3 - 140×0.4 - 180×0.2 -220×0.1 = -144.

Таким образом, первому игроку выгодно играть не оптимально!

Таблица C

Решения	Выход станка из строя
	q₁=0.3	q₂=0.4	q₃=0.2	q₄=0.1	M
	B₁, ни разу	B₂,1 раз	B₃,2 раза	B₄,3 раза
X₁, не купить	-100	-140	-180	-220	-144
X₂, купить	-150	-160	-170	-180	-161

Данный вывод автоматически подводит нас к ответу, что покупка специализированного оборудование нецелесообразна.

В игре с природой ориентация на математическое ожидание выигрыша есть фактически ориентация на средний выигрыш, который получится при многократном повторении этой игры (при предположении, что условия игры не меняются). ⁵Разумеется, если игра в действительности многократно повторяется, то критерий среднего выигрыша (например, в экономических задачах – средней прибыли) можно считать оправданным.

Не обходимо проверить разумно ли ориентироваться на этот критерий при единичном испытании в следующем примере:

Фирма I может выставить на продажу один из товаров TI₁или TI₂, а фирма II – один из товаров TII₁, TII₂, TII₃. Товары TI₁ и TII₁ являются конкурирующими (например, кока-кола и черноголовка), а товары TI₁ и TII₃ дополнительными (например, кока-кола и гамбургеры); остальные товары нейтральны. Прибыль фирмы I зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется таблицей D. Известно, что фирма II выставляет на продажу товар TII₃ в три раза реже, чем TII₁ и в четыре раза реже, чем TII₂. Какой товар следует поставлять на продажу фирме I?⁶

Таблица D

Решения	Состояния среды
	q₁=3/8	q₂=4/8	q₃=1/8
	B₁	B₂	B₃
X₁	8	18	40
X₂	18	15	14

Здесь решение выставить на продажу фирмой I товар TI₁, решение X₂ выставить на продажу фирмой I товар TI₂.

Вычислим математические ожидания для данной таблицы:

M=8×3/8+18×4/8+40×1/8=17, M=18×3/8+15×4/8+14×1/8=16. Оптимальной стратегией будет решение X₁, т.е. фирма I поставлять товар TI₁. Безусловно, выигрыш в 17 денежных единиц лучше, чем в 16. Однако при выборе решения X₁ мы получим не 17 денежных единиц, а один из выигрышей: 8, 18 или 40. При выборе решения X₂ мы получим не 16 денежных единиц, а один из выигрышей 18, 15 или 14. Составим таблицу, где указаны отклонения возможных выигрышей от их ожидаемых значений и вероятности этих отклонений.

Таблица E. Значения отклонений

Решения	q₁=3/8	q₂=4/8	q₃=1/8	Mξ
Решения	B₁	B₂	B₃	Mξ
X₁	-9	1	23	17
X₂	2	-1	-2	16

Из данной таблицы видно, что при равных ожидаемых выигрышах, по-разному ведут отклонения от ожидаемых выигрышей: для X₁ эти отклонения значительны, а для X₂ – сравнительно невелики.

На основе проведённого анализа можно сделать вывод, что в условиях риска критерий Байеса-Лапласа (ожидаемого среднего выигрыша) не является адекватным и должен быть изменён с учётом возможных отклонений случайной величины от её среднего значения.

Показатель риска. Ожидаемое значение и дисперсия.

В теории вероятностей в качестве меры отклонения случайной величины от её среднего значения обычно используют дисперсию Dξ или среднеквадратичное отклонение σ =. В задачах принятия решений в условиях риска среднеквадратичное отклонение σ рассматривается в качестве показателя риска, т.к. σ имеет такую же размерность, что и случайная величина ξ, известное нам как математическое ожидание Mξ.⁷

Таким образом, для принятия решения в условиях риска выбор альтернативы X_i приводит к случайной величине ξ_i, которая может быть охарактеризована парой показателей (Mξ, σ_i).

Далее необходимо приступить к построению адекватного критерия сравнения альтернатив, с помощью которого получается задача двухкритериальной оптимизации, где в качестве частных критериев выступают математическое ожидание Mξ (значение данного критерия нужно максимизировать) и среднеквадратичное отклонение σ (значение данного критерия нужно минимизировать).

Рассмотрим нахождение Парето-оптимальных решений для данной многокритериальной задачи. Предположим, что требуется выбрать одну оптимальное решение из множества допустимых решений, каждое из которых определяется парой показателей (Mξ_i, σ_i). Изобразив на координатной плоскости точки с координатами (Mξ_i, σ_i), получим картинку типа изображённой на рис. 1, т.е. мы получили пространство оценок. Левая часть рисунка (красные точки) значения математического ожидания мы взяли положительными, а σ отрицательные значения, т.к. этот критерий (σ) мы должны минимизировать. Парето-оптимальными оценками является правая верхняя граница и соответственно Парето оптимальными решениями X₁, X₂, X₉ и X₇.

В данном примере множество Парето-оптимальных решений есть X₁, X₂, X₉, X₇ и окончательный выбор оптимального решения проводится из этого множества. Как было сказано выше, здесь есть два подхода: первый подход заключается в том, что строится множество Парето-оптимальных решений и из этого множества ЛПР выбирает единственное решение на основе неформальных дополнительных соображений. Рассмотрим второй подход на основе сужения множества Парето-оптимальных альтернатив.

Выбор главного критерия и назначение нижних границ по остальным критериям. Назначим нижнюю границу по критерию M и минимизировать критерий σ. В качестве нижней границы критерия M возьмём значение M₄ (рис. 1), то оптимальным будет решение X₂, так среди решений удовлетворяющих условию Mi ≥ M₄, она наименее рискованна. ⁸
Лексикографическая оптимизация предполагает упорядочение критериев по важности. Пусть, например, M – важнейший критерий. Так как максимальное значение по критерию M имеет единственное решение X₇, то оно и является оптимальным. ⁹Здесь наглядно проявляется недостаток метода лексикографической оптимизации: учёт одного (важнейшего) критерия. Этот недостаток связан с необходимостью введения жёсткого приоритета критериев и может быть снят за счёт ослабления "жёсткости" приоритетов. В этом случае используют метод последовательных уступок (метод смены цели), который был рассмотрен выше.

Например, в нашем случае в качестве уступки по критерию M величину Δ, указанную на рис. 1. Тогда результатом выбора на первом шаге будут альтернативы X₇, X₈, X₉. Среди них наилучшей по второму критерию будет X₉. Таким образом, несколько снизив требования по критерию M, мы значительно улучшили оценку по критерию σ (т.е. некоторое уменьшение ожидаемого выигрыша привело к существенному снижению риска).

Рис. 1. Пространство оценок

Рассмотрим применение обобщенного критерия для нашей задачи. Возьмём в качестве обобщённого критерия функцию вида:

f (M, σ)= M-λ × σ, (1)

где λ – некоторая постоянная величина. Фактически критерий (1) представляет аддитивный критерий оптимальности частных критериев M, σ с весовыми коэффициентами 1 и – λ. При λ>0 оценка случайной величины с помощью аддитивного критерия (1) меньше, чем её среднее значение¹⁰, что характерно для осторожного человека, т.е. человека не склонного к риску. Напротив, при λ<0 оценка (1) выше, чем среднее значение, что характеризует человека, склонного к риску. Наконец, при λ=0 оценка случайной величины совпадает с её средним значением (т.е. возможные отклонения случайной величины от её среднего значения игнорируются) – это характеризует человека, безразличного к риску.

Содержательный смысл аддитивного критерия (1) при λ>0 состоит в том, что увеличение критерия f(M, σ) может происходить как за счёт увеличения M, так и за счёт уменьшения σ. ¹¹Таким образом, для человека, не склонного к риску, критерий (1) отражает стремление к увеличению ожидаемого выигрыша и уменьшению риска отклонения от него. При этом показатель λ характеризует субъективное отношение принимающего решение к риску. Следовательно, λ можно рассматривать как субъективный показатель меры несклонности к риску , как субъективный показатель осторожности.

Выбор варианта производимого товара. Фирма может выпускать продукцию из следующих шести видов: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т) и (Ш). Глава фирмы должен принять решение, какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето – дождливым, жарким или умеренным, и определяется таблицей F. Выбор какого варианта производства будет оптимальным?

При отсутствии дополнительной информации о состояниях среды в условиях неопределённости, и её решение возможно при принятии какой-либо гипотезы о поведении среды. Если принимающий решение имеет информацию о вероятностях наступления дождливого, жаркого и умеренного лета, то указанная задача становится задачей принятия в условиях риска. В рассматриваемой случае необходимая информация может быть взята из статистических данных (наблюдений за погодой в данной местности). Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0.2, 0.5 и 0.3. Тогда получаем задачу принятия решения в условиях риска, заданную таблицей G.

Таблица F

Решения	Состояния среды
Решения	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Таблица G

Решения	Состояния среды
	0.2	0.5	0.3
	Д	Ж	У
З	80	60	40
К	70	40	80
П	70	50	60
С	50	50	70
Т	75	50	50
Ш	35	75	60

Найдём ожидаемые выигрыши, соответствующие решениям З, К, П, С, Т, Ш:

М_З=0.2×80+0.5×60+0.3×40=58,

М_к=0.2×70+0.5×40+0.3×80=58,

М_П=0.2×70+0.5×50+0.3×60=57,

М_С=0.2×50+0.5×50+0.3×70=56,

М_Т=0.2×75+0.5×50+0.3×50=55,

М_Ш=0.2×35+0.5×75+0.3×60=62.5.

Далее, определим дисперсии случайных величин ξ_З, ξ_К, ξ_П, ξ_С, ξ_Т, ξ_Ш:

Dξ_З= 196, Dξ_К = 336, Dξ_П= 61, Dξ_С = 84, Dξ_Т= 100, Dξ_Ш = 231.5.

Среднеквадратичные отклонения рассматриваемых случайных величин таковы:

σ_З=14.0, σ_К =18.3, σ_П=7.8, σ_С =9.2, σ_Т=10.0, σ_Ш =15.2.

Составим таблицу значений критериев M и σ для каждой альтернативы (таблица H).

Таблица H

Критерии Решения	M	σ
З	58	14.0
К	58	18.3
П	57	7.8
С	56	9.2
Т	55	10.0
Ш	62.5	15.2

Представим рассматриваемые решения точками на координатной плоскости переменных M и σ, получим рис. 2, из которого Парето-оптимальные решения З, П, Ш. Окончательный выбор оптимальной альтернативы должен производиться из этого множества.

Рис. 2

Сужение Парето-оптимального множества (в идеале – до одного элемента) может быть произведено только при наличии дополнительной информации о соотношении критериев M и σ. Как было замечено выше, это можно сделать методом главного критерия, методом последовательных уступок или с использованием лексикографического критерия.

Заключение

По окончанию данной работы хотелось бы сказать, что принятие решений в условиях риска не заканчивается только на определении критерия ожидаемого значения (критерий Байеса-Лапласа), на построении адекватного критерия сравнения альтернатив, с помощью которого получается задача двухкритериальной оптимизации, которая помогает нам узнать множество Парето-оптимальных решений, но ко всему этому существуют критерий произведения, критерий наиболее вероятного события в будущем и другие, которые дают наиболее точную информацию для участников игры в условиях риска, что помогает им выработать точные стратегии их действий с максимальной выгодой.

В заключении стоит отметить, что теории игр является, на мой взгляд, одним из самых эффективных способов проверить сегодня или спрогнозировать в будущем эффективность экономических стратегий в бизнесе до наступления тех или иных экономических условий, для которых эти стратегии разработаны, например кризис, появление нового конкурента на рынке, запуск новой продукции на производстве и т.д. Это означает, что с помощью составления задач в формате теории игр, картина действий многих предпринимателей позволяет им максимально быстро выявить те рискованные действия, которые принесут максимальную прибыль или минимальные убытки, что значительно сэкономит время и поможет заранее узнать какие плоды принесёт так или иная стратегия.

Принятие решений в условиях риска 📙 Реферат → 🆔 218607