Проблема определения предмета математики

УО “ПОЛОЦКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

КАФЕДРА СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН

РЕФЕРАТ ПО ФИЛОСОФИИ  И МЕТОДОЛОГИИ НАУКИ

Тема

“Проблема определения  предмета математики”

Магистрантки

Фамилия           Сальникова

Имя  Лидия  

Отчество  Петровны 

Кафедра вычислительных

систем и сетей

Новополоцк, 2013 

Содержание

Введение 3

1. Период зарождения математики 5

2. Предмет математики в период с VI в. до н. э. до XVI в. н. э 9

3. Эволюция математики в период с XVII в. до XX в. 15

4. Современные научные представления о предмете математики 19

Заключение 24

Список литературы 25

Введение

Еще с древних времен человеческое познание окружающего мира приобрело двустороннюю направленность. С одной стороны, стремление понять, из чего состоит все многообразие материальной действительности, выявить первичные мельчайшие элементы разнообразного мира вещей. С другой стороны, человек стремится понять мир как нечто целое, единое, объединенное в систему.

Любой объект, не зависимо от того созданный  природой или человеком, можно рассматривать как сложную систему, составленную из отдельных элементов, взаимодействующих между собой.

Математика представляет собой  значительную часть в общей сумме  человеческих знаний, и она приспособлена  к обслуживанию самых разнообразных  областей науки и практической деятельности людей. Однако вопрос о предметности математики не решен и по сей день.

Науки принято делить на естественные и гуманитарные. Следуя этой классификации, ответить на вопрос о предметности многих наук не составляет труда. Естественные науки (химия, физика, биология и другие) – разделы науки, отвечающие за изучение внешних по отношению к человеку природных явлений. Происхождение естественных наук связано с применением философского натурализма к научным исследованиям. Принципы натурализма требуют изучать и использовать законы природы, не привнося в них законы, вводимые человеком. Гуманитарные науки (история, филология, педагогика и другие) – дисциплины, изучающие человека в сфере его духовной, умственной, нравственной, культурной и общественной деятельности. Получается, что главным критерием, разделяющим науки на два больших (а ранее и вовсе непересекающихся) класса, является их предмет изучения.

Вполне закономерно  задать себе следующий вопрос: а  к какому классу наук относится математика? И так же логично предположить, что ответ на этот вопрос можно  получить лишь после осознания предмета математики.

С одной стороны, казалось бы, математика уж точно не изучает человека и его деятельность, а значит, и относить ее стоит к естественным наукам, но как же тогда принципы натурализма? Кант, к примеру, и вовсе отрицал, что математические построения отражают свойства объективной реальности, полагая, что геометрическое пространство реально вне нас не существует [1, с. 53]. Так, представление об отрезке дает туго натянутая нить, но при этом мы абстрагируемся от ее толщины, длины и считаем возможным мыслить ее неограниченно, продолженной в обе стороны – при этом получаем прямую. Однако в действительности же никто такую прямую «в глаза не видывал», «в руки не брал», «не переносил с одного места на другое» [2, с. 4].

Получается, что математику нельзя отнести ни к естественным наукам, ни к гуманитарным, поэтому ученые предложили выделять еще один класс наук – математические науки, однако вопрос о предметности математики это предложение не сняло, и по сей день он остается открытым.

Целью данной работы является рассмотреть, как ученые различных эпох, начиная от древности и до наших дней, давали определение математики как науки, и в контексте этого усмотреть их точку зрения на предмет математики.

Мы совершим экскурс  в историю развития математики и  философии, и проследим, как происходило  становление предмета математики. Как отмечает профессор О.И. Мельников с точки зрения взаимодействия непрерывной и дискретной математики, опираясь на периодизацию, сделанную академиком А.Н. Колмогоровым, историю математики можно разделить на четыре основных периода, причем начало каждого периода ознаменовалось выдающимися научными достижениями, определявшими переход математики в новое качественное состояние: 1) зарождение математики (до VI в. до н.э.); 2) элементарная математика (с VI в. до н.э. до XVI в. включительно); 3) математика переменных величин (с XVII в. до XX в.); 4) современная математика (с XX в. до настоящего времени) [3, с. 359-402].

1. Период зарождения математики

Ретроспективный взгляд на развитие философии и математики говорит о том, что обе науки  претерпевали различные этапы своего становления.

Период зарождения математики начался с древнейших времен и  закончился в VI в. до н.э. Это был период накопления фактического материала, тесно связанного с потребностями хозяйственной жизни – развитием ремесла, земледелия, обмена и торговли, исчислением податей, обеспечением войска продовольствием и оружием, измерением площадей земельных участков и объемов сосудов и т.д. Накопленные эмпирические знания подвергались систематизации, что привело к выделению особого вида понятий и методов решения задач, явившихся зачатками будущей математической науки.

Первоначальные представления человека о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. «Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений, - пишет голландский математик и историк Д. Стройк. - Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, произошло вступление в новый каменный век, в неолит» [4, с. 21]. Первобытный человек постепенно стал различать понятия единица и много, когда он обычно выхватывал один предмет из некоторого множества, как отмечал русский математик В.В. Бобынин [5, с. 57]. «По мнению профессора А.Н. Сендер, в течение тысячелетий возникали операции, которые в дальнейшем легли в основание математики. К таким операциям относятся: разделение целого на части, составление нового целого из частей, установление однозначного соответствия, простейшие парные отношения и т.д. В связи с необходимостью определять количество различных объектов появляются числа» [2, с. 5].

Наряду с появлением числа возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Но в то время единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела, например, палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома, появилась необходимость вырабатывать правила: как строить по прямой линии и под прямым углом. Так английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки. Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии.

«Человек неолита обладал  острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже – обработка  металлов, выработали представление о плоскостных и пространственных соотношениях… Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое значение» [4, с. 25-26].

На начальном этапе  становления математики, связанной с появлением числа – она носила дискретный характер. Но при решении многих практических задач, в которых приходилось проводить измерения длин, площадей, объемов происходило соприкосновение с непрерывными объектами: прямая линия, плоскость.

Говоря о восточной  математике, следует отметить, что она возникла, как прикладная наука, имевшая цель облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ.

Египтяне пользовались двумя системами письма: иероглифической (встречается на памятниках и могильных плитах), где каждый символ (пиктограмма) изображает какой-нибудь предмет, и иератической, где использовались условные знаки, происшедшие от иероглифов в результате упрощения и стилизации. Вторая система лучше приспособлена для письма от руки и чаще встречается на папирусах, которые являются основными источниками сведений о египетской математике. Самые известные среди таких папирусов – папирус Ринда, Московский папирус, Кожаный свиток египетской математики [14, с 84]. В папирусе Ринда приведены 84 задачи прикладного характера. Там имеются действия с дробями и вычисления площадей и объемов, задача на сумму геометрической прогрессии. В Московском папирусе содержатся решения 25 задач. Кроме задач, аналогичных задачам папируса Ринда, в нем есть задача на объем усеченной пирамиды с квадратным основанием и на площадь боковой поверхности полуцилиндра.

По утверждению китайского историка математики Ли Яня, математические познания китайцев восходят к XIV в. до и. э. В истории математики Древнего Китая имеются сведения о десятичной системе счета, об использовании вспомогательных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем, линейкой и угольником. Государственный деятель и ученый Чжан Цан собрал и систематизировал все известные в то время математические знания в собрании «Математика в девяти книгах». Состоит эта «Математика» из формулировок 246 задач, ответов к ним и правил решения типовых задач без выводов этих правил. Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае развивались элементы комбинаторики; был найден треугольник биномиальных коэффициентов. Попыток систематического дедуктивного построения математики в Древнем Китае не отмечено [14, с 93].

Самыми ранними памятниками математической культуры индийцев являются религиозные книги: Сутры и Веды. Их происхождение относят к VIII—VII вв. до н.э. В них описаны геометрические построения, первые способы вычисления площади круга. Европа заимствовала начала арифметики и алгебры у арабов (чем и объясняется название «арабские цифры»), а арабы, в свою очередь, заимствовали их у индийцев. Лаплас 200 лет назад писал: «Индия дала нам остроумный метод выражения всех чисел посредством десяти знаков, причем, кроме величины каждого знака, имеет значение и его расположение. Эта глубокая и важная мысль кажется нам сейчас настолько простой, что мы не замечаем ее истинных достоинств, но ведь сама ее простота и большая легкость, которую она придала всем вычислениям, делают нашу арифметику одним из самых полезных изобретений». Арифметика и вычислительные возможности интересовали индийцев несравненно больше, чем дедуктивные схемы рассуждений, и основной вклад они внесли именно в развитие арифметики и разработку практических приемов вычислений. Главной особенностью индийской математики является преобладание вычислительных приемов. Многие математические тексты написаны стихотворными размерами с целью, облегчить запоминание [14, c. 104].

Отличительной чертой всей математики Древнего Востока является отсутствие доказательств. Результаты предоставлялись сводом правил без обоснований их достоверности.

Как отмечают большинство  историков науки, появление математики как теоретической дисциплины можно  отнести к греческому периоду  ее развития, т.е. к VII – VI вв. до н.э. Д, Стройк пишет: «Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель – понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогала найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всех наук» [4, с. 54].

Появление математики как  систематической науки оказало  в свою очередь громадное влияние  на философское мышление, которое  оказалось в определенном смысле подчиненным математике. Познание того времени не выходило еще за рамки антропоморфного и мифологического объяснения природы. На фоне такого рода неустойчивых представлений математика появилась как знание особой природы, достоверность которого не вызывает никакого сомнения, исходные посылки которого ясны, а выводы совершенно непреложны.

«Неудивительно, что в  математике греки увидели не просто практически полезное средство, но, прежде всего, выражение глубинной  сущности мира, нечто связанное с  истинной и неизменной природой вещей. Они космологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом во всех подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашла свое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число».

Греческая философия  того времени ориентировалась на отыскание первоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить  все происходящее. Если Фалес таким  началом считал воду, Гераклит –  огонь, Анаксимандр – невидимые  частицы – апейроны, то для пифагорейцев именно числа играли роль такого начала, роль исходных сущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы. Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь как «подражание» числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии со свойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявление числовой гармонии» [6, с. 13-14].

У пифагорейцев философия  превратилась в мистику чисел  и геометрических фигур, убеждения в истинности некоторого утверждения об окружающем мире достигалось сведением его к числовой гармонии. Заимствованное из индийской философии учение о четырех стихиях природы, было тотчас же объединено с геометрическим фактом существования пяти правильных многогранников. Математические формы (числа и фигуры), будучи истолкованы в качестве глубинной основы вещей, превратилась и в универсальное орудие их понимания [6, с. 15-16].

Таким образом, в основу изучения окружающей действительности, а также математики легли элементы «дискретизации».

Все это свидетельствует  о довольно высоком уровне абстрактного мышления тогдашних математиков, которые выделили три центральных понятия: «фигура», «величина» и «число», нашли некоторые классы геометрических фигур (квадрат, прямоугольник, треугольник, прямоугольный параллелепипед, шар и т. д.), отметили типичные связи величин в материальном мире, зафиксировав их в виде типовых задач.

Однако, несмотря на накопление известного теоретического материала, математика того времени еще не была дедуктивной наукой – наряду с результатами, полученными путем тех или иных выводов, она содержала много эмпирических результатов, часть которых была даже ложной.

Задачи в древнеегипетских папирусах классифицировались не по методам решения, а по содержанию. Вместо доказательств писалось: «Делай, как делается», т. е. основой было не логическое рассуждение, а ссылка на авторитет предшественников. Основной задачей обучаемого было не понимание правил, а их запоминание.

К сожалению, до нас не дошли источники, по которым можно было бы судить, каким образом люди получили используемые ими в то время математические сведения: доказательств не было, указывались только правила для вычислений. Таким образом, что-либо о предмете математики в период ее зарождения сказать очень сложно, так как математика содержала много эмпирических результатов, доказательство которых не было проведена, а часть результатов была даже ложной. Только после накопления большого материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме.

2. Предмет математики в период с VI в. до н. э. до XVI в. н. э

Второй период развития математики это период элементарной математики. Он начался в VI в. до н. э. и закончился в XVI в. н. э. Следует отметить, что в этот период математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и метод. Элементарная математика – это математика, которая изучает все рассматриваемые ею величины, как постоянные.

Основным достижением  математической мысли, характеризующим  начало этого периода, было возникновение  и развитие понятия о доказательстве [8, с. 287]. Греческие математики сознательно стремились расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял никакого места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться.

Первый из философов, применивший в математике доказательства, греческий ученый Фалес из Милета, который жил в VII—VI вв. до н.э. Фалес доказал некоторые простейшие геометрические утверждения: равенство углов при основании равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов, один из признаков равенства треугольников, равенство частей, на которые диаметр разбивает круг, и т. д. Созданный Фалесом метод логического доказательства математических утверждений был развит и усовершенствован учеными пифагорейской школы в период между концом VI в. и серединой V в. до н. э., которые доказали, в частности, утверждение, называемое теперь теоремой Пифагора (формулировка этого утверждения была известна еще вавилонянам).

Пифагорейцы предприняли  первую попытку свести геометрию  и алгебру того времени к арифметике. Они считали, что «все есть число», понимая под словом «число» лишь натуральные числа. В частности, пифагорейцы долгое время были убеждены, что длины любых отрезков соизмеримы друг с другом, а потому для измерения любых величин достаточно рациональных чисел [9, с. 348-359].

Поворотным пунктом  было открытие пифагорейцами того, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Это открытие, сделанное на основе теоремы Пифагора, показало несостоятельность попытки  свести всю геометрию к натуральным числам. Анализ полученного доказательства привел к исследованию начальных вопросов теории чисел (четности и нечетности простых чисел, разложения чисел на простые множители, свойств взаимно простых чисел и т. д.).

После работ Пифагора стало ясно, что не все величины выражаются рациональными числами. Понятие иррационального числа не могло быть создано в ту эпоху, поэтому была предпринята иная попытка – обосновать всю математику на основе геометрических понятий. Они стали развивать геометрическую алгебру, истолковывая, например, сложение величин, как сложение отрезков, а умножение – как построение прямоугольника с заданными сторонами [9, с. 402-416]. При этом говорили о равенстве отрезков, а не о равенстве их длин, поскольку длина отрезка выражается числом, а числа были изгнаны из древнегреческой математики. Следы такого подхода к алгебре сохранились в современных терминах квадрат числа, куб числа, геометрическое среднее, геометрическая прогрессия и т. д.

Древнегреческие математики продвинулись очень далеко. Они провели, например, классификацию квадратичных иррациональностей, открыли все виды правильных многогранников, вывели формулы для объемов многих тел, исследовали разнообразные кривые линии (эллипс, гиперболу, параболу, спирали). Выдающуюся роль в формировании математики как теоретической науки сыграла знаменитая книга Евклида «Начала», представлявшая синтез и систематизацию основных результатов древнегреческой математической мысли и длительное время служившая источником знаний и образцом строгого математического изложения [10].

Книга Евклида является первой из дошедших до нашего времени  попыток аксиоматического изложения  математической дисциплины. Хотя во времена  Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых  для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида была уже четко проведена основная идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем из небольшого числа утверждений – аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.

В XIX в. было показано, что список аксиом Евклида неполон и многие теоремы он доказывал, привлекая утверждения, не вошедшие в этот список. Не было у Евклида и аксиом порядка. Признаки же равенства треугольников доказывались на основе понятия наложения фигур, т. е., по сути дела, на основе идеи движения, относящейся скорее к механике, чем к математике [10].

В течение двух тысячелетий  основное внимание критиков и комментаторов  Евклида было направлено на аксиому  о параллельных, поскольку предполагалось, что ее можно доказать на основе остальных аксиом. Лишь открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии показало безнадежность попыток такого доказательства.

На формулировку аксиом Евклида сильное влияние оказали  длившиеся долгое время споры между сторонниками и противниками атомизма. Атомисты (Демокрит, Левкипп) утверждали, что материя состоит из неделимых атомов, причем существует предел делимости пространства (т. е. что и пространство состоит из неделимых далее частиц). Их противники полагали, что пространство безгранично делимо и потому недопустимо считать, что линии состоят из точек, поскольку точки не имеют ни частей, ни размеров, а линии имеют определенную длину.

Хотя атомисты достигли больших успехов в геометрии (например, Демокрит вывел формулу объема пирамиды), их попытки дать логическое обоснование геометрии не увенчались успехом. Дело в том, что из атомистических воззрений вытекала соизмеримость любых двух отрезков, а это противоречило известной уже в то время теореме о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. В то же время Евклиду удалось построить логически замкнутую систему геометрии, в которой считалось, что любой отрезок безгранично делим, а потому не существует неделимых элементов пространства.

Книга Евклида подвела  также итог длительному развитию идеи бесконечности, приведшему к формированию, с одной стороны, понятия о бесконечном ряде натуральных чисел, а с другой – понятия о безгранично делимых геометрических фигурах (отрезках, кругах и т. д.). Однако бесконечность понималась лишь как потенциальная возможность продолжать определенный процесс (прибавления единицы к натуральному числу, деления пополам отрезка и т. д.). Идея об актуальной (законченной) бесконечности изгонялась из работ Евклида и его последователей (Архимеда, Аполлония и др.). Эта идея была дискредитирована в результате открытия греческим философом Зеноном затруднений, к которым вело ее использование. Например, Зенон «доказывал», что стрела не может пролететь свой путь, поскольку она должна сначала пролететь половину пути, а до этого – половину половины и т. д. – значит, он никогда не сдвинется с места.

Поэтому формулы для  объема шара и конуса, площади круга  и т. д. излагались без применения предельного перехода, без разложения на бесконечно малые части, хотя для отыскания этих формул математики применяли «запрещенные приемы». Архимед решил такие сложные для тогдашней математики задачи, как отыскание объема сегмента параболоида вращения и площади сектора архимедовой спирали.

Недостатком геометрического  подхода к математике было то, что он препятствовал развитию алгебры (хотя греки и умели, например, в геометрической форме решать квадратные уравнения) – невозможно было представить геометрически четвертую и высшие степени длины, а, кроме того, нельзя было складывать выражения разных степеней: эта сумма геометрического смысла не имела.

По той же причине  в греческой математике не было отрицательных  чисел и нуля, иррациональных чисел  и буквенного исчисления. Лишь в III в. н. э. в работах александрийского математика Диофанта появляются зачатки буквенного исчисления. Но этим работам не суждено было иметь продолжения в греческой математике, так как после принятия христианства в V в. н. э. языческая культура, составной частью которой была математика, оказалась разрушенной, а в 529 г. император Юстиниан под страхом смертной казни запретил занятия математикой.

Центр математических исследований переместился на Восток – в Индию, Китай и арабский мир. Индийские математики ввели нуль и отрицательные числа, проводили исследования по комбинаторике (Ариабхатта, V в. н. э.). Основной заслугой арабских математиков (аль-Беруни, Омар Хайям, Гиясэддин Джемшид, IX—XIII вв. н. э.) следует считать развитие тригонометрии (в связи с астрономическими исследованиями) и, особенно, создание новой области математики – алгебры.

Алгебра, которую теперь рассматривают  как общее учение о формальных действиях и их свойствах, появилась  у арабов как наука о решении  уравнений. Само слово «алгебра»  арабского происхождения и означало «восстановление», т. е. перенос отрицательных слагаемых в другую часть уравнений.

С начала XIII в. вновь возрождаются математические исследования в Европе. Но лишь в XVI в. были получены первые научные результаты, превзошедшие достижения греков и арабов, – итальянские математики дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррари и др. вывели формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Одновременно с этим формируется система алгебраических обозначений, словесная алгебра постепенно заменяется буквенной. В начале XVII в. в трудах французских и английских математиков (Виета, Декарта, Гэрриота) завершается развитие алгебраической символики, создаются правила буквенного исчисления. Одновременно с развитием символики происходит расширение понятия о числе: еще в середине XVI века в математике окончательно утверждаются отрицательные числа, а вскоре за тем появляются и комплексные числа (хотя они долгое время не находили признания, поскольку не допускали истолкования известными в то время средствами). При этом оказалось, что правила буквенной алгебры в равной мере применимы к числам любого вида.

Этот период характеризуется  тем, что математика выступает как  самостоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фигура) и свои методы исследования. Возникает  новая математическая дисциплина – алгебра, характеризующаяся специальной символикой. Возникли знаменитые задачи древности – квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Был написан первый систематический учебник геометрии, предложены методы определения объёмов тел, разработана теория пропорций [14, с. 165].

Значительного развития достигла математика в древних Китае и Индии. Китайским математикам свойственны высокая техника производства вычислений и интерес к развитию общих алгебраических методов. Индийской математике принадлежит заслуга употребления современной десятичной нумерации, а также нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, и заслуга более широкого развития алгебры, оперирующей не только с положительными рациональными числами, но также с отрицательными и иррациональными числами.

Интенсивные торговые отношения  между арабскими территориями привели  к расцвету науки: впервые была изложена алгебра как самостоятельная  наука; многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку; были введены в рассмотрение десятичные дроби, вычислено число с семнадцатью верными десятичными знаками.

3. Эволюция математики в период с XVII в. до XX в.

В XVII в. начинается новый период истории математики – период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики. Математика переменных величин – это математика, которая изучает величины, характеризующиеся множеством значений, которые они могут принимать.

К XVII – XX вв. в среде ученых выделяются те, кто непосредственно стал заниматься только философскими вопросами и проблемами. Одного из этой плеяды философов, пожалуй, можно выделить Г.Ф. Гегеля (1770 – 1831), который использовал прерывность и непрерывность, причем рассматривая оба понятия в их диалектической взаимосвязанности, для разработки своей диалектики.

Одним из основных достижений этого периода явилось введение общего понятия функции, сделанное в конце XVII в. немецким математиком и философом Г. В. Лейбницем [3, с. 340]. В этом понятии нашла свое отражение общефилософская идея о всеобщей связи явлений материального мира.

Следует отметить, что  математические понятия переменной и функции представляют собой не что иное, как абстракции конкретных переменных величин (координат, скорости и ускорения движущегося тела и т. д.) и конкретных зависимостей между ними (например, законов движения планет вокруг Солнца или законов свободного падения). Значениями математической переменной являются числа, служащие отвлеченным образом значений любой переменной. Исследование общих свойств зависимостей между, переменными величинами привело к созданию математического анализа.