Проверка гипотез. Параметрические модели

                                         Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО “Магнитогорский  Государственный Технический Университет

 им. Г.И. Носова”

 

 

 

 

Кафедра горных машин и транспортно-технологических комплексов

Математическая статистика в горном деле

Реферат по теме:

“ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ”

 

 
 
 
 
 
 
Выполнил:

ст. гр. ГЭМ-11-1 Сигаев А.В.

Проверил:

ст. препод. Шебаршов А.А

 

 

 

 

 

Магнитогорск 2013 г.

                 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение                                                       …………………………………..

 

1.1. Основные  понятия                            ……………………………………

 

1.2. Проверка двух простых гипотез ……………………………………

 

1.3. Критерий  Неймана-Пирсона          ……………………………………..

 

1.4. Определение  объема выборки       ……………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В этой главе рассмотрен второй класс задач математической статистики, связанных с проверкой статистических гипотез.

 

 

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1. Основные понятия.

Пусть имеется выборка, являющаяся реализацией случайной выборки из генеральной совокупности X, плотность распределения которой p(t;θ) зависит от неизвестного параметра θ.

     Статистические гипотезы относительно неизвестного истинного значения параметра θ называют параметрическими гипотезами. При этом если θ — скаляр, то речь идет об                                     

однопараметрических гипотезах, а если вектор, — то о многопараметрических гипотезах.

Статистическую  гипотезу H называют простой, если она имеет вид

                                   ,

где — некоторое заданное значение параметра.

Статистическую  гипотезу называют сложной, если она имеет вид

                                  _,

где D — некоторое множество значений параметра θ, состоящее более чем из одного элемента.

 

1.2. Проверка двух простых гипотез.

      Рассмотрим  сначала случай, когда проверяются  две простые статистические гипотезы вида 

                                 H₀: θ= θ₀,        H₁: θ= θ₁ ,

где θ₀, θ₁ — два заданных (различных) значения параметра. Первую гипотезу H₀ обычно называют основной, а вторую H₁ — альтернативной, или конкурирующей, гипотезой, хотя эта терминология является достаточно условной. Так, например, одна и та же гипотеза может в одних задачах выступать в качестве основной, а в других — в качестве альтернативной. По данным выборки необходимо принять решение о справедливости одной из указанных гипотез.

        Критерием, или статистическим критерием, проверки гипотез называют правило, по которому по данным выборки принимается решение о справедливости либо первой, либо второй гипотезы.

       Критерий задают с помощью критического множества W, являющегося подмножеством выборочного пространства

x_n случайной выборки . Решение принимают следующим образом:

1. если выборка принадлежит критическому множеству W, то отвергают основную гипотезу H₀ и принимают альтернативную гипотезу H₁;
2. если выборка не принадлежит критическому множеству W (т.е. принадлежит дополнению множества W до выборочного пространства x_n), то отвергают альтернативную    гипотезу H₁ и принимают основную гипотезу H₀ .

При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов:

1. принять гипотезу H₀, когда верна H₀ — ошибка первого рода;
2. принять гипотезу H₀, когда верна H₁ — ошибка второго рода.

 

 

      Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают α и β:

                                                                                      

где— вероятность события А при условии, что справедлива гипотеза H_j, j=0.1. Указанные вероятности вычисляют с использованием функции плотности распределения

случайной выборки:

 

 

 

     Вероятность совершения ошибки первого рода α называют также уровнем значимости критерия.

     Величину 1- β, равную вероятности отвергнуть основную гипотезу H₀, когда она неверна, называют мощностью критерия.

 

 

1.3. Критерий Неймана-Пирсона.

 

При построении критерия для проверки статистических гипотез, как правило, исходят из необходимости максимизации его мощности 1-β (минимизации вероятности совершения ошибки второго рода) при фиксированном уровне значимости α критерия (вероятности совершения ошибки первого рода). Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что — случайная выборка объема n из генеральной совокупности непрерывной случайной величины X, плотность

распределения вероятностей которой    зависит от неизвестного параметра θ, и рассмотрим две простые гипотезы H₀: θ= θ₀ и H₁: θ= θ₁

     Введем функцию случайной выборки

 

                                            

 

 

                       

 

 

 

Статистика представляет собой отношение функций правдоподобия при истинности альтернативной и основной гипотез соответственно. Её называют отношением правдоподобия. Для построения оптимального* (наиболее мощного) при заданном уровне значимости α критерия 

Неймана — Пирсона в критическое множество W включают те элементы выборочного пространстваслучайной выборки для которых выполняется неравенство

 

 

 

где константу C_φ выбирают из условия

 

 

 

которое обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в виде

 

 

 

 

 

При этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена  при данном значении вероятности  ошибки первого рода α.

 

1.4. Определение  объема выборки.

При построении оптимального критерия Неймана — Пирсона с  заданным уровнем значимости α 

предполагалось, что объем  п случайной выборки известен и фиксирован. Но возможной является ситуация, когда возникает необходимость в определении (заранее, до проведения           наблюдений) такого объема n* случайной выборки, при котором может быть построен критерий для проверки двух простых гипотез H₀: θ= θ₀ и H₁: θ= θ₁ с заданными или меньшими значениями

вероятностей α и β  совершения ошибок первого и второго рода соответственно.

       В рассматриваемой  ситуации величину n* определяют как минимальное целое значение n, для которого система неравенств

 

 

 

 

 

 

может быть выполнена при  некотором значении константы С = С*. При этом соответствующий оптимальный  критерий Неймана — Пирсона, обеспечивающий заданные значения α,β будет иметь критическое множество, определение неравенство

 

                                                                                  

 

 

 

1.5. Сложные параметрические гипотезы

Предположим, что требуется  проверить две сложные гипотезы

H₀: θ= Θ₀ и H₁: θ= Θ ₁

где Θ₀ , Θ₁— некоторые непересекающиеся области значений параметра θ. Например, области Θ₀ , Θ₁ могут быть заданы неравенствами θ ≤ θ₀ и θ ≥ θ₁, где θ₀ и θ₁ — некоторые фиксированные значения параметра, удовлетворяющие неравенству θ₀ < θ₁.

      Критерий проверки сложных гипотез по-прежнему задается с помощью критического множества W реализаций случайной выборки , на основе которого решение принимают следующим образом:

- если реализация случайной выборки принадлежит

критическому множеству W, тогда основную гипотезу H₀  отвергают и принимают альтернативную гипотезу H₁;

- если реализация случайной выборки не  принадлежит критическому множеству W, тогда отвергают альтернативную гипотезу H₁ и принимают основную гипотезу H₀ .

     Вероятности совершения ошибок первого и второго рода в случае сложных гипотез имеют прежний смысл и определяются выражениями     

 

 

            .

 

    В отличие от случая простых гипотез, величины , являются некоторыми функциями от параметра θ.

    Максимально возможное значение вероятности совершения

ошибки первого рода

 

 

 

называют размером критерия.

    Функцию

 

 

определяющую значение вероятности отклонения основной гипотезы Н₀ в зависимости от истинного значения параметра θ, называют функцией мощности критерия. Если существует критерий, который при данном фиксированном размере α максимизирует функцию мощности М(θ) по всем возможным критериям одновременно при всех θ из множества Θ ₁, то такой критерий называют равномерно наиболее мощным. Равномерно наиболее мощные критерии существуют лишь в некоторых частных случаях при проверке гипотез относительно одномерных параметров.

    Вероятности совершения ошибок первого и второго рода связаны с функцией мощности следующими соотношениями:

 

                                                            

 

 

Тем самым равномерно наиболее мощный критерий, если он существует, минимизирует вероятность совершения ошибки второго рода β(θ)(при фиксированном размере α) одновременно

при всех .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1) Математическая статистика: Учеб.для вузов / В.Б. Горяинов, И.В. Павлов, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. B.C.Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -424 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVII).

2)  Адлер Ю.П., Грановский Ю.В., Маркова Е.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М.: Наука, 1976.–278

3) Ковалев В.В, Волкова О.Н., Анализ хозяйственной деятельности предприятия// polbu.ru, 2005, 2 с.