Расчет куполов-оболочек

Содержание 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

    Виды  и формы куполов-оболочек

Купольные конструкции  являются одной из наивыгоднейших конструктивных форм, в которой материал работает главным образом на сжатие или растяжение, а область влияния изгибающих моментов невелика. Купольные покрытия могут быть выполнены на круглом или эллиптическом плане.

Круговым куполом  называется тонкостенная оболочка, срединная поверхность которой образована вращением некоторой плоской кривой (образующей) вокруг вертикальной оси, называемой осью купола. Купола вращения могут иметь сферическое, параболическое, эллиптическое, стрельчатое или коническое очертания (рис. 1).

Купол собирают из отдельных плоских плит так, чтобы они вписались в его криволинейную поверхность. В этом случае можно говорить об аппроксимации той или иной поверхности.

Различают купола замкнутые, или глухие, и незамкнутые  — с центральным отверстием для  светового или аэрационного фонаря. Нижний край оболочки купола опирают  на растянутое кольцо, воспринимающее распор. Центральное отверстие для  фонаря также обычно окаймляют кольцом, работающим на сжатие.

Купола могут  быть монолитными или сборными. Монолитные выполняются, как правило, гладкими, обычно с переменной толщиной стенок, возрастающей вблизи опорного кольца. Толщина монолитной оболочки принимается по расчету на устойчивость: минимальная толщина — 40ч-60 мм. Сборные купола обычно монтируют из ребристых тонкостенных плит, располагая ребра в меридиональном и кольцевом направлениях. Толщина плиты сборных элементов в пределах одного элемента может быть принята постоянной или же переменной. Сборные плиты купола выполняются обычно либо плоскими, либо с цилиндрической поверхностью. Элементы двоякой кривизны применять не рекомендуется ввиду сложности изготовления пространственных арматурных сеток и усложнения формования. Минимальная толщина сборных элементов купола по конструктивным соображениям принимается 25—30 мм. Высота ребер подбирается по условиям устойчивости оболочки в стадии эксплуатации, а также по прочности и жесткости в период изготовления, транспортировки и монтажа.

Членение куполов  на сборные элементы осуществляется обычно в меридиональных и кольцевых  направлениях, размеры элементов  принимаются в зависимости от метода монтажа купола (см. гл. VI). Сборные  плиты имеют в плане форму  трапеций, ширина которых из соображений  транспортабельности не должна превышать 3,5— 3,7 м, а длина — 18ч-24 м.

Опорные кольца куполов могут быть монолитными  или сборными; в последних сборные  элементы соединяются между собой  сваркой или путем перепуска  арматуры с последующим бетонированием стыков на месте монтажа. Опорные  кольца, особенно при значительном диаметре купола, рекомендуется выполнять предварительно-напряженными, что уменьшает деформативность купола и предохраняет конструкцию от возможности возникновения радиальных трещин между соседними плитами. Предварительное напряжение опорных колец удобно осуществлять электротермическим способом, применяя для напряжения стержневую арматуру. В этом случае напрягаемая арматура заранее сваривается в кольца, длина которых тщательно выверяется в соответствии с длиной наружного периметра обжимаемого железобетонного кольца.

Длина арматурного  кольца должна быть несколько меньше периметра железобетонного, с тем  чтобы после необходимого удлинения  обжать его соответствующим усилием.

Арматурные кольца укладываются поверх железобетонного  кольца, затем к ним подводится ток; после удлинения в результате нагревания диаметр арматурного  кольца становится больше диаметра железобетонного, что позволяет опустить его в  проектное положение. После отключения тока арматура остывает и обжимает опорное кольцо купола. Хорошим способом предварительного напряжения опорного кольца является применение специальной  навивочной машины, позволяющей использовать высокопрочную арматуру.

Кольцо рекомендуется  опирать так, чтобы обеспечить возможность  его горизонтального перемещения  от температурных деформаций и при  изменении нагрузки на купол. Подвижное  опирание может быть осуществлено через  систему «качающихся» стоек, а в  случае относительно небольших куполов  — укладкой опорного кольца на нижележащую  конструкцию через слой графитового  порошка.

Рис. 1. Очертания  куполов-оболочек

а —  сферическое; б — параболическое; в — эллиптическое; г — стрельчатое; д — коническое 

Расчет  куполов-оболочек 

Рассмотрим расчет тонкостенных куполов-оболочек вращения. Если толщина оболочки не превышает 1/20 наименьшего радиуса кривизны купола, то расчет оболочки с достаточной  для практики степенью точности может  быть выполнен по безмоментной теории. При этом должны быть соблюдены следующие  условия:

а) толщина стенки, радиусы кривизны, упругие свойства материала и нагрузка должны изменяться плавно, без скачков;

б) края оболочки должны иметь возможность свободно перемещаться, а краевые меридиональные усилия должны быть направлены по касательной к меридиану, т. е. края оболочки должны находиться в условиях статической определимости.

Нарушение каждого  из этих условий вызывает появление  в оболочке местных возмущений, так называемого краевого эффекта. В этом случае в оболочке купола возникают меридиональные и тангенциальные изгибающие моменты и соответствующие им поперечные силы, определяемые средствами моментной теории.

 

                                                       

Рис. 2. Расчетная  схема купола с шарнирно-подвижным  опиранием контура

а —  общий вид; б — геометрия купола, в — схема равновесия отсеченной части купола

Рассмотрим условия  равновесия тонкостенного купола по безмоментной теории (рис. 2). При осесимметричной  нагрузке сдвигающие усилия в оболочке купола обращаются в ноль и элемент  оболочки находится в равновесии под действием внешней нагрузки и нормальных сил Nx и N2 (рис. 2, а).

Рассечем купол  произвольной горизонтальной плоскостью с ординатой г (рис. 2, б и в). Обозначим для точки с ординатой z: гу — радиус кривизны меридиана; г2 — радиус кривизны в направлении, нормальном к меридиану; ср — половина центрального угла; Уф—сумма вертикальных нагрузок, расположенных выше горизонтального  сечения; Nt и N2 — погонные меридиональные и кольцевые усилия в оболочке.

Из условий  равновесия

Усилия N2 могут быть получены из известного уравнения

( здесь Z — нормальная к поверхности оболочки составляющая и рассматриваемой точке):

Погонный распор в опорном кольце

где Vф — полная вертикальная нагрузка на купол.

Усилие в опорном  кольце

Для незамкнутого купола усилие в кольце, окаймляющем фонарное отверстие, определяется аналогично:

где Кф1 —  сумма нагрузок, приходящаяся на верхнее  кольцо (включая его собственный  вес).

Для сферического купола г2 — гг = гс. Для конического купола г у = оо, ф — а — const.

В табл. 1 [48] приводятся значения усилий Nly N2, NK и V(для некоторых частных случаев куполов. В таблице приняты обозначения:

Л — толщина оболочки; ffx — угол, определяющий круговой вырез  незамкнутой оболочки, отсчитываемый от оси вращения; г — радиус параллели:

г r2sin ф; iji — угол широты в плане, отсчитываемый от диаметра, нормального к направлению ветра; |i — коэффициент Пуассона; Р2 — вертикальная составляющая внешней нагрузки.

Рассмотрим характер изменения усилий Nx и N 2 на примере  сферического купола. Под действием вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по поверхности оболочки (собственный вес купола постоянной толщины), меридиональные сжимающие усилия Л^ возрастают от grj2 в вершине купола до grc на большом диаметре полусферы. Кольцевые усилия N2 от сжатия, равного grJ2 в вершине, падают, затем переходят через нуль, и на большом диаметре полусферы растягивающие усилия достигают значения gra. При рассматриваемой нагрузке N, = 0 имеет место при

Р = 51°49'.

При нагрузке, равномерно распределенной по горизонтальной проекции купола, Nг — 0 при ф = 45°. Параллельный круг, где кольцевые усилия равны  нулю, называется швом перехода. Во избежание появления кольцевого растяжения в оболочке целесообразно проектировать пологие купола с углом ф<45°. В этом случае шов перехода оказывается ниже опорного кольца и вся оболочка работает только на сжатие. Это особенно важно для сборных куполов, так как соединение элементов существенно усложняется при необходимости передать через него растягивающие усилия. Симметричную снеговую нагрузку на купол в соответствии со СНиП П-6—74 можно принимать по рис. 3, а: при Ф <! 25°—равномерно распределенной постоянной интенсивности р0, при ф .> 60° равной нулю. Нагрузка для поверхностей с уклоном от 25 до 60° принимается по интерполяции.

Полный объем эпюры  симметричной снеговой нагрузки на купол определяется как объем усеченного конуса

Расчет можно нести, непосредственно определяя N1 из условий равновесия, а N2 -пользуясь формулой (II.2). Сдвигающие силы обращаются в нуль.

Предоставляется, однако, удобным приближенно заменить эту нагрузку нагрузкой, равновеликой по объему, изменяющейся по закону:

из условия равенства объемов эпюр нагрузки коэффициент Ci = 1,5. Легко видеть, что при ф = 60° нагрузка обращается в нуль. Для такой нагрузки усилия N1, и N2 в сферическом куполе можно вычислить в замкнутом виде.

При половине центрального угла купола 0 <ф < 60° суммарная снеговая нагрузка, лежащая выше кольца, характеризуемого углом φ

Отсюда

Нормальная составляющая внешней нагрузки

тогда

Сдвигающие усилия при осесимметричной нагрузке по-прежнему равны нулю. При такой нагрузке максимальные сжимающие усилия возникают в вершине сферического купола:

При ф = 60° меридиональные усилия /Vj уменьшаются до — 0,29 р0гс. Кольцевые усилия N2 при ф ~ 33° обращаются в ноль и далее становятся растягивающими, возрастающими при Ф = 60° до 0,29 р0гс. При ф>60°

Рассмотрим несимметричную снеговую нагрузку. Приведенные в  работе [30] формулы (105) — (108) не могут  быть использованы для расчета. Действительно, если нормальная составляющая снеговой нагрузки Z = 0,4 р0 (1 + sin ср sin г|з), то максимальная нагрузка окажется при ф = я/2, т. е. на вертикальной поверхности купола, а минимальная — в его вершине.

Пользуясь по-прежнему указаниями СНиП П-6—74, примем, что несимметричная нагрузка от снега образуется переносом с одной стороны купола на другую 40% снега (рис. 3, б и в).

Объем половины обратносимметричной  нагрузки

Заменим нагрузку Р0 с по рис. 3, б на нагрузку вида (рис. 3, д, е):

где ip — угол, отсчитываемый  в горизонтальной плоскости. Объем  половины этой нагрузки составит

откуда

<

p>Полная несимметричная снеговая нагрузка составит, таким образом:

   Куполом  называют пространственную конструкцию,  состоящую из гладкой или ребристой  оболочки с вертикальной осью  вращения и растянутого опорного  кольца. При наличии фонарного  проема в вершине купола устраивают  сжатое фонарное кольцо.

   Купола  применяют для покрытий круглых  и многоугольных в плане зданий (зрелищно-спортивных и выставочных  залов, планетариев, резервуаров  и др.) пролетом  до 200 м. Форма  купола обычно определяется архитектурными, технологическими и другими требованиями. В связи с этим принимают  оболочки купола сферические  294 (образованные вращением дуги  круга), конические, эллиптические,  многогранные. Конические купола  уступают сферическим и эллиптическим  по технико-экономическим показателям,  но более просты в возведении; применяют их при пролетах  до 30 м. В последнее время используют  также купола, образованные волнистыми  или складчатыми элементами.

   Стрела  подъема / тонкостенных куполов  может изменяться в широких  пределах от 1/2 D до 1/10 D. Наиболее  экономичными являются купола  с f= 1/3...1/5 D. Опорное кольцо, воспринимающее  распор купола, может лежать на  сплошном основании, образованном  стенами, или на отдельных колоннах.

По способу  возведения купола делят на монолитные и сборные. Монолитные купола проектируют  гладкими, сборные — из ребристых  цилиндрических или плоских панелей  трапециевидного очертания в  плане. Монолитные купола возводят на сплошной опалубке, повторяющей геометрию купола. Такой способ возведения сложен, трудоемок и требует больших затрат на опалубку. Поэтому в строительстве применяются преимущественно сборные купола.

Разрезка куполов  на сборные элементы может быть радиальной и радиально-кольцевой. Радиальную разрезку (рис. 13.6, а) применяют для  куполов диаметром примерно до 40 м. В этом случае криволинейные элементы (рис. 13.6, б) понизу опирают на возведенное  ранее опорное кольцо, вверху —  на фонарное, которое во время монтажа  поддерживается лесами; после его  окончания леса снимают. Сопряжение сборных элементов оболочки с  нижним и верхним кольцами осуществляют на сварке соединительных пластин с  закладными деталями. Сборные элементы окаймлены по контуру ребрами, размеры  которых и армирование (плоскими каркасами) устанавливают расчетом прочности и жесткости на нагрузки, возникающие при перевозке и  монтаже, а также на устойчивость купола при эксплуатации. Для обеспечения 

поля оболочки минимальной толщины (30...40 мм) устраивают поперечные ребра через 2...3 м, рассчитываемые на полную расчетную нагрузку на купол.

Радиально-кольцевая  разрезка (рис. 13.6, в) может применяться  и в куполах диаметром более 40 м. Сборные элементы, имеющие в  плане форму трапеции (рис. 13.6,г), в этом случае могут быть как плоскими, так и криволинейными. Первые проще  в изготовлении, однако ухудшают работу конструкции под нагрузкой, поскольку  в местах стыков плит будут переломы, а это приводит к возникновению  в оболочке нежелательных изгибающих моментов.

После окончания  монтажа швы между сборными элементами замоноличивают бетоном, а выпуски  арматуры и закладные детали сваривают  между собой (рис. 13.6, д).

Рис. 3. Конструкции  сборных куполов:

1— сборный  элемент оболочки; 2 — опорное  кольцо; 3 — фонарное кольцо;

4 — монтажная  стойка; 5 — закладные детали; 6 —  соединительные стержни;

7 — бетон  замоноличивания

Опорное кольцо купола может быть сборным или  монолитным. Для повышения трещиностойкости и жесткости кольцо устраивают предварительно напряженным. В этом случае для создания предварительного натяжения высокопрочную  арматурную проволоку класса В-II наматывают по периметру кольца с последующим бетонированием. Предварительное натяжение арматуры осуществляют также с помощью канатов или стержней, располагаемых в пазах по периметру кольца и закрепляемых в специально устроенных выступах. Для купольных покрытий диаметром не более 30 м при устройстве на уровне опорного кольца горизонтального покрытия, опоясывающего купол по всему периметру, целесообразно передавать распор на это покрытие. Покрытие в этомслучае проектируют с учетом передающихся на него распора и изгибающих моментов. Если нижнее кольцо купола диаметром более 30 м укладывается на жесткие стены, то под кольцом устраивают цилиндрические катки или шарниры скольжения, обеспечивающие радиальное перемещение опорного кольца.

Армирование гладких  монолитных оболочек куполов при  толщине до 70 мм можно выполнять  конструктивно, одиночной сеткой из стержней диаметром 4...6 мм, шагом 150...200 мм. При большей толщине рекомендуется  устанавливать две сетки. В зоне примыкания оболочки 'к кольцу толщину  оболочки увеличивают и ставят дополнительную меридиональную арматуру из стержней диаметром 6...8 мм, рассчитанную по опорному изгибающему моменту, а также кольцевую арматуру для воспринятая растягивающих усилий.

В куполе, при  действии нагрузки, изменяющейся по произвольному  закону, возникают меридиональные, кольцевые усилия, изгибающие моменты, сдвигающие, поперечные силы и другие внутренние усилия, для определения  которых нужно исходить из общих  уравнений теории тонкостенных оболочек. Если же купол нагружен асимметричной  нагрузкой, имеет гладкую поверхность  без изломов, толщина оболочки мала, а конструкция опор обеспечивает свободные радиальное и угловое  смещение, то внутренние изгибающие, крутящие моменты и поперечные силы не возникают  и расчет куполов может производиться  по безмоментной теории. Поскольку  в реальных конструкциях оболочка защемлена  в опорном контуре, в ней возникают  опорные изгибающие моменты, быстро затухающие. Эти моменты вычисляются  методами строительной механики.

Определим усилия в куполе по безмоментной теории. Элемент  купола (рис. 13.7, а), ограниченный двумя  меридиональными и кольцевыми сечениями, находится под  воздействием меридионального, кольцевого усилия и внешней нагрузки. При асимметричной нагрузке сдвигающие усилия S — Q и усилия N₁ и N₂  могут быть определены из условий статики. Сделаем горизонтальный разрез (рис. 13.7,6). Сумму вертикальных сил на части купола выше сечения, заданного углом ср, обозначим через Q,t. Тогда, проектируя все силы на ось г, получим

Q_φ= N₁Sinφ2πa,

где a=r₂sin ф; г2 — радиус кривизны в плоскости, перпендикулярной меридиональной {г₁— радиус кривизны в меридиональной плоскости, см. рис. 13.7,6). Отсюда

N₁= Q_φ/( Sinφ2πa)

Горизонтальная  проекция этого усилия Н, называемая распором:

H=N₁Cosφ= Q_φCtgφ/(2πa)

Рис. 4. К определению усилий в куполе

Растягивающее усилие в кольце от действия распора

U = На = Q_φCtgφ/(2π)                                                            (13.12)

По этому усилию подбирают рабочую арматуру кольца. Величину кольцевого усилия N2 можно получить, спроектировав на нормаль все силы, действующие на элемент поверхности. Тогда будем иметь

N₁/r₁ + N₂/r₂ = z_φ                                                                          (13.13)

где 2Ф—проекция нагрузки на нормаль к поверхности.

В качестве примера расчета рассмотрим усилия, возникающие в сферическом куполе (г= г₁= г₂) от собственной массы. В этом случае Q_φ=A_qg, z_Ф =gcosφ (рис. 13.7,б), где g—вес купола на единицу поверхности; A_q—площадь поверхности сферического купола, A_q = 2πrh, h = r(1—соsф), a = rsinφ Тогда, используя формулы (13.10) и (13.13), найдем

N₁ = 2πr² (1 — cos ф)g/(2πr sin² ф) = rg(1+ cos ф),

N₂ = z_Фг —N₁ = gr cosφ — rg/(1+соsф)                                            (13.14)

Для полусферического купола усилия (рис. 13.7, г) составят при  ф = 0° N₁ = rg/2, N₂ = rg/2; при ф = 90° N₁= rg, N₂ = —rg.

Из рис. 13.7, г  видно, что при ф = 51°49' усилие N₂ изменяет знак, и в нижней части купола в кольцевом направлении возникают растягивающие напряжения. Учитывая это обстоятельство, в сборных куполах из тонкостепных ребристых плит нежелательно проектировать оболочки с половиной центрального угла ф>51°49' из-за сложности воспринятая растягивающих усилий в элементах нижней части оболочки.

Распор купола с учетом (13.11) и (13.14)

H_φ = rg cos φ/(1 + соsф)                                                                 (13.15)

и растягивающее  усилие в опорном кольце

U =H_φ0а = г² gsin2φ0/[2(l +cosφ0)]                                                            (13.16)

Из последней  формулы видно, что при ф0 = 90° U = 0. Учитывая это, для уменьшения усилия в опорном кольце в приопорной зоне устраивают переходную кривую, изменяя очертание купола (рис. 13.7,5).

Как отмечалось выше, у места сопряжения оболочки с опорным кольцом в ней  возникают изгибающие моменты М  и горизонтальный распор Н (рис. 13.7, е). Их определяют методами строительной механики из условия равенства нулю взаимного угла поворота и взаимного  смещения сечений в примыкании оболочки к кольцу от суммарного воздействия  всех сил:

a₁₁ М + a₁₂ Н + а₁₀ = 0,

a₂₁M + a₂₂H+a₂₀ = 0                                                 3.17)

где а₁₁, a₁₂, а₁₀—взаимные углы поворота в рассматриваемом сечении от действия М = Н= 1 и g; a₂₁. а₂₂ и а₂₀ взаимное горизонтальное смещение сечений от этих же усилий,

а₁₁ = s, a₁₂ = s₂ sin ф0/2,

   a₂₂ = s³sin²φ0/2, s = 0,76                                     (13.18)

Смещения сферической  оболочки a₁₀и a₂₀ при действии нагрузки от собственного веса определяют по формулам [23]  
 

По полученным усилиям производят расчет прочности  и трещиностойкости сечений купола. Расчет несущей способности сферических  куполов на асимметричную нагрузку может производиться по методу предельного  равновесия. 

Расчет  куполов в виде вписанных конических оболочек 

Расчет купола может быть выполнен также, если представить  его поверхность в виде системы  вписанных в нее конических оболочек, что особенно удобно, если оболочка собирается из плоских трапецеидальных  плит.

Расчет системы  конических оболочек, связанных между  собой по кольцевым линиям сопряжения, состоит в раскрытии статической  неопределимости по этим линиям, при  этом может быть учтено наличие промежуточных  колец. Расчет ведется методом деформаций: по линиям сопряжения вводятся кольцевые закрепления, препятствующие радиальному смещению и повороту колец в меридиональном направлении.

Метод деформации приводит в общем случае к системе  шестичленных канонических уравнений, которые можно сократить при  надлежащем выборе длины конической оболочки. При длинных оболочках отсутствует взаимное влияние краев и матрица упрощается за счет выпадения побочных коэффициентов. Если все конические оболочки окажутся длинными, то матрица распадется на ряд независимых систем уравнений с двумя неизвестными (угол поворота и радиальное перемещение) для каждого промежуточного кольца.

Коническую оболочку будем считать длинной, если она  удовлетворяет условию

Здесь Ах и А2 —соответственно линейные характеристики, вычисляемые: для большого и малого контуров конической оболочки по формуле

для ребристого купола

где 1„ — погонный момент инерции с учетом меридиональных ребер; бп — приведенная толщина  оболочки с учетом кольцевых ребер. Подробный расчет куполов из конических оболочек методом деформации изложен  в «Инструкции по проектированию железобетонных тонкостенных пространственных покрытий и перекрытий».