Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Розв’язування нерівностей з модулями

Луцьке міське управління освіти

Міське учнівське товариство “Ерудит”

Наукова філія “Інтелект”

Секція математики

Розв’язування

нерівностей з модулями

Робота учениці 5-Б класу

НВК”Гімназія № 14”

м. Луцька

М’якуш Мар’яни

Євгенівни

Науковий керівник

вчитель математики

Тітова Світлана

Петрівна

Луцьк - 2006

План

1. Вступ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2. Означення модуля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль. . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. Розв’язання нерівностей, що містять модуль під знаком модуля. . . . . .9

5. Нерівності, що містять суму модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Нерівності, що містять різницю модулів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

7. Квадратні нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8. Висновки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

9. Література. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. Вступ

Поняття “модуль числа” вперше вводиться у шкільному курсі математики у шостому класі. Але уваги до розв’язання завдань даної тематики приділяється занадто мало. Підручники містять лише окремі задачі на модуль числа.

Засвоєння поняття нерівностей з модулями потрібне не лише для оволодіння алгоритмами арифметичних дій з додатними та від’ємними числами. Воно сприяє формуванню в учнів різних видів мислення при використанні алгебраїчного змісту модуля, геометричної інтерпретації модуля, при пошуку раціональних способів розв’язування. Саме для перевірки наявності відповідних типів мислення абітурієнтів до завдань вступних іспитів у вищих навчальних закладах, як правило, включають задачі на нерівності з модулями.

Оволодіння навичками розв’язання задач на нерівності з модулями є умовою не тільки успішного складання вступного іспиту з математики, але необхідно і для подальшого вивчення курсу вищої математики.

Для досконалого вміння розв’язування завдань на нерівності з модулями потрібно розпочинати їх вивчення від найпростіших завдань на поняття про модуль числа до завдань рівня вступних іспитів до вищих навчальних закладів та олімпіад з математики.

Нерівності з модулями потрібно вивчати у системі до вузівської підготовки, школах (класах) з поглибленим теоретичним та практичним вивченням математики, ліцеях та гімназіях природничо-математичного профілю та самостійно для підготовки до вступних іспитів. Саме тому я вирішила присвятити свою наукову роботу цій темі.

2. Означення модуля

Модулем невід’ємного числа називається саме це число, а модулем від’ємного числа називається протилежне йому додатне число.

Наприклад, модулем числа 5 є 5, модулем числа 0 є 0, модулем числа -4 є 4. Все це записують так:

5 = 5, 0 = 0, -4 = 4.

Отже, з означення модуля виходить, що

Це означення дає вказівку, що треба робити у кожному конкретному випадку для підрахунку модуля числа. А саме:

1. не міняти знак числа, якщо це число додатне;

2. змінити знак числа на протилежний, якщо це число від’ємне;

3. якщо під знаком модуля стоїть “0”, то отримаємо 0.

Приклад:

Виконати дії:

13+2-5--2-1

Розв’язання:

13+2-5--2-1 = 13+25-2-1 = 20.

Очевидно модуль числа має такі найпростіші властивості:

а) модуль числа є число невід’ємне, тобто при будь-якому а

а 0;

б) модуль числа не менший від цього числа, тобто при будь-якому а

а а;

в) модуль протилежного числа до даного дорівнює модулю даного числа, тобто при будь-якому а

-а=а.

Деякі завдання можна розв’язувати легше. Тобто, якщо це зручно, то під знаком модуля можна змінити знак виразу на протилежний. Але слід пам’ятати, що змінити знак виразу на протилежний означає змінити знак всіх доданків цього виразу.

Приклад:

Записати без знака модуля:

-а²-b²

Розв’язання:

-а²-b² = -а²-b² = -(-а²-b²) = а²+b² = а²+b²= а²+ b².

Існує кілька теорем про модуль числа.

Теорема 1.

Модуль алгебраїчної суми кількох дійсних чисел не більший від суми модулів доданків, тобто

а1 + а2 + . . . + аnа1+а2+ . . . +аn.

Якщо доданки невід’ємні або недодатні, то модуль суми дорівнює сумі модулів доданків; якщо доданки мають різні знаки, то модуль суми менший від суми модулів доданків.

Наприклад,

-3 + (-5) + (-7)=-15= 15, -3+-5+-7= 3 + 5 + 7 = 15.

Доведення.

Доведемо цю теорему для n = 2. Нехай а1+а2  0, тоді оскільки

а1 а1 іа2  а2, то

а1 + а2 = а1 + а2  а1 +а2

Нехай а1 + а2 < 0, тоді, оскільки а1 -а1 і а2 -а2, то

а1 + а2= -(а1 + а2) = -а1 – а2  а1 +а2.

Наведене поняття легко поширюється на будь-яку кількість доданків.

Теорема 2.

Модуль різниці двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

а - b а - b.

Доведення.

Застосовуючи теорему 1, дістанемо

а = (а - b) + bа - b+b,

звідки

а - b а- b.

Якщо а – b і b невід’ємні або недодатні, то а - b=a - b; якщо а – b і b мають різні знаки, то а - b >a- b.

Наприклад,

8 - 3 = 8 - 3,

-5 - (-2)  = -5--2,

-7 - 10>-7 - 10,

15 - (-4) > 15 - - 4.

Теорема 3.

Модуль суми двох дійсних чисел не менший від різниці модулів цих чисел, тобто

а + b а-b.

Доведення.

Застосовуючи теорему 2, дістанемо:

а + b = а – (- b)  а -- b = а - b .

Якщо а + b і b мають різні знаки або принаймні одне з цих чисел

дорівнює нулеві, причому аb ,то а + b = а - b; в усіх інших випадках а + b>а - b .

Наприклад,

3 +(-2)= 1,

3- -2 = 1.

Теорема 4.

Модуль різниці двох дійсних чисел не більший від суми модулів цих чисел, тобто

а – bа +b.

Доведення.

На підставі теореми 1 маємо:

а - b = а +(- b)а+- b = а +b.

Якщо а і b мають різні знаки або принаймні одне з них дорівнює нулеві, то а - b =а +b; якщо а і b мають однакові знаки, то а - b<а+b .

Наприклад,

-5 -6= 11,

-5+6= 11.

З теорем 1 – 4 виходить, що

а- bа + bа+b,

а– bа – b а +b.

Теорема 5.

Модуль добутку кількох дійсних чисел дорівнює добутку модулів цих чисел.

Наприклад,

-56 (-3)= 90,

-56-3= 90.

Теорема 6.

Модуль частки двох дійсних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника.

Наприклад,

20:(-5) = 4,

20:-5=4.

Доведення теорем 5 і 6 безпосередньо випливає з означень дій множення і ділення.

3. Найпростіші лінійні нерівності, що містять модуль

Якщо розв’язком рівняння називають значення змінної, що перетворює рівняння на правильну числову рівність, то розв’язком нерівності

називають значення змінної, що перетворює нерівність у правильну числову нерівність. Так нерівності 5>0, 55 правильні, а нерівності 5>5, 05 – неправильні.

Якщо на координатній прямій додатний напрям вибрано зліва направо, то про числа координатної прямої можна сказати: чим правіше – тим більше. Тоді на координатній прямій розв’язками нерівності х>1 будуть усі числа, що лежать справа від точки 1. Щоб показати, що х = 1 не є розв’язком нерівності, обводять цю точку кружечком, а всі точки, розміщені справа від 1, заштриховують.

Спочатку розглянемо нерівності виду х>а і х<а. Якщо а > 0, то з нерівності

х> а

виходить, що

х>а або х<-а,

тобто нерівність х> а еквівалентна сукупності двох нерівностей х>а і х<-а. Графічно це означає, що на числовій осі точки х знаходяться поза відрізком

[-a, a].

Наприклад,

х>5,

х>5 або х<-5.

Якщо а = 0, то з нерівності х>а виходить, що х – довільне число, крім х = 0.

Якщо а < 0, то нерівністьх>а справджується при будь-яких значеннях х.

Так само, якщо а>0, то з нерівності

х<а

виходить, що

-а<х<а,

тобто нерівність х<а еквівалентна системі двох нерівностей -а<х<а і графічно точки х на числовій осі належать проміжку між точками –а і а.

Наприклад,

х<4,

-4<х<4.

Якщо а0, то нерівність х<а суперечлива, вона не справджується при жодних значеннях х.

Розглянемо тепер нерівність

kx+b>a.

Якщо k=0, то при b>a нерівність kx+b>a справджується при будь-яких значеннях х, а при b а вона не має розв’язків.

Якщо k≠0, то при а<0 нерівність kx+b>a справджується при будь-яких значеннях х; при а=0 нерівністьkx+b>а також справджується при будь-яких

значеннях х, крім х=-, і, нарешті, при а>0 нерівність kx+b>a еквівалентна сукупності двох нерівностей:

звідки

якщо k>0, і

якщо k<0.

Наприклад,

5х + l>3,

х>0,4 або х<-0,8.

Переходимо до розгляду нерівності

kx+b<a.

Якщо k = 0, то при b а нерівність kx+b<a суперечлива, а при b<a вона справджується при будь-яких значеннях х.

Наприклад,

0х - 5< 7,

оскільки

b а,

b = -5, а = 7, k = 0,

то нерівність

0х - 5< 7

перетворюється у нерівність

-5< 7  х (-∞;∞).

Якщо k≠0, то при а0 нерівність kx+b<a не має розв’язків, а при а>0 вона еквівалентна системі двох нерівностей

-а < kx+b < a,

звідки

-а- b< kx < a- b

< х < ,

якщо k>0, і

< х < ,

якщо k<0.

Приклад:

Розв’язати нерівність:

21-4х-10 < 0.

Розв’язання:

Маємо:

1 - 4х < 5 або

4х - 1< 5,

звідки

-5 < 4х - 1< 5,

-4 < 4х < 6

-1< х < 1,5.

Відповідь: х  (-1; 1,5).

4. Розв’язання нерівностей , що містять модуль під знаком модуля

Способи розв’язання нерівностей, які містять модуль під знаком модуля аналогічні способам розв’язання рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. А саме: можна розпочати з знаку виразу під зовнішнім модулем (можливо він визначений внаслідок невід’ємності внутрішнього модуля або виразу, з яким порівнюється зовнішній модуль); можна скористатись алгебраїчним змістом модуля; можна спиратись на геометричний зміст модуля: можна використати властивості:

1. Якщо а= b, то b  0 i a =  b.

2. Якщо а b, то b  0 i -b a b.

3. Якщо а< b, то b  0 i –b< a< b.

4. Якщо а b, то b  0 i a (-∞;-b] [b; + ∞) або b<0.

5. Якщо а> b, то b  0 i a (-∞;-b) (b;+ ∞) або b<0.

Можна просто піднести обидві частини нерівності до квадрату. У цьому випадку потрібно не забути обумовити невід’ємність того, що підноситься до квадрату.

Для розв’язання деяких задач даної тематики інколи достатньо використати означення модуля числа та елементарних навичок розв’язування лінійних нерівностей з модулем.

Не завжди потрібно йти шляхом формального розкриття модуля, згідно його означення. Перш, ніж починати розв’язування, треба уважно подивитись, може знак виразу під якимось з модулів визначається однозначно і тоді нерівність спрощується.

Якщо “звільнятись” від знаків абсолютної величини, спираючись на алгебраїчний зміст модуля, то зручно “звільнитись” спочатку від внутрішніх модулів, а потім “відкрити” ті модулі, що залишились (бажаючи можуть робити навпаки).

Зручно розв’язувати нерівності, використовуючи геометричний зміст модуля.

Приклад:

Розв’язати нерівність, використовуючи геометричний зміст модуля:

х -2-2 3.

Розв’язання:

х -2-2 3

якщо

х – 2= t  0,

то

t - 2  3,

звідси

х -2 5



х  7

або

х  -3

Відповідь: х (-∞;-3] ∪ [7;+ ∞).

Деякі завдання можна розв’язувати, підносячи обидві частини нерівності до квадрату. Але потрібно пам’ятати, що підносячи рівність чи нерівність до квадрату, треба переконатись, що ліва і права частини співвідношення невід’ємні.

Приклад:

Розв’язати нерівність, підносячи обидві частини нерівності до квадрату:

х + 1- 6>х.

Розв’язання:

х + 1- 6< х,

звідси

 

 х >2,5.

Відповідь: х  (2,5; + ∞).

Геометрична інтерпретація модуля “працює” не тільки при порівнянні модуля з відомим числом. Наприклад, останній приклад можна розв’язати наступним чином:

х + 1- 6< х  

  х >2,5.

Відповідь: х  (2,5; + ∞).

Можна розв’язувати нерівності також, використовуючи властивості, які були наведені раніше. Наприклад, за допомогою властивості: якщо а< b, то b  0 і –b< a< b.

2х + 1-2< 1 

   

х (-2;-1) ∪ [0; 1).

Відповідь: х (-2;-1) ∪ [0; 1).

Який спосіб розв’язання вибирати – це справа того, хто розв’язує задачу, але потрібно “бачити” всі можливі способи, тоді можна знайти дійсно раціональний у даному конкретному випадку спосіб розв’язання.

5. Нерівності, що містять суму модулів

Рівняння та нерівності вигляду

а11(х) + а22(х) + . . . + аnn (х) > g(x) або < g(x)

розв’язуються, як правило, методом інтервалів. Тобто знаходять точки, в яких 1(х), 2(х), . . . , n (х) змінюють знак. Ці точки поділяють область визначення на проміжки, на кожному з яких всі і(х), і  {1, . . ., n} зберігають знак. Потім, використовуючи означення абсолютної величини, на кожному з цих проміжків розкривають модулі, що стоять у лівій частині. Таким чином переходять до розв’язання рівносильної сукупності систем, що не містять знак модуля.

Приклад:

Знайти розв’язки нерівності:

х - 1+2 - х>х.

Розв’язання:

Вирази під знаком модуля змінюють знак при переході через точки х = 1 та х = 2, відповідно. Знаки (х – 1) і (х – 2) зберігаються на інтервалах х  1, 1 < х  2 та х > 2. Для їх визначення інтервалів можна взяти будь-яке число з даних проміжків:

(х – 1)х=0< 0, (2 – x)x=0 > 0; (x - 1)x=1,5 > 0, (2 - x)x=1,5 > 0; (x - 1)x=10 > 0,

(2 - x)x=10 <0.

Маємо:

 

Відповідь: х  (-∞; 1) ∪ (3; + ∞).

У деяких випадках послідовність точок на числовій осі співпадає з послідовністю доданків, нулями яких були відповідні значення х. Якщо порядок доданків не влаштовує, то його можна змінити. Більш того, якщо під знаком модуля невідоме стоїть на другому місці – можна поставити його на перше й, навіть, змінити знак виразу, що міститься під знаком модуля.

Метод інтервалів стає в нагоді і тоді, коли під модулем стоїть нелінійний вираз.

Непотрібно поспішати відразу розв’язувати нерівність. Інколи розв’язання стає легким і прозорим , якщо спочатку проаналізувати область визначення нерівності, або той факт, що сума модулів не може бути від’ємною.

В випадках, коли співвідношення, що розглядається має вигляд х - а+х - b>c або <c розв’язок можна спростити, якщо використати геометричну інтерпретацію модуля. Розглянемо нерівність х - 1+ х + 2> 3.

Маємо: х – 1 – відстань між точками Х (х) та А(1), х + 2 – відстань між точками Х(х) та В(-2). Тоді умова означає, що АХ + ВХ > 3. Потрібно на числовій осі розмістити Х(х), щоб нерівність виконувалась. Спочатку на числовій осі позначаємо точки А(1) та В(-2). Відстань між цими точками АВ = 3. Тобто маємо АХ +ВХ = АВ. Отже, х може бути будь-яким числом, крім х  [-2; 1].

Відповідь: х  (-∞; -2) ∪ (1; ∞).

Для використання геометричної інтерпретації модуля числа при розв’язанні нерівностей корисно зафіксувати такий висновок:

х - а+х - bа - b,

при всіх х  R.

Дійсно, якщо х  [АВ], де А(а), В(b), то АХ + ХВ = а - b, x - a+x - b=a - b.

Якщо ж х  [АВ], то АХ + ХВ > а - b, x - a+x - b>a - b.

Тобто маємо:

x –a+x - b=a - b,

при х  [min{a; b}; max{a; b}];

x –a+x - b>a - b,

при х  [min{a; b}; max{a; b}].

Приклад 1:

Розв’язати нерівність:

х - 1+2 - х>1.

Розв’язання:

х - 1+2 - х>1  х  (-∞; 1) ∪ (2; ∞),

бо х - 1+х - 2>2 - 1=1  х  [1; 2].

Відповідь: х  (-∞; 1) ∪ (2; ∞).

Приклад 2:

Розв’язати нерівність:

х + 1+х - 3<5.

Розв’язання:

За геометричним змістом модуля розв’язком рівняння х + 1+х - 3=5 будуть точки, що віддалені від точок А(-1) та В(3) на відстань l, яка визначається з співвідношення 2l + 4 = 5  l = 0,5.

Тоді розв’язком даної нерівності будуть точки, що віддалені від А та В на відстань меншу за 0,5, та точки проміжку [-1; 3] (бо останні відповідають умові АХ + ХВ = 4 < 5).

Відповідь: х  (-1,5; 3,5).

Нерівності, що містять суму лінійних виразів під знаками модулів, можна розв’язувати, спираючись на такі властивості модуля:

1) а 0;

2) а а;

3) -а=а, і тоді -c - d=c + d, a x - y=y - x;

4) a b=ab;

5) =, при b ≠ 0;

6) aⁿ=aⁿ, і тоді а²=а²=а²;

7) а+b= a + b, якщо а  0 і b  0;

8) a + b=a+b, якщо аb  0 ;

9) a + b=a-b, якщо ab0;

10) a + ba+b

і також на ті, що наведені у темі про розв’язування нерівностей, які містять знак модуля під знаком модуля.

Потрібно звернути увагу на нерівності такого виду:

kx - a>nx - b або < nx - b

Їх можна розв’язувати методом інтервалів, можна піднести до квадрату, а можна використати властивість:

a-b 0  a² - b²  0.

Приклад:

Розв’язати нерівність:

2х - 3> 3х + 5.

Розв’язання:

2х - 3 - 3х + 5>0.

Якщо помножити ліву і праву частину отриманої нерівності на додатну величину (2х - 3+3х + 5), то дістанемо

(2х - 3)² - (3х + 5)² > 0 

((2х – 3) – (3х + 5))((2х – 3) + (3х + 5)) > 0 

 (-х – 8)(5х + 2) > 0  х  (-8; -0,4).

Відповідь: х  (-8; -0,4).

6. Нерівності, що містять різницю модулів

Спираючись на геометричну інтерпретацію співвідношень цих рівностей:

1. х - а=х - b X= , ab;

2 .x - a=x - b+c i c = a - b x bпри b a або x b при b a;

3. x - a=x - b+c і 0 < c < a - b x = b – l при b > a або x = b + l при b < a;

4. x - a=x - b+c i c > a - b х  Ø

нескладно проаналізувати співвідношення нерівності:

x - a>x - b та

x - a>x - b + с або < x - b + с.

Дійсно, співвідношення х - а=х - bозначає рівність відрізків АХ = ВХ, де Х(х), В(b), А(а). Тобто Х = , як середина відрізка АВ.

Тоді x - a>x - b означає, АХ > ВХ і при b > a, і при b < a.

Маємо:

x > при b > a

x - a>x - b  або

x < при b < a.

Приклад:

Розв’язати нерівність:

х - 3> 2 - х.

Розв’язання:

х - 3 – відстань між точками Х(х) та А(3).

х –2 – відстань між точками Х(х) та В(2).

Рівність АХ = ВХ означає, що Х = = 2,5. Це означає, що х < 2,5.

Відповідь: х < 2,5.

Отже, можна зробити такий висновок:

1) x - ax - b+c i c >a - b х  Ø

2) x - a<x - b+c i c >a - b х  R

3) x - a>x - b+c i c = a - b х  Ø

4) x - ax - b+c i c = a - bx - a=x - b+c i c = a - b (x - b)(b – a) 0.

5) x - ax - b+c i c = a - b х  R.

Доведемо ці співвідношення, виходячи з таких властивостей модуля:

1) а + b = а + b, якщо аb0;

2) а + bа + b.

Дійсно, згідно умові першого співвідношення та другої властивості маємо

x - a>x - b + b - ax – b + b - a=x - a,

чого бути не може. Тобто х  Ø, і перше співвідношення доведено.

Доведемо друге співвідношення. За умовою c >a - b. Тоді, враховуючи другу властивість,

с +x - b>b - а +x - bb – a + x - b=x - a

для всіх х  R. Тобто друге співвідношення виконується.

За умовою третього співвідношення та другою властивістю маємо, що

x - a>x - b+c =x - b+ b - аb – х + а - b=x - a,

чого не може бути, х  Ø, і третє співвідношення доведено.

Доведемо четверте співвідношення

x - a>x - b+c i c = a - b

x - ax - b+c i c = a - b або

x - a=x - b+c i c = a - b.

Згідно третьому співвідношенню, перша система сукупності не має розв’язків. А з другої маємо x - а=x - b+ b - а, що, відповідно першій властивості, виконується при всіх

хb приbа

(x – b)(b – а) 0 

або

хb приbа,

тобто четверте співвідношення доведено.

Приклад 1:

Розв’язати нерівність:

х – 1х – 2+2.

Розв’язання:

х – 1х – 2+2  х – 1х – 2+2 і х – 1>х – 2+2 –1(х – 2) + (2 – 1)= х – 1 х  Ø .

Приклад 2:

Розв’язати нерівність:

х – 1<х – 2+2.

Розв’язання:

х – 1<х – 2+2  х – 1<х – 2+2 і х – 1+ 2 >х – 2+2 – 1(х – 2) + (2 – 1)= х – 1 х  R.

І, нарешті, доведення п’ятого співвідношення. Його можна довести, спираючись на таку властивість модуля:

a - b a ba+b.

Згідно умові п’ятого співвідношення і поданої властивості маємо

x - ax - b+c =x - b+ а - b

x – b – а +bx - b+а - b

x - ax - bа - b.

Ця нерівність виконується. Отже, х  R. П’яте співвідношення доведено.

Приклад 3:

Розв’язати нерівність:

х + 1х – 1+2.

Розв’язування нерівностей з модулями 📙 Реферат → 🆔 239598