Стохастичні моделі управління запасами

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«ЗАПОРІЗЬКИЙ  НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ  УКРАЇНИ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат

  на тему: «СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ» 
 
 
 

Виконала:                                                                   студентка 1-го курсу

  факультету менеджмента 

Перевірила

____________________________________  
 
 
 
 
 

2009 
План : 

1. Стохастичні моделі управління запасами.
2. Управління запасами за  умови, що попит характеризується нормативним  законом  розподілу.
3. Управління запасами за умови штрафу та дефіциту.

Після вивчення теми студенти повинні 

знати:   проблематику обґрунтування економічно вигідного розміру партії; вирішуючі правила, що визначають оптимальний рівень резервного запасу;    основні співвідношення для визначення рівня страхового запасу в умовах ризику;

вміти   розраховувати значення економічно вигідного розміру партії для конкретних прикладів систем управління запасами; застосовувати правила прийняття рішень щодо рівня резервного запасу до конкретних систем; визначати основні характеристики системи управління запасами в стохастичному середовищі. 

КЛЮЧОВІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕРМІНИ 
 

• стохастичні моделі
• функція розподілу
• час попередження
• випадковий попит
• розмір партії
• вирішуюче правило
• рівень запасу
• відновлення рівня запасів
• затрати на зберігання
• інтенсивність споживання
• модель з фіксованим інтервалом
• поповнююча партія продукції
• поточні витрати на зберігання
• сумарні затрати
• резервний запас
• штраф за дефіцит
• щільність розподілу
• коефіцієнт ризику
• нерівномірність попиту
• модель точки замовлення та розміру партії

1.  Стохастичні моделі  управління запасами. 

В стохастичних моделях управління запасами попит  є випадковою величиною, що описується законами теорії вірогідностей. Врахування випадковості суттєво ускладнює аналіз та отримання рішень на таких моделях, а тому розглянемо найпростіші з них.

Припустимо, що попит r за інтервал часу Т є випадковим і заданий його закон розподілу (дискретний) р(r) або ж щільність розподілу вірогідності  f(r) . Якщо попит r є нижчий, ніж рівень запасу s , то закупівля (збереження, продаж) залишку продукту потребуватимуть додаткових затрат с₂ на одиницю продукту. Якщо ж попит вищий за рівень запасу, то це приводить до штрафу за дефіцит с₃ на одиницю продукції. Критерієм затрат, оскільки вони є випадковою величиною, вважатимемо математичне сподівання сумарних затрат M [s] .

Для моделі, що розглядається, матимемо у випадку  дискретного попиту:

                                         (1)

Перша складова враховує затрати на набуття (зберігання) надлишку (s - r) одиниць продукту (при r s ), а друга - штраф за дефіцит в (r - s) одиниць продукту (при r > s). У випадку неперервного випадкового попиту, що задається щільністю розподілу f(r) , для математичного сподівання сумарних витрат отримаємо:

                                                                               (2)

Таким чином, задача полягає у визначенні такого запасу s , при якому математичне сподівання сумарних витрат є найменшим. Якщо s* — запас, що мінімізує М [s] , то справедливі наступні співвідношення:

  для дискретного розподілу,                                                (3) 

і                         - для неперервного,                                                           (4) 
 

де  F (s) = p (r < s)                  - інтегральна функція розподілу попиту,

                                                                                                                                    (5)

- щільність  збитків внаслідок незадоволеного  попиту. В управлінні запасами  має велике значення, 0 1: якщо значення с₃ мале порівняно з с₂ , то близьке до нуля, якщо ж, навпаки, значно перевищує його, то близьке до одиниці. Таким чином, можна розглядати як міру припустимості дефіциту - якщо дефіцит не допускається, то с₃ = , тобто =1.

Припустимо тепер, що витрачання запасу здійснюється неперервно з однаковою  інтенсивністю

(рис. 1). 

      b)

      а) 
 
 
 
 
 
 
 

      t

     0 Т t T₁            T₂ 

Рис.1. Витрачання запасу з постійною інтенсивністю

Варіант а) відповідає випадку, коли попит не перевищує запасу (r s ), а

b) - коли попит перевищує запас (r > s).

Насправді витрачання запасу здійснюється невеличкими  стрибками (пунктирна ламана на рис.1 а) , але пряма є непоганим наближенням до цієї ламаної.

Середній  запас, що відповідає варіанту а) , становить:

     .                                                                                            (6)

Середній  запас, що відповідає варіанту b)  з врахуванням того, що

    ,         ,    становить       .                                     (7)        

Таким чином, середній дефіцит продукту за період T₂ для випадку b)   буде

  ,                                                                                                            (8) 

і математичне  сподівання сумарних витрат становитиме:

.        (9)  

Доведено, що в цьому випадку математичне  сподівання сумарних витрат є мінімальним  при рівні запасу s* , для якого справедлива нерівність;

   , (10)

де      ,       . (11)

Ця модель є достатньо ідеалізованою, оскільки вважається, що поповнення запасу відбувається миттєво. Однак в багатьох задачах час затримання поставок виявляється значним, і його необхідно враховувати в моделі.

Нехай за час затримання поставок вже замовлені п партій по одній в кожному з періодів тривалістю Т = / n. Позначимо s₀ - початковий рівень запасу (до початку першого періоду), s_i , r_i , q_i - відповідно запас, попит та поповнення запасу за i -й період.

В цьому  випадку до завершення п -го періоду в комору надійде одиниць продукту, а використано буде одиниць, і, таким чином,

 ,  або   , (12)

де    ,         .

Необхідно визначити оптимальний об’єм партії замовлення, якій потрібно зробити на n -й період.                                                         

Математичне сподівання сумарних витрат визначимо  як:                

      ,                                                           (13) 

а оптимальний  запас - за співвідношенням:

               . (14) 
 

Знайшовши оптимальний запас  s* , та знаючи  q₁ , q₂ ,..., q_n-1     обчислимо:

. (15)

Аналітично  визначити оптимальні значення точки  запасу та об’єму партії вдасться лише в найпростіших випадках. Якщо ж система має складну структуру з багатьма видами продукції та коморами, то єдиним способом її аналізу виявляється імітаційне моделювання. 
 
 
 

2. Управління  запасами за умови, що попит характеризується нормативним законом  розподілу.

При необхідності поповнити запаси продукції розв’язується задача визначення розміру замовлення (чи розміру партії) продукції. Відновлення рівня запасів може здійснюватися або шляхом виконання замовлення на виготовлення деякого фіксованого обсягу продукції, зареєстрованого системою нижнього рівня, або шляхом виконання замовлення на вигоговлення об’єму продукції, рівного різниці між рівнем розміщуваного запасу (який дорівнює: Наявний запас + Об’єм замовлень - Очікувані витрати продукту) і максимальним рівнем запасів, дані про який також зберігаються в системі обліку.

Вирішуючі правила розробляються зазвичай на другому рівні трирівневої системи управління запасами для визначення економічно обгрунтованого оптимального розміру замовлення. Ці правила використовуються при визначенні запланованого чи максимального рівня запасу для конкретного типу чи типів продукції. 

Аналіз  та формування припущень щодо умов функціонування системи керування запасами. 

Різні підходи до розв’язання задачі визначення економічного розміру замовлення (партії продукції) базуються на тих чи інших  можливих припущеннях щодо таких  показників, як спосіб постачання замовленої продукції, інтенсивність реалізації продукції, витрати на освоєння виробництва нової продукції, собівартість одиниці продукції і поточні витрати на збереження запасів. Спочатку для кожного з перерахованих факторів робляться найпростіші припущення, а потім розглядаються умови, за яких можливі припущення виявляються кращими, ніж первісне. Оскільки вважається, що припущення щодо одного з факторів не пов’язані з припущеннями щодо інших факторів, то можливі сотні комбінацій факторів, що приводять до різних вирішуючих правил. З такої множини вирішуючих правил можна обрати найприйнятніше, однак доцільність того чи іншого вибору визначається з врахуванням конкретної ситуації, у якій ці правила будуть реалізовані.                                                             

Розглянемо  деякі можливі припущення щодо зазначених факторів.  

Спосіб  постачання замовленої продукції. 
 

 Річний  показник

             Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                            Час 

Рис. 2. Наявний запас  при одержанні  замовлення однієї партії 

1) Уся  замовлена продукція постачається у вигляді однієї партії. Відповідно до моделі, наявний запас зростає від мінімального рівня таким чином, що до початку наступного циклу досягає розміру партії.

2) Продукція  надходить в комору з моменту  початку виробничого циклу протягом  інтервалу часу, достатнього для реалізації продукції до постачання всієї партії (рис. 3). 

      Річний  показник

                Q 
 
 
 
 
 
 
 

                                                Час 

Рис. 3. Розподіл у часі запасу виробленої продукції 

Інтенсивність і терміни реалізації продукції. 

1) Продукція реалізується з постійною інтенсивністю протягом необмеженого часу. Це вимагає багаторазового поповнення запасів за рахунок замовлень однакового розміру, причому наявний запас буде зменшуватися за лінійним законом (рис. 2 і 3). Практично припущення про необмежений час реалізації означає, що необхідно принаймні більш ніж три поповнюючі партії продукції.

2) Продукція реалізується з відомою чи прогнозованою інтенсивністю, що змінюється в часі. У цьому випадку для одержання точного розв’язку потрібно застосовувати методи динамічного програмування.

Якщо  потреба в продукції, яка користається високим попитом, припадає на кінець певного інтервалу  періоду планування (як це є з продукцією, що швидко виходить з моди, чи з новою продукцією, для якої передбачається експоненційне зростання попиту), то не можна використовувати жоден із запропонованих наближених методів. Якщо протягом періоду планування можливі і високий, і низький попит, то розходження між можливими наближеннями незначні й оцінки їх, звичайно, робляться на основі окремих випадкових пробних вибірок, а не на основі принципових відмінностей.

3) При значних випадкових коливаннях попиту мінімальний рівень запасу відмінний від нуля (а не дорівнює нулю, як це показано на рис. 2 і 3). У цьому випадку існує резервний запас. Якщо розмір партії продукції, яка замовляється, збільшується в порівнянні з тим, що відповідає випадку виконання замовлень, то вірогідність дефіциту продукції протягом року зменшується. Отже, резервний запас повинен бути таким, щоб забезпечити бажаний рівень обслуговування споживачів. Загальна економія в результаті одноразового визначення рівня резервного запасу і розміру партії продукції для його поповнення здійснюється в тих випадках, коли розмір партії продукції, обчислений за умови відсутності дефіциту, менший, ніж стандартне відхилення помилок прогнозу на інтервалі випередження.

Розглянемо  випадок, коли занадто дорога продукція, освоєння виробництва якої вимагає малих витрат, може бути випущена одномоментно в обсязі тижневого постачання, але реалізація її виявляється настільки нерівномірною, що стандартне відхилення еквівалентне розміру місячного постачання. Точне розв’язання задачі вимагає ітеративного процесу обчислень. Практично задовільним наближенням рішення є збільшення розміру партії принаймні до величини стандартного відхилення. Однак подібний розв’язок вимагає виконання значного обсягу обчислень, і тому подальше поліпшення результату може виявитися невиправданим з точки зору затрат на отримання розв'язку.

4) Продукція реалізується доти, поки не з’явиться непередбачена необхідність повного списання запасу, що залишився. У цьому випадку варто брати до уваги технологічні зміни, що плануються на майбутнє, для того щоб поступово звести до нуля поточні запаси. Для цього остання партія виробів, що постачається, повинна мати об’єм, достатній для споживання лише в межах планового періоду, що передує моменту запланованого

5) Якщо інтенсивність реалізації продукції протягом деякого інтервалу часу періоду планування впаде до нуля (закінчення контракту, зміна моделі виробу, порушення неперервності і т.д.), то розмір останньої партії повинен бути таким, щоб компенсувати різницю між наявним запасом і загальним незадоволеним попитом. Для вирішення питання про те, чи економічно вигідним є виготовлення виробів у кількості, що задовольняє попит, який залишився, однією чи декількома партіями, потрібно використання моделей динамічного програмування. Якщо передбачається задоволення попиту шляхом виготовлення декількох партій виробів, то необхідно визначити розмір першої партії. Різниця між розміром партії в оптимальній послідовності і розміром партії без врахування спадів істотна лише при постачанні для задоволення попиту, що залишився, у вигляді не більш трьох партій.  
 

3. Управління  запасами за умови  штрафу та дефіциту.

Затрати на запуск у виробництво. 

Ці затрати  можуть включати витрати на налагодження виробничої лінії, організацію виконання календарного графіка виробництва і затрати на розміщення замовлення, які, врешті-решт, залежать від кількості виконаних протягом року замовлень.

У цьому  випадку можливі наступні припущення:

1) Освоєння  виробництва продукції кожного  нового типу незалежно від тих, що випускалися раніше, вимагає нових затрат.

2) Основні  затрати пов’язані з розміщенням  замовлення на виготовлення сукупності  виробів, і незначні затрати  пов’язані з включенням у поточне  замовлення додаткових одиниць  цієї ж продукції. Прикладами, що ілюструють ці випадки, можуть бути перелік товарів, придбаних в одного постачальника, різні продукти, що розливаються на конвеєрі в пляшки однакової ємності.

Варіант об’єднаних замовлень виявляється  ефективним, якщо основні затрати  на освоєння виробництва нової продукції перевищують загальні додаткові затрати по всій сукупності виробів.  

Собівартість одиниці продукції. 

При визначенні об’єму капіталовкладень у запаси враховуються припущення щодо собівартості продукції, що приводить до доцільності випуску більших партій виробів, ніж це потрібно в даний момент. Тут можливі наступні припущення.

1) Може  бути вироблений будь-який обсяг  продукції при постійній її  собівартості.

2) Існують  непередбачені зміни цін на  продукцію. У цьому випадку,  якщо затрати на розміщення майбутніх замовлень можуть зрости в порівнянні з існуючою собівартістю продукції, то поточний розмір партії, що замовляється, повинний бути більшим, ніж той, котрий визначається величиною вірогідності невиконання замовлень споживачів; це дозволяє віддалити точку збільшення затрат на придбання виробів за підвищеною ціною. Економічно доцільніше збільшення обсягу разового постачання пропорційно очікуваному відносному збільшенню цієї ціни. На коефіцієнт пропорційності в основному впливають поточні управлінські витрати чи значення коефіцієнта приведення майбутніх витрат до біжучого моменту часу. Ефективність такого рішення може виявитися значно вищою, аніж при виборі стратегії повторення замовлень рівного розміру, що визначається умовою відсутності дефіциту без врахування зміни навколишніх, умов.

3) Дисконтування  об’єму замовлення. У тих випадках, коли збільшення  розміру партії  виробів понад обумовлений вірогідністю невиконання замовлень споживачів приводить до зниження собівартості продукції, можна визначити економічний розмір замовлення на основі співвідношення загальних витрат при недостачі запасів з витратами в кожен момент зміни ціни.

Можна рекомендувати зручне евристичне правило, відповідно до якого економічно доцільно кожні М місяців замовляти партію продукції, розмір якої визначається з умови відсутності дефіциту запасів, якщо зниження питомих витрат (собівартості) буде не менш ніж на 2М% (виходячи з типового положення, коли щорічні поточні управлінські видатки лежать у межах 20-24%). 

Поточні витрати на зберігання запасів. 

Подібні затрати є керованою змінною, котра може бути збільшена, щоб зменшити об’єм капіталовкладень у запаси за рахунок виконання більшої кількості замовлень на рік. Величина поточних затрат, що могла б теоретично забезпечити максимальну віддачу капіталовкладень, дорівнює поточному значенню прибутку фірми на її нетто-активи, тобто повинна знаходитися в межах установленого діапазону 20-24% річних витрат. Однак реальні поточні витрати повинні бути більшими, ніж це значення, якщо керуючі органи вважають, що вкладення капіталу в запаси пов’язане з великим ризиком чи меншою ліквідністю, ніж за іншими об’єктами капіталовкладень фірми. Звідси випливає, що для певної великої корпорації поточні затрати на збереження запасів сировини можуть бути меншими, ніж на збереження запасів готової продукції, а поточні витрати на зберігання периферійних запасів будуть більшими, ніж на збереження запасів готової продукції в коморі підприємства. Можливі наступні варіанти.

1) Поточні  витрати визначаються політикою капіталовкладень, що - грунтується на врахуванні ризику виникнення дефіциту запасів.

2) Враховується  займаний простір. Якщо є вироби  великих габаритів і поряд  з ними вироби, що розташовуються  на складі досить компактно,  то керуючі органи можуть в  якості другої характеристики стратегії обрати затрати, що пов’язані з об’ємом комори, який зайнятий продукцією, і це повинно привести для великогабаритних виробів до зменшення розміру партії в порівнянні з тим, що був би у випадку відсутності дефіциту.

Зменшення поточних затрат приводить до збільшення капіталовкладень у запаси, але зате зменшує щорічні затрати, пов’язані з розміщенням замовлень на поповнення запасів, що у цьому випадку є рідшими.

У цьому  сенсі існує максимальне практично  доцільне значення поточних затрат. Коли для підтримки потрібного рівня  обслуговування замовників застосовуються резервні запаси, стратегія дрібніших  і частіших поповнюючих замовлень вимагає додаткового збільшення резервних запасів. Починаючи з деякого значення величини поточних затрат на збереження запасів, зменшення обсягу поточних запасів супроводжується збільшенням необхідного страхового запасу, і тому за межами зазначеної точки збільшення поточних затрат нічого не дає, крім збільшення затрат на розміщення замовлень без компенсації їх за рахунок зниження загального обсягу капітальних витрат.                                                                        

Таким чином, матеріальні запаси служать для того, щоб згладити безпосередню залежність між динамікою виробництва продукції та її споживанням. Наявність запасів дозволяє налагодити виробництво продукції оптимальними партіями, а також визначити оптимальні партії поставок по кожному продукту.

Матеріальний запас - це демпфер, що згладжує залежність споживача від можливих коливань випуску продукції, послаблює залежність виробничого процесу постачальника від нерівномірностей споживання цієї продукції споживачами; запаси згладжують залежність окремих цехів, робочих місць і т.д. один від одного. Завдяки створенню запасів вирівнюються та здешевлюються виробничі процеси. Запаси роблять систему стійкішою, вони створюють необхідні передумови для забезпечення неперервності виробничого процесу.  

З точки  зору затримок функціонування системи важливим є не просто безумовне (100%), неперервне постачання продукцією. При такому постачанні потрібно було б мати надзвичайно великі запаси. Виникає задача визначення оптимального рівня запасів. Оптимальний рівень запасів складається з економічно оптимальної партії поставки плюс деякий страховий запас. Необхідність страхового запасу диктується випадковими явищами, які органічно наявні в будь-якій системі матеріально-технічного постачання.

Нехай k - витрати на оформлення замовлення, що мають місце щоразу при його розміщенні в припущенні, що витрати на зберігання одиниці замовлення в одиницю часу рівні S . Припускається, що інтенсивність попиту (в одиницю часу) дорівнює .

Нехай - випадкова величина з заданим законом розподілу f і скінченим математичним сподіванням . Якщо величину партії поставки визначати за формулою Уілсона 

  , то період повторення замовлень становить

       .    Але оскільки попит є випадковою величиною, то приблизно в 50% випадків буде спостерігатися дефіцит. Для гарантії від випадкових коливань в попиті або інших непередбачених ситуацій в системі необхідно мати деякі додаткові страхові запаси. При достатньо великому рівні страхового запасу практично можна досягнути бездефіцитного постачання. Але при цьому можливі значні витрати від іммобілізації засобів в запасах. При малому страховому запасі можливі втрати від дефіциту. Позначимо через Р вірогідність того, що потреби в інтервалі Т перебільшать наявний запас, тобто вірогідність того, що величина фактичної потреби Q буде більша ніж сума страхового запасу R і партії поставки у - q .