Теория портфеля Г. Марковица

Реферат на тему «теория портфеля Г. Марковица» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Во второй половине ХХ в. в экономике развитых стран произошли радикальные  изменения. Они были связаны с  бурным наращиванием инвестиций, и  портфельных в частности. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору финансовых инструментов (иностранная валюта, акции и облигации предприятий, государственные облигации) добавился постоянно растущий список новых производных инструментов - таких, как депозитарные расписки, форвардные контракты, фьючерсы на товары, опционы, варранты, фондовые индексы, свопы на процентные ставки, и т. п. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и более тонкие стратегии управления доходностью и риском финансовых сделок, которые отвечают индивидуальным потребностям инвесторов, а также требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке. Традиционный подход в инвестировании, преобладавший до появления современной теории портфельных инвестиций, имел два существенных недостатка. Во-первых, в нем основное внимание уделялось анализу поведения отдельных активов (акций, облигаций). Во-вторых, основной характеристикой активов в нем была исключительно доходность, тогда как другой фактор - риск - не получал четкой оценки при инвестиционных решениях. Нынешний уровень разработки теории портфельных инвестиций преодолевает эти недостатки. Формированием такого нового подхода фактически завершился длительный период (еще с конца 20-х годов ХХ в.), названный в финансовой теории "первоначальным этапом развития теории портфельных инвестиций".

Современная теория портфельных инвестиций берет  свое начало из небольшой статьи Г. Марковица "Выбор портфеля". В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, ученый показал, как инвестор может снизить его риск путем выбора некоррелируемых акций.

Гарри Марковиц родился в 1927 г. в Чикаго. По словам Марковица, изучение экономики вовсе  не было мечтой его детства, долгое время он увлекался философией, но, тем не менее, после окончания  программы бакалавра Чикагского университета (1947) он решает посвятить себя экономической теории. Особый интерес у Марковица вызывали исследования в области экономики неопределенности, в том числе и работы преподаваших тогда в Чикаго Дж. Маршака, М. Фридмена и Л. Сэвиджа. Это увлечение оказало влияние на всю последующую научную деятельность Марковица. Его первая крупная работа - магистерская диссертация (1950) - посвящена изучению возможности применения математических методов к анализу фондовых рынков.

В отличие  от других Нобелевских лауреатов по экономике, посвятивших большую часть своей жизни преподавательской и научной работе в университетах, Г. Марковиц почти четверть века работал в различных фирмах и корпорациях.

Покинув Чикагский  университет, он становится исследователем в RAND Corp. (1952-60, 61-63), где изучает технику оптимизации у работавшего вместе с ним Дж. Данцига. Позже Марковиц занимает пост технического директора Consolidated Analysis Centres Ltd. (1963-68), возглавляет исследовательскую группу в IBM (1974-83). Вице-президент Института наук управления (1960-62). Профессор Калифорнийского университета (Лос-Анжелес) (1958-69) и с 1982 г. профессор финансов Городского университета Нью-Йорка.

Гарри Марковиц - один из родоначальников теории финансов, одной из наиболее быстро развивающихся экономических наук. Эта наука закладывает основы прикладной дисциплины - финансового управления фирмой, с помощью инструментария и методов исследования которой любая фирма может проанализировать свое финансовое положение, оценить стоимость своего капитала и его структуру, выбрать наилучший проект для вложения средств и источник финансирования, решить, как и в каком количестве выпускать акции и облигации, управлять своим капиталом и многое другое.

Что бы мы ни говорили об одном из "столпов" современных финансов, а именно - о теории выбора портфеля, мы неизбежно будем упоминать имя ее создателя - Г. Марковица и возвращаться к его статье "Выбор портфеля" (1952), где она впервые была описана. В ней рассмотрена общая практика диверсификации портфеля и показано, как инвеститор может снизить риск портфеля путем выбора некоррелированных акций. Но Марковиц не остановился на этом, он продолжил работать над основными принципами конструирования портфеля.

Эти принципы являются основой для большей части из того, что мы можем сказать о взаимосвязи между риском и доходностью и о формировании оптимальной структуры капитала. Работы Марковица в теории выбора портфеля создали финансовый микроэкономический анализ и открыли путь множеству новых исследований в финансах и экономическом анализе.

Основные  работы Portfolio Selection. The Journal of Finance, March, 1952. Studies in Process Analysis:Economy Wide Production Capabilities. (Совместно  с A. Manne). New York: J. Wiley and Sons, 1963. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil Blackwell, paperback edition,1987.  

1 Сущность  теории портфеля Гарри Марковица  и модель оценки доходности  финансовых активов 

Основной  заслугой Г. Марковица является предложенная им в этой статье теоретико-вероятностная формализация понятий "доходность" и "риск". В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Результаты  исследований, полученные Г. Марковицем, сразу позволили перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на точный математический язык. Именно он первым привлек внимание к общепринятой практике диверсификации портфеля и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение его доходности, выбирая акции, цены на которые изменяются по-разному. С математической точки зрения, полученная оптимизационная стратегия относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. До сих пор, вместе с задачами линейного программирования, это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое количество достаточно эффективных алгоритмов.

Г. Марковиц на этом не остановился - он продолжил  разработку основных принципов формирования портфеля. Эти принципы послужили  основой для многих работ, описывающих  связь между риском и доходностью. Однако его работы не привлекли особого внимания экономистов - теоретиков и практиков. Для 50-х годов ХХ в. само по себе применение теории вероятности к финансовой теории было достаточно необычным делом. К тому же неразвитость вычислительной техники, а также сложность предложенных Г. Марковицем алгоритмов, процедур и формул не позволили осуществить фактическую реализацию его идей. Не случайно заслуги ученого были оценены значительно позже, чем опубликованы его работы, а Нобелевская премия ему присуждена только в 1990 г.

Влияние портфельной  теории Г. Марковица значительно  усилилось после появления в  конце 50-х - в начале 60-х годов ХХ в. работ Дж. Тобина по аналогичным  проблемам. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Г. Марковица и Дж. Тобина. Первый из этих подходов лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на базе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же первоначально эта модель касалась в основном портфеля акций, то есть рисковых активов. Дж. Тобин тоже предложил включить в анализ безрисковые активы (например, государственные облигации). По сути, его подход является макроэкономическим, поскольку в данном случае главным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и неналичную (в виде ценных бумаг). В работах Г. Марковица акцент делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В подходе Дж. Тобина основной темой становится анализ факторов, вынуждающих инвесторов формировать портфель активов, а не держать капитал в какой-то одной (например, наличной) форме. Кроме того, Дж. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфеля, которые являются исходными данными в теории Г. Марковица. Возможно, поэтому Дж. Тобин получил Нобелевскую премию на 9 лет раньше, чем Г. Марковиц. [4, с. 33]

С 1964 г. появляются новые работы, открывшие следующий  этап в развитии инвестиционной теории, связанный с так называемой "моделью  оценки капитальных активов" (или  САРМ - от английского capital asset pricing model). Учеником Г. Марковица У. Шарпом была разработана модель рынка капиталов . Формулируя ее, он понимал, что абсолютно надежных акций или облигаций не бывает. Все они в той или иной степени связаны с риском для корпорации: она может получить большой доход или остаться без ничего. Развивая подход Г. Марковица, У. Шарп разделил теорию портфеля ценных бумаг на две части: первая - систематический (или рыночный) риск для активов акций, вторая - несистематический. Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями в стоимости ценных бумаг, находящихся в обращении на рынке. Иначе говоря, доходность одной акции постоянно колеблется вокруг средней доходности всего актива ценных бумаг. Этого никак не избежать, поскольку действует слепой механизм рынка.

Несистематический риск связан с влиянием всех остальных  факторов, специфических для корпорации, выпускающей в обращение ценные бумаги. Определив специальные коэффициенты реакции цен акций или облигаций  на изменения рыночной конъюнктуры (знаменитые "альфу" и "бету" 3), У. Шарп разработал формулу расчета сравнительной меры риска ценных бумаг на основе "линии эффективности рынка заемного капитала".

Важным моментом систематического риска является то, что увеличение количества акций  или облигаций не способно ликвидировать его. Однако растущая покупка ценных бумаг может повлечь за собой устранение несистематического риска. Отсюда получается, что вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Задача при формировании рыночного портфеля заключается в уменьшении риска путем приобретения различных ценных бумаг. И делается это так, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, уравновешивали друг друга. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка.

На основе этой модели У. Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В более  простых случаях (то есть для небольших  размерностей) эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. В 70-х годах ХХ в. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценки коэффициентов "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом привели к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Разница между  доходностью рыночного порт¬феля  и процентной ставкой называется премией за рыночный риск.

Выводы У. Шарпа стали известны как модели оценки долгосрочных активов, базирующиеся на предположении, что на конкурентном рынке ожидаемая премия за риск изменяется прямо пропорционально коэффициенту "бета".

Это означает, что если схематически представить  инвестиции на рисунке, то все ин¬вестиции должны располагаться вдоль наклонной линии, называемой лини¬ей рынка ценных бумаг. Ожидаемая премия за риск инвестиций, бета которых равна 0,5, следовательно, составляет половину ожидаемой премии за рыноч¬ный риск; ожидаемая премия за риск инвестиций с бетой, равной 2,0, в два раза превышает ожидаемую премию за рыночный риск. Мы можем предста¬вить эту взаимосвязь в следующем виде:

Ожидаемая премия за риск акций =

= бета х  ожидаемая премия за рыночный  риск.

r-rf=b (rm-rf). [1]

Инвестор всегда может получить ожидае¬мую премию за риск b (rт - r), комбинируя рыночный портфель и безрисковые займы. Так, на хорошо функционирующем рынке никто не держит ак¬ции, предлагающие премию за ожидаемый риск, меньше, чем b (rт —r).

А как насчет других возможностей? Есть ли другие акции, которые обеспечивают более высокую ожидаемую премию за риск? Другими словами, существуют ли какие-либо акции, лежащие выше линии рынка ценных бумаг ? Если мы возьмем все акции в совокупности, мы получим рыночный пор¬тфель. Следовательно, мы знаем, что акции в среднем располагаются на ли¬нии. Так как ни одна не лежит ниже линии, то ни одна не может лежать и выше линии. Таким образом, каждая и любая акция должна лежать на линии рынка ценных бумаг и обеспечивать премию за ожидаемый риск, равную:

r-rf = p(rm- rf).

Рассмотрим  четыре основных принципа выбора портфелей.

1. Инвесторы  предпочитают высокую ожидаемую  доходность инвестиций и низкое  стандартное отклонение. Портфели  обыкновенных акций, которые обеспечивают  наиболее высокую ожидаемую доходность при данном стандартном отклонении, называются эффективными портфелями.

2. Если вы  хотите знать предельное влияние  акции на риск портфеля, вы  должны учитывать не риск акции  самой по себе, а ее вклад  в риск пор¬тфеля. Этот вклад зависит от чувствительности акции к изменениям стоимости портфеля.

3. Чувствительность  акции к изменениям стоимости  рыночного портфеля обозначается  показателем бета. Следовательно,  бета измеряет предель¬ный вклад  акции в риск рыночного портфеля.

4. Если инвесторы могут брать займы или предоставлять кредиты по без¬рисковой ставке процента, тогда им следует всегда иметь комбинацию безрисковых инвестиций и портфель обыкновенных акций. Состав та¬кого портфеля акций зависит только от того, как инвестор оценивает перспективы каждой акции, а не от его отношения к риску. Если инве¬сторы не располагают какой-либо дополнительной информацией, им следует держать такой же портфель акций, как и у других,— иначе го¬воря, им следует держать рыночный портфель ценных бумаг.

Далее, если каждый держит рыночный портфель и  если бета показывает вклад каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля, тогда не удивительно, что премия за риск, требуемая инвесторами, пропорциональна  коэффициенту бета.

Сегодня модель Г. Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала по их различным типам (акциям, облигациям, недвижимости и т. п.). Однофакторная модель У. Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестированный в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (то есть по конкретным акциям, облигациям и т. п.).

В 60-х годах  ХХ в. работы У. Шарпа, а затем также  Дж. Линтнера и Я. Моссина были посвящены, по сути, одному вопросу: "Предположим, что все инвесторы, владея одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Предположим также, что все они формируют свои оптимальные, с точки зрения теории Г. Марковица, портфели акций, исходя из индивидуальной предрасположенности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций?". Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэкономическое обобщение теории Г. Марковица. Основным результатом САРМ стало установление соотношения между доходностью и риском активов для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не "весь" риск, связанный с активами (риск по Г. Марковицу), а только его часть, названную "систематическим", то есть "недиверсифицированным", риском. Эта часть риска активов тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представлена коэффициентом "бета", введенным У. Шарпом в его модели. Другая его часть (так называемый "несистематический", то есть "диверсифицированный", риск) ликвидируется выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Связь между доходностью и риском носит линейный характер, и тем самым привычное практическое правило "большая доходность означает большой риск" получает точное аналитическое обоснование.

В 1977 г. эта  теория была подвергнута жесткой  критике в работах Р. Ролла. Он высказал мнение, что САРМ нужно  отбросить, поскольку ее в принципе нельзя эмпирически проверить. Несмотря на это, САРМ остается, вероятно, наиболее значительной и наиболее влиятельной современной финансовой теорией. Более того: на ее основе была разработана формула ценообразования на опционы, названная в честь американских ученых Ф. Блэка и М. Скоулза - первых, кто ее вывел. [16, с.69]

Прежде чем  выяснить суть этой формулы, кратко остановимся  на экономической роли производных  ценных бумаг - в частности, одной  их разновидности - опциона. В отличие  от акций и облигаций, выпускаемых  с целью привлечения денежных средств, опционы покупают и продают фирмы, чтобы защититься от неблагоприятных изменений на финансовом рынке. Именно потому, что стоимость опционов является производной от стоимости других ценных бумаг, их называют "вторичными". Существование рынка вторичных ценных бумаг позволяет его участникам, ожидающим в будущем каких-то поступлений (или, наоборот, затрат), гарантировать себе определенный уровень прибыли или застраховаться от потерь, превышающих определенный уровень. В последние 20 лет такой рынок стремительно развивается во всем мире .

Любое вложение в опцион является более рисковым, чем вложение непосредственно в  акции: ведь риск, связанный с ним, изменяется каждый раз, когда изменяется цена акции. Соответственно, ожидаемая  норма дохода на опцион, на которую  рассчитывают инвесторы, ежечасно изменяется в зависимости от изменения рыночной цены акции. Именно поэтому определение стоимости опционов при помощи стандартных формул казалось практически невозможным, а разработка техники точной оценки этой стоимости на протяжении многих лет была не по силам экономистам. Все предыдущие (с 1900 г.) попытки определить стоимость вторичных ценных бумаг были неудачными из-за огромной проблемы - невозможности правильно исчислить премию за риск (доход на рисковые вложения).

М. Скоулз и  Ф. Блэк совершили прорыв в этой области, разработав метод определения стоимости опциона, не требующий использования конкретной величины премии за риск. Однако это не означает, что премии за риск нет: просто она включена в цену акции. Именно эту идею оба ученых впервые обосновали в работе "Ценообразование на опционы и пассивы корпораций" (1973 г.). В этот период они тесно сотрудничали с Р. Мертоном, который также занимался проблемой оценки опционов. Он внес ряд предложений, которые улучшали упомянутую статью. В частности, соглашаясь с предположением относительно непрерывности осуществления операций с опционами и акциями, Р. Мертон предложил поддерживать между ними такое соотношение, которое является полностью безрисковым. Он придумал важное обобщение, согласно которому рыночное равновесие не является обязательным условием для оценки опциона, будучи для нее достаточным условием, если нет возможностей осуществить арбитражные операции. Опубликованная им статья "Теория рационального ценообразования опционов" (1973 г.) тоже включала формулу Блэка - Скоулза и некоторые обобщения (например, он предположил стохастичность процентной ставки).

Таким образом, эта формула оценивает "справедливую стоимость" опциона. Она полезна  при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыли на опционных торгах. Концептуально формулу Блэка - Скоулза можно объяснить так: цена опциона "колл" = (ожидаемая цена акции) - (ожидаемая стоимость выполнения опциона). Она имеет такой математический вид:

C = SN(d) - Le -rt N(d -√t) [2]

где С - теоретическая оценка опциона "колл" (которую также называют "премией"), S - текущая цена акции, N - количество акций, L - страйк опциона, t - время до экспирации (конца действия) опциона (в годах), q - среднее квадратичное отклонение курса акции (корень из суммы квадратов отклонений), r - безрисковая процентная ставка, е - основа натурального логарифма (2,71828), где d - дивидендная доходность акции, ln - натуральный логарифм.

Эта формула  основывалась на возможности осуществления  безрисковой сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции со временем изменяется, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, тоже должна соответственно изменяться. Из этих предписаний можно получить вероятностную оценку стоимости опциона.

Г. Марковиц утверждает, что инвестор должен обосновать свое решение относительно выбора оптимального портфеля исключительно ожидаемой доходностью и стандартным отклонением доходности. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности каждого из портфелей, а затем из них выбрать "лучший", базируясь на соотношении этих двух параметров. При этом интуиция играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение доходности - как мера риска, связанная с этим портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель исследован с точки зрения потенциальных вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим. [21, с.4]

Основные  выводы теории портфельных инвестиций, можно сформулировать так:

1) эффективное  множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают  и максимальную ожидаемую доходность  при фиксированном уровне риска,  и минимальный риск при заданном  уровне ожидаемой доходности;

2) предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество;

3) оптимальный  портфель инвестора идентифицируется  с точкой касания кривых равнодушия  инвестора с эффективным множеством;

4) как правило,  диверсификация влечет за собой  уменьшение риска, поскольку в общем случае стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения доходности ценных бумаг, которые составляют этот портфель;

5) соотношение  доходности ценной бумаги и  доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;

6) доходность  на индекс рынка не отражает  доходности ценной бумаги полностью;  необъясненные элементы включаются  в случайную погрешность рыночной  модели;

7) в соответствии  с рыночной моделью, общий риск  ценной бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска;

8) диверсификация  приводит к усреднению рыночного  риска;

9) диверсификация  может значительно снизить собственный  риск.

Таким образом, можно сформулировать основные постулаты, на которых построена современная  теория портфельных инвестиций:

1. Рынок  состоит из конечного числа  активов, доходность которых для  заданного периода считается  случайной величиной.

2. Инвестор  способен, например, исходя из статистических  данных, получить оценку ожидаемых  (средних) значений доходности и их попарных ковариаций - возможностей диверсификации риска.

3. Инвестор  может формировать разные допустимые (для данной модели) портфели, доходность  которых также является случайной  величиной.

4. Сопоставление  выбираемых портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риске.

5. Инвестор  не предрасположен к риску  в том смысле, что из двух  портфелей с одинаковой доходностью  он обязательно предпочтет портфель  с меньшим риском.

Центральной проблемой в теории портфельных  инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход является "многомерным" как по количеству привлеченных в анализ активов, так и по учтенным характеристикам. 
 

2 Метод оптимизации  инвестиционного портфеля по  Г. Марковицу 

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал  статью “Portfolio Selection”, которая легла  в основу теории инвестиционного  портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих  теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) – ожидаемую доходность и σ - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания – обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска σ. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Цель любого инвестора – составить такой  портфель ценных бумаг, который бы давал  максимально возможную отдачу с  минимально допустимым риском. Раскроем, прежде всего, взаимосвязь эффекта  корреляции и риска инвестиционного  портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных  портфелей позволяет сделать  два важных вывода: во-первых, при  одних и тех же значениях ρ1,2 разным портфелям соответствуют  разные величины σ, то есть при изменении  соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать  различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя “вес” каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E(rA) и риска (стандартное отклонение σА). Перенеся эти соотношения на коорди-натную плоскость с осями E(r) и σ, получим точку А с координатами [E(rA); σA] на рисунке 1: