Вариацинные ряды и их характеристики

Вариацинные ряды и их характеристики

Вариационный  ряд 

    Понятие вариационного ряда. Первичные статистические данные, с которыми имеет дело историк, часто представлены неупорядоченной  последовательностью чисел, характеризующей  ту или иную сторону процесса или  явления. В этой совокупности чисел  бывает трудно разобраться, и первичная  обработка материалов сводится к  приведению имеющихся данных к виду, удобному для анализа.

    Полученный  ряд называется вариационным. Сведение первичных данных в вариационный ряд облегчает анализ совокупности. Кроме того, вариационный ряд является исходным материалом для большинства методов математической статистики.

    При построении вариационного ряда можно  приписывать вариантам не частоты, а рассматривать доли каждой варианты во всей совокупности. Они вычисляются  как отношения соответствующих  частот к объему всей совокупности и называются частостями (обозначим их q_i). Частости могут быть выражены в относительных числах или процентах.

    Дискретный  и интервальный вариационные ряды. Изменение признака, по которому обследуются объекты, может быть дискретным и непрерывным. Дискретной вариацией признака называется такая, при которой отдельные значения варианты отличаются на некоторую конечную величину. В приведенном примере вариация признака зафиксирована как дискретная (отдельные значения варианты отличаются на единицу). Вариация называется непрерывной, если отдельные значения признака могут отличаться друг от друга на сколько угодно малую величину. Примером непрерывной вариации признака служит распределение посевных площадей по урожайности.

    В практике исторических исследований непрерывные  вариации признака встречаются сравнительно редко, тем не менее, интервальные ряды имеют большое значение в обработке исторических данных. Дело в том, что некоторые признаки, принципиально являясь дискретными, принимают такое большое количество значений, что составленный по ним дискретный ряд является практически необозримым, при этом весьма затрудняется дальнейший его анализ. В такой ситуации прибегают к построению интервального ряда

Основные  характеристики вариационного  ряда

    Построение  вариационного ряда является только первым шагом в изучении статистических данных. Для более глубокого исследования материала необходимы обобщающие количественные показатели, вскрывающие общие свойства статистической совокупности. Эти показатели, во-первых, дают общую картину, показывают тенденцию развития процесса или  явления, нивелируя случайные индивидуальные отклонения, во-вторых, позволяют сравнивать вариационные ряды и, наконец, используются во всех разделах математической статистики при более полном и сложном  математическом анализе статистической совокупности.

Существуют две  группы характеристик вариационного  ряда: 1) меры уровня, или средние, 2) меры рассеяния.

Меры  уровня, или средние. Наиболее употребительными в статистических исследованиях являются три вида средних: средняя арифметическая, мода и медиана.

Выбор типа средней  для характеристики вариационного  ряда зависит от цели, для которой  исчисляется средняя, от особенностей исходного материала и от возможностей той или иной средней.

Прежде чем  перейти к характеристике отдельных  видов средней, сформулируем некоторые, самые общие требования к средней.

Средняя, представляет собой  количественную характеристику качественно однородной совокупности. Нарушение этого требования приводит к неверным выводам, искажает суть явления.

Приведем пример, рассмотренный В. И. Лениным. Исследуя арендные отношения в крестьянских хозяйствах Таврической губернии, В. И. Ленин установил, что среди  бедняцких элементов деревни  в среднем на одно хозяйство арендовалось 2,4 дес. земли, а среди кулацких элементов - 48,6 дес. Формальный подход дает математически  верную среднюю для всех крестьянских хозяйств- 12,4 дес. Но подобная средняя  является совершенно фиктивной. "Не смешно ли брать "средний" размер аренды, складывая вместо крестьян, из которых один берет 2 десятины, за безумную - цену (15 руб.), очевидно, из крайней нужды, на разорительных условиях. А другой берет 48 десятин, сверх достаточного количества своей земли, "покупая" землю оптом несравненно дешевле, по 3,55 руб. за десятину?" (Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 3, с. 73).

Кроме того, необходимо, чтобы средняя не была слишком абстрактной, а имела ясный смысл в решении задачи.

Далее, желательно, чтобы процедура вычисления средней  была проста. При прочих равных условиях предпочтение отдается той средней, которая проще вычисляется.

И, наконец, при  выборе средней желательно свести к минимуму влияние случайных колебаний выборки. Так, если одной и той же совокупности взять несколько групп элементов, то средние, им соответствующие, будут, как правило, различаться по величине. Рекомендуется использовать вид средней, у которой эти различия минимальны (подробнее о выборке и выборочной средней см. гл. 5 данного раздела).

Наиболее распространенной мерой уровня - является средная арифметическая:

где - знак суммирования от 1 до k; x_i-варианты с порядковым номером i; - объем совокупности (число элементов совокупности); n_i- частота варианта x_i, k - число варианта. Если вместо частоты заданы частости q_i, то формула имеет вид

Пример 5. Вычислим среднюю арифметическую для данных табл.

Средняя арифметическая интервального вариационного ряда вычисляется следующим образом: за значение признака принимается середина интервала (центральное значение), которая  рассчитывается как арифметическая средняя границ интервала. Часто  вычисление средней арифметической для интервального вариационного  ряда осложняется тем, что неизвестны или нижняя граница первого интервала, или верхняя граница последнего интервала, или та и другая одновременно. В таких случаях иногда (Впрочем, в таких случаях часто отказываются oт исчисления средней арифметической, заменяя ее модой или медианой) условно предполагают, что интервальная разность неопределенного интервала такая же, что и у рядом стоящего, и на основе этого предположения устанавливают границы крайних интервалов.

Пример 6. Вычислим средние размеры наделов крестьян по данным табл. 5.

Для решения  задачи, прежде всего, необходимо найти  середины интервалов. Определенная трудность  возникает в связи с тем, что  первый и последний интервалы  являются открытыми. Нижнюю границу  первого интервала естественно  принять равной нулю. Тогда середина этого интервала равна (0+2)/2=l. Для  нахождения центрального значения последнего интервала применим предложенный выше прием. Величина интервала, предшествующего  последнему, равна 2. Условно принимаем  за величину последнего интервала 2. Тогда  верхняя граница того интервала-9 и, следовательно, его середина вычисляется  так: (7+9)/2=8.

Пользуясь формулой средней арифметической (4.4а) и принимая за значение признака середину интервала (строка 2 табл. 5), рассчитываем средний дореформенный надел  у барщинных крестьян:

Аналогично вычисляется  средний дореформенный надел  у оброчных крестьян: .

Кроме средней  арифметической широкое распространение  имеет другой вид мер уровня - медиана.

Медианой (обозначим M_е) называется такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину вариационного ряда.

При нахождении медианы дискретного вариационного  ряда могут возникнуть два случая: 1) число вариант нечетно (k=2m+1), 2) число  вариант четно (k=2m). В первом случае M_e=x_m+1, т. е. медиана равна центральной (срединной) варианте ряда, во втором случае M_e,=(x_m+x_m+1)/2, т.е. медиана принимается равной полу сумме находящихся в середине ряда вариант.

Пример 7. Пусть  дан ряд с нечетным числом вариант:

Тогда число  вариант, равное 9, представимо в  виде 2m+1=9, откуда 2m=8, m=4, т.е.M_e=x₄₊₁=x₅=15.

Рассмотрим случай четного числа членов:

Для интервального  вариационного ряда медиана вычисляется  по формуле 

где x_Me(min)-нижняя граница медианного интервала; h - величина этого интервала, или интервальная разность; q_i- частоты или частости; - накопленная сверху частота (или частость) интервала, предшествующего медианному; частота или частость медианного интервала.

Содержание введенных  обозначений и процедуру вычислений рассмотрим на конкретном примере.

Пример 8. Вычислим медиану по данным табл. 6.

Вычисление медианы  начинается с нахождения интервала, содержащего медиану. Медианному интервалу  соответствует первая из накопленных  частот или частостей, превышающая  половину всего объема совокупности. В нашем случае объем совокупности равен 100%, первая из накопленных частостей, превышающая половину всего объема совокупности, - 60,1 (см. табл. 6). Следовательно, интервал 8-12 будет медианным. Далее, x_me(min)=8, h=4, =41, q_Me=19.1. Воспользуемся формулой (4.5):

Таким образом, серединный размер посева равен примерно 9,9 дес.

Медиану можно  использовать в тех случаях, когда  изучаемая совокупность неоднородна, и в такой ситуации она будет  иметь вполне конкретный смысл. Так, в рассмотренном примере значение медианы имеет следующий смысл: у одной половины хозяйств размер посева меньше, у другой половины - больше, чем 9,9 дес.

Особо важное значение медиана приобретает при анализе  асимметричных рядов, т. е. рядов, у  которых нагружены (имеют большие  частоты) крайние или близкие  к крайним значения вариант. Например, медиана даст более верное представление  о среднем уровне личных доходов  группы семей в капиталистических  странах, чем средняя арифметическая, так как медиана не столь чувствительна  к край ним (нетипичным в плане  постановки задачи) значениям (семьи  с большим доходом), как средняя  арифметическая.

Медиану следует применять, если вычисление средней арифметической неправомерно вследствие неопределенности интервалов (первого или последнего, или того и другого вместе).

К достоинствам медианы следует отнести также  то, что она менее подвержена случайностям выборки, чем средняя арифметическая.

Медиану не следует  использовать, когда число наблюдений невелико.

Наряду со средней  арифметической и медианой важное значение как мера уровня имеет мода.

Модой (обозначим М_о) называется варианта, наиболее часто встречающаяся в данном вариационном ряду.

Для дискретного  ряда мода равна варианте с наибольшей частотой или частостью.

Для интервального  вариационного ряда модальный интервал, т. е. интервал, содержащий моду, определяется по наибольшей' частоте (частости) в  случае равных интервалов и по наибольшей плотности в случае неравных интервалов. Значение варианты, равное моде, отыскивается приближенными методами.

Довольно грубое приближение можно получить, взяв за моду центральное значение модального интервала, т. е. среднее арифметическое границ интервала.

Пример 9. Вычислим моду по данным табл. 6. В последнем  столбце табл. 6 вычислены плотности  распределения.

Наибольшая плотность  соответствует интервалу 4-8. Это  и есть модальный интервал.

Рассчитываем  моду:

M_o=(4+8)/2=6 (дес.).

Таким образом, получаем, что наиболее типичным по размеру посева хозяйством русских  переселенцев, Чимкентского уезда в 1908 г. было хозяйство, засевавшее 6 дес. земли.

Моду можно  вычислить также как взвешенную среднюю арифметическую из нижней и  верхней границ модального интервала (весами в расчете будут служить  частоты или частости интервалов предмодального и послемодального). При этом если ряд построен правильно (см. принципы построения вариационного  ряда) и интервалы, соседние с модальными, мало отличаются друг от друга, т. е. распределение  близко к симметричному, то этот способ дает хорошие результаты.

Воспользовавшись  вторым методом исчисления моды, рассчитаем наиболее типичный размер посева по данным табл. 6:

Мода имеет  те же достоинства, что и медиана. Мода и медиана эффективно используются в качестве мер уровня, но сравнительно со средней арифметической реже употребляются  как исходный материал для более  сложных методов математической статистики.

Меры  рассеяния. Рассмотренные выше средние показывают уровень вариационного ряда, другими словами, позволяют ряд чисел охарактеризовать одним числом. Однако средние не содержат в себе информации о том, насколько хорошо они представляют всю совокупность. Одинаковые или близкие по величине средние могут относиться к весьма различным рядам. Для пояснения этого положения рассмотрим условный пример.

Пример 10. В табл. 7 приведены данные о возрасте (для  простоты число их невелико).

Рассчитав, получаем, что средний  возраст в 1-й и 2-fi группах одинаков и равен 36. Но простейшее сравнение  этих двух рядов показывает, что  одинаковые средние представляют две  совершенно различные по возрастному  составу группы, а именно: в 1-ю  группу входят люди в зрелом возрасте, тогда как во 2-ю-старики и дети. Иначе говоря, варианты первого ряда довольно тесно группируются вокруг своей средней, т. е. средняя представительна, тогда как во втором ряду обнаруживается сильный разброс (рассеяние) вариант. Чтобы отметить подобные различия, в статистике прибегают к расчету  показателей, характеризующих рассеяние  признака (мер рассеяния).

Рассмотрим основные меры рассеяния: размах вариации, дисперсию  и среднее квадратичное отклонение.

Размах  вариации показывает разность между наибольшим и наименьшим значениями признака (R=x_max-x_min). Достоинством этого показателя является простота расчета. Однако возможности его применения ограничены, так как эта характеристика является наиболее грубой из всех мер рассеяния.

Во-первых, при  расчете этого показателя рассеяния  признака используются только крайние  значения признака, остальные же во внимание не принимаются. Во-вторых, размах вариации существенно зависит от случайных колебаний выборка.

Более ценными  для характеристики рассеяния признака являются показатели, при расчете  которых используются отклонения всех вариант от некоторой средней (например, средней арифметической, медианы). К  таким мерам рассеяния, в частности, относятся дисперсия и среднее  квадратичное отклонение. Последние  меры рассеяния меньше любой другой меры подвержены случайным колебаниям выборки. Среднее квадратичное отклонение и дисперсия нашли широкое  применение почти во всех разделах математической статистики.

Дисперсия, или средний квадрат отклонения (обозначим σ²) есть средняя арифметическая из квадратов отклонений вариант от их средней арифметической, т. е. в математической записи

где x_i-варианта с порядковым номером i; - средняя арифметическая; k- число вариант; q_i-частота или частость с порядковым номером I.

Часто для исследования удобно представлять меру рассеяния  в тех же единицах измерения, что  и варианты. Тогда вместо дисперсии  используют среднее квадратичное отклонение, которое является квадратным корнем из дисперсии, т. е. среднее квадратичное отклонение вычисляется по формуле 

Пример 11. Рассмотрим распределение дореформенного надела у крестьян Симбирской губернии отдельно для группы барщинных и группы оброчных крестьян (пример 6). Средние  величины дореформенных наделов  для обеих групп крестьян оказались  практически равными (4,018 дес. у барщинных  и 3,976 у оброчных). Выясним, насколько  одинаковой была вариация показателей  в этих группах. С этой целью вычислим средние квадратичные отклонения по совокупности барщинных и по совокупности оброчных крестьян.

Для вычисления средних квадратичных отклонений удобно составить вспомогательную таблицу (табл. 8). В ней зафиксированы все  промежуточные расчеты. Подставляя результаты этих расчетов в формулу (4,7), получим среднее квадратичное отклонение для барщинных крестьян:

и среднее квадратичное отклонение для оброчных крестьян:

т е. колебание  признака у оброчных крестьян примерно в полтора раза больше, чем у  барщинных.

Таким образом, средняя величина дореформенного надела у барщинных и оброчных крестьян Симбирской губернии почти одинакова, т. е. в среднем эти группы крестьян по обеспеченности землей практически  не отличаются. Но в среде оброчных крестьян различия в размере наделов  больше, чем среди барщинных крестьян.

Рассмотренные выше меры рассеяния (размах вариации, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) являются абсолютными величинами, судить по ним о степени колеблимости признака не всегда можно, в некоторых задачах необходимо использовать относительные показатели рассеяния. Таким показателем является коэффициент вариации.

Коэффициент вариации (обозначим V) представляет собой отношение среднего квадратичного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, т. е.

Коэффициент вариации позволяет: 1) сравнивать вариацию одного и того же признака у разных групп  объектов, 2) выявить степень различия одного и того же признака у одной  и той же группы объектов в разное время, 3) сопоставить вариацию разных признаков у одних и тех  же групп объектов.

Графическое представление вариационных рядов.

Графическое представление  играет важную роль в изучении вариационных рядов, так как позволяет в  простой и наглядной форме  проводить анализ статистических данных.

Существует несколько  способов графического изображения  рядов (гистограмма, полигон, кумулята, огива), выбор которых зависит  от цели исследования и отвида вариационного  ряда.

Полигон распределения в основном используется для изображения дискретного ряда, но можно построить полигон и для интервального ряда, если предварительно привести его к декретному. Полигон распределения представляет собой замкнутую ломаную линию в прямоугольной системе координат с координатами (x_i, q_i), где x_i - значение i-го признака, q_i - частота или частость i-ro признака.

Пример 13. Построим полигон распределения по данным табл. 1. В прямоугольной системе координат на горизонтальной оси откладываем значения признака (возраст студентов), а на вертикальной оси - частоты (число студентов с данным возрастом). Полученные точки соединим отрезками прямой. Для того чтобы фигура была замкнутой, введем дополнительно новые значения признака (16 лет, 24 года); соответствующие им частоты, естественно, равны нулю. В результате получим полигон распределения студентов по возрасту (рис. 1).

Гистограмма распределения применяется для изображения интервального ряда. Для построения гистограммы на горизонтальной оси откладывают последовательно отрезки, равные интервалам признака, и на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высоты которых равны частотам или частностям для ряда с равными интервалами, плотностям; для ряда с неравными интервалами.

Пример 14. Построим гистограмму распределения душ по размеру прирезки в Бельском уезде Смоленской губернии по данным табл. 2 (рис 2) (За неимением дополнительных данных при построении графика воспользуемся предположением, что величина последнего открытого интервала равна величине предыдущего).

Как уже отмечалось, для интервального  ряда также можно построить полигон  распределения Для этого за значения признака принимают середины интервалов и для полученного дискретного  ряда обычным способом строят полигон. Полигон распределения можно  получить и по готовой гистограмме. Достаточно соединить отрезками  прямых середины верхних оснований  прямоугольников и замкнуть, фигуру описанным способом. Результаты такого построения изображены на рис 2 пунктирной линией.

Кумулята  есть графическое изображение вариационного ряда, когда на вертикальной оси откладываются накопленные частоты или частности, а на горизонтальной - значения признака. Кумулята служит для графического представления как дискретных, так и интервальных вариационных рядов.

Пример 15. Построим кумуляту по данным интервального ряда табл. 2. Предварительно рассчитаем накопленные частности.

Обозначим на горизонтальной оси интервалы (рис. 3). Нижней границе  первого интервала соответствует  частность, равная нулю, а верхней  границе - вся частность этого  интервала (24,5). Верхней границе второго  интервала соответствует накопленная  частность первых двух интервалов (51,2) и т. д.

Возможности графического изображения статистических данных не ограничиваются воспроизведением материала  в наглядном, легко воспринимаемом виде. Представление данных в виде графика позволяет просто и быстро получить приблизительные значения таких средних характеристик  ряда, как мода и медиана.

Используя определенные виды графического изображения вариационного ряда, можно приближенно оценить моду и медиану. Покажем способы отыскания  этих характеристик на конкретных примерах.

Пример 16. Определим приближенно медиану по данным табл. 6. Для этого построим кумуляту и на уровне 50% (середина ряда) проведем прямую линию, параллельную горизонтальной оси. Далее, из точки пересечения этой линии с кумулятой опустим перпендикуляр но, горизонтальную ось Точка пересечения перпендикуляра с осью и показывает приближенное значение медианы (рис. 4). Искомая медиана в нашем примере равна 10 дес. а вычисленная в примере 8-9,9 дес.

Пример 17. Определим моду по тем же данным, что и в предыдущем примере. Напомним, что интервал, которому соответствует наибольшая частота или частность для ряда с равными интервалами, наибольшая плотность - для ряда с неравными интервалами, является модальным. Выпишем из табл. 6 предмодальный, модальный и послемодальный интервалы с соответствующими плотностями.

Построим для  этих интервалов столбики гистограммы  и соединим отрезками вершины  прямоугольников (рис. 5). Опустив перпендикуляр  из пересечения отрезков на горизонтальную ось, получим приблизительное значение моды. Оно находится на пересечении  перпендикуляра с горизонтальной осью и равно 6,3 дес., а расчетное значение равно 6,1 (пример 9).

Нормальное распределение. Если уменьшать интервалы и одновременно увеличивать число наблюдений в них, то гистограмма распределения будет все более приближаться к плавной линии. Кривая, к которой стремится график при указанном пробразовании, называется кривой распределения.

Формы кривых распределения  разнообразны. Мы ограничимся рассмотрением  одного важного в теоретико-прикладном плане распределения, так называемого  нормального распределения.

График нормального  распределения (рис. 6) представляет собой  симметричную одновершинную кривую, напоминающею по форме колокол. Форма  нормальной кривой и положение ее на оси абсцисс полностью определяются двумя параметрами - средним арифметическим значением  и средним квадратическим отклонением σ. На рисунке видно, что наиболее часто встречаются варианты, близкие к , а по мере удаления от варианты встречаются все реже. (Ординаты точек графика на рис. 6 обобщают введенное ранее понятие плотности распределения.)

Каждому значению признака х соответствует при  этом определенное значение так называемой функции распределения F(x), показывающее, какова вероятность существования  вариант, меньших данного значения х. Геометрически вероятность вариант, меньших х, изображается площадью под  кривой слева от точки х. Площадь  под всей кривой равна 1, что соответствует  полной достоверности (т. е. вероятности  того, что признак примет вообще какое-то значение). Таким образом, видно, что функция распределения F(x) обобщает понятие накопленной частоты  вариационного ряда.

Ввиду своей  важности для практических приложений функция нормального распределения  табулирована, т. е. имеются таблицы, где каждому значению х ставится в соответствие вероятность F(x) существования  значений, меньших х. Для удобства табулирования в качестве значений признака берутся не сами величины х, а так называемые нормированные  отклонения их от среднего значения, где  .

При замене х на t центр распределения  смещается в точку 0, а единицей измерения становится величина среднего квадратического отклонения σ, но вид  кривой распределения неизменяется). Среднее значениенормированного отклонения t равно нулю, аего среднее квадратическое отклонениеравно единице (рис. 7). Нормированная  функциянормального распределения обладаетследующими свойствами: . В табл. 7 приложения приведены значения F(t) дляположительных значений t. Так, для t=2F(t)=0,97725. На рис. 7 площадь, соответствующая этойвероятности,заштрихована.